Análise Multivariada. Distribuição Normal Multivariada. Roteiro. Lupércio França Bessegato Dep. Estatística/UFJF

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1 Análise Multivariada Lupércio França Bessegato Dep. Estatística/UFJF. Introdução. Vetores Aleatórios 3. Normal Multivariada Roteiro 4. Componentes Principais 5. Análise Fatorial 6. Análise de Conglomerados 7. Referências Distribuição Normal Multivariada

2 Normal Multivariada Suponha que tenhamos p variáveis X, X,..., X p Vetor de componentes Vetor de médias: Matriz de variâncias e covariâncias Variância da variável aleatória X i : Covariância entre Variáveis X i e X j : Função de Densidade de Probabilidade Distribuição Normal Univariada: distância quadrática padronizada Distribuição Normal Multivariada: Padronização volume sob superfície distância generalizada quadrática padronizada Normal Bivariada Função de densidade de probabilidade (p=) A presença de correlação causa concentração da probabilidade ao longo de uma linha

3 X e X independentes rô = X 4 f(x,x) X 0 X rô = 0 - mi=m=0; sigma=sigma= - 0 X 3 Corr(X, X ) = 0,8 rô = 0,8 3 0,07 0,7 0,3 X 0 0, f(x,x) 0, 5,0 0,0,5 0,0 X -5,0 -,5 -,5 0,0,5 X , 0, 0,0 rô = 0,8-4 mi=m=0; sigma=sigma= -3 - mi=m=0; sigma=sigma= - 0 X 3 4 A presença de correlação causa concentração da probabilidade ao longo de uma linha Efeito Correlação 3

4 Vetor de Média Amostral Suponha uma amostra aleatória de uma distribuição normal multivariada x, x,..., x n x i : i-ésimo vetor amostral x i = [ x i, x i,..., x ip ] Vetor de médias amostrais Matriz de Variâncias e Covariâncias Amostral Variâncias Amostrais (diagonal de S) Covariâncias amostrais e são estimadores não-viciados de m e S, respectivamente 4

5 Verificação da Hipótese de Normalidade Distribuições Bivariadas Verificação da Normalidade Diagrama de dispersão de pares de variáveis: Observações provenientes de normal mulvariada: cada distribuição bivariada será normal plot dos pontos bivariados observados devem exibir padrão global aproximadamente elíptico O conjunto de observações bivariadas tais que (x µ)s - (x µ) χ (0,5) tem probabilidade 0,5 Devemos esperar a mesma percentagem (50%) de valores amostrais estejam internos (ou sobre) a elipse Exemplo 4. Dados Empresas Dados sobre 0 maiores indústrias americanas (na época) Variáveis: X: vendas X: lucros Banco de dados: BD_multivariada.xls/industrias_usa 5

6 Vetor de médias amostral Descriptive Statistics: x=sales; x=profits; x3=assets Variable Mean x=sales 6309 x=profits 97 Matriz de covariâncias amostral Covariances: x=sales; x=profits x=sales x=profits x=sales x=profits Está dentro (ou sobre) a curva estimada de 50% qualquer ponto que satisfaça a relação: Comandos Minitab para cálculo das distâncias: # Dados nas colunas C C Let K = # Quantidade variáveis (p) Let K = 0 # Tamanho amostra (n) # Calculo medias Mean C K3 # Media X Mean C3 K4 # Media X # Cálculo Matriz S Covariance C-C3 M Name M "S" Print M # Calculo Distancia generalizada Let C5 = C - K3 Let C6 = C3 - K4 Name C5 "X - med" Name C6 "X - med" Copy C5 - C6 M3 Multiply M3 M M4 Copy M4 C7 - C8 Name C9 "dj^" Let C9 = C7*c5 + C8*c6 # Calculo Inversa de S Invert M M Name M "Sinv" Cálculo da distância quadrática generalizada 70% dos dados estão dentro da curva de 50% Importante: a amostra é muito pequena para tirar conclusões 6

7 Distâncias Quadráticas Generalizadas Método mais formal para julgar a normalidade Distância estatística de cada ponto amostral ao centróide de todas as observações Pode ser usada para p x, x,..., x n : observações amostrais Se população for normal multivariada e n e (n p) forem suficientemente grandes Cada uma das distâncias quadráticas deveria se comportar como uma variável aleatória χ Embora essas distâncias não sejam independentes ou exatamente distribuídas como uma χ é útil plotá-las como se fossem Q-Q Plot Procedimento: Ordenar as distâncias quadráticas: d () d ()... d (n) Plotar os pares (q c,p ((j ½)/n), d(j) ) q c,p ((j ½)/n) é o 00(j ½)/n percentil superior de uma χ p 7

8 Exemplo 4.3 Construindo QQ-Plot Gráfico qui-quadrado das distâncias generalizadas calculadas no Exemplo 4. Uso de Macro Global do Minitab Macro Global Características Age diretamente na planilha em uso (planilha global); Ao escrever a macro, deve-se saber quais colunas, constantes e matrizes serão usadas ao executar a macro; Não executam macros locais Alguns comandos dos menus são macros locais Macro Global Uso Usar quando: A tarefa é simples; É possível saber os estado da planilha; Não necessitar de comandos que são macros locais; 8

9 Criando uma Macro Use um processador de texto para escrevê-la; Salve-a no sub-diretório MACROS, com extensão.mac Para executar a macro entre com: % nome_da_macro Se julgar mais conveniente, execute interativamente os comandos e copie-os da janela Session ou History Criando uma Macro () Para mostrar uma linha em branco use o comando NOTE Se a extensão do arquivo não for.mac, digite o nome e a extensão do arquivo Caso o arquivo tenha sido salvo em outro diretório, especifique seu caminho (% caminho_do_arquivo\nome_da_macro) Estrutura Macro Global Uma macro global segue a seguinte estrutura: GMACRO Template Body of the macro ENDMACRO Início da macro global Nome da macro Comandos da macro Final da macro global 9

10 Macro Global Minitab GMACRO DISTANCIA # Macro Global # Cálculo de Distância Generalizada # Dados nas colunas C C Let K = # Quantidade variáveis (p) Let K = 0 # Tamanho amostra (n) # Calculo medias Mean C K3 # Media X Mean C3 K4 # Media X # Cálculo Matriz S Covariance C-C3 M Name M "S" Print M Name M "Sinv" # Calculo Distancia generalizada Let C5 = C - K3 Let C6 = C3 - K4 Name C5 "X - med" Name C6 "X - med" Copy C5 - C6 M3 Multiply M3 M M4 Copy M4 C7 - C8 Name C9 "dj^" Let C9 = C7*c5 + C8*c6 # Ordenacao distancias Name C0 "d(j)^" Sort C9 C0 # Cálculo percentis qui-quadrado Set C (:0/) End Let C = (C - /)/K Name C "qc,p((j-/)/0)" InvCDF c c; ChiSquare K. # Plot Qui-Quadrado Plot c*c0; Title "Q-Q Plot das Distâncias Ordenadas"; Symbol. ENDMACRO # Calculo Inversa de S Invert M M Name M "Sinv" Execução da Macro Para executar, digite %nome_da_macro; Ex. Entre %analise Se a extensão do arquivo não for MAC deve-se digitá-la também; Ao ser executada, o Minitab procura a macro primeiro no diretório atual e depois no subdiretório MACROS Caso a macro não esteja salva em um desses diretório, deve-se especificar o caminho até ela. Exemplos Template Nome arquivo Execução MyMacro Analise Analise Analise MyMacro.MAC TEST.MAC TESTE.TXT Analise.MAC %MYMACRO %TEST %TESTE.TXT %C:\pasta\... \analise 0

11 QQ-Plot das distâncias Generalizadas: Pontos não estão dispostos em torno de linha reta Menores distâncias aparentam ser grandes, médias distâncias aparentam ser pequenas Dados não parecem ser normais (embora n seja pequeno) Referências Bibliografia Recomendada JOHNSON, R. A.; WINCHERN, D. W. Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall, 998 MINGOTI, D.C. Análise de Dados através de Métodos de Estatística Multivariada. Ed. UFMG, 005. LATTIN, J.; CARROLL, J. D.; GREEN, P. E. Análise de Dados Multivariados. Cengage, 0.