Confiabilidade em Sistemas Eletrônicos

Transcrição

1 Confiabilidade em Sistemas Eletrônicos Matemá'ca da Confiabilidade Alessandro L. Koerich

2 Introdução Os princípios da confiabilidade moderna são baseados principalmente em e probabilidade. Em confiabilidade lidamos com incerteza.

3 Introdução Exemplo: Uma fonte de alimentação falha a uma taxa média constante de uma por 10 7 h. Se construirmos 1,000 unidades e operarmos elas por 100 horas. Não podemos dizer com certeza se alguma delas vai falhar! Podemos entretanto dizer a probabilidade de falha. Podemos ir além e afirmar que, dentro de um limite de confiança esta@saco, a probabilidade de falhas fica entre certos valores acima e abaixo desta probabilidade Se uma amostra deste equipamento é testada, obtemos dados chamados de esta@sacos.

4 Introdução A esta@saca associada à confiabilidade pode ser dividida no tratamento de: Funções discretas. Ex: chave Funções con@nuas. Ex: tempo, distância Processos pontuais. Ex: mais de uma falha pode ocorrer ao longo do tempo.

5 Variação A confiabilidade é influenciada pela variabilidade. Variação é inerente a todos os processos de fabricação. Os projeastas devem entender a natureza e as consequências das possíveis variações. Devem ser capazes de medir e controlar esta variação para que os efeitos no desempenho e na confiabilidade sejam minimizados.

6 Conceitos de Probabilidade Um evento tem probabilidade de ocorrência entre 0 e 1. Exemplo: Podemos predizer a probabilidade de um resultado a parar da natureza do sistema. Para outros sistemas, as probabilidades somente podem ser determinadas a parar de esta@sacas da experiência prévia.

7 Conceitos de Probabilidade Podemos definir probabilidade de duas maneiras: 1. Se um evento puder ocorrer de N maneiras igualmente prováveis e se um evento com atributo A puder acontecer em n destas maneiras, então a probabilidade de A ocorrer é: P(A) = n N

8 Conceitos de Probabilidade 2. Se em um experimento, um evento com atributo A ocorrer n vezes em N experimentos, então a medida que n que torna grande, a probabilidade do evento A tende a n/n, isto é: # P(A) = lim n % $ n N & ( '

9 Conceitos de Probabilidade Figure 2.1 Samples with defecaves (black squares).

10 Regras de Probabilidade

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13 Variação A variação dos parâmetros em engenharia são geralmente descritas de duas maneiras: Valores mínimos e máximos ou tolerâncias Não há informação sobre a natureza ou sobre a forma da distribuição de valores. Através de dados derivados de medidas

14 Variação Figure 2.3 (a) Frequency histogram of a random sample, (b) frequency histogram of another random sample from the same populaaon, (c) data of many samples shown with measurement intervals of 0.5. O histograma tende a uma curva que descreve a população: função densidade de probabilidade (fdp)!

15 Variação Unimodal! Figure 2.4 ConAnuous probability distribuaon. Modo: o valor de x no qual temos o pico de f(x).

16 Variação A AUC é igual a 1, pois ela descreve a probabilidade total de todos os valores possíveis de x. f (x)dx =1 A probabilidade de um valor entre quaisquer dois valores x 1 e x 2. P(x 1 < x < x 2 ) = x 2 x 1 f (x)dx

17 Variação Para descrever uma FDP consideramos 4 aspectos: 1. Tendência central sobre a qual a distribuição está agrupada 2. A dispersão indicando a extensão da variação sobre a tendência central. 3. Assimetria indicando a falta de simetria sobre a tendência central 4. Curtose indicando o pico ou achatamento da curva

18 Variação Medidas da tendência central: Para uma amostra contendo n itens, a média da amostra é: n x = A média (ou valor médio, ou valor esperado) de uma distribuição é: Outras medidas: mediana e modo. i=1 x i n µ = xf (x)dx

19 Variação Medidas da tendência central Figure 2.5 Measures of central tendency.

20 Variação Dispersão de uma distribuição: É medida pela variância. Para uma amostra contendo n itens, a variância é: Var(x) = E(x x) 2 = Se for para a população usamos: n i=1 (x i x) 2 n ˆ σ 2 = n i=1 (x i x) 2 n 1 Para uma população finita N: σ 2 = n i=1 (x i µ) 2 N

21 Função Distribuição CumulaAva Função Distribuição CumulaAva (FDC): Fornece a probabilidade que um valor medido cairá entre - e x. F(x) = x f (x)dx Figure 2.6 Typical cumulaave distribuaon funcaon (cdf).

22 Função Distribuição CumulaAva Funções de Confiabilidade e Perigo A probabilidade de um item sobreviver por um determinado intervalo, isto é, não falhará no intervalo (0 a x). A função confiabilidade: R(x) =1 F(x) = f (x)dx =1 f (x)dx A função perigo ou taxa de perigo é a probabilidade condicional de falha em um intervalo x a (x+dx), dado que não houve falha até x: H(x) = f (x) R(x) = x f (x) 1 F(x) x

23 Função Distribuição CumulaAva A função acumulaava perigo H(x) é dada por: H(x) = x h(x)dx = x f (x) 1 F(x) dx Figure 2.7 Probability Density FuncAon (pdf) and its applicaaon to reliability.

24 Funções de Distribuições

25 Funções de Distribuições

26 p = probabilidade de obter x itens bons e (n- x) itens com defeito em uma amostra de n itens, onde p é a probabilidade de selecionar bons itens e q é a probabilidade de selecionar itens com defeito. Variação Discreta Distribuição Binomial Descreve uma situação onde há somente dois resultados possíveis e a probabilidade permanece constante em todas as tentaavas. A FDP é: f (x) = n! x!(n x)! px q (n x) µ = np σ = npq

27 Variação Discreta A distribuição binomial pode ter valores somente em pontos onde x é inteiro. A FDC, ou seja, a probabilidade de obter r ou menos sucessos em n tentaavas) é dada por: F(r) = r x=0 n! x!(n x)! px q (n x)

28 Variação Discreta Distribuição de Poisson Descreve eventos que ocorrem com uma taxa média constante, sendo que somente uma dentre dois resultados é contável. Ex: número de falhas em um dado instante / defeitos em um certo comprimento de fio. f (x) = λ x x! e λ λ = taxa média de ocorrência e x é o número de falhas.

29 Intervalo de Confiança Confiança é a exata fração de vezes que o intervalo de confiança incluirá o valor verdadeiro, se um experimento é repeado muitas vezes. O intervalo de confiança é o intervalo entre os limites de confiança superior e inferior. Intervalos de confiança são usados para fazer afirmações sobre a população dada uma amostra. Logo, quanto maior a amostra, maior será nossa confiança intuiava que a esamaava estará próxima da realidade.