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1 Índice Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3 ConceitodeMatriz 3 ExemplosdeMatrizesSimples 3 3 OperaçõescomMatrizes 6 3 TransposiçãoMatrizessimétricasematrizesortogonais 9 3 ConjugaçãoMatrizestransconjugadasematrizeshermíticas 4 IndependênciaLineareCaracterísticadeumaMatriz 5 4 Independêncialineardaslinhasecolunasdeumamatriz 5 4 Característicadeumamatriz 8 5 CondensaçãodeGauss 9 6 InversadeumaMatriz 3 6 Cálculodainversadeumamatrizusandoacondensação 6 7 EquaçõesMatriciais 9 8 SistemasdeEquaçõesLineares 34 8 Definição e classificação 34 8 MétododeeliminaçãodeGauss Discussãodesistemasdeequaçõeslineares Método da matriz inversa para a resolução de sistemas de equações lineares 4

2 Texto de apresentação Estas notas incluem uma síntese dos assuntos que são abordados nas disciplinas de Álgebra Linear e de Álgebra Linear e Geometria Analítica (ALGA) dos cursos de Engenharia da Escola Superior de Tecnologia e Gestão (ESTG) de Leiria Com estas notas pretende-se fornecer um elemento de apoio ao estudo dos alunos e, em particular, contribuir para o aperfeiçoamento da clareza de raciocínio e aquisição de um conjunto de ferramentas que facilitem a progressão dos alunos nos respectivos cursos Não se pretende, de modo algum, substituir um conjunto numeroso de bons manuais de Álgebra Linear e de Geometria Analítica já existentes Pelo contrário, as presentes notas pretendem apenas fornecer uma ideia da estrutura e da sequência dos assuntos abordados nestas disciplinas que deverão, sempre que possível, ser acompanhadas com consultas bibliográficas, para um maior aprofundamento dos conhecimentos O texto de apoio resulta da colaboração, ao longo de muitos anos, dos docentes da ESTG que leccionaram nas disciplinas de Álgebra Linear e de ALGA, e também de inúmeras sugestões sugeridas pelos alunos Tão amável colaboração permitiu fazer uma estruturação bastante profunda e corrigir muitas imperfeições dos textos que anteriormente foram fornecidos aos alunos Aproveitou-se a oportunidade para a inclusão de um vasto conjunto de exemplos com exercícios resolvidos Estas notas não se encaram como um trabalho final, mas sim como um trabalho que está em constante mutação, não só devido aos erros que fatalmente persistem, mas também às sucessivas alterações curriculares que foram, e estão a ser efectuadas não só no Ensino Secundário mas também nos cursos da ESTG Os actuais docentes agradecem desde já e ficam, por isso, receptivos a quaisquer sugestões que possam melhorar o conteúdo desta sebenta A sequência escolhida para abordar os assuntos deve-se à tentativa de satisfazer as necessidades dos diferentes cursos de Engenharia da ESTG Por outro lado, as diversas e sucessivas experiências pedagógicas levam-nos a crer que a sequência apresentada é a mais adequada para a aprendizagem dos conceitos que fazem parte das disciplinas de Álgebra Linear e de ALGA, não esquecendo jámais que estas são a base necessária para muitas outras disciplinas posteriores dos respectivos cursos

3 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Conceito de Matriz Definições (Matriz) Sejam K um corpo comutativo (em particular R ou C), m e n dois números naturais Designa-se por matriz sobre o corpo K ou matriz de entradas em K todo o conjunto de elementos do corpo K colocados numa tabela de dupla entrada com m linhas (ou filashorizontais)encolunas (ou filas verticais), ou seja, uma tabela do tipo: a a a n a a a n A m n = a m a m a mn Numa versão simplificada é usual representar a matriz anterior por A m n =(a ij ) onde i éoíndicedelinha (i =,,,m) e j é o índice de coluna (j =,,,n) A matriz A m n designa-se por matriz do tipo m n ou, para simplificação de escrita, matriz m n AmatrizA m n designa-se por matriz real (complexa) quando os seus elementos são números reais (números complexos) Cada entrada da matriz A m n édesignadaporcoeficiente ou elemento da matriz Exemplos de Matrizes Simples Definição (Matriz nula) Uma matriz m n quetemtodososseuselementosiguaisazerodesigna-sepormatriz nula e representa-se por O m n Definições (Matriz quadrada e rectangular) Umamatrizemqueonúmerodelinhas(m) é igual ao número de colunas (n) designa-sepormatriz quadrada de ordem n ou, simplesmente, matriz de ordem n e representa-se por A n Nocasodem 6= n então a matriz designa-se por matriz rectangular m n Definições 3 (Matriz linha e matriz coluna) Uma matriz n (m ) designa-sepormatriz linha (matriz coluna) e quando utilizada para representar um vector, designa-se por vector linha (vector coluna) Definições 4 ( Diagonal principal e secundária) Designam-se por elementos principais (elementos secundários) damatriza n =(a ij ) todososseuselementos em que i = j (i + j = n +), os quais estão dispostos ao longo da primeira diagonal ou diagonal principal (segunda diagonal ou diagonal secundária) 3

4 Exemplo 5 Considere a matriz A = Os elementos da diagonal principal são {, 6,, 6} e os da diagonal secundária são {4, 7, 0, 3} Definição 6 (Matriz triangular) Uma matriz A n =(a ij ) designa-se por matriz triangular superior (inferior) quando todos os seus elementosabaixo(respectivamenteacima)dadiagonalprincipalsãonulos,istoé,i>j a ij =0(i <j a ij =0) Definições 7 (Matriz diagonal e escalar) Uma matriz A n =(a ij ) designa-se por matriz diagonal quando todos os seus elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, i 6= j a ij =0, e representa-se por A n = diag (a, a,,a nn ) Uma matriz diagonal designa-se por matriz escalar quando todos os seus elementos principais são iguais, isto é, A n = diag (λ, λ,,λ) Definição 8 (Matriz identidade) Uma matriz diagonal de ordem n com todos os elementos principais iguais a designa-se por matriz identidade de ordem n erepresenta-sepori n = diag (,,,) Exemplos 9 Considere as seguintes matrizes: A = B = C = i i 0 0 D = I 3 = i i i i A é uma matriz triangular superior, B é uma matriz triangular inferior, C = diag (, 6i, 0, i) éumamatriz diagonal, D = diag ( i, i, i, i) é uma matriz escalar e I 3 é a matriz identidade de ordem 3 4

5 Definição0(Igualdadedematrizes) Diz-se que A m n =(a ij ) é igual a B m n =(b ij ) eescreve-sea = B quando os elementos homólogos das duas matrizes forem iguais, isto é, i, j : a ij = b ij Exemplo As matrizes complexas A = a + bi i e B = 3i c +i a + bi = 3i a = b = 3 i = x + yi x = y = = c +i =i c =0 x+ yi i só serão iguais quando Exemplo Considere a matriz real A = a b 0 0 c 9 0 d + 0 e Determine os valores das constantes reais de forma que a matriz A seja uma: (a) matriz nula; (b) matriz triangular superior; (c) matriz triangular inferior; (d) matriz diagonal; (e) matriz identidade Resolução: a =0 a =0 (a) A = O 3 b =0 c 9=0 b =0 c =3 c = 3 d +=0 e =0 d = e = (b) Para a matriz ser triangular superior tem-se que a ij =0para i>j Assim, d +=0 d = Portanto, d = a, b, c, e R (c) Para a matriz ser triangular inferior tem-se que a ij =0para i<j Assim, b =0 a, c, d, e R 5

6 (d) Para a matriz ser diagonal tem-se que a ij =0para i 6= j Assim, b =0 d +=0 b =0 d = Portanto, b =0 d = a, c, e R a = a = a = (e) A = I 3 b =0 c 9= b =0 c = 0 c = 0 d +=0 e = d = e =3 3 Operações com Matrizes Definição 3 (Adição e subtracção de matrizes) A adição das matrizes A m n =(a ij ) e B m n =(b ij ),quesedenotapora + B, éumamatrizc m n =(c ij ) que se obtém adicionando os elementos da matriz A aos elementos homólogos da matriz B, istoé, C = A + B (c ij )=(a ij + b ij ) A subtracção das matrizes A e B, que se denota por A B, éumamatrizc m n subtraindo aos elementos da matriz A os elementos homólogos da matriz B, istoé, =(c ij ) que se obtém C = A B (c ij )=(a ij b ij ) Repare-se que a adição ou a subtracção de duas matrizes só está definida quando ambas as matrizes são do mesmo tipo, isto é, quando ambas as matrizes têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas Casocontrário,aadiçãoouasubtracçãodasmatrizesnãoestádefinida Exemplo 3 Considerem-se as matrizes A = +i e B = i i i Então A + B = +i + i +i i + = i i + i + i A B = +i i +i +i = i i i i =, i = +4i Propriedades 33 Sejam A m n, B m n ec m n quaisquer matrizes e O m n a matriz nula Atendendo à forma como foi definida, a adição de matrizes é comutativa: A + B = B + A; 6

7 é associativa: (A + B)+C = A +(B + C); admiteaexistênciadeelementoneutro:a + O = O + A = A; para cada matriz existe uma matriz A 0 tal que A + A 0 = A 0 + A = O, istoé, A m n =(a ij ), A 0 = A =( a ij ):A A = A + A = O Portanto, o conjunto M m n (K) de todas as matrizes m n, tem a estrutura de grupo abeliano ou grupo comutativo para a adição de matrizes Definição 34 (Multiplicação de um escalar por uma matriz) A multiplicação de λ K pela matriz A m n =(a ij ),quesedenotaporλa, éumamatrizc m n =(c ij ) que se obtém multiplicando todos os elementos da matriz A pelo escalar λ, istoé, C m n = λa m n (c ij )=(λa ij ) Exemplo 35 Se A = +i 3 i então i A = i +i 3 i = i i ( + i) i 3 i ( i) = i +i 3i Propriedades 36 Sejam A m n e B m n duas quaisquer matrizes, λ e µ dois quaisquer elementos do corpo K e K oelemento neutro da multiplicação do corpo K, vulgarmente designado por unidade do corpo K Atendendo à forma como foi definida a multiplicação de um escalar por uma matriz édistributivaemrelaçãoàadiçãodematrizes:λ (A + B) =λa + λb; édistributivaemrelaçãoàadiçãodeescalares:(λ + µ) A = λa + µa; é associativa em relação à multiplicação de escalares: λ (µa) =(λµ) A; admiteaexistênciadeelementoneutrodamultiplicaçãoporumescalar: K A = A ( R = C =) Definição 37 (Multiplicação de matrizes) O produto ou a multiplicação da matriz A m n =(a ij ) pela matriz B n p =(b jk ),quesedenotaporab, é uma matriz C m p =(c ik ) queseobtémmultiplicandoaslinhasdamatriza pelas colunas da matriz B, isto é, o elemento c ik do produto é a soma algébrica dos produtos dos elementos da linha i pelos correspondentes elementos da coluna k, ouseja, nx C m p = A m n B n p (c ik )=(a i b k + a i b k + + a in b nk ) c ik = a ij b jk Apartirdadefinição do produto de duas matrizes é fácil verificar que este só está definido quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, isto é, A m n B n p = C m p Uma vez A m n B n m = C m e B n m A m n = D n entãoparaqueab = BA é necessário que A e B sejam matrizes quadradas da mesma ordem, mas não é suficiente conforme é ilustrado no exemplo que se segue para as matrizes A e D j= 7

8 Exemplo 38 Considere as matrizes A =, B 3 = 0, D = 0 e E = i i Então: C 3 = AB = = + 0+ = B 3 A nãoestádefinido, porque o número de colunas da matriz B é diferente do número de linhas da matriz A C = AD = ( ) = + 0 = 0 0+ ( ) DA = 0 = 0 6= AD 0 0 EA = i 0 = i i = i 0 = AE 0 i 0 0 i 0 0 i As matrizes E e A verificam a igualdade EA = AE No exemplo verificou-se que AD 6= DA, o que permite concluir que: O produto de matrizes não é comutativo Definição 39 (Matrizes comutáveis) Duas matrizes A n e B n dizem-se permutáveis, comutáveis ou que comutam entre si quando AB = BA Propriedades 30 Sejam A, B, C e O quaisquer matrizes de dimensões apropriadas (O éamatriznula)eλ K Atendendo à formacomofoidefinida, a multiplicação de matrizes é associativa: (AB) C = A (BC); édistributivaàesquerda,emrelaçãoàadiçãodematrizes:a (B + C) =AB + AC; édistributivaàdireita,emrelaçãoàadiçãodematrizes:(b + C) A = BA + CA; é associativa em relação à multiplicação por um escalar: (λa) B = A (λb) =λ (AB); verifica A m n I n = A m n e I m A m n = A m n ; verifica A m n O n p = O m p e O p m A m n = O p n Uma vez que I n A n = A n = A n I n, então qualquer matriz de ordem n écomutávelcomi n 8

9 Definição 3 (Matriz idempotente) Seja A uma matriz de ordem n AmatrizA diz-se idempotente quando A = A 4 AmatrizA = 3 4 éidempotente Efectivamente A = = = A 3 3 Transposição Matrizes simétricas e matrizes ortogonais Definição 3 (Matriz transposta) Designa-se por transposição a operação que consiste em trocar as linhas pelas colunas de uma matriz A matriz que se obtém de A m n =(a ij ) trocando as linhas pelas colunas designa-se por matriz transposta de A e representa-se por A T,istoé,A T n m = aij 0 onde a 0 ij = a ji, i,j Exemplo 33 AtranspostadamatrizA = 3 é A T = T = Propriedades 34 (Transposição de matrizes) Se A m n =(a ij ),B m n =(b ij ) e λ K então: A T T = A; (λa) T = λa T ; (A + B) T = A T + B T Se A m n =(a ij ) e B n p =(b jk ) então (AB) T = B T A T Definições 35 (Matriz simétrica, anti-simétrica e ortogonal) Diz-se que A n é uma matriz: simétrica quando A T = A; anti-simétrica quando A T = A; ortogonal quando A T A = AA T = I n Exemplos 36 AmatrizA = i 0 i i i é simétrica pois AT = A 9

10 AmatrizB = 0 3 i i 4 0 é anti-simétrica pois BT = B AmatrizC = cos (α) sin (α) sin (α) cos(α) é ortogonal Efectivamente CC T = = = cos (α) sin (α) cos (α) sin (α) sin (α) cos(α) sin (α) cos(α) cos (α)+sin (α) sin (α)cos(α) cos (α)sin(α) cos (α) sin (α) sin (α) cos(α) cos (α) sin(α) sin (α) cos(α) T cos(α)sin(α) sin (α)cos(α) cos (α)+sin (α) = 0 = I 0 De forma análoga tem-se que C T C = I Observações 37 a d e As matrizes simétricas de ordem 3 são da forma d b f Defacto, e f c a a a 3 a a a 3 a = a A T = A a a a 3 = a a a 3 a 3 = a 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 a 3 = a 3 0 a b As matrizes anti-simétricas de ordem 3 sãodaforma a 0 c b c 0 Propriedade 38 Se A é uma matriz de ordem n entãoamatrizb = A + A T é uma matriz simétrica Demonstração: Com efeito, B T = A + A T T = A T + A T T = A T + A = A + A T = B, ou seja, A + A T é uma matriz simétrica Propriedade 39 Se A é uma matriz de ordem n entãoamatrizb = A A T é uma matriz anti-simétrica 0

11 Demonstração: De facto, B T = A A T T = A T A T T = A T A = A A T = B, peloqueseconcluiquea A T é uma matriz anti-simétrica Observe-se que uma matriz A de ordem n pode escrever-se na forma A = A + AT Tendo em conta as propriedades anteriores verifica-se que A + AT matriz anti-simétrica + A AT é uma matriz simétrica e que A AT éuma Propriedade 30 Se A é uma matriz de ordem n então A pode ser decomposta na soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica na forma A = A + AT Demonstração: + A AT Demonstração imediata, resultante das duas propriedades anteriores Propriedade 3 Sejam A n e B n duas matrizes simétricas A matriz AB é uma matriz simétrica se e só se A e B forem matrizes comutáveis Demonstração: Suponha-se que A n e B n são duas matrizes simétricas Então, a matriz AB é simétrica se e só se (AB) T = AB B T A T = AB BA = AB, pois A e B são simétricas, o que é equivalente a afirmar que A e B são matrizes comutáveis 3 Conjugação Matrizes transconjugadas e matrizes hermíticas Definição 3 (Matriz conjugada) Designa-se por conjugação a operação que consiste em substituir cada elemento da matriz pelo seu conjugado A matriz que se obtém de A realizando a operação de conjugação, designa-se por matriz conjugada de A e representa-se por A, istoé,a =(a ij ) Se A for uma matriz real verifica-se que A = A, uma vez que o conjugado de um número real é o próprio número Definição33(Matriztransconjugada) Designa-se por matriz transconjugada de A m n =(a ij ), que se representa por A,amatrizdefinida por A = A T = (AT ), isto é, a matriz que se obtém efectuando a operação de conjugação seguida da transposição ou vice-versa

12 Exemplo 34 Considere a matriz A 3 = i i +i i i A matriz conjugada de A é A = i i i +i i A matriz transconjugada de A é A = A T = i i i +i i T = i i +i i i Definições 35 (Matriz hermítica e anti-hermítica) Diz-se que uma matriz complexa A n é: hermítica ou hermitiana quando A = A; anti-hermítica ou anti-hermitiana quando A = A Exemplos 36 Éfácilverificar que: a c+ di as matrizes hermíticas de ordem são do tipo, coma, b, c e d números reais; c di b as matrizes anti-hermíticas de ordem são do tipo ai c + di com a, b, c e d números reais c + di bi Propriedades 37 (Matrizes transconjugadas) Se A m n =(a ij ),B m n =(b ij ) e λ K então: (A ) = A; (λa) = λa ; (A + B) = A + B ; Se A m n =(a ij ) e B n p =(b jk ) então (AB) = B A Propriedade 38 Se A é uma matriz complexa de ordem n então B = A + A é uma matriz hermítica Demonstração: Com efeito, B =(A + A ) = A +(A ) = A + A = A + A = B, ou seja, A + A é uma matriz hermítica Propriedade 39 Se A é uma matriz complexa de ordem n então B = A A é uma matriz anti-hermítica

13 Demonstração: Efectivamente, B =(A A ) = A (A ) = A A = (A A )= B, pelo que A A é uma matriz anti-hermítica Exemplo 330 Considere as seguintes matrizes A = 3 4,B= i 0 4 (a) Determine: i A + D T ; ii (DA) T C; iii ( + 3i) B T AD (b) A matriz E éidempotente? (c) A matriz CE é simétrica?,c= +i i 3 3i,D= 0 5 e E = (d) As matrizes C e E são comutáveis? (e) A matriz BB T é anti-hermítica? Resolução: (a) T i A + D T = = = 8 T ii (DA) T C = i i 0 3 3i 0 T 5 8 = i i 5 3 3i = 5 i i = 3 + i +i i 5 5 3i 3

14 iii ( + 3i) B T AD T =(+3i) i h i =(+3i) i h i =(+3i) +6i 7+8i h i h =(+3i) 7 8i i + i = 3 + 3i i 78 4i (b) E = EE = = = E, logoamatrize éidempotente (c) CE = +i i +i 4+i = Assim, 3 3i T (CE) T = +i 4+i = +i 3 +i 4+i 6= = CE, logoamatrizce não é i simétrica +i (d) CE = 4+i pela alínea anterior, 3 6 EC = +i i = 8+i 5i i 0 0 i Portanto, como CE 6= EC então as matrizes não são comutáveis T i 4 h i (e) BB T = i i = i i 4 = i 4 8i i 6 BB T = BB T T = i 4 i 4 8i 4 8i 6 BB T = T = i 4 i 4 8i = 4 8i 6 i 4 i 4 8i 4 8i 6 T = i 4 i 4 8i () 4 8i 6 i 4 i 4 8i () 4 8i 6 De () e () conclui-se que BB T 6= BB T,peloqueamatrizBB T não é anti-hermítica 4

15 4 Independência Linear e Característica de uma Matriz 4 Independência linear das linhas e colunas de uma matriz Definição 4 (Fraccionamento por linhas ou colunas) Diz-se que a matriz A m n =(a ij ) está fraccionada por linhas (por colunas) quandotiveraforma: L L ³ h i A m n = A m n = C C C n onde L m ³ L = a ³ a a n L = a a a n ³ L m = a m a m a mn, C = a a a m C = a a a m C n = As definições e propriedades seguintes são válidas tanto para linhas como para colunas a n a n a mn Definição 4 (Linhas linearmente independentes) Diz-se que as linhas L,L,,L m de A m n =(a ij ) são linearmente dependentes quando existirem escalares λ,λ,,λ m K, não todos nulos, tais que λ L + λ L + + λ m L m = O n, onde O n representa a linha nula Caso contrário as linhas dizem-se linearmente independentes, istoé, λ L + λ L + + λ m L m = O n λ = λ = = λ m =0 K A expressão λ L +λ L ++λ m L m,comλ,λ,,λ m K, designa-seporcombinação linear das linhas L,L,,L m Exemplos 43 3 Seja A = 0 As linhas L, L e L 3 são linearmente dependentes 3i i 4i Efectivamente, il + il L 3 = O 3,eportantoλ = i, λ = i e λ 3 = são soluções da equação λ L + λ L + λ 3 L 3 = O 3 Seja A = As linhas L e L são linearmente independentes pois 3 h i h i h i h i λ L + λ L = 0 0 λ + λ 3 = 0 0 λ +3λ =0 λ λ =0 λ =0 λ =0 5

16 Para as propriedades que se seguem considere-se, sem perda de generalidade, A m n =(a ij ) uma matriz fraccionada por linhas, L,L,,L m Propriedade 44 Se algum subconjunto das linhas L,L,,L m for linearmente dependente então todas as linhas o são Demonstração: Seja {,,k,m} uma outra ordenação dos índices das linhas de modo que as primeiras k linhas sejam linearmente dependentes Então existem escalares λ,λ,,λ k não todos nulos tais que kx λ i L i = O n Tomando λ k+ = = λ m =0, pode escrever-se i= kx λ i L i + i= mx mx λ i L i = O n λ i L i = O n, ( ) i=k+ i= donde se conclui que as linhas são linearmente dependentes pois existem λ,,λ k,λ k+,,λ m não todos nulos que verificam a equação ( ) Propriedade 45 Se alguma das linhas L,L,,L m for a linha nula, então as linhas são linearmente dependentes Demonstração: Sem perda de generalidade, suponha-se que a linha L k é a linha nula, isto é, L k = O n mx Então pode escrever-se λ i L i = O n, considerando λ k 6=0e os restantes λ i =0 i= Portanto, as linhas L,L,,L m são linearmente dependentes Propriedade 46 As linhas L,,L k,,l m são linearmente dependentes (linearmente independentes) se e só se as linhas L,,αL k,,l m com α 6= 0, forem linearmente dependentes (linearmente independentes) Demonstração: ( ) Suponha-se que as linhas L,,L k,,l m são linearmente dependentes Então existe, pelo menos um, escalar λ i (i =,,m) não nulo tal que λ L + + λ k L k + + λ m L m = O n Tendo em conta que α 6= 0, a igualdade anterior poderá ser ainda rescrita da seguinte forma: λ L + + λ k α (αl k)++ λ m L m = O n,paraalgumλ i 6=0 Pode assim concluir-se que, para α 6= 0, as linhas L,,αL k,,l m são linearmente dependentes ( ) Suponha-se que as linhas L,,αL k,,l m são linearmente dependentes, com α 6= 0 6

17 Então existem escalares λ,,λ k,,λ m, não todos nulos, tais que λ L + + λ k (αl k )++ λ m L m = O n Donde λ L + +(λ k α) L k + + λ m L m = O n,paraalgumλ i 6=0 Assim as linhas L,,L k,,l m são linearmente dependentes Propriedade 47 As linhas L,,L j,,l k,,l m são linearmente dependentes (linearmente independentes) se e só se as linhas L,,L j + L k,,l k,,l m forem linearmente dependentes (linearmente independentes) Demonstração: ( ) Suponha-se que as linhas L,,L j,,l k,,l m são linearmente dependentes Então existem escalares λ,,λ j,,λ k,,λ m, não todos nulos, tais que λ L + + λ j L j + + λ k L k + + λ m L m = O n Tem-se então λ L + + λ j (L j + L k )++(λ k λ j ) L k + + λ m L m = O n,paraalgumλ i 6=0 Portanto, as linhas L,,L j + L k,,l k,,l m são linearmente dependentes ( ) Suponha-se que as linhas L,,L j + L k,,l k,,l m são linearmente dependentes Então existem escalares λ,,λ j,,λ k,,λ m, não todos nulos, tais que λ L + + λ j (L j + L k )++ λ k L k + + λ m L m = O n Assim λ L + + λ j L j + +(λ k + λ j ) L k + + λ m L m = O n,paraalgumλ i 6=0 Logo as linhas L,,L j,,l k,,l m são linearmente dependentes Propriedade 48 As linhas L,,L j,,l m são linearmente dependentes (linearmente independentes) se e só se as linhas L,,L j + α L + + α j L j + α j L j+ + + α m L m,,l m, com α,α,,α m K, forem linearmente dependentes (linearmente independentes) Demonstração: Consequência imediata das propriedades 46 e 47 Propriedade 49 As linhas L,L,,L m são linearmente dependentes se e só se existir pelo menos uma das linhas que seja combinação linear das restantes Demonstração: A demonstração fica como exercício Recorde novamente que as propriedades supracitadas são também válidas para as colunas da matriz 7

18 4 Característica de uma matriz Definição 40 (Característica de uma matriz) Designa-se por característica da matriz A e representa-se por car (A) ou r(a), onúmeromáximodelinhas (ou colunas) linearmente independentes Definição 4 (Matriz escalonada por linhas) Diz-se que a matriz A está na forma escalonada por linhas ou na forma de escada de linhas quando tiver as seguintes características: se houver linhas nulas, elas situam-se abaixo das linhas não nulas oprimeiroelementonãonulodecadalinha(comexcepçãodaprimeira)situa-seàdireitadoprimeiroelemento nãonulodalinhaanterior Éfácilverificar que numa matriz na forma escalonada por linhas, os elementos que se situam abaixo do primeiroelementonãonulodecadalinha(comexcepçãodaúltima)sãotodosnulosoprimeiroelementonão nulo de cada linha designa-se por pivot ou elemento redutor Exemplos 4 As seguintes matrizes estão na forma escalonada por linhas {} 3 {} 3 4 A = 0 {5} 0 6, B = 0 {4} 5, {7} {} 3 4 {} 3 C = 0 {5} 0 6 e D = 0 {4} {6} Observação 43 As chavetas nas matrizes do exemplo anterior assinalam os pivots Tendo em conta a forma de uma matriz escalonada por linhas, é fácil verificar que: Teorema 44 Se a matriz A está na forma escalonada por linhas, então a sua característica é igual ao número de pivots Definição 45 Designam-se por operações elementares sobre linhas (colunas) de uma matriz A, as seguintes operações: atrocadalinha(coluna)i pela linha (coluna) j denota-se por L i L j (C i C j ) a multiplicação da linha (coluna) i por um escalar α 6= 0denota-se por L i αl i (C i αc i ) a adição aos elementos da linha (coluna) j de α vezes os elementos correspondentes da linha (coluna) i, denota-se por L j L j + αl i (C j C j + αc i ) 8

19 Teorema 46 A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriz não é alterada por qualquer uma das operações elementares Demonstração: Consequência imediata das propriedades 46 e 48 da secção anterior (página 6) O resultado seguinte é uma consequência imediata do teorema anterior Teorema 47 Se B é uma matriz que se obtém de A usando operações elementares então car(b) =car(a) 5 Condensação de Gauss Definição 5 (Condensação de uma matriz) Designa-se por condensação de uma matriz, o processo que consiste em realizar sucessivas operações elementares sobre a matriz, de forma a obter a sua forma escalonada por linhas A condensação feita por linhas designa-se por condensação horizontal A condensação feita por colunas designa-se por condensação vertical Exemplo 5 A condensação da matriz A = 3 0 A = pode ser efectuada do seguinte modo: 3 3 L L L 3 L 3 L L 4 L 4 L {} 0 0 { } 0 0 {} L L L L 3 L 3 L L 4 L 4 +L Como a forma escalonada da matriz A tem 3 pivots então car(a) =3 No exemplo anterior a condensação foi realizada usando o primeiro elemento da primeira linha para eliminar todos os elementos da primeira coluna abaixo dele, em seguida, foi usado o elemento não nulo da segunda linha para anular todos os elementos da segunda coluna abaixo dele, e assim sucessivamente, até se obter a matriz na sua forma escalonada por linhas 9

20 Efectuar operações elementares sobre linhas de uma matriz corresponde a multiplicar à esquerda a matriz, por determinadas matrizes especiais, designadas por matrizes elementares, conforme é mostrado nas seguintes propriedades Para as propriedades que se seguem, considere-se A m n =(a ij ) definida por: A = a a i a j a n a i a ii a ij a in a j a ji a jj a jn a m a mi a mj a mn Propriedade 53 Efectuar a troca das linhas L i e L j (L i L j )éomesmoquemultiplicaràesquerdaamatriza pela matriz P ij definida por: P ij = , isto é, a matriz P ij éamatrizqueobtémapartirdamatrizi n de ordem m (I m ), trocando as suas linhas i e j Demonstração: Com efeito, P ij A m n = a a i a j a n a j a ji a jj a jn a i a ii a ij a in a m a mi a mj a mn 0

21 Propriedade 54 Multiplicar a linha L i pelo escalar α 6= 0(L i αl i ), é o mesmo que multiplicar à esquerda a matriz A pela matriz E ii(α) que se obtém a partir da matriz I m multiplicando a sua linha i pelo escalar α, istoé, E ii(α) = α Demonstração: Com efeito, E ii(α) A m n = a a i a j a n αa i αa ii αa ij αa in a j a ji a jj a jn a m a mi a mj a mn Propriedade 55 Substituir na matriz A asualinhal j por L j + αl i (L j L j + αl i ), com α K é o mesmo que multiplicar àesquerdaamatriza pela matriz E ij(α), que se obtém a partir da matriz I m substituindo a sua linha j pela sua soma com a linha i multiplicada por α, isto é, E ij(α) = α

22 Demonstração: Com efeito, E ij(α) A m n = a a i a j a n a i a ii a ij a in a j + αa i a ji + αa ii a jj + αa ij a jn + αa in a m a mi a mj a mn Exemplo A condensação da matriz A = 4 pode ser efectuada do seguinte modo: A = = L L {z } {z } {z } A P A = L L {z } {z } {z } A E ( A ) = L 3 L 3 L {z } {z } {z } A 3 E 3( ) A = L 3 L 3 L {z } {z } {z } A 4 E 3 ( ) A 3 Como se pode verificar: E 3 ( )E 3 ( )E P = A 4

23 6 Inversa de uma Matriz Definições 6 (Matriz invertível, inversa e não invertível) Uma matriz A de ordem n diz-se invertível, regular ou não singular quando existir uma matriz X de ordem n tal que AX = I n e XA = I n (3) AmatrizX designa-se por inversa da matriz A e representa-se por A Uma matriz que não admita inversa designa-se por matriz singular, não regular ou não invertível Observações 6 Só as matrizes quadradas admitem inversa Mas nem todas as matrizes quadradas são invertíveis! Note que, se existir uma matriz que satisfaça uma das igualdades de (3) então também verificaaoutra igualdade Assim, para determinar a inversa de uma matriz A ésuficiente encontrar uma matriz que satisfaça uma das igualdades de (3) A demonstração deste resultado será realizada na observação 64 na página 6 Exemplo 63 ParaamatrizA = será que existe uma matriz X = x y tal que AX = I? 3 z w Uma vez que AX = I x y = 0 x + z y+ w = 0 3 z w 0 x +3z y +3w 0 x + z = x =3 x +3z =0 y = y + w =0 z = y +3w = w = então X = 3 Como XA = 3 = 0, conclui-se que A éinvertívelelogoa = Proposição 64 Se A n for uma matriz invertível então a sua matriz inversa é única 3

24 Demonstração: Suponha-se que X n e Y n são duas matrizes inversas da matriz A n Apartirdadefinição de matriz inversa, pode concluir-se que A n X n = X n A n = I n e A n Y n = Y n A n = I n Tendo em conta que Y n A n X n = Y n (A n X n )=Y n I n = Y n e Y n A n X n =(Y n A n ) X n = I n X n = X n, então Y n = X n, pelo que a inversa da matriz de A éúnica Propriedade 65 AmatrizI n é invertível e (I n ) = I n Demonstração: Imediata, a partir da definição de matriz inversa Propriedade 66 Se A n = diag (a,a,,a µ nn ) é uma matriz diagonal com elementos principais todos não nulos, então A n é invertível e A = diag,,, a a Demonstração: a nn A demonstração fica como exercício Propriedade 67 Se A n é uma matriz invertível então A é invertível e A = A Demonstração: Imediata, a partir da definição de matriz inversa Propriedade 68 Se A n é uma matriz invertível e α K um escalar não nulo então αa n é invertível e (αa) = α A Demonstração: Para demonstrar que α A éainversadeαa, multiplicam-se ambas as matrizes e verifica-se que o produto é igual a I n Assim µ µ (αa)(αa) =(αa) α A = α α AA = AA = I n Portanto, αa éinvertívele(αa) = α A Propriedade 69 Se A n e B n sãoduasmatrizesinvertíveisentãoamatrizab é invertível e (AB) = B A 4

25 Demonstração: Para demonstrar que B A éainversadeab, multiplicam-se ambas as matrizes e verifica-se que oprodutoéigualai n De facto, (AB) B A = A BB A = AI n A = AA = I n, pelo que AB éinvertívele(ab) = B A Propriedade 60 Se A n é uma matriz invertível então, para k N, amatriza k é invertível e A k = A k Demonstração: Aplicando a propriedade anterior sucessivamente consegue provar-se que A k = A k De facto A k = A A {z A } = AAA {z } = A AA {z } A = AAA {z } k vezes k vezes k vezes k vezes = A AA {z } k vezes A A = = A A {z A } = A k, k vezes donde se conclui que A k éinvertívele A k = A k A Propriedade 6 Se A n é uma matriz invertível então a matriz A T é invertível e A T = A T Demonstração: Sendo A uma matriz invertível então AA = I n Aplicando a operação de transposição de matrizes a ambos os lados da igualdade anterior obtém-se AA T = I T n A T A T = I n Logo, por definição de matriz inversa, conclui-se que A T éinvertíveleque A T = A T Propriedade 6 Se A n é uma matriz simétrica e invertível então A é uma matriz simétrica Demonstração: Com efeito, A T = A T pela proposição anterior e A T = A pois A é simétrica Logo, conclui-se que A T = A,ouseja,A é uma matriz simétrica Propriedade 63 Se A n é uma matriz complexa invertível então A é uma matriz invertível e (A ) = A 5

26 Demonstração: Sendo A uma matriz invertível então AA = I n Aplicando a operação de transconjugação de matrizes a ambos os lados da igualdade anterior obtémse AA = I n A A = I n Logo, pela definiçãodematrizinversa,conclui-sequea éinvertívele(a ) = A 6 Cálculo da inversa de uma matriz usando a condensação Comece-se por verificar que qualquer matriz elementar é uma matriz invertível Efectivamente: a operação elementar inversa de efectuar a troca das linhas L i e L j (L i L j ), consiste em trocar a linha L j com a linha L i,istoé,ainversadamatrizp ij é P ij a operação elementar inversa de multiplicar a linha L i pelo escalar α não nulo (L i αl i ), consiste em multiplicar a linha L i pelo escalar α,istoé,ainversadamatrize ii (α) é E ii α 3 a operação elementar inversa de substituir na matriz A a sua linha L j por L j + αl i,comα um escalar qualquer, (L j L j + αl i ), consiste em adicionar à linha L j a linha L i multiplicada por α, istoé, L j αl i elogoainversadamatrize ij (α) é E ij ( α) Observação 64 Suponha-se que é possível transformar a matriz A n, através de operações elementares sobre as suas linhas, na matriz I n IstoéomesmoquemultiplicarA n à esquerda por matrizes elementares Portanto existem matrizes elementares E,E,,E p (p N) tais que (E p E E ) A n = I n {z } X n Multiplicando a igualdade anterior pela matriz E E Ep,obtém-se E E E E p E p E p {z } I n p E p {z } I n E p E A = E E E A = E Ep p I n A = E Ep E p Multiplicando à direita a matriz A pela matriz X n = E p E E,obtém-se: A (E p E E )=E Ep E p E p E p E E = = I n {z } I n Conclui-se assim que, se existir uma matriz X n queéigualae p E E, tal que A n X n X n A n = I n pelo que X n éainversadamatriza = I n, então 6

27 Esta observação permite concluir que: Teorema 65 Se existir uma matriz X n que verifique uma das seguintes igualdades A n X n = I n e X n A n = I n, então A n é invertível e X n =(A n ) Seja A n uma matriz de ordem n Por aplicação de sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz A n é possível realizar-se o processo [A n I n ] [I n X n ] seesóseamatriza n for invertível Sendo A n invertível, X n = A Uma vez que o processo [A n I n ] [I n X n ] só é válido para matrizes A n invertíveis, e dado que as operações elementares não alteram a característica de uma matriz, então car (A n )=car (I n )=n É consequência imediata desta constatação o resultado seguinte Teorema 66 A n é invertível se e só se car (A) =n, istoé,a n éinvertívelseesóseasuacaracterísticaforigualàsua ordem Os teoremas anteriores referem que na prática, o que se faz para obter a inversa de uma matriz é o seguinte: colocam-se lado a lado as matrizes A n e I n (A n àesquerdaei n à direita), vão-se efectuando simultaneamente sobre as linhas de A n edei n as mesmas operações elementares, 3 quando do lado esquerdo se obtiver a matriz I n entãodoladodireitoestaráamatriza Exemplos 67 0 O cálculo da inversa da matriz A = 0 pode ser efectuado do seguinte modo: L L = L L L L L 3 L = L 3 L 3 L

28 = L L +L 3 L L L = Logo A = Seja A = O cálculo da sua inversa pode ser efectuado do seguinte modo: L L Logo A = L 3 L 3 L L L L 3 L L +L 3 L L L L 3 L 3 L L 3 L3 L 3 L 8

29 7 Equações Matriciais Conforme já se verificou inúmeras vezes, uma matriz pode ter elementos que dependam de incógnitas Qualquer equação que envolve matrizes com incógnitas é designada por equação matricial Para resolver equações matriciais recorre-se a procedimentos similares aos utilizados na resolução de equações de números reais No entanto, é necessário ter em atenção que o produto de matrizes não é comutativo, que não faz sentido falar em quociente de matrizes e que não é válida a lei do corte, isto é, AB = AC < B = C Deste modo, devem ter-se em conta as seguintes propriedades: Propriedades 7 Sejam A, B e C matrizes de dimensões apropriadas Se A = B então CA = CB (multiplicação à esquerda) Se A = B então AC = BC (multiplicação à direita) Para ilustrar as propriedades supracitadas e tendo em conta as propriedades da adição e multiplicação de matrizes, considere-se a resolução da seguinte equação matricial Sejam A n,b n e X n quaisquer matrizes Pretende resolver-se a equação matricial AX = B em que X é a matriz cujos parâmetros são incógnitas, assumindo que A admite inversa Para resolver esta equação matricial, multiplicam-se ambos os membros da equação à esquerda por A, com o objectivo de isolar a matriz X no primeiro membro Assim tem-se: AX = B A (AX) =A B (multiplicação à esquerda por A ) (A A)X = A B (propriedade associativa da multiplicação) IX = A B (definiçãodematrizinversa) X = A B (elementoneutrodamultiplicação) Observação 7 Não se pode misturar a propriedade da multiplicação à esquerda e a propriedade da multiplicação à direita Por exemplo, se AX = B então A (AX) 6= BA Exemplo 73 Sejam A, B, C e X matrizes com dimensões apropriadas Assumindo que existe a inversa da matriz A, pretende resolver-se a equação matricial A X T +C = B em que X é a matriz cujos parâmetros são incógnitas A X T + C = B A X T = B C A(A X T )=A(B C) (multiplicação à esquerda por A) (AA )X T = AB AC (propriedade associativa e distributiva da multiplicação) IX T = AB AC (definiçãodematrizinversa) X T = AB AC (elemento neutro da multiplicação) X =(AB AC) T (transpostadatransposta) 9

30 Exercícios Complementares Considere a matriz real A = a 0 a 0 a 0 (a) Determine para que valores de a, as linhas da matriz A são linearmente dependentes recorrendo: i à definição de independência linear; ii à sua característica (b) Justifique para que valores de a as colunas da matriz A são linearmente independentes (c) Considere a = i Escreva a matriz A na forma escalonada por linhas e indique a sua característica ii Analise a independência linear das linhas iii Determine a matriz inversa de A (d) Considere a = i Determine a característica de A ii Será a matriz A invertível? Justifique Resolução: (a) i Sejam λ, λ e λ 3 escalares reais λ L + λ L + λ 3 L 3 = O 3 h i h i h i h i λ a 0 + λ a 0 + λ 3 a 0 = (a ) λ λ + aλ 3 =0 (a ) λ 3 λ + aλ 3 =0 ( a) λ =0 ( a) λ =0 λ + λ 3 =0 λ = λ 3 λ 3 λ =0 λ 3 =λ ( a) λ =0 ( a) λ =0 λ = λ 3 λ = λ 3 λ 3 =λ Para a =0 a =,vem λ R, ou seja, as linhas são linearmente dependentes λ = λ 3 λ 3 =0 Para a 6= 0 a 6=,vem λ =0, ou seja, as linhas são linearmente independentes λ =0 30

31 ii Fazendo a condensação da matriz A : a 0 0 a A = a 0 0 a C C 3 a 0 0 a L 3 L 3 L 0 a 0 a 0 0, podemos concluir que as linhas de A são linearmente dependentes se e só se car(a) < 3=n, onde n é o número de linhas Assim car(a) < 3 quando a =0 a =e logo as linhas são linearmente dependentes para a = (b) Sejam λ, λ e λ 3 escalares reais λc + λ C + λ 3 C 3 = O 3 h i T h i T h i T h i T λ a a + λ 0 a 0 + λ3 0 = (a ) λ + λ 3 =0 λ 3 = (a ) λ λ +( a) λ =0 ( a) λ =λ aλ + λ 3 =0 aλ + λ 3 =0 λ 3 = (a ) λ λ 3 =0 ( a) λ =λ ( a) λ =0 aλ (a ) λ =0 λ =0 λ 3 =0 Para a =0 a =,vem λ R, ou seja, as colunas são linearmente dependentes λ =0 λ 3 =0 Para a 6= 0 a 6=,vem λ =0, ou seja, as colunas são linearmente independentes λ =0 (c) i A = L 3 L L L +L {} 0 0 {} 0 0 {} A característica da matriz A é igual ao número de pivots da matriz na forma escalonada por linhas, ou seja é igual a 3 ii Como car(a) =3=n, onde n é o número de linhas de A então as linhas de A são linearmente independentes iii L 3 L L L +L 3

32 Logo A = 0 0 (d) i A = L L L 3 L L L 3 L L +L L 3 L 3 L L 3 L 3 +L {} { } L 3 L A característica da matriz A é igual ao número de pivots da matriz na forma escalonada por linhas, ou seja, é igual a ii Pela alínea anterior, a car (A) =Comocar (A) =6= ordem (A) = 3 então a matriz A não é invertível Considere as seguintes matrizes reais A, B e C definidas respectivamente por: a A = a 5 a, B = e C = 0 0 a (a) DiscutaacaracterísticadamatrizA em função do parâmetro real a (b) Indique justificando se a matriz C é ou não ortogonal (c) Determine a solução da equação matricial C X = BB T + I 3 Resolução: (a) Condensação horizontal da matriz A: a a a a 5 a L L +L 0 6 a 0 8 L 3 L a 0 0 L 3 L 3 +L a a 0 8 L 3 L 3 3L 0 0 a 5 {z } A 0 Se a =0 a 5 = 0 a =0 a =5, a matriz tem característica igual a, umavezque: 3

33 0 para a =0tem-se que A 0 = para a =5tem-se que A 0 = L L L L 3 L L Se a 6= 0 5 a 6= 0 a 6= 0 a 6= 5, a matriz tem característica igual a 3 (b) A matriz C é ortogonal se e só se C T C = I 3 T C T C = = 5 6= I 3 0 = Portanto C não é ortogonal (c) C X = BB T + I 3 CC X = C(BB T + I 3 ) X = CBB T + C h i X = h i X = X = X = Sejam A, B, C e X matrizes invertíveis de ordem n Resolva as seguintes equações matriciais em ordem a X: (a) X T B T A T = C (b) AX + B T C T = A 33

34 Resolução: (a) X T B T A T = C X T A B T = C (transposta do produto) X A B T = C (transposta da soma) X A B = C T (transposta da transposta) X = A B + C T (b) AX + B T C T = A AX = A B T C T A AX = A h A C T B T T i (multiplicar à esquerda a equação matricial por A ) A AX = A A A C T B T T (distributiva da multiplicação em relação à adição) I n X = I n A C T B T T (definiçãodematrizidentidade) X = I n A C T B (transposta da transposta) 4 Sabendo que B é uma matriz invertível, prove que AB = B A se e só se AB = BA Resolução: Se B é uma matriz invertível então admite B Assim, AB = B A AB B = B AB (multiplicando a equação matricial à direita por B) AI = B AB (definiçãodematrizidentidade) BA = BB AB (multiplicando a equação matricial à esquerda por B) BA = IAB (definiçãodematrizidentidade) BA = AB 8 Sistemas de Equações Lineares 8 Definição e classificação Definição 8 (Sistema de equações lineares) O sistema formado por m equações lineares nas n incógnitas x,x,,x n,definido por: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b, a m x + a m x + + a mn x n = b m édesignadoporsistema de equações lineares 34

35 O sistema anterior pode também escrever-se na forma a a a n x b a a a n x b =, a m a m {z a mn } x n {z } b m {z } A X B ou ainda na forma matricial AX = B,onde A m n =(a ij ) designa-se por matriz dos coeficientes, X n = (x j ) éovector das incógnitas e B m =(b i ) o vector dos termos independentes Exemplo 8 x + y z + w = x y z + w = x + z w =0 3x y w = x y z w = 0 Definição 83 (Soluções do sistema) Designam-se por raízes ou soluções do sistema de equações lineares, os valores das incógnitas que satisfazem as equações do sistema AX = B Definição 84 (Sistema linear homogéneo) Designa-se por sistema linear homogéneo um sistema de equações lineares AX = O, ou seja, um sistema cujo vector dos termos independentes é o vector nulo Proposição 85 Todo o sistema linear homogéneo AX = O, comn incógnitas, admite pelo menos a solução x = x = = x n =0, designada por solução trivial ou solução nula Demonstração: Tendo em conta que A m n O n = O m pode concluir-se que o sistema AX = O admite pelo menos a solução pretendida x = x = = x n =0 Definição 86 (Classificação de sistemas) Seja AX = B um sistema de equações lineares Então o sistema diz-se: possível ou compatível quando admitir pelo menos uma solução, impossível ou incompatível quando não admitir qualquer solução, determinado quando a solução for única, indeterminado quando admitir mais do que uma solução 35

36 Assim, a classificação de sistemas pode resumir-se através do seguinte esquema: Determinado Sistema % & Possível Impossível % & Indeterminado Definição 87 (Sistemas equivalentes) Designam-se por sistemas equivalentes os sistemas de equações lineares que admitem a mesma solução Definição 88 (Matriz ampliada) Seja AX = B um sistema de equações lineares Designa-se por matriz completa ou ampliada do sistema e representa-se por [A B] amatriz [A B] = a a a n b a a a n b a m a m a mn b m 8 Método de eliminação de Gauss O método de eliminação de Gauss é baseado numa transformação do sistema de equações lineares dado, num sistema equivalente cuja matriz ampliada ficará na forma escalonada por linhas Tal eliminação corresponde a uma sequência de operações elementares sobre as equações do sistema Para encontrar a solução do sistema equivalente ao inicial, pode recorrer-se ao método de substituição começando este a ser resolvido a partir da última equação Proposição 89 O sistema de equações lineares AX = B transforma-se num sistema equivalente A 0 X = B 0,quandoseefectuam as seguintes operações elementares sobre as suas equações: troca de duas equações; multiplicação de uma equação por um escalar diferente de zero; substituição de uma equação pela sua soma com outra equação multiplicada por um escalar Método de eliminação de Gauss Seja AX = B um sistema de equações lineares O método de eliminação de Gauss: é usado na obtenção da solução, se existir, de um sistema de equações lineares; consiste em efectuar operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada [A B] deformaaobtera sua forma escalonada por linhas [A 0 B 0 ]; o sistema representado pela matriz [A 0 B 0 ], obtida pela condensação, é equivalente ao sistema representado por [A B] 36

37 Exemplos 80 Dado o sistema de equações lineares: x +y 3z =3 (S ): x y z =, 3x +y + z = 5 a sua resolução usando o método de eliminação de Gauss, pode ser feita do seguinte modo: condensação da matriz ampliada: L L L L 3 L L L L 3 3L =[A0 B 0 ] O sistema equivalente é definido por: x +y 3z =3 x +y 3z =3 x = x y z = 5y +5z =5 y = 4 3x +y + z = 5 6z = 8 z = 3 Deste modo, conclui-se que o sistema (S ) é possível e determinado, sendo o seu conjunto solução dado por {(, 4, 3)} Considere o sistema de equações lineares: x +4z =0 (S ): y = x + y +4z = Condensação da matriz ampliada: L 3 L 3 L L 3 L 3 L O sistema equivalente é definido por: x +4z =0 x =4z y = y = 0=0 Deste modo, conclui-se que o sistema (S ) é possível e indeterminado, sendo o seu conjunto solução dado por (x, y, z) R 3 : x =4z y = ª = {(4z,,z):z R} 37

38 3 Seja (S 3 ) o seguinte sistema de equações lineares: x y + z =3 (S 3 ): x y +4z = 4x +y + z = 5 Condensação da matriz ampliada: L L L L 3 L 3+L L 3 L 3 L O sistema equivalente é definido por: x y + z =3 3z = 0= Deste modo, conclui-se que o sistema (S 3 ) é impossível, sendo o seu conjunto solução dado pelo conjunto vazio 83 Discussão de sistemas de equações lineares Discutir um sistema é averiguar se ele é possível ou impossível No caso do sistema ser possível, verificar se é determinado ou indeterminado e, no caso de ser indeterminado, encontrar o grau de indeterminação, isto é, o número de incógnitas que podem variar livremente Seja AX = B a forma matricial de um sistema de equações lineares com m equações n incógnitas e designe-se por: [A 0 B 0 ] a forma escalonada por linhas da matriz ampliada [A B] do sistema; r = car (A) =car (A 0 ); 3 r 0 = car ([A B]) = car ([A 0 B 0 ]) Deve relembrar-se que a característica de uma matriz é igual ao número de pivots (primeiro elemento não nulo de cada linha) da sua forma escalonada por linhas Pelo facto de: em cada linha haver no máximo um pivot, em cada coluna haver no máximo um pivot, verificam-se as seguintes relações r m, r n, r 0 m e r 0 n +; r 0 = r ou r 0 = r +pois [A 0 B 0 ] tem mais uma coluna que A 0 38

39 Vamos discriminar todos os casos possíveis: Se r 0 = r + existe um pivot na coluna dos termos independentes B 0 Neste caso, o sistema é impossível pois existe uma equação do tipo 0=α, comα não nulo Se r = r 0 não existe pivot na coluna dos termos independentes B 0 e portanto não existe nenhuma equação do tipo 0=α, comα nãonulonestecasoosistemaépossível Se r = r 0 = n (neste caso terá de ser n m), em cada coluna da matriz A 0 existe um pivot, o que determinaumúnicovalorparacadaincógnita osistemaépossível e determinado Se m = r, não há linhas nulas em [A 0 B 0 ] Se m>r,hám r linhas nulas em [A 0 B 0 ] Se r = r 0 <n, existe pelo menos uma coluna da matriz A 0 sem pivot As incógnitas correspondentes a essas colunas funcionam como parâmetros, isto é, cada uma das outras incógnitas (que correspondem a colunas que têm pivot) pode exprimir-se em função destas, que podem variar livremente Neste caso, o sistema é possível e indeterminado Oseugrau de indeterminação é igual ao número de colunas que não têm pivot, isto é, n r Se m = r, não há linhas nulas em [A 0 B 0 ] Se m>r,hám r linhas nulas em [A 0 B 0 ] De uma forma resumida, a classificação de sistemas de equações lineares pode traduzir-se pelo seguinte esquema: Classificação de sistemas de equações lineares Sistema % & Possível se r = r 0 Impossível se r<r 0 % & Determinado se r = n Indeterminado se r<n Caso [r = r 0 = n =3] Sistema possível e determinado x + y z =3 x x y + z =0 y = x +y z =3 z Condensação da matriz ampliada: L L L L 3 L 3 L L L 3 39

40 L 3 L 3+3L O conjunto solução do sistema é S = {(, 0, )}, pois x + y z =3 x + y z =3 x = x y + z =0 y =0 y =0 x +y z =3 3z = 6 z = Caso [r = r 0 =< 4=n] Sistema possível e indeterminado: x x + y + z + w =0 y = 0 z w = 0 0 z w A matriz ampliada já se encontra condensada por linhas OconjuntoS das suas soluções é dado por: S = (x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w =0 z w = ª = (x, y, z, w) R 4 : z = w + y = x w ª = {(x, x w,w+,w):x, w R} Grau de indeterminação 3 Caso [r = n ==r 0 ou r = n =6= 3=r 0 ] Sistema possível e determinado ou impossível: x + y = x y =0, com a R x y = a Condensação da matriz ampliada: 0 L L L L a 3 L 3 L a 4 L 3 L 3 L a Se a =o sistema é possível e determinado, sendo a sua solução: x + y = x + y = x = 4 3 x y =0 3y = x y = a y = 0=0 3 Se a 6= o sistema não tem solução, ou seja, é impossível 40

41 4 Caso [r = r 0 =< 3=n ou r =6= 3=r 0 = n] Sistema possível e indeterminado ou impossível: x + y + z = a x z =0, com a R x + y = Condensação da matriz ampliada: a a 0 a a L L L L 3 L 3 L a 0 a 0 a L 3 L 3 L Se a =o sistema é possível e indeterminado, sendo S oconjuntodassuassoluçõesdadopor: S = (x, y, z) R 3 : x + y + z = y z = ª = (x, y, z) R 3 : x = z y = z ª = {(z, z, z) :z R} Grau de indeterminação Se a 6= o sistema não tem solução, ou seja, é impossível 5 Caso [r = r 0 =< 4=n ou r =6= 3=r 0 ] Sistema possível e indeterminado ou impossível: x + y + z + w = x y =0, com a R x + z + w = a Condensação da matriz ampliada: a a L L L L 3 L 3 L 0 0 a L 3 L 3 L Se a =o sistema é possível e indeterminado, sendo S oconjuntodassuassoluçõesdadopor: S = (x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = y z w = ª = (x, y, z, w) R 4 : x = y w = y z + ª = {(y, y,z, y z +):y, z R} Grau de indeterminação Se a 6= o sistema não tem solução, ou seja, é impossível 4