ASTRONOMIA DE POSIÇÃO TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO II TCC II

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1 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO II TCC II Edilsn Sampai d Nasciment Estudante d Curs de Licenciatura em Matemática Universidade Católica de Brasília Orientadr: Prf. Dr. Paul Eduard de Brit RESUMO Neste trabalh fram estudads s diverss tips de sistemas de crdenadas utilizadas na Astrnmia. Fi dad ênfase ns sistemas de crdenadas lcais e equatriais e cm transpr de um para utr. Também fi feit um pequen históric sbre s matemátics e sua influência na Astrnmia. 1. INTRODUÇÃO O estud d Univers, das cisas extraterrenas, sempre despertu a curisidade d hmem n decrrer da história. Nenhum utr ram d cnheciment tem estad, desde a antiguidade, tã ligad a desenvlviment d pensament human quant a Astrnmia. Esses cnheciments envlvem, alem da Matemática, as habilidades de fazer e interpretar bservações e uma grande dse de imaginaçã e criatividade. Desta maneira surgiu interesse em abrdar tema astrnmia e sua ligaçã cm a Matemática. Assim send, serã abrdads algumas técnicas de resluçã de sistema de crdenadas, em frmas matriciais, e também cm se passar de um determinad sistema para utr utilizand cálculs rápids e lógics. 2. HISTÓRICO Desde s temps mais antigs, já existiam pessas que se interessavam pela astrnmia. Pde-se destacar uma grande quantidade de matemátics que cntribuíram cm seu desenvlviment. Abaix, será citad alguns deles e suas cntribuições. 2.1.Na Grécia Antiga: Pr vlta de 700 a.c. até 300 d.c. pdems ntar que a Astrnmia na Grécia é um ds braçs da Matemática e só mais tarde se vltaria para a Física. Tales de Milet ( a.c.) Para ele a Terra era um disc plan em uma vasta extensã de água. Tales pôde prever um eclipse cm antecedência. Nesta épca, astrônm era um medidr de temp e um prfeta da entrada das estações climáticas e das fases da lua. Pitágras de Sams Fi um filósf greg nascid em Sams entre 592 e 572 a.c. e falecid entre 510 a 480 a.c. Fundu a escla de filsfia e ciências a sul da Itália. As terias desenvlvidas pels seus últims discípuls, freqüentemente, sã atribuídas a ele. Fi 1

2 primeir a ntar que a terra é esférica e nã plana, n centr de um univers esféric, cm rtaçã diária. Ele estudu mviment ds planetas. Ensinu ser númer, a essência de tdas as cisas e cmparu s períds celestiais cm s intervals musicais de Sams ( a.c.) Acreditava na esfericidade da Terra, da Lua e ds utrs astrs. Achava que s Planetas, Sl, e a Lua transprtads pr esferas separadas da que carregava as estrelas e fi primeira a chamar céu de Csms. Aristóteles de Estagira Filósf greg de enrme influência durante muits ans na Eurpa. Nasceu em 383 a.c. em Estagira, Macedônia, e mrreu em Cálcis, em 322 a.c. Fi tutr de Alexandre, Grande, e mais tarde prfessr em Atenas. Explicu que as fases da Lua dependem de quant da parte da Lua iluminada pel Sl está vltada para a Terra. Explicu também, s eclipses: um eclipse d sl crre quand a Lua entra na smbra da Terra. Afirmava que Univers é esféric e finit. Aristarc Fi um astrônm greg nascid na cidade de Sams, que viveu entre 310 e 230 a.c. Fi primeir a afirmar que a terra girava em trn d Sl, assim cm em trn de seu eix, quinze séculs antes de Cpérnic, pr causa diss fi acusad de perturbar descans ds deuses. Erastóstenes de Cirênia ( a.c.) Fi primeir a medir diâmetr da Terra. Ele ntu que na cidade egípcia de Siena, n primeir dia d verã, a mei-dia, a luz slar atingia fund de um pç, u seja, Sl estava incidind perpendicularmente a Terra em Siena. Já em Alexandria, situada a nrte de Siena, iss nã crria; medind tamanh da smbra de um bastã na vertical, Erastóstenes bservu que em Alexandria, n mesm dia e hra, Sl estava aprximadamente sete graus mais a sul. A distância entre Alexandria e Siena era cnhecida cm estádis. Um estádi era uma unidade de distância usada na Grécia antiga. A distância de estádis equivale à distância de cinqüenta dias de viagem de camel, que viaja a 16km/dia. Cm 7 graus crrespnde a 1/50 de um circul (360 graus), Alexandria deveria estar a 1/50 da circunferência da Terra a nrte de Siena, e a circunferência da Terra deveria ter 50 vezes estádis. Infelizmente, nã é pssível se ter certeza d valr usad pr Erastóstenes, já que s gregs usavam diferentes tips de estádis. Se ele utilizu um estádi equivalente à 1/6 de quilmetr, valr está a 1% d valr crret de Km. O diâmetr da Terra é btid dividind-se a circunferência pr π. Hiparc Fi um ds maires astrônms gregs, que viveu em Rdes n sécul II a.c.. Elabru primeir catálg estelar, determinu cmpriment d an trópic, tamanh e a distância da Lua e tentu fazer mesm cm Sl. Descbriu a precessã ds equinócis bem cm as irregularidades n mviment da Lua. Aperfeiçu instruments astrnômics. Os resultads de seu trabalh fram preservads n Almagest de Ptlmeu. Cláudi Ptlmeu Fi um astrônm, geógraf e matemátic alexandrin que viveu entre 90 e 160 d.c. Sua principal bra é Grande sistema astrnômic, em greg, que ficu cnhecid cm Almagest na versã árabe. A cntribuiçã mais imprtante de Ptlmeu fi uma representaçã gráfica d sistema slar. Nele, a Terra cupava centr d mund e tud mais girava em seu redr. Esse sistema fi inferid a partir da bservaçã d mviment diári aparente ds astrs. 2

3 2.2. N Renasciment Durante mais de mil ans, durante períd medieval, a ciência eurpéia teve muit puc desenvlviment. A astrnmia cntinuu se desenvlvend entre s árabes, de tal maneira, que fram eles que reintrduziram trabalh de Ptlmeu na Eurpa. Após 1500, cm renasciment cultural na Eurpa, pde-se bservar nasciment d métd científic na Física e na Astrnmia Niclau Cpérnic Fi um astrônm plnês nascid em Trum (hje Thrn) às margens d Vístula, em 19 de fevereir de 1473, e falecid em Frauenburg, em 24 de mai de Escreveu Sbre a Revluçã ds Orbes Celestes, nde sistema helicêntric é prpst de frma simples cm Sl n centr d sistema. Apesar da idéia nã ser ttalmente riginal, vist que Aristarc e Niclau de Cusa já a haviam inventad, Cpérnic fi primeir a dar uma frma cientifica a sistema helicêntric. Tych Brahe Fi um astrônm dinamarquês nascid a 14 de dezembr de 1546, em Knudstemp (Schnen) e falecid a 24 de utubr de 1601 em Praga. De rigem nbre, muit ced manifestu gst pela astrnmia. A psiçã de sua família fez cm que se cupasse ds astrs em segred. Sua primeira e mais imprtante bservaçã fi a descberta de uma estrela nva em nvembr de 1572, na cnstelaçã de Cassipéia, expsta n livr Sbre a Estrela Nva, de Nesse mesm an, rei da Dinamarca cnstruiu Observatóri de Uraniburg, na ilha de Hvenn (Suécia), nde Tych bservu durante vinte ans. Fi Tych quem primeir crrigiu suas bservações de refraçã e redigiu um catálg de estrelas. Em 1601, Kepler entru para a equipe de Brahe, cmeçand nessa épca a elabraçã das Tabelas Rdlfinas (1627). As bservações d mviment d planeta Marte (dez psições) efetuadas pr Brahe permitiram estabeleciment das três leis de Kepler, que refrmularam tda a astrnmia. Jhanes Kepler ( ) Após ler na Universidade s princípis de Cpérnic, trnuse um entusiástic defensr d helicentrism. Depis de ser expuls de uma escla secundaria em Graz, na Áustria, d seu pst de prfessr de Matemática e Astrnmia, fi trabalhar cm Tych Brahe em Praga. Quand Tych mrreu, Kepler herdu seu pst e dads, a cuj estud se dedicu pels vinte ans seguintes. Kepler cgitu que sl é que cntrlaria mviment de td cnjunt de planetas, mas nã chegu a cnseguir explicar prquê desse cntrle. Galileu Galilei Fi um físic italian nascid em Pisa, a 18 de fevereir de 1564 e falecid em Arcetri a 8 de janeir de Seu pai, músic Vicenz Galilei ( ), residente em Flrença, decidiu enviá-l para a Universidade de Pisa cm a idade de 17 ans, para estudar medicina. Em Pisa, jvem estudante apaixnu-se pelas matemáticas retrnand a Flrença, sem diplma, em Interessad pels estuds ds escrits de Arquimedes, inventu uma balança rmana hidrstática, assim cm elabru teremas relativs as centrs de gravidade ds sólids. Em 1588, cupu-se de estuds literáris sbre Dante, Tass e Arist. Seus cnheciments em matemáticas lhe valeram a indicaçã, em 1589, para prfessr em Pisa, apesar de sua psiçã às idéias aristtélicas. Tal psiçã lhe causu grandes dificuldades. Em cnseqüência, em 1592 fi brigad a deixar Pisa, pr uma cátedra em Pádua, nde permaneceu pr 18 ans. Depis de uma breve estada em Veneza, em 1609, Galileu vltu a Flrença em 1610, nde ficaria até 1631, quand se transferiu para Arcetri, 3

4 nde terminaria seus dias. Fi n períd vivid em Pisa que Galileu descbriu iscrnism das scilações d pêndul. Publicu várias bras: A mensagem das estrelas (1610), O ensaiadr (1623) Diálg sbre s maires sistemas d mund (1632). Isaac Newtn Fi mais ntável cientista inglês, nascid na cidade de Wlsthrp, em 25 de dezembr de 1642 (essa data está de acrd cm calendári julian, na épca em vigr na Inglaterra. N calendári gregrian, atualmente adtad, era na verdade dia 4 de janeir de 1643 quand Newtn nasceu). Seu pai, um pequen prprietári que nã sabia sequer assinar nme, havia mrrid três meses antes. Enviad para uma escla de Grantham, mstru-se de iníci um alun medícre e puc atencis. Após ganhar uma briga cm um utr clega de turma, pr acas um bm alun, jvem Newtn tmu a decisã de lutar pel primeir lugar em sua turma. Em 1660, entru para a Universidade de Cambridge, nde encntru matemátic Isaac Barrw, que lhe deu ótima frmaçã nas ciências matemáticas. Sua principal bra fi Princípis Matemátics da Filsfia Natural, na qual expôs a Lei da Gravitaçã e as três leis d mviment. Mrreu em 20 de març de 1727 (data d calendári julian). 2.3.Astrnmia de hje Ns últims 50 ans, s cnheciments da astrnmia cresceram bastante cm as nvas tecnlgias utilizadas, desde gigantescs raditelescópis até sndas enviadas as cnfins d sistema slar. Imaginad ns ans 40, prjetad e cnstruíd ns ans 70 e 80 e em funcinament desde 1990, Telescópi Espacial "Hubble" está revlucinand a Astrnmia, representand ns dias de hje aquil que a luneta de Galileu representu n sécul XVII. O Observatóri Astrnômic da Serra da Piedade vem acmpanhand trabalh d "Hubble" e ns primeir sábads de cada mês, dia em que bservatóri é abert a públic, vem sistematicamente apresentand as mais significativas descbertas d "Hubble" n mês anterir. Há inúmeras sndas que já fram enviadas a espaç para entendiment mais detalhad d sistema slar e, pr cnseqüência, d univers. Atualmente há prjet Cassini que já está em órbita a redr de Saturn e em janeir a snda menr, a Huygens, vai pusar em Titã, a mair lua de Saturn, mas desde já, esta snda Cassini-Huygens, enviam fts e dads sbre Saturn e Titã. Acredita-se que as cndições em Titã sã muit parecidas cm as encntradas ns primórdis da Terra, cm temperaturas quase sempre abaix de -179ºC e uma atmsfera dminada pr cmpsts de nitrgêni e carbn. Os cientistas da missã acreditam que a lua pssa ajudar a entender as cndições necessárias para a rigem da vida na Terra. 4

5 3. SISTEMA DE COORDENADAS A psiçã de um astr qualquer na Esfera Celeste pde ser definida, sem ambigüidade através de dis ânguls em relaçã a sistema de crdenadas adtad, que pr sua vez é definid a partir de um pnt central. A esclha precisa de um sistema de crdenadas ligad à Esfera Celeste vai depender, sbretud, da análise u prblema que se queira reslver. Para uma esfera (qualquer uma em princípi), s sistemas de referências utilizads sã definids pr um plan principal u fundamental que divide a esfera em duas partes iguais, definind-se assim um grande círcul. Definims arbitrariamente um pnt de rigem neste círcul principal, pr nde passa meridian principal, utr grande círcul perpendicular a grande círcul precedente. Para bservaçã de astrs, na astrnmia, precisams de um sistema universal, u seja, um sistema qual tds s astrônms pdem utilizar sem dúvidas, e para iss utilizarems chamad Crdenadas Astrnômicas u Crdenada Celeste. Crdenada Astrnômica nada mais é d que um arc de círcul, hrizntal u vertical que traçams na esfera celeste nde definims a psiçã de um astr qualquer n céu. Iss, tmand cm referência a Terra cm pnt central. As Crdenadas Esféricas sã definidas pr três crdenadas que definem um pnt sbre a superfície de uma esfera que é rai da esfera (r) e dis ânguls θ e φ, send que, rai, pr estarms cnsiderand sempre que tds s astrs estã na superfície da esfera celeste e que centr é a Terra, sempre tem a mesma distância, lg, basta definirms as crdenadas angulares. Existem váris tips de sistema de crdenadas. Tdas elas têm cm pnt central a Terra e prjeções na esfera celeste, prjeções essas chamadas de Grandes Círculs. Exempls de grandes círculs sã equadr, um meridian, a eclíptica 1. O que define e diferencia um sistema de crdenadas também sã s grandes círculs que sã chamads de plan fundamental de referência. Pr exempl, que usa equadr sã chamads de crdenadas equatriais. As crdenadas em uma esfera sã definidas através de um plan fundamental que crta a esfera em duas metades, passand pel centr (definind um circul principal u equadr) e um pnt arbitrári n equadr cm mstra a Figura 1. Através deste pnt traçase um utr grande círcul, perpendicular a equadr, definind-se assim meridian principal. Plans que crtam a esfera, mas nã passam pel centr definem s pequens círculs 1 A eclíptica é definida cm a circunferência imaginária crrespndente à trajetória aparente d Sl na esfera celeste. Figura 1: Esfera crtada cm s devids plans. 5

6 As distâncias medidas a partir d plan fundamental sã calculadas a lng de arcs de círculs perpendiculares a ele, dependend d sistema utilizad. Cada uma delas é lida em ânguls que variam de +90º e -90º, até nde s póls se situam, pis s póls ds sistemas pdem ser póls celestes nrte e sul, póls da eclíptica, zênite 2 e nadir 3 u entã póls da nssa Galáxia, chamad de póls galáctics. Os pequens círculs da esfera celeste paralels a círcul principal definem a latitude. Já s grandes círculs perpendiculares a principal definem a lngitude. Essas definições sã bem semelhantes às usadas pr nós para lcalizaçã de algum pnt na superfície terrestre. A psiçã de um pnt qualquer na esfera pde ser escrita de uma frma matricial: I cs( δ ) cs( λ) = cs( δ ) sen( λ) sen( δ ) nde δ e λ sã a latitude e a lngitude em um dad sistema de crdenadas e ignrand-se a crdenada radial r. Figura 2: Retirada das Ntas de Aula, Astrnmia de Psiçã de Gastã Bierrenbach Lima Net Crdenadas esféricas plares, λ e δ de um pnt (sistema dextrgir). r é rai vetr e R é a sua prjeçã n plan x y. Existem sistemas de crdenadas diferentes, send que dependend d prblema dad, pdems utilizar um u utr, n qual trará melhr a resluçã. Sã eles: 2 O zênite é pnt superir da esfera celeste, segund a perspectiva de um bservadr na superfície d astr nde se encntra u a interseçã da vertical superir d lugar cm a esfera celeste. É marc referencial de lcalizaçã de psições de bjets celestes. 3 O nadir é pnt inferir da esfera celeste, segund a perspectiva de um bservadr na superfície da d planeta é a prjeçã d alinhament vertical que esta sb s pés d bservadr à esfera celeste superir, lcalizada d utr lad da planeta e é pst a zênite. 6

7 Crdenadas Eclípticas; Crdenadas Galácticas; Crdenadas Hrizntais; Crdenadas Equatriais; Crdenadas Hrárias. 3.1.Sistema de Crdenadas Eclípticas O plan principal desse sistema é plan rbital da Terra em trn d Sl. Esse sistema é bem útil ns estuds de crps d Sistema Slar, cm na bservaçã de planetas, asteróides, já que a mairia desses crps está em órbita praticamente cplanares. As crdenadas utilizadas nesse sistema sã a lngitude da eclíptica, λ, e a latitude eclíptica, β. O pnt de rigem é pnt vernal 4. A latitude β é medida a partir da eclíptica, send psitiva em direçã d pól Nrte da eclíptica e negativa em direçã a pól Sul. A lngitude λ, assim cm a ascensã reta 5 é medida a partir d pnt vernal em direçã Leste. Cm mstra a Figura 3, astr M tem Figura 3: Sistema de crdenadas eclípticas. crdenadas lngitude eclíptica (λ) e latitude (β). A inclinaçã da eclíptica em relaçã a equadr celeste é ε que vale aprximadamente 23º Sistema de Crdenadas Galácticas O plan principal é definid pel plan d disc da Via Láctea 6, u seja, Equadr Galáctic. A rigem é dada pela direçã d centr galáctic, lcalizad na cnstelaçã de Sagitári. Esse sistema é útil ns estuds extragaláctics u em prblemas envlvend nssa galáxia. Na Figura 4, astr M tem crdenadas lngitude galáctica (l) e latitude (b). O pnt N é a intersecçã d plan galáctic cm equadr celeste ( nd), C.G. é a direçã d centr da 4 O Pnt Vernal é a psiçã d Sl a cruzar equadr celeste em 21 de març, u seja, n equinóci de primavera (para hemisféri nrte). Também é chamad de Primeir Pnt de Áries (quand fi definid, estava nesta cnstelaçã; hje, devid à precessã, encntra-se em Peixes). O Pnt Vernal é a rigem da cntagem da ascensã reta. 5 Ascensã Reta é ângul medid sbre equadr, cm rigem n meridian que passa pel pnt Áries e fim n meridian d astr. A ascensã reta varia entre 0h e 24h (u entre 0 e 360 ), aumentand para leste. 6 A Via Láctea é a galáxia nde está lcalizad Sistema Slar da Terra. É uma estrutura cnstituída pr cerca de duzents bilhões de estrelas (algumas estimativas clcam esse númer n dbr, em trn de quatrcents bilhões) e tem uma massa de cerca de um trilhã e 750 bilhões de massas slares. Sua idade está calculada entre treze e vinte bilhões de ans, embra alguns autres afirmem estar na faixa de quatrze bilhões de ans. 7

8 Galáxia (que fica na cnstelaçã de Sagitári) e i é a inclinaçã d plan galáctic em relaçã a equadr celeste. Figura 4: Sistema de crdenadas galácticas. 3.3.Sistema de Crdenadas Hrizntais O plan principal é definid cm plan que cntém hriznte d bservadr. Os dis ânguls que definem a psiçã de um astr qualquer dad sã a altura, h, e azimute 7, A. Figura 5: Sistema de crdenadas hrizntal. 7 O Azimute é a direçã medida em graus que se encntra um astr a redr de um bservadr. O azimute é medid n plan hrizntal e tem cm referencia 0 Nrte verdadeir. Para uma estrela u algum pnt terrestre. 8

9 Nesse cas, hriznte d bservadr deve ser definid crretamente, pis hriznte visível u aparente é sujeit a irregularidades tpgráficas, assim, nã definind necessariamente desta frma um grande círcul e, desta frma, nã servind cm base para definir um bm estud e, cnseqüentemente, um sistema de crdenadas. Assim send, definims hriznte astrnômic cm send grande círcul centrad n bservadr, perpendicular à sua vertical, descnsiderand s acidentes tpgráfics, send que a intersecçã desta vertical cm a esfera celeste dá rigem a zênite e a nadir. A altura de um astr qualquer dad é medida a partir d hriznte astrnômic, send psitiv quand astr estiver acima e negativ quand estiver a baix. Desse md, zênite tem uma altura de +90º e nadir de -90º. O azimute é, pr definiçã, medid a partir d meridian Nrte (0º) d bservadr e s ânguls sã cntads n sentid Leste (90º) Sul (180º) Oeste (270º). Cm mstra a Figura 5, astr M tem crdenadas h (altura) e A (azimute). Os póls deste sistema sã zênite e nadir. O azimute é medid a partir d Sul em direçã a Oeste, a lng d hriznte ( círcul principal neste sistema). A altura é psitiva em direçã a zênite e negativa em direçã a nadir. Também sã mstrads na figura s eixs cartesians x, y e z. Em frma matricial, tems: I cs( h) cs( = cs( h) sen( sen( h) Nesse sistema as crdenadas mudam cm temp decrrid, sbretud cm mviment diári da Terra. Cm iss, azimute de um astr sempre aumenta n decrrer d dia. 3.4.Sistema de Crdenadas Equatriais O plan principal desse sistema é a prjeçã da linha d equadr terrestre na esfera celeste, chamand-se assim de equadr celeste. Também as prjeções ds póls terrestres na esfera celeste definem s póls Nrte e Sul. A rigem desse sistema é a intersecçã d equadr celeste cm a eclíptica. Este pnt é definid cm equinóci vernal. A declinaçã 8, que adtarems cm δ, de um pnt M é a distância angular medida sbre meridian a qual passa pr este pnt a partir d equadr celeste. Na direçã d pól nrte celeste, δ > 0, cas cntrári a declinaçã é negativa. A ascensã reta, que chamarems de α, é ângul entre pnt vernal e meridian d pnt M, que é medid na direçã Leste. Neste cas, a 8 A declinaçã (δ) de um astr é arc d meridian d astr cmpreendid entre plan d equadr celeste e astr. Mede-se de 0º a 90º para Nrte u para Sul, send pr vezes representad cm um valr entre + 90º e 90º (psitiv representand Nrte e negativ Sul). É um ds valres angulares utilizadas para definir a psiçã de um astr num sistema de crdenadas equatriais, utr send ângul hrári u a ascensã reta. 9

10 ascensã reta cresce de maneira psta a azimute das crdenadas hrizntais e aumenta n sentid d mviment anual d Sl. Em frma matricial, tems: I cs( δ ) cs( α) = cs( δ ) sen( α) sen( δ ) Na Figura 6, astr M tem crdenadas ascensã reta (α) e declinaçã (δ). Atualmente, a inclinaçã d equadr celeste em relaçã à eclíptica é ε que vale aprximadamente 23º Neste cas, a ascensã reta e a declinaçã de uma estrela nã mudam devid a mviment Figura 6: Sistema de crdenadas equatrial. diurn da Terra, nã significand que neste sistema de crdenadas nã exista uma pequena variaçã cm temp, mas que é bem mais lenta d que n sistema de crdenadas hrizntais. 3.5.Sistema de Crdenadas Hrárias Esse sistema de crdenadas é bem semelhante a sistema de crdenadas equatriais. Nele, círcul principal também é a prjeçã d equadr terrestre na esfera celeste e as declinações sã medidas também da mesma maneira. A única diferença é que nesse sistema a rigem é centrada n meridian lcal d bservadr, cm n sistema hrizntal, e este ângul é chamad de ângul hrári, definid cm H. Nesse sistema é cm se fsse uma mistura d sistema de crdenadas hrizntais cm sistema de crdenadas equatriais. Enquant a ascensã reta nã varia devid a mviment diurn, ângul hrári varia. N cas, a relaçã entre as duas crdenadas está ligada a mviment diurn da rigem d Figura 7: Sistema de crdenadas hrári. 10

11 sistema de crdenadas equatriais, pnt vernal. A sma ds dis ânguls, a ascensã reta cm ângul hrári é: T s = H + α nde T s é temp sideral lcal u, em utra interpretaçã, T s também pde ser ângul hrári d pnt vernal. Em frma matricial, tems: I cs( δ ) cs( H ) = cs( δ ) sen( H ) sen( δ ) Na Figura 7, astr M tem crdenadas d ângul hrári (H) e declinaçã (δ). 4. RELAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS DE COORDENADAS Os váris sistemas de crdenadas pdem ser descrits em frma vetrial em crdenadas cartesianas. Iss facilita muit, pis as transfrmações entre dis sistemas quaisquer pdem ser decmpsts em rtações, nde pdems representar em frma de matrizes. Cntud, n cas de rtaçã em trn ds eixs cartesians, pdems cnsiderar uma rtaçã em duas dimensões, cm mstra a figura, nde a rtaçã se dá em trn d eix z: Figura 7: Rtaçã n plan de um ângul θ. As crdenadas d pnt P (Figura 7) se escrevem cm: x = cs( ϕ) x' = cs( ϕ θ ) = cs( ϕ) cs( θ) + sen( ϕ) sen( θ ) e y = sen( ϕ) y' = sen( ϕ θ ) = sen( ϕ) cs( θ ) cs( ϕ) sen( θ ) nde ϕ é ângul d rai vetr de P. Eliminand-se ϕ btêm-se as relações entre s dis sistemas de crdenadas. As rtações básicas a redr ds eixs x, y e z, cada uma cm valr angular α x, α y e α z sã dadas pelas matrizes ds cssens diretres: 11

12 R R R x y z = 0 csα x senα x 0 senα x csα x csα y 0 senα y = senα y 0 csα y csα z senα z 0 = senα z csα z Dad um par de crdenadas em um sistema qualquer, devems encntrar a u as rtações necessárias para transfrmá-las em um utr sistema de crdenadas, e nessas frmas, fica bem fácil achar essas rtações. De um md genéric, tems: I ( α, δ ) = Rx Ry Rz I ( l, b), nde devems utilizar as matrizes de rtaçã relevantes. 4.1.Transfrmaçã de Sistema de Crdenadas Equatriais para Hrizntais Essa passagem é um puc delicada, já que Sistema de Crdenadas Hrizntais pssuem um mviment diári. É mais cnveniente utilizar Sistema de Crdenadas Hrárias d que as crdenadas equatriais diretamente. Observand-se as figuras 5 e 7, tem-se que a passagem de um sistema para utr pde ser btida pr uma rtaçã em trn d eix cartesian y. Esta rtaçã é igual a cmplement da latitude, u seja, 90º - φ. Assim, tems: que resulta n seguinte sistema de equações: I ( H, δ ) = Ry ( (90º ϕ )) I( A, h), cs( H ) cs( δ ) = cs( cs( h) sen( ϕ) + sen( h) cs( ϕ) sen( H ) cs( δ ) = sen( cs( h) sen( δ ) = cs( cs( h) cs( ϕ) + sen( h) sen( ϕ) A transfrmaçã inversa, u seja, d Sistema de Crdenadas Hrizntais para Sistema de Crdenadas Equatriais se faz pela rtaçã n sentid cntrári: I ( A, h) = Ry (90º ϕ ) I ( H, δ ), 12

13 4.2.Exempl de Aplicaçã Será calculad a altura e azimute da estrela Aldebaran, alfa 9 da cnstelaçã de Tur, dad a sua ascensã reta e declinaçã. Para tal, é necessári a latitude e lngitude lcal, dia e hrári d an. Crdenadas equatrias de Aldebaran, retiradas d livr Urangrafia (MOURÃO, 1989) α = 4 hras, 35 minuts e 55,2 segunds = 4,599 hras (ascensã reta) δ = 16º = 16,509 (declinaçã) Estes valres sã razavelmente cnstantes durante uns 50 ans. As mudanças sã devid a mviment de precessã da Terra (um mviment cíclic d eix de rtaçã da Terra em trn de um eix perpendicular a plan da órbita da Terra e leva aprximadamente ans) Latitude e lngitude da UCB. Lngitude: -48º 02 = - 48,03 (negativ quer dizer a leste de Greenwich) Latitude: = -15,867 (negativ quer dizer a sul d equadr) O temp sideral, T S, é a psiçã d pnt vernal. O pnt vernal será igual a 0 a mei dia lcal d dia 21 de març (Instante em que a trajetória d Sl cruza plan equatrial). Entã para calcular n dia 01 de dezembr (256 dias após dia 21 de març) às 21h d hrári de verã (u seja 1 hras a mens que hrári nrmal) tems que T S é dad pr T s Lngitude lcal mens Meridian de referência hra lcal nrmal º ( 45 ) = 24h 12h + 21h 1h + 24h = 24.55h = 0.55h = 33min Psiçã d Pnt Vernal a mei dia em Greenwich Variaçã na UCB às 20h Usand a fórmula: tems que: T s = H + α H = Ts α = 24.55h 4.599h = 19.95h = 19h57min = Este é ângul hrári de Aldebaran vist da UCB n dia 1 de dezembr de 2007 às 21hras. Agra para passar para sistema de crdenas lcais, usams a relaçã I ( A, h) = Ry (90º ϕ ) I ( H, δ ) 9 Estrela Alfa é a estrela que tem brilh mais intens na cnstelaçã. 13

14 cs( h)cs( cs( ) cs( h)sen( = 0 sen( h) sen( ) cs( h)cs( 0,275 cs( h)sen( = 0 sen( h) sen( h) = 0,372 h = ,8365 tan( = = 2,08 A = ,402 sen( ) cs( δ )cs( H ) 0 cs( δ )sen( H ) cs( ) sen( ) δ ,4685 0, ,8365 = 0,8365 0,275 0,2842 0,372 Desta maneira, nas crdenadas lcais u hrizntais, a psiçã de Aldebaran às 21h d dia 1 de dezembr na UCB será 64,3 de azimute e 21,8 de altura. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Fi vist, através das pesquisas feitas, que muit antes da Astrnmia fazer parte da Física, já haviam matemátics que faziam bservações astrnômicas, utilizand-se assim de cálculs cmplicads, mas mesm assim suas bservações eram cm muita precisã e cm taxas de err mínimas, já que naquela épca nã existiam instruments tecnlógics tã avançads cm hje. Fi vist também que Sistema de Crdenadas é um estud simples de aplicaçã matemática de grande imprtância para a Astrnmia. Cm us da nssa tecnlgia e alguns sftwares matemátics dispníveis, cm cas d sftware Maple, fica simples a geraçã de um prgrama que, a ter s valres da lngitude e latitude lcal, azimute e a ascensã reta da estrela a qual quer fazer a bservaçã em um determinad dia, clca-se n prgrama e ele fará s devids cálculs para a transfrmaçã em Crdenadas Lcais u Hrizntais fazend-se s mesms cálculs e prcediments a qual fi feit. A aplicaçã dessa transfrmaçã facilita bastante a bservaçã, vist que nas Cartas Celestes, sistema de crdenadas utilizad é Equatrial, nde um bservadr teria que fazer muits ajustes n telescópi n decrrer da bservaçã. Essa transfrmaçã, para Sistema de Crdenadas Hrizntais, vist que nesse sistema, a ajusta telescópi, basta saber a latitude d bservadr. Cm estud ds sistemas e a aplicaçã prática, cnclui-se que é válid a análise feita e que é de grande prveit para a Astrnmia. 14

15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARANA, Jsé Miltn, Astrnmia de Psiçã. Dispnível em < > Acess em 20/04/2007 às 10:30. BRENNAN, Richard P.; BORGES, Maria Luiza Xavier de Almeida; MOTTA FILHO, Héli da; BARROS, Henrique Lins de. Gigantes da Física. Ed Revista Ri de Janeir: J.Zahar, 1998 DE BRITO, Betania Maria; DE ALMEIDA, Duglas Gmes. A Matemática na Astrnmia. Mngrafia ds aluns de 2004 d UniCEUB e FAET DF. GIOVANNI, Jsé Ruy. Matematica segund grau. 1ª ed. Sã Paul: FTD 1998 LIMA NETO, Gastã Bierrenbach, Astrnmia de Psiçã Dispnível em Acess em 20/04/2007 às 09:30. MOREIRA, Jã Luiz Khl. Pergunte a um Astrônm. Dispnível em < Acess em 15/10/2007 às 15:50. MOURÃO, Rnald Rgéri de Freitas, Urangrafia: descriçã d céu, Ri de Janeir: Francisc Alves Ed., 1989 OLIVEIRA FILHO, Kepler de Susa, SARAIVA, Maria de Fátima Oliveira. Astrnmia Antiga. Dispnível em < Acess em 15/10/2007 às 15:25. PEDRON, Ademar Jã. Metdlgia Científica: auxiliar d estud, da leitura e da pesquisa. 5ª ed. Brasília: Scala Gráfica e Editra, 2004 WIKIPÉDIA. Ascensã Reta. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/ascensã_reta> Acess em 15/10/2007 às 15:32.. Azimute. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/azimute> Acess em 15/10/2007 às 15:34.. Declinaçã. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/declinaçã> Acess em 15/10/2007 às 15:35.. Eclíptica. Dispnível em < pt.wikipedia.rg/wiki/eclíptica > Acess em 15/10/2007 às 15:30.. Nadir. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/nadir> Acess em 15/10/2007 às 15:30.. Pnt Vernal. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/pnt_vernal> Acess em 15/10/2007 às 15:31.. Via Láctea. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/via_láctea> Acess em 15/10/2007 às 15:33.. Zênite. Dispnível em <pt.wikipedia.rg/wiki/zênite> Acess em 15/10/2007 às 15:30. 15