Aplicação da Teoria de Valores Extremos à Actividade Seguradora

Uiversidade Técica de Lisboa Istituto Superior de Ecoomia e Gestão Mestrado em Ciêcias Actuariais Aplicação da Teoria de Valores Extremos à Actividade Seguradora Jeferio Mauel dos Satos Orietação Prof. Doutora Maria de Lourdes Caraças Ceteo Júri Prof. Doutora Maria de Lourdes Caraças Ceteo Prof. Doutora Maria Isabel Fraga Alves Prof. Doutor Alfredo Duarte Egídio dos Reis Outubro 3

RESUMO O objectivo pricipal deste trabalho é realçar a importâcia da Teoria de Valores Extremos a actividade seguradora. São apresetados de uma forma sucita algus dos pricipais resultados ligados a esta teoria. São apresetadas algumas estatísticas que possibilitam a simplificação do processo de recohecimeto de dados de cauda pesada. A modelação da cauda é um assuto de particular iteresse, são apresetados dois métodos de modelação da cauda, um pelo ajustameto de uma distribuição de Pareto Geeralizada, outro pela aplicação de um método semi-paramétrico adaptativo. No fim, os resultados obtidos por cada um dos modelos são itegrados como módulo um modelo de solvêcia. Palavras chave: Teoria de Valores Extremos, dados de cauda pesada, Distribuição de Pareto Geeralizada, estimação semi-paramétrica adaptativa, idemizações agregadas, modelo de solvêcia. 3

ABSTRACT The mai purpose of this dissertatio is to ehace the importace of Extreme Value Theory i the isurace sector. A short itroductio to the mai results iheret i this theory is preseted. Also, a set of statistics to simplify the recogitio process of heavy tailed data is provided. Tail modellig is a subject of particular iterest i this dissertatio, two approaches are preseted, oe by fittig a Geeralized Pareto Distributio, other by modellig by meas of a semi-parametric adaptive method. I the last part, the results of these approaches are itegrated as a module i a broader solvecy model. Keywords: Extreme Value Theory, heavy tailed data, Geeralized Pareto Distributio, semi-parametric adaptive estimatio, aggregate loss, solvecy model. 4

Ídice Prefácio 9 Agradecimetos Capítulo Teoria de Valores Extremos 3.. Algus Resultados Prelimiares 3.. Caracterização dos Domíio de Atracção 6.3. Distribuição de Pareto Geeralizada 7 Capítulo Aálise e Apresetação dos Dados 3 Capítulo 3 Modelação dos dados 37 3. Modelação pela Distribuição de Pareto Geeralizada 37 3. Abordagem semi paramétrica 44 3.. Estimação Sob Codição de Domíio de Atracção para Máximos 44 3.. Determiação do Nível Óptimo de k 48 3.3 Discussão de diferetes métodos 58 Capítulo 4 Teste de Solvêcia 6 4. Teste da Solvêcia 6 4. Modelação das Idemizações Agregadas 64 4.3 Discussão 7 Capítulo 5 Coclusão 77 Aexo I 79 Bibliografia 83 5

Lista de Figuras Figura.. Fuções de desidade das formas possíveis de (.) Fréchet e para a Weibull. [p. 6] H, com α = para a Figura.3. - Fuções de desidade das formas possíveis de G (.), para diferetes valores deξ, com β = e ν =. [p. 8] Figura. Comportameto dos siistros extremos verificados etre 993 e. [p. 3] Figura. No gráfico da esquerda estão represetadas a distribuição empírica e a distribuição de Pareto. O gráfico da direita tem a escala ampliada a cauda. [p. 33] Figura.3 Comparação com os quatis da distribuição de Pareto. [p. 33] Figura.4 - Fução de excesso médio empírico. [p. 34] Figura.5 - ( p) R para varios valores de p. [p. 35] Figura 3.. Valores de ξˆ, da DPG, para diferetes íveis de u. [p. 4] Figura 3.. Fução de distribuição ajustada aos excessos com u = 55. (à esquerda) e u = 6. (à direita). [p. 4] Figura 3..3 Fução de distribuição ajustada aos excessos com u = 55. (à esquerda) e u = 6. (à direita), com a cauda ampliada. [p. 4] 6

Figura 3..4 Comparação dos quatis dos excessos com as distribuições ajustadas com u = 55. (à esquerda) e u = 6. (à direita). [p. 4] Figura 3..5 No gráfico da esquerda estão represetadas a distribuição empírica e a distribuição ajustada com u = 55. e u = 6.. O gráfico da direita tem a escala ampliada a cauda. [p. 43] Figura 3..6 Comparação dos quatis com os da distribuição ajustada com u = 55. e u = 6.. [p. 44] Figura 3.. Horror Hill plot. [p. 49] Figura 3.. Resultados para diferetes valores de dado ξ, aux =, 765. [p. 53] Figura 3..3 Resultados para diferetes valores de ξ,aux. [p. 54] dado diferetes valores de Figura 3..4 Resultados para diferetes valores de, segudo a abordagem de Daielsso. [p. 56] Figura 3..5 No gráfico da esquerda pode-se observar a distribuição empírica e a distribuição ajustada, seguda a abordagem de Daielsso. O gráfico da direita tem a escala ampliada a cauda. [p. 57] Figura 3..6 Comparação dos quatis com os da distribuição ajustada segudo a abordagem de Daielsso. [p. 58] Figura 3.3. Comparação dos resultados fiais de diferetes estatísticas auxiliares. [p. 59] 7

Figura 3.3. Comparação dos quatis com os da distribuição ajustada em 3. com u = 55. e a distribuição ajustada segudo a abordagem de Daielsso. [p. 6] Figura 4.. Ecoomic Capital e a Solvêcia em termos esquemáticos. [p. 6] Figura 4.. Fução de Desidade (à esquerda) e Fução de Distribuição (à direita) da variação do Ecoomic Capital. [p. 63] Figura 4.. R ( p) das idemizações da classe A do Modelo e Modelo. [p. 68] Figura 4.. Fução de distribuição codicioada empírica das idemizações da classe A do Modelo e Modelo. [p. 68] Figura 4..3 Fuções de desidade (à esquerda) e de distribuição (à direita) de S ( ) ( ) ( ), Ŝ e Ŝ. [p. 7] ( ) S, Figura 4..4 Comparação dos quatis estimados de ( ) S, ( ) ( ) ( ) S, Ŝ e Ŝ. [p. 7] Figura 4..5 Comparação dos quatis das idemizações agregadas retidas. [p. 7] Figura 4.3. Comparação dos quatis dos valores simulados de () ( S e de ) S e os quatis dos métodos aproximados. [p. 75] 8

PREFÁCIO Pretede-se com o presete trabalho aalisar as idemizações relacioadas com acotecimetos extremos. São de particular iteresse os acotecimetos catastróficos que coduzem a idemizações de elevado motate, ão se reduzido a idemizações associadas a feómeos aturais ou desastres causados pelo Homem, mas também a idemizações ivulgares de acordo com o risco em causa. Uma modelação adequada das idemizações extremas é essecial para a actividade de uma Compahia de Seguros, dado que isso permitiria: - defiir um ível apropriado do prémio; - modelar adequadamete o resseguro; - determiar o ível do capital ecessário por forma a miimizar a probabilidade de isolvêcia. Uma modelação possível da severidade é o ajustameto de uma fução de distribuição às idemizações idividuais, como em Hogg et al.(984). Porém, essa abordagem, as idemizações de valor itermédio acabam por ter um peso determiate a 9

distribuição escolhida e o valor do parâmetro estimado, podedo coduzir a uma sub ou sobre estimação da cauda. Em muitos casos, depededo do risco em causa, é importate que se modele isoladamete a cauda da distribuição da severidade por forma a projectar, com maior precisão, os quatis elevados. Um dos objectivos pricipais desta dissertação cosiste em aplicar algumas das recetes abordages associados à Teoria de Valores Extremos, por forma a obter estimadores adequados para a cauda. No Capítulo são apresetados, de forma sumária, algus dos pricipais resultados da Teoria de Valores Extremos. Os dados, objecto de aálise esta dissertação, são apresetados e o seu comportameto estudado o Capítulo. No Capítulo 3 são abordados dois estimadores da cauda. Um baseado uma abordagem paramétrica, o outro, uma abordagem semi-paramétrica adaptativa. Na primeira parte do Capítulo 4 são discutidas algumas ideias sobre os testes de solvêcia. Na seguda parte, é modelado uma parte de um modelo de solvêcia aplicado os resultados obtidos o Capítulo 3, omeadamete, a parte relacioada com as idemizações agregadas e as idemizações agregadas retidas. O Capítulo 5, é reservado para a coclusão.

AGRADECIMENTOS À Prof. Doutora Maria de Lourdes Ceteo, do Istituto Superior de Ecoomia e Gestão. A sua orietação e sugestões em muito cotribuíram para uma melhor exposição de ideias e coceitos. À Ms. Ulrike Leyherr, do Alliaz Group. Pelo seu cotributo o forecimeto de dados que foram objecto de aálise. À Prof. Doutora Ivette Gomes, da Faculdade de Ciêcias da Uiversidade de Lisboa pelos textos getilmete facultados. À Alliaz Portugal, pelo estimulo e facilidades cocedidos. À Dra. Teresa Bratuas, resposável pela Direcção de Actuariado da Alliaz Portugal, e a todos os membros que compõem a sua equipa de trabalho. O seu apoio e icetivo foram importates. A todos aqueles que, dedicadamete, cometaram, criticaram e sugeriram ideias e opiiões. À miha família e aos meus amigos que acreditaram a coclusão deste trabalho.

CAPÍTULO Teoria de Valores Extremos Neste capítulo são apresetados algus dos pricipais resultados da Teoria de Valores Extremos. Os resultados mais importates, omeadamete, o Teorema de Fisher Tippett e as três distribuições de extremos são expostos a Secção. deste capítulo. Na Secção., são caracterizados os domíios de atracção. Seguidamete, a Secção.3. são discutidas algumas das propriedades da Distribuição de Pareto Geeralizada... Algus Resultados Prelimiares Seja X, X,... uma sucessão de v.a. i.i.d. com fução de distribuição F. Seja M o máximo de uma amostra aleatória de dimesão, i.e., ( X, X,..., X ), M = max. Os resultados que se apresetam os próximos parágrafos têm a ver essecialmete com o máximo da amostra, a medida em que, por um lado, o míimo assume uma meor importâcia a actividade seguradora, por outro, a coversão dos resultados a maior parte das vezes é quase imediata, atededo à seguite igualdade: 3

( X, X,..., X ) = max( X, X,..., ) mi X. A fução de distribuição (f.d.) exacta de M é F ( x), visto que Prob I i i. i= i= [ M x] = Prob [ X x] = Prob[ X x] = F ( x), x R ℵ, Seja { x R : F( x) < } x f = sup, o limite superior do suporte da f.d. F. Etão, q. c. M x f,, (.) dado que para x < x f [ M x] = F ( x) Prob., Equato, para x x f [ M x] = F ( x) Prob =. p Por coseguite, M x, e, dado que, M é ão decrescete em relação a, a covergêcia é quase certa. f Cotudo, este resultado ão é muito expressivo. É importate cohecer a magitude que o máximo de uma amostra de dimesão da Teoria de Valores Extremos. pode assumir. Esta é a pricipal preocupação Um dos objectivos desta teoria cosiste o estudo do comportameto dos máximos e dos míimos das amostras, procurado ecotrar aproximações para as suas distribuições. Isto é, aproximações de F ou de F, que desempehem um papel 4

semelhate ao da distribuição Normal o Teorema do Limite Cetral (TLC), como aproximação da distribuição da média da amostra. Para que tal aproximação seja possível, a expressão (.) sugere a ecessidade em trasformar M uma variável X, tal que c d = ( M d ) X. O Teorema de Fisher Tippett, também cohecido por Teorema dos Tipos Extremais, demostrado em 943 por Gedeko, é um dos resultados mais importates da Teoria de Valores Extremos. Teorema.. (Teorema de Fisher Tippett) Seja X, X,... uma sucessão de v.a. i.i.d. com fução de distribuição F e seja, para, M = max X, X,..., X. ( ) Se existir uma sucessão c de termos positivos, uma sucessão real de d e uma f.d. (). H ão degeerada tais que, para cada x, [ M c x + d ] = F ( c x + d ) H ( x) Prob, etão as úicas formas possíveis de H (.) são: Tipo I (Gumbel) H ( x) Λ( x) = { e x }, x R Tipo II (Fréchet) ( x) Φ ( x) Tipo III (Weibull) ( x) Ψ ( x) Dem. i Resick (987), p. 9-. exp ;, x, α > H α = ; α exp{ x }, x >, α > α { ( x) }, exp x <, α > H α =. x, α > 5

No gráfico seguite estão represetadas as fuções de desidade para as diferetes () formas possíveis de H.. -6, -4, -,,, 4, 6, Gumbel Fréchet Weibull Figura.. Fuções de desidade das formas possíveis de (.) Fréchet e para a Weibull. H, com α = para a Embora os três modelos se distigam etre si, existe uma relação matemática, pois: α Φα Λ X ~ l X ~ X ~ Ψα... Caracterização dos Domíio de Atracção Um dos tópicos mais importates em Teoria de Valores Extremos é a caracterização dos domíios de atracção para máximos. Cosiste o estabelecimeto das codições ecessárias e suficietes de F para pertecer a um determiado domíio de atracção e defiir os valores apropriados de c e d. 6

Defiição.. (Domíio de Atracção para Máximos) F pertece ao domíio de atracção de H para Máximos, e escreve-se F D(H ), se existir um par de sucessões c, d R tal que c d ( M d ) H. Teorema.. (Domíio de Atracção para Máximos) F pertece ao domíio de atracção de H para Máximos se e só se existir um par de sucessões c, R d tal que ( c x + d ) = H ( x) lim F l. O coceito da fução de variação regular é essecial para a caracterização do domíio de atracção das leis de Fréchet e de Weibull. Defiição..3. (Fução de Variação Regular) Uma fução U mesurável, R + R +, diz-se que é de variação regular o ifiito com ídice ρ, e escreve-se U RV ρ, se para x > : U U ( tx) () t ρ lim = x. t Uma fução U ( x ) diz-se que é de variação regular em zero se ( / x) regular o ifiito. U for de variação Defiição..4. (Fução de Variação Leta) ( ) + + Uma fução L x mesurável, R R, diz-se que é de variação leta se para x > : ( tx) () t L lim =. t L 7

Que ão é mais do que uma fução de variação regular com ídice zero. Se U RV ρ etão U ( x) / x RV. Defiido ρ ( ) ( ) ρ L x = U x / x tora-se possível represetar U ( x ) = x ρ L( x). Desta forma, a maioria das situações, basta cohecer as propriedades das fuções de variação leta para se cohecer as propriedades das fuções de variação regular. Teorema..5 (Propriedades das Fuções de Variação Leta) Se L( x) é uma fução de variação leta: x γ ( ) L( x) i. Para todo o γ >, L x e x γ, quado x ; ii. l L ( x) / l( x), quado x ; iii. A fução ( x) L () () L α, α R, é de variação leta. Se. e. forem fuções de variação leta, L L () + () () () iv.. e L L. são fuções de variação leta;. L v. Se ().. L quado x, etão ( (.)) L é de variação leta. L Defiição..6 (Fução Iversa) Seja H uma fução ão decrescete em R. Defie-se a fução iversa (cotíua à esquerda) de H como H ( y) = { s R : H ( s) y} if. (Assumido que o ífimo de um cojuto vazio é.) 8

Teorema..7 (Domíio de atracção de Φ α ) Uma f.d. F pertece ao domíio de atracção para máximos de Φ, α >, se e só se α F α ( x) x L( x) =, L RV. Se F D( Φα ), etão ode = F ( ) c. M d c Φ α, Dem. i Resick (987), p. 54-57. A lei de Fréchet é domíio de atracção de um cojuto de distribuições classificadas de δ cauda pesada, o setido de ( X ) = E para δ > α. A log-gamma, a Pareto ou a Burr, são algus dos exemplos de distribuições que pertecem a este domíio de atracção. Tratam-se de distribuições que possuem algum iteresse a modelação do valor das idemizações em algus ramos da actividade seguradora. Teorema..8 (Domíio de atracção de Ψ α ) Uma f.d. F pertece ao domíio de atracção para máximos de Ψ, α >, se e só se α α x < e F ( x ) = x L( x), L RV. f x f Se F D( Ψα ), etão ode c = x F ( ) f e f Dem. i Resick (987), p. 59-6. d ( M d ) Ψα c, d = x. 9

A lei de Weibull é domíio de atracção para máximos de algumas distribuições que têm limitado o lado direito do suporte, tais como, a Uiforme, a Beta, etre outras. São distribuições que assumem meor importâcia a actividade seguradora devido ao limite superior do suporte ser fiito. Para caracterizar o domíio de atracção para máximos da Gumbel, é ecessário itroduzir algus coceitos adicioais. Defiição..9 (Fução de Variação Rápida) + + Uma fução h mesurável, R R, diz-se que é de variação rápida, e escreve-se h RV, se h lim h ( tx) = ( ) x se t >, < t < x se. Teorema.. (Propriedades das Fuções de Variação Rápida) i. Seja h RV, ão crescete, para z > e α R e Para ii. Se h x z t α h () t dt < ( x) α + x h lim = ; x z =, o iverso também é válido. x t α h () t dt RV, existem as fuções c e δ tal que c ( x) (, ), ( x) = lim δ e para z >, c

O iverso também é válido. ( x) c( x) h ( u) x δ = exp du, x z. u z Defiição.. (Fução de variação- Γ ) Uma fução U, ão decrescete, diz-se de variação- Γ, e escreve-se U Γ, se estiver b) defiida um itervalo ( a,, se lim U ( x) =, e se existir uma fução f defiida b) em ( a, tal que, para qualquer x, x b U ( t + xf ( t) ) U () t x lim = e. t b A fução f chama-se fução auxiliar e é assitóticamete úica. Defiição.. (Fução de variação- Π ) Uma fução V, ão egativa e ão decrescete defiida um itervalo semi-ifiito ( z, ) diz-se de variação- Π, e escreve-se V Π, se existirem fuções a() t >, () t b R tal que para x > ( tx) b( t) a() t V lim = log x. t A fução a () t é assitóticamete úica. Teorema..3 (Domíio de atracção de Λ ) Uma f.d. F pertece ao domíio de atracção para máximos de Λ, se e só se x f ( F( x) ) ( F( t) ) f x x y dtdy lim =. x x f x f ( ()) F t dt x

Todos os itegrais evolvidos são fiitos. Nesse caso /( F( x) ) Γ possíveis para a fução auxiliar f e duas escolhas f () t = x f x f x y x f x ( F() t ) dtdy ( F() t ) dt ou f () t = x f x ( F() t ) ( F( x) ) dt e d ( /( F )) ( ) = c = f ( ) d são escolhas aceitáveis. Dem. i Resick (987), p. 48-5. A lei de Gumbel é domíio de atracção de um vasto cojuto de distribuições, ode iclui as distribuições de cauda ormal, ou moderadamete pesada, e as distribuições com o lado direito do suporte limitado. São disso exemplo a Normal, a Log-ormal (que ão é cosiderado pesada), a Gamma, a Bektader-I e a Bektader-II. Ao cotrário das leis de Frechét e de Weibull, ode as costates c e d podem ser obtidas de forma quase imediata, pelo Teorema..3, é possível verificar, que o caso da Gumbel, existe uma multiplicidade c e d. Isso deve-se à eorme variedade de distribuições que pertecem ao seu domíio de atracção.

As fuções de distribuição que têm como domíio de atracção a lei de Gumbel, possuem uma propriedade importate em relação aos mometos. Corolário..4 (Existêcia de Mometos) Dada uma v.a. X, com f.d. D( Λ) + [( X ) ] α < E para todo o > F e com x f =, etão F RV. Em particular, α, ode X + = (, X ) max. A seguda parte pode ser verificada pelo Teorema.. i. O cálculo de c e d é simplificado com o coceito que se segue. Defiição..5 (Equivalêcia de Cauda) Duas f.d.s F e G dizem-se que têm caudas equivaletes, se tiverem o mesmo limite superior do suporte, i.e., se x = e lim F ( x) G ( x) c, < c <. f x g / = x x f Teorema..6 Dadas duas f.d.s e G, seja e H duas distribuições de valor extremo. Seja F H F D( H ) e que F ( c x + d ) H ( x), com c > e d. Etão G ( c x d ) ( x) + H se e só se para algum c >, d R H = H ( cx + d ), F e G tiverem caudas equivaletes com suporte superior e se α d ( F( x) )/( G( x) ) c i. H = Φ α, etão = e lim ; = x α d ( F( x) )/( G( x) ) c ii. H = Ψ α, etão = e lim ; = x x f d c ( F( x) )/( G( x) ) = e iii. H = Λ, etão = e lim. Dem. i Resick (987), p. 68-7. x x f x f 3

No caso particular de F ser absolutamete cotíua, vo Mises ecotrou as codições de suficiêcia que permitem simplificar o processo de averiguação se ão, a um determiado domíio de atracção. F pertece ou Teorema..7 (Codições de vo Mises) Seja F uma f.d. absolutamete cotíua, f a sua derivada e x f o limite superior do seu suporte, etão, i. F D( Λ) se a. x +, f b. : '( x) <, x x,, x x f f [ ) c. () t ( F() t ) f () t f ' lim = ; t x f ii. ( α ) F D Φ se a. x = +, f b. () t F() t lim tf = α > ; t iii. ( α ) F D Ψ se a. x < +, f b. ( t) f () t x f lim = α >. t x f F () t Dem. i Resick (987), p. 63-66. Os dois próximos resultados estão essecialmete relacioados com distribuições discretas. 4

Teorema..8 (Codição Necessária) Se existir algum par c >, d R para a d.f. F ( x), tal que F ( c x d ) H ( x) + ode H ( x) assume uma das formas do Teorema.., etão, ( x + ) F( x) F( x) F lim =. x x f Dem. i Galambos (987), p. 84-85. Corolário..9 Seja X uma v.a. discreta, X e ( X = k) = pk + ℵ Prob. Se + lim p k + k j= k p j teder para zero, etão ão existem c >, distribuição ão degeerada. d R, tal que c ( M ) d covirja uma As três distribuições estáveis para extremos podem ser represetadas em uma úica forma paramétrica. Defiição.. (forma de Jekiso-vo Mises ou fução geeralizada dos valores extremos) Defie-se H ξ por H ξ ( x) exp = exp / ξ { ( + ξx) }, { exp{ x }, + ξx > x R ξ. ξ = Existem outros resultados importates em Teoria de Valores Extremos que se escreve de seguida. 5

Teorema.. (Caracterização de D ( H ξ )) Para ξ R as seguites codições são equivaletes i. F D( H ξ ) () ii. Existe uma fução a. positiva e mesurável tal que para + ξ x >, lim F ( u + xa( u) ) F ( u) = ( + ξx) / ξ, ξ x x x f e, ξ = (.) iii. Para x, y >, y, U lim s U ( sx) U ( s) ( sy) U ( s) ξ x ξ = y l x l y,, ξ ξ = Ao ii. pode ser atribuído uma iterpretação estatística rescrevedo X u lim Prob > x X u x f a( u) > u = ( + ξx) / ξ, ξ ξ = x e, (.3) que é a distribuição assitótica dos excessos em relação a um determiado ível ( ) elevado, u, com escala a u. Em (.3) utiliza-se o coceito de excesso que se formaliza do seguite modo. 6

Defiição.. (Fução de Distribuição Excesso e Fução Excesso Médio) Seja X uma v.a. com f.d. F com o lado direito do suporte x f. Para um ível u < x f fixo ( x) { X u x X u} F u = Prob >, x, é a f.d. excesso de X sobre o ível u. A fução é a fução excesso médio de X. ( u) = E( X u X u) e > Na actividade seguradora F u ( x) pode ser iterpretado por distribuição excess-of-loss..3. Distribuição de Pareto Geeralizada A seguite defiição é motivada pela importâcia do resultado da expressão (.3). Defiição.3. (Distribuição de Pareto Geeralizada) Defie-se G por ξ G ξ ( x) ( + ξx) = e x / ξ,, ξ ξ = ode x x / ξ,, se ξ. se ξ < É possível itroduzir os parâmetros de localização e de escala, G, substituido o ξ ; ν, β x por ( x ν )/ β, ν R e β >. No caso de ν =, G é substituído por. ξ ;,β G ξ ; β 7

No gráfico que se segue estão represetadas as fuções de desidade para diferetes valores de ξ.,,8,6,4, ξ= ξ=,5 ξ=,5 Figura.3. - Fuções de desidade das formas possíveis de G (.), para diferetes valores deξ, com β = e ν =. A Distribuição de Pareto Geeralizada (DPG) possui algumas propriedades de eorme iteresse. Teorema.3. (Propriedades da DPG) i. Se a f.d. de X for DPG com parâmetros ξ e β, etão, ( X ) < ξ < ; ii. Para qualquer R ξ, ( ) F D H ξ se e só se lim sup u x f < x< x f u ou seja, F ( x) Prob( X u > x X > u) G ( )( x) u F u ( x) G ( )( x) = ξ, β u, = ξ ; β u, f u x, x > ; E se e só se 8

iii. Se x ( ξ, β ) x, i =,, etão, D G ξ; β G ( x + x ) ( x ) ξ ; β = G ( ) ξ ; β + ξx x ou seja, a probabilidade de X exceder x + x uma vez que excede x, cotiua a ser uma DPG. Esta propriedade implica que a DPG é fechada, trata-se de uma propriedade de eorme iteresse os tratados excess-of-loss e stop-loss. iv. Seja ~ Poi( λ) N idepedete da sucessão i.i.d. X ~ G ξ ;β, seja aida ( ) M = max X, X,..., X N Prob ξ ode = βξ ( λ ), etão ξ µ e ψ = βλ. + x β /ξ ( M x) = exp λ ξ H ( x) N = Por outras palavras, as codições referidas ( x) atracção GEV. v. X ~ G ξ ;β, ξ <, etão para u < x f, e ( u) = E( X u X > u) M N ξ:µ,ψ Prob tem como domíio de σ + ξu =, β + u ξ >, ξ por coseguite, a fução de excesso médio é liear. Trata-se de uma propriedade com um eorme setido prático. Um dos problemas a modelização de DPG é a escolha do ível de u. Algus autores propõem a escolha de um ível de u a partir do qual, a fução de excesso médio empírica se comporta como uma fução liear, é um tema a ser aprofudado o Capítulo 3 deste trabalho. 9

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CAPÍTULO Aálise e Apresetação dos Dados Pretede-se, o presete capítulo apresetar e aalisar algumas técicas para cohecimeto do comportameto de dados de cauda pesada. É dada maior ateção às idemizações de elevado motate, sedo itroduzidos algus coceitos relevates. Os dados utilizados são retirados da carteira de seguros de daos patrimoiais de empresas de uma filial da Alliaz Group. O período de observação foi de --993 a 3-3- e todos os valores foram corrigidos para preços de. Apresetam-se de seguida algumas estatísticas dos dados em aálise. Média 645.9 Desvio Padrão.54.59 Míimo 3.9 º Percetil 3.877 º Quartil 78.33 Mediaa 7.39 3º Quartil 53.543 3

99º Percetil 5.855.98 Máximo 7.953.98 N 396 Através do quadro aterior é possível costatar a existêcia de um pequeo cojuto de idemizações de elevado motate. Na Figura., verifica-se que as idemizações de maior motate estão distribuídas regularmete ao logo do período, sem que apresetem alguma tedêcia a evolução das idemizações. Assim, parece razoável assumir a hipótese i.i.d.. Idemização 4...... 8.. 6.. 4.... --993 --994 --995 --996 --997 --998 --999 -- -- Figura. Comportameto dos siistros extremos verificados etre 993 e. Numa primeira aálise, os dados foram ajustados a uma distribuição de Pareto, a forma ( ) ( ) α de F x = β / x, x > β, β = 3, que é igual ao valor da fraquia, e α =,333, estimado pelo método de máxima verosimilhaça. Pela Figura., costata-se que a distribuição de Pareto tede a sobrestimar a cauda, aida que o ajustameto pareça relativamete bom para os valores itermédios. Esse 3

efeito tora-se mais evidete a Figura.3, que permite visualizar a difereça dos quatis estimados. A sobrestimação da cauda pode traduzir-se em custos fiaceiros, por exemplo, a determiação do prémio por layer um tratado de excess-of-loss a pagar à resseguradora ou em custos ecoómicos a determiação do ível adequado do capital da seguradora. F(x) Vs. F(x) F(x) Vs. F(x),9,8,995,7,6,99,5,4,985,3,,98, X em escala log,975 X em escala log Figura. No gráfico da esquerda estão represetadas a distribuição empírica e a distribuição de Pareto. O gráfico da direita tem a escala ampliada a cauda. Q-Q plot Dados Ordeados (em escala Log) Figura.3 Comparação com os quatis da distribuição de Pareto. 33

O cálculo do excesso médio empírico forece algumas ideias sobre o comportameto da cauda. Na Figura.4 está represetado ode {(, e ( u) ), X < u < X } u,, e ( u) i= = ( X u) i= I i { X > u} i + Excesso Médio Empírico 3E+7,5E+7 E+7,5E+7 E+7 5. 4 6 8 4 6 8 u Figura.4 - Fução de excesso médio empírico. Para os dados em aálise, a fução de excesso médio empírico é crescete com u. Esta costatação cofirma que a fução de distribuição empírica tem uma cauda pesada. Por outro lado, verifica-se que a fução excesso médio assume uma forma liear sesivelmete a partir de u = 55 ou de u = 6, idiciado que, a partir desses íveis, a cauda pode ser modelada com uma Distribuição de Pareto Geeralizada, como sugerido o Capítulo. Outra questão itimamete ligada ao comportameto da cauda, é a existêcia de mometos. Uma forma de averiguar a sua existêcia cosiste em calcular 34

ode, ( p) S = X... + ( p) ( p) M R ( p) =,, p, S p p p p + X e M ( p) max( X,..., X ) =. Se.. ( p) q c R p E ( X ) < ( p) P R E p ( X ) R I { X < x} R d ( p) Y ( p) P ( X > x) R, < α < ( p) P R P( X > x) R αp ode, Y ( p) é uma v.a. apropriada e ão degeerada. Iformação detalhada pode ser ecotrada em Embretchs et al. (997). Na Figura.5 estão represetados os R ( p) para vários valores de p. Verifica-se que, para >,5, lim R p ão tede para zero, idiciado a iexistêcia dos p ( ) mometos de ordem superior. R(p),,9,8,7,6,5,4,3,,, 5 5 5 3 p= p=,5 p= p=,5 p=3 Figura.5 - R ( p) para vários valores de p. 35

36

CAPÍTULO 3 Modelação dos dados Pretede-se, ao logo deste capítulo, modelar os dados apresetados o Capítulo 3 de acordo com as metodologias relacioadas com a Teoria de Valores Extremos, a fim de estudar com maior profudidade, o comportameto das idemizações extremas. Assim, a Secção 3., os dados são modelados por ajustameto de uma Distribuição de Pareto Geeralizada, seguido a metodologia apresetada em Embrechts et al. (997) e McNeil (997). Na Secção 3.. é apresetada uma abordagem semi-paramétrica, sedo itroduzido um método adaptativo, seguido as metodologias apresetadas em Daielsso et al. () e Gomes et al. () a Secção 3... No fial, a Secção 3.3. procede-se ao desevolvimeto da discussão sobre ambas as abordages. 3. Modelação pela Distribuição de Pareto Geeralizada Pretede-se esta Secção estudar o comportameto da cauda seguido uma abordagem paramétrica. Na abordagem paramétrica procura-se ajustar uma distribuição aos excessos, Y = X u, X > u, através da aplicação do resultado ii. do Teorema.3., ode se afirma: à medida que u, F ( x) Prob( X u > x X > u) G ( )( x) x f u =. ξ ; β u 37

A determiação do ível óptimo de u é essecial para este tipo de modelação. Ao cotrário do que acotece a abordagem semi-paramétrica, que é apresetada a Secção 3., aida ão existe ehum método adaptativo para a escolha do ível de óptimo de u, aceite de uma forma geeralizada. Na determiação do ível de u é ecessário ter em cota o seguite dilema: i. uma escolha do ível de u demasiado elevado, pode coduzir a uma maior variâcia as estimativas, a medida em que o úmero de observações que excedem u é reduzido; ii. ao passo que, uma escolha do ível de u demasiado baixo, pode origiar a um maior viés, além de ão se poder aplicar o ii. do Teorema.3.. No Capítulo foi sugerido uma forma de determiar o ível de u, que cosiste a escolha de um valor de X, à direita do qual, a fução de excesso médio empírica se assemelha a uma fução liear. Existem, o etato, situações em que o ível óptimo ão é evidete, sedo vários os íveis aceitáveis, como, por exemplo, os idiciados a Figura.4 para os dados em aálise. Na Figura.4, atededo ao úmero de observações e ao valor do ível em si, existem algus idícios de que o ível óptimo possa ser u = 55 ou u = 6. Os parâmetros ξ e β ( u) podem ser estimados pelo método de máxima verosimilhaça. Seja F uma Distribuição de Pareto Geeralizada com parâmetros ξ e β >, a fução de desidade f é f = + β x β ξ ( x) ξ, x D( ξ, β ). 38

ode D ( ξ, β ) = [, ), [, β / ξ ], ξ ξ < A fução log-verosimilhaça é l ξ ξ + β (( ξ, β );X ) = l β + l X. i= i Para ξ > /, é possível demostrar que / ξˆ ˆ β d ξ, N β (,M ),, ode, + M = ( + ξ ), ξ e ξˆ e βˆ são estimadores de máxima verosimilhaça. Por se preteder modelar a distribuição dos excessos de um determiado ível u, o vector X é substituído pelo vector Y, o vector dos excessos, e N por N, o úmero de observações que excederam u. u O estimador de ξ pode ser obtido após uma reparametrização. ( ξ β ) ( ξ, τ ) τ = ξ / β. Resultado, ξˆ = ξˆ (, max( ) τ : ( ) Y,...,Y Nu N u () τ = N l( τy ), u i= i N h τ u Y i = + + = ˆ() τ N u ξ τ i= τy. i,, ode 39

Na Figura 3... estão represetados os valores de ξˆ para diferetes íveis de u. Estão represetados também os itervalos de cofiaça bootstrap com 95% de cofiaça, com 5 réplicas. A partir da Figura 3.., é possível costatar que o valor de ξˆ é relativamete estável detro do itervalo (,6;,8).,,9,8,7,6,5,4,3,,, Figura 3.. Valores de ξˆ, da DPG, para diferetes íveis de u. O valor das estimativas estão apresetados o quadro seguite: u 55. 6. ξˆ,7439,7985 βˆ 43.8 4.63 u 898 73 Nos gráficos seguites estão represetadas as distribuições codicioadas e as respectivas fuções de distribuição empírica codicioada, para u = 6. u = 55 e 4

F u(x) Vs. GDP (u=55) F u(x) Vs. GDP (u=6),9,9,8,8,7,7,6,5,4 Empí r ica GDP,6,5,4 Empí r ica GDP,3,3,,,, y em escala log Y em escala log Figura 3.. Fução de distribuição ajustada aos excessos com u = 55. (à esquerda) e u = 6. (à direita). Os gráficos que se seguem têm a escala ampliada o setido de dar maior efoque à cauda. F u(x) Vs. GDP (u=55) F u(x) Vs. GDP (u=6),99,99,98,98 Empí r ica Empí r ica GDP GDP,97,97,96,96,95,95 y em escala log Y em escala log Figura 3..3 Fução de distribuição ajustada aos excessos com u = 55. (à esquerda) e u = 6. (à direita), com a cauda ampliada. Em ambos os modelos o ajustameto parece ser razoável. A mesma coclusão pode ser retirada pela observação dos gráficos Q-Q. 4

Q-Q Plot (U=55) Q-Q plot (u=6) 4 4 8 8 6 6 4 4 5 5 5 3 35 Excessos 5 5 5 3 35 4 45 5 Excessos Figura 3..4 Comparação dos quatis dos excessos com as distribuições ajustadas com u = 55. (à esquerda) e u = 6. (à direita). Após o ajustameto das fuções de distribuição aos excessos, através da distribuição de Pareto Geeralizada, é ecessário reparametrizar os modelos por forma a obter a F(x), ou seja, as distribuições ão codicioadas. Assim, Fˆ x u vˆ ˆ' β / ˆ ξ ( x) = + ˆ ξ, x u, ode ξˆ ˆ β N u vˆ = ˆ ξ e ˆ ξ ˆ β ' ˆ = β N u. Para x < u, o úmero de observações é relativamete elevado: 398 para u = 55 e 564 para u = 6 e a difereça etre duas estatísticas de ordem cosecutivas é pequea, o que leva a cosiderar que X pode ser modelado com a fução de distribuição empírica. 4

Nos gráficos seguites são represetadas as várias ( x) F para os dois valores de u. É igualmete represetada a distribuição de Pareto apresetada o Capítulo 3, como termo de comparação.,9,8,998,7,6,996,5,4,994,3,,99, x em escala log,99 x em escala log Dist. Emp u=55 u=6 Pareto Dist. Emp u=55 u=6 Pareto Figura 3..5 No gráfico da esquerda estão represetadas a distribuição empírica e a distribuição ajustada com u = 55. e u = 6.. O gráfico da direita tem a escala ampliada a cauda. O gráfico da esquerda sugere que o ajustameto de todos os modelos é aceitável. No gráfico da direita ode a escala é ampliada, verificam-se melhorias o ajustameto relativamete à distribuição de Pareto. As mesmas coclusões podem ser retiradas da Figura 3..6, ode estão represetados os gráficos Q-Q. Existe, em ambos os modelos, uma sobrestimação dos quatis em relação à distribuição empírica. Trata-se de um resultado esperado dado que um dos objectivos deste tipo de aálise, é a estimação dos quatis fora da amostra. 43

Q-Q plot F - (p) em escala log Dados Ordeados em escala log u=55 u=6 Pareto x Figura 3..6 Comparação dos quatis com os da distribuição ajustada com u = 55. e u = 6.. 3. Abordagem semi paramétrica Nesta Secção, a modelação da cauda da distribuição, segue uma abordagem semiparamétrica. Em 3.. é apresetada a ideia subjacete a esta abordagem. Na Secção 3.. é apresetado um algoritmo adaptativo para estimar a fracção óptima da amostra a utilizar. 3.. Estimação Sob Codição de Domíio de Atracção para Máximos Seja X, X,..., X uma sequêcia de v.a. i.i.d. de uma f.d. F D( Φ α ), tedo em cota o Teorema..7, a cauda da distribuição pode ser escrita da seguite forma: F α ( x) x L( x) =, x >, ode L é uma fução de variação leta. 44

Por outro lado, atededo ao Teorema.., se F D( H ξ ) etão ( c x + d ) = H ( x) lim F l ξ. Seja u = c x + d, a expressão em cima pode ser rescrita do seguite modo / ξ u d F ( u) + ξ. c Desta forma o estimador da cauda é F ( u) = ˆ ˆ u d + ξ cˆ ~ / ξ com estimadores adequados de ξˆ, c ˆ e dˆ. A estimação de ξ é baseada as k maiores estatísticas de ordem, e é desevolvida a Secção 3.. com maior profudidade. A dimesão de k deve satisfazer duas codições: k ( ) e / k( ), que pode ser iterpretada da seguite forma: o úmero de estatísticas de ordem deve ser suficietemete elevado, cotudo, há que ter em cota que apeas a cauda é aalisada. Uma escolha adequada do valor de k permite obter algumas propriedades como a cosistêcia e a ormalidade assitótica do estimador. Em relação aos estimadores de c ˆ e relativamete ao apresetado o Teorema..7, ode se defiiu o presete modelo é substituído por F ( k) codições euciadas. dˆ, estes sofrem uma ligeira alteração ( ) / k = / ( ) c = F que c, ode / k satisfaz as 45

Embora existam vários estimadores de α propostos a literatura de Teoria de Valores Extremos, optou-se o presete trabalho por utilizar apeas o estimador de Hill, por ser, por um lado, um estimador atural e, por outro, pela sua importâcia histórica. Seja X uma v.a. com a f.d. F tal que, α ( X > x) = F ( x) = x Prob, x, α >. Etão, Y = l X tem como distribuição αy ( Y > y) = e Prob, y, α >, ou seja, ~ Exp( α ) Y. Assim, o estimador de máxima verosimilhaça é: ˆ α = l l X j = X j,. j= j= Geeralizado o resultado apresetado ode C α ( x) = Cx F, x u > α = u, para um ível u cohecido, o estimador assumirá a seguite forma: ˆ α X, j = l = j= u j= l X j, l u Cotudo, a prática, o ível exacto de u ão é cohecido. Mas se F D(Φ ), etão F tem um comportameto que se assemelha à cauda da distribuição de Pareto. α Seja K { i : X > u, i } = #, = i,..., 46

Reparametrizado os estimadores, substituido o suposto ível u pela estatística de ordem { K = k}, o estimador pode ser rescrito como a seguir se represeta: e ( ) ( ) k H H ˆ α = ˆ α k, l, l = X j X k, (3.) k j= ˆ k ( H ˆ α ) k, C k, = X k, ode k = k( ) satisfaz as codições referidas. A expressão (3.) é cohecida como estimador de Hill. O estimador da cauda é F ( x) ( H αˆ ) k, k x = X, k, X k, isto é, F tem um comportameto de tipo Pareto acima do ível aleatório. O próximo teorema apreseta as propriedades do estimador de Hill. Teorema 3.. (Propriedades do Estimador de Hill) Seja X } estritamete estacioária com distribuição margial F satisfazedo para { todo o α > e L R, F α ( x) x L( x) =, x >, ( ) ( H ) H Seja ˆ α = ˆ α k, o estimador de Hill. i. (cosistêcia fraca) se { X } é i.i.d. e se k ( ) e ( ) / etão, ( H ) ˆ α α p k para, 47

ii. (cosistêcia forte) se { X } é i.i.d. e se k ( ) /, k( ) l l, etão, ( H ) q ˆ α. c α. iii. (ormalidade assitótica) Se { X } é i.i.d. e ( ) / para k a uma velocidade apropriada, etão, k ( H ) d ( ˆ α α ) N(, α ). 3.. Determiação do Nível Óptimo de k A determiação do ível óptimo de k é um dos temas de maior iteresse em Teoria de Valores Extremos. A escolha do valor de k codicioa o valor das estimativas e as propriedades do estimador. À semelhaça do que acotece a determiação do valor do ível u, a modelação pela Distribuição de Pareto Geeralizada, ao determiar o valor de k o aalista efreta o seguite dilema: i. para garatir que apeas a cauda seja aalisada deve-se escolher um valor de k relativamete baixo. Cotudo, a variâcia das estimativas pode aumetar se se seleccioar um k excessivamete baixo. ii. porém, ao aumetar demasiado o valor de k, poderá aumetar o viés. No gráfico da Figura 3.. está represetado o horror Hill plot, através do qual é possível visualizar a sesibilidade do valor de ˆ ξ = / ˆ α, em fução dos valores de k. 48

Horror Hill plot,9,8,7,6,5,4,3,, 395 395 895 695 495 95 95 895 695 495 95 95 895 695 495 95 95 k Figura 3.. Horror Hill plot Embretchs et al. (997) propõe o valor de k detro do itervalo ode, para diferetes valores de k, o valor de ξˆ se matém relativamete estável. Trata-se de um critério relativamete vago. Todavia, existem algus autores que recorrem a métodos adaptativos. A abordagem que se apreseta é baseada os trabalhos de Daielsso et al. () e Gomes et al. (), que é desevolvida o âmbito da codição de seguda ordem, U lim t ξ ρ ( tx) / U ( t) x ξ x = x A() t ρ (3.) A() ρ () ( ) ode, t RV e U t = F / t é uma fução mesurável com sial costate e ρ, que é o parâmetro de seguda ordem que determia a covergêcia de ( tx) F ( x) α F / para t. À medida que ρ aumeta, a covergêcia à aproximação de primeira ordem também aumeta. Hall (98) sugere que é possível obter k ( ) através de ( ) = arg AssimE( ξ ( k) ξ ) k mi k 49

i.e., escolher k ( ) de modo a miimizar o erro quadrático médio assitótico (EQMA). De ode resulta, k ( ) ξ ( k ( ) ) d ( ξ ) N( b ),ξ ou seja, existe viés assitótico b. Desta forma, é ecessário determiar um estimador de ( ) kˆ ( ) ξ kˆ ( ) ˆ tal que, k d ( ( ) ξ ) N( b ξ )., Para isso, Hall (99) e Gomes (994) sugerem o uso de metodologias de bootstrap, acrescetado uma hipótese adicioal sobre A ( t) em que ρ ( t) ct A =, ρ <. (3.3) No etato, as metodologias de bootstrap habituais ão garatem que o EQMA estimado covirja para o valor assitótico. Este problema é ultrapassado por uma reamostragem de dimesão, <. Assim, em vez de miimizar * EQM ( k) E ξ ( k) [(, aux ) X ], = ξ, * ode ξ é uma estimativa iicial que resulta de um estimador cosistete e ξ k é, aux um estimador de bootstrap com a reamostragem de dimesão * EQM ( k ) E ξ ( k ) [(, aux ) X ], = ξ., miimiza-se ( ) 5

k ) * Teorema 3.. (Sequêcia óptima de ( ) Se (3.) e ρ ε A () t = ct verificarem com = O( ), < < ε, existe uma fução ( ρ) D, tal que a sequêcia de * k ( ) que miimiza EQM (, k ) é ρ /( ρ ) ( ) = D( ρ ) ( ( ) ) k + * o e a sequêcia de k ( ) é ρ /( ρ ) ( ) = D( ) ( ( ) ) k ρ +. o Como foi referido ateriormete, a metodologia bootstrap miimiza EQM (, k ). O que se obtém é k ( ) *, que é óptimo para uma amostra de dimesão, mas o que se pretede estimar é k ( ). Pelo Teorema 3.., a seguite relação é verdadeira k * k ( ) ( ) = ρ /( ρ ) ( + o() ), à medida que. Porém, ρ ão é cohecido e, para estimar k ( ), recorre-se a uma seguda amostra de dimesão /. Novamete, pelas expressões do Teorema 3.. obtém-se a = seguite relação * [ k ( )] * k ( ) ( ) ( o( ) ) = k, à medida que. Assim, kˆ ( ; ξ, ), aux = * [ k ( )] k * ( / ) 5

* ode, ( * k ) e k ( / ) de bootstrap. represetam os valores óptimos obtidos pelas metodologias Os resultados que se apresetam seguidamete, seguiram o seguite algoritmo para diferetes valores de, expressos em percetagem de :. Foi escolhido um valor iicial de ξ =, 765 que seria um valor aproximado se o valor de k fosse seleccioado segudo o critério de Embretchs et al. (997). * * * * * *. Retiraram-se ( B ) amostras bootstrap ( x x ) e ( x, x,..., x ),..., 3. Para cada amostra foi calculado para cada k o valor da estatística T * ( k) ξ ( k) ξ aux =, i =, i i, k, i =,, ode * 4. Obteve-se ( ) arg mi EQM ( k) i = i, k EQM 5. Foi calculado k ˆ ( ; ) ξ =, aux, (, k) = t ( k) i * [ k ( )] * k ( ) * 6. Por fim, foi obtido o valor de ξ kˆ ( ; ξ ) B B l= i, l ( ) ξ =.,,, aux x,..., +, Os resultados obtidos estão sumarizados os gráficos da Figura 3... 5

ξ k / EQM(,k),3,9,9,8,5,8,7,7,6,5,4,3,, % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% %,,5,,5 % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% %,6,5,4,3,, % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Figura 3.. Resultados para diferetes valores de dado ξ, aux =, 765. Um dos problemas desta abordagem é a determiação do valor de já que, como se pode averiguar os gráficos, diferetes valores de coduzem a resultados diferetes. Para ultrapassar este problema, optou-se por escolher um valor de que miimize o EQM. No gráfico da direita, esse valor correspode a 9% de, de que resulta kˆ ( ) 786 ; ξ, e ξˆ =,7677., aux = Outro problema desta mesma abordagem é a forte depedêcia do valor de ξ, aux, como por exemplo, se ξ, aux for estimado através de um valor iicial de k, aux =, como apreseta Gomes et al. (). Os resultados que se obtêm são totalmete diferetes como se pode cofirmar os gráficos da Figura 3..3. 53

ξ k / EQM(,k),9,3,,8,8,5,6,7,6,,4,,5,4,5,,8,3,,6,,,5,4, % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % x(kaux) x=,765 x(kaux) x=,765 x(kaux) x=,765 Figura 3..3 Resultados para diferetes valores de dado diferetes valores de ξ,aux Uma vez mais, o EQM é míimo em = 9%, de ode resulta kˆ ( ; ξ, ) 55 e, aux = ξˆ =,7659. No setido de cotorar o problema levatado Daielsso et al. () e Gomes et al. () sugerem a utilização de estatísticas auxiliares, cujo comportameto assitótico se assemelha ao de ξ ( k) ξ. Seja k M ( ) l, l k = X j X k,, k j= a estatística auxiliar proposta por Daielso et al. () é ( k) [ ξ ( )] T ' = M k Assim, em vez de miimizar 54

* EQM ( k ) E ξ ( k ) [(, aux ) X ], = ξ, miimiza-se [( [ ] ) X ] EQM (, k ) E M ( k) ξ ( k) =. Seja ( ) que miimiza EQM (, k) e k ' k k k '* ' k ' ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ( ρ ) / = = ρ /( ρ ) ( + o() ) (3.4) ( + o() ). ( ) Para estimar recorre-se a uma seguda amostra de dimesão /, devido k ' = à seguite relação: '* [ k ( )] '* k ( ) = k ( ) ( ( ) ) ' o à medida que. Em (3.4) costata-se que é ecessário estimar ρ para se obter a estimativa de. k ( ) Os autores do artigo sugeriram o seguite estimador '* ( ) ( )/ l k ρ '* =. l '* ( k ) Desta forma a estimativa de k ( ; ) é dada pela fórmula a seguir represetada: kˆ ( ; ) / = ρ'* ( ρ '*) k '* [ k ( )] '*. ( / ) 55

Os resultados que se apresetam resultam do seguite algoritmo para diferetes valores de, expressos em percetagem de : * * * * * *. Retiraram-se ( B ) amostras bootstrap ( x x ) e ( x, x,..., x ),..., x,..., +,. Para cada valor da amostra foi calculado para cada k o valor da estatística [ ] ( k) M ( k) ξ ( ) T ' = k, i =, '* 3. Obteve-se ( ) arg mi EQM '( k) i i k, i =,, ode i = i, k ' 4. EQM '(, k) = t ( k) i B B l= 5. Calculou-se k ˆ ( ; ) i, l / = ρ'* ( ρ '*) i k '* [ k ( )] '* ( / ) '* 6. Por fim, obteve-se ao valor de ξ kˆ ( ) ( ) ξ =., ; Os resultados ecotram-se resumidos os gráficos da Figura 3..4. ξ k / EQM (,k),5,6,9,4,8,7,6,,5,,,5,8,4,,6,3,,,5,4, % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Figura 3..4 Resultados para diferetes valores de, segudo a abordagem de Daielsso. 56

O valor de que miimiza o EQM, é = 8%. No gráfico da direita está represetado o EQM '(, k ) para diferetes valores de, de ode resultam ( ) 633 '* kˆ ;,,76467 e x 655.86. = ξ, = k*, = Para as idemizações, X, iferiores ao ível x k *,, é de cosiderar a sua modelação pela fução de distribuição empírica pelas razões ivocadas a Secção 3.. Na Figura 3..5 está represetada F (x) obtida por este método, bem como a distribuição de Pareto do Capítulo 3.,,,9,8,,7,6,,5,4,99,3,,99,,.......... X em escala Log,99......... X em escala Log Empir ic a F^(x) Pareto Empir ica F^( x) Pareto Figura 3..5 No gráfico da esquerda pode-se observar a distribuição empírica e a distribuição ajustada, seguda a abordagem de Daielsso. O gráfico da direita tem a escala ampliada a cauda. De ovo o ajustameto global parece ser aceitável. Ampliado a escala a parte da cauda, verifica-se que existe uma melhoria o ajustameto em comparação com a distribuição de Pareto, apresetada o Capítulo. A mesma coclusão pode ser retirada do gráfico Q-Q que se segue. 57

..... F - (p) em escala log............ Dados ordeados em escala Log F^(x) Pareto x Figura 3..6 Comparação dos quatis com os da distribuição ajustada segudo a abordagem de Daielsso. 3.3 Discussão de diferetes métodos Relativamete ao segudo algoritmo apresetado a Secção 3.., importa salietar o facto de os resultados depederem da estatística auxiliar apresetada. Se a estatística auxiliar T ' [ ' = M ( k) ξ ( k) ] for substituída por = M ( k) / ξ ( k) ξ (k T ou por, ) ( k ) ξ ( k) ' T, 3 = ξ /, k <, e com as devidas alterações em algumas fórmulas o caso da última estatística auxiliar, como apresetados em Gomes et al. (), os resultados que se obtêm são diferetes. Os gráficos da Figura 3.3. sumarizam os resultados apresetados. 58

ξ k/ EQM(,k),3,6,9,8,7,6,5,,4,,,5,5,8,4,3,,,,5,6,4, % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % T T T3 T T T3 T T T3 Figura 3.3. Comparação dos resultados fiais de diferetes estatísticas auxiliares. Existem outros estimadores do parâmetro da codição de primeira ordem alterativos ao utilizado a Secção 3.. Algus desses estimadores podem ser ecotrados, por exemplo, em Embretchs et al. (997). Uma grade desvatagem dos métodos adaptativos tem a ver com a morosidade a simulação, facto que codicioa fortemete o úmero de simulações. Ao logo do Capítulo foram privilegiados os métodos gráficos o que respeita ao estudo da qualidade do ajustameto, e ehum teste de hipóteses foi empregue, dado que estes têm alguma dificuldade a detecção das discrepâcias a cauda. O gráfico seguite compara os resultados obtidos do modelo da Secção 3., com u = 55., com o último modelo apresetado a Secção 3... Verifica-se que, para os dados em aálise, a abordagem semi-paramétrica tem uma cauda ligeiramete mais pesada. Estes dois modelos são utilizados a Secção 4. para a modelação das idemizações agregadas e idemizações agregadas retidas. 59

Q-Q plot.................... Dados ordeados em escala Log X Daielsso GPD u=55 Figura 3.3. Comparação dos quatis com os da distribuição ajustada em 3. com u = 55. e a distribuição ajustada segudo a abordagem de Daielsso. 6

CAPÍTULO 4 Teste de Solvêcia Ao logo dos últimos aos têm surgido o meio actuarial vários modelos sobre a adequabilidade dos capitais das seguradoras por forma a fazer face aos compromissos assumidos pelas empresas daquele sector de actividade ecoómica. A modelação adequada dos quatis elevados da severidade dos siistros é idispesável para qualquer modelo de solvêcia. Na Secção 4. é exposta, em termos gerais, a ideia base dos Modelos de Solvêcia e a Secção 4. são modeladas as idemizações agregadas a cargo da Seguradora como módulo de um modelo de solvêcia, aplicado algus dos resultados do Capítulo 3. Por fim, a Secção 4.3 é desevolvida uma breve discussão dos resultados. 4. Teste da Solvêcia A ideia cetral o teste de solvêcia cosiste a avaliação, em termos probabilísticos, da capacidade de uma determiada Compahia de Seguros em respoder aos seus compromissos. 6

Um coceito fortemete ligado ao teste de solvêcia é Ecoomic Capital. Cosiste a difereça etre o fair value dos activos e o fair value das resposabilidades. Por fair value etede-se o valor pelo qual um activo pode ser trasaccioado ou uma resposabilidade liquidada, etre partes iteressadas e bem iformadas uma trasacção realizável. A Figura 4.. esquematiza a relação etre o Ecoomic Capital e a solvêcia. Activos (Fair Value) Passivos (Fair Value) Ecoomic Capital Figura 4.. Ecoomic Capital em termos esquemáticos. O capital míimo para garatir a solvabilidade é, geralmete, defiido em termos de Probabilidade de Ruía. Aqui, a probabilidade de ruía é etedida como a probabilidade de isuficiêcia de capital. Outro coceito ligado à ruía é o Ecoomic Cost of Rui (ECOR) que se traduz o valor esperado da gravidade da ruía. Os gráficos seguites sitetizam a ideia subjacete aos dois coceitos ateriormete apresetados. 6

Probabilidade de Ruía ECOR Capital Capital Figura 4.. Fução de Desidade (à esquerda) e Fução de Distribuição (à direita) da variação do Ecoomic Capital. Existem vários modelos e várias segmetações possíveis dos riscos das Seguradoras. A título de exemplo apreseta-se de seguida a segmetação da agêcia de ratig Stadard & Poors, ode o risco suportado pelas seguradoras é tipificado do seguite modo: C Ivestmet/ALM Risks (Risco de Crédito, Imuização Iadequada); C Reisurer Credit Risk; C3 Premium Risks (Siistros futuros, Catastróficos e Não Catastróficos); C4 Reserve Risks (Siistros Ocorridos); C5 Life Risks (Mortalidade, Calamidade); C6 Residual Risks (ex.: Risco Operacioal e Risco de Pequeos Negócios). Os riscos C3 e C4 são aqueles que têm maior importâcia em Não Vida. Embora, por simplicidade, se teha esquematizado dessa forma os riscos, estes podem ão ser idepedetes etre si, como exemplo, o risco de crédito das resseguradoras ão é idepedete dos riscos catastróficos ou das idemizações a cargo das resseguradoras. 63

Outra questão que importa salietar é a depedêcia etre os rácios de siistralidade existete etre diferetes lihas de egócios, causada por evetos que coduzem a perdas em diversas lihas de egócio. No caso da depedêcia se dever a acotecimetos extremos, como por exemplo ataques terroristas ou feómeos aturais, é preferível que estes sejam modelados à parte. Se a depedêcia for devido à atureza do risco, é possível que esta seja modelada com fuções cópula, de qualquer modo, é importate que se coheça a sua atureza. Em Kreps () é apresetado um algoritmo de simulação de variáveis depedetes. Em Embretchs et al. (999) é feita uma discussão sobre o problema da correlação. Outro factor que pode favorecer a depedêcia é o ciclo de subscrição o mercado segurador. Uma forma de cotorar esse problema cosiste em modelar, em primeiro lugar, as uidades de exposição ao risco e posteriormete, os prémios, de acordo com a estratégia da Compahia ou de acordo com o que se espera do mercado, como em D Arcy et al. (997) ou em Kaufma et al. (), e as idemizações agregadas associadas à exposição em separado. As idemizações agregadas são objecto de aálise a secção seguite. 4. Modelação das Idemizações Agregadas Apreseta-se esta Secção uma forma de modelar as idemizações agregadas retidas, através da aplicação dos resultados obtidos o Capítulo 3. Foram defiidos dois modelos, que se distiguem apeas pelo estimador da cauda da distribuição das idemizações idividuais. 64