ANÁLISE NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DE INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA

ISSN 809-5860 ANÁLISE NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DE INERAÇÃO FLUIDO-ESRUURA Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Resumo O presete trabalho apreseta o desevolvmeto de um códgo computacoal baseado o Método dos Elemetos Ftos (MEF), para aálse da teração bdmesoal fludo-estrutura. Desevolve-se um códgo bdmesoal para dâmca de fludos compressíves, vscosos ou ão, em formulação Lagrageaa Euleraa Arbtrára, com base o algortmo CBS Characterstc Based Splt. O códgo desevolvdo é acoplado a um códgo para aálse dâmca de estruturas de formulação Lagrageaa poscoal e ão lear geométrca, baseado o Método dos Elemetos Ftos, coforme desevolvdo por MACIEL e CODA (005). Exemplos são resolvdos para mostrar a valdade e aplcabldade da técca. Palavras-chave: teração fludo estrutura; método dos elemetos ftos; dâmca dos fludos computacoal; ão leardade geométrca. INRODUÇÃO Os problemas de teração fludo-estrutura estão presetes as mas dversas áreas de egehara, desde obras de egehara cvl, mecâca, aeroáutca, aval, e até de problemas de bomecâca, como exemplo, a crculação saguíea. Um problema muto comum de teração etre fludo e estrutura cosste a ação do veto sobre estruturas expostas à atmosfera. Para as obras cvs mas comus, costuma-se cosderar o efeto do veto sobre a estrutura como um carregameto estátco, porém as estruturas estão suetas a vbrações devdo ao escoameto do fludo, que podem levar a estrutura à ruía, ANUNES et. al (005). Outra aproxmação assumda o tratameto dos problemas evolvedo fludo e estrutura é o fato de que comumete se cosdera a estrutura rígda EIXEIRA (00). Um dos exemplos mas clásscos de ruía estrutural devdo à teração fludo estrutura é o caso da pote de acoma Narrows, uma estrutura suspesa costruída o Estados Udos, em Puget Soud, Washgto, a década de 940, que etrou em ressoâca em 948, devdo à ão cosderação, durate o proeto, do efeto dâmco provocado pelo escoameto, ver GLÜCK et. al (00) por exemplo. Mestre em Egehara de Estruturas - EESC-USP, ras@sc.usp.br Professor Assocado do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

34 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Desde etão, tato os estudos de aerodâmca, aeroelastcdade e dâmca dos sóldos obtveram grades avaços. Devdo à complexdade e úmero elevado de operações de cálculo evolvdos em problemas destas áreas, o emprego de téccas computacoas para a resolução dos mesmos tem sdo bastate requstado, de forma que, atualmete, as publcações estas áreas cocetram-se o desevolvmeto de ferrametas computacoas baseadas em métodos umércos para aálse da teração fludo-estrutura. No presete trabalho explora-se duas áreas da mecâca: a mecâca dos sóldos e a mecâca dos fludos. Ambas estão baseadas os mesmos prcípos (Les de Newto), e os materas aos quas seus estudos são drgdos, possuem mutas cosas em comum: tato o meo fludo como o meo sóldo ocorrem tesões e deslocametos. Porém também exstem partculardades que separam estas duas áreas sedo a prcpal delas, o fato de que o fludo (Newtoao) ão resste a ehum valor de tesões desvadoras, de forma que as prcpas varáves do fludo são velocdades e tesões, torado deal o emprego de uma formulação Euleraa, equato as prcpas varáves do sóldo são tesões e deslocametos, fazedo da formulação Lagragea a deal. Em casos ode é possível descrever o fludo a forma Lagrageaa (compressão e descompressão de gases por exemplo), pode-se faclmete acoplar fludo e estrutura de forma moolítca, ode ambos são tegrados smultaeamete o tempo. Já para os demas casos, o esquema de acoplameto partcoado, ode fludo e estrutura são tegrados depedetemete, tora-se mas adequado. Deve ser levado em cota o mometo de se propor um acoplameto partcoado, o fato de os dos meos estarem descrtos de forma dferete, o que é feto aqu através da aplcação de uma descrção Lagrageaa Euleraa Arbtrára (ALE). MODELO NUMÉRICO. Dâmca dos fludos O algortmo utlzado fo o CBS Characterístc based splt, o qual fo prmeramete apresetado por ZIENKIEWICZ E CODINA (994), e desde etão város autores á aplcaram o mesmo pra resolver problemas de dâmca dos fludos. Seam as Equações Goverates da Mecâca dos Fludos (Naver-Stoes), a formulação Euleraa, descrtas em otação dcal, ode os ídces, e correspodem ao exo x, y ou z, coforme as equações () a (3): Coservação da massa: ρ ( ρu ) = t () Coservação da Quatdade de Movmeto: ( ρu ) ( uρu) τ p = + + ρg t () Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 35 Coservação da Eerga: ( ρe) = ( uρe) + ( up) + ( τu) t (3) ode ρ é a massa específca, u é a velocdade a dreção do exo x, t é o tempo, τ é a tesão desvadora, p é a pressão, g é a costate das forças de campo a dreção, E é a eerga específca total, é a codutvdade térmca e é a temperatura do fludo. Se uma partícula se propaga com uma determada característca, com determada velocdade costate u, que é dêtca à velocdade de covecção para problemas escalares coforme a Fgura, aplcado-se à mesma o método característco de Galer (NIHIARASU et al. (000)), chega-se à equação (4). Fgura - Lhas característcas. φ( y) + φ( y) t t u = + Δ Δ + Δ Δt 6 3 3 ( uφ( y)) ( uφ( y)) ( ( )) ( ) uφ y 3 O t (4) Deve otar-se que para uma covecção lear a velocdade méda u é costate e ão é ecessáro mas aproxmações, porém para covecção ão lear, mas aproxmações são ecessáras. A eq. (4) é uma forma ão coservatva da covecção, sedo dretamete aplcável a problemas compressíves ou sem aproxmações de dvergêca, com velocdade costate (Ntharasu et. al, (000)). Para se obter a forma coservatva da equação de covecção com propagação ão lear (eq. (6)), NIHIARASU E AL., (000) usa a aproxmação para uφ ( x) apresetada a eq. (5). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

36 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda ( y x) uφ( x) = uφ( y) ( y x) ( uφ( y)) + ( uφ( y) ) 3 3 ( y x) ( uφ ( y)) 6 3 x (5) φ( y) + O( Δt φ( y) Δt 3 ) = ( uφ( y)) Δt + u ( u ( y)) x φ Δt 6 ( u + u φ ( y)) (6) O algortmo CBS é obtdo prmeramete retrado-se os termos referetes à pressão da equação (), substtudo ρu por U * e expaddo com base em (6), através do método das característcas de Galer, chegado-se a equação(7): τ Δt Δ U * =Δt ( u ρu ) + + ρg + u ( u ρu ) ρg x x x. (7) Na equação (7), todos os termos do lado dreto são cohecdos o tempo, de U * forma que pode ser expresso da segute forma: ( ) Δ U * = U* ( ρu t = ) (8) ΔU * Como o cálculo de ão se cosderou os efetos da pressão, para se calcular a varação da quatdade de movmeto o passo de tempo Δ t, deve-se fazer uma correção, resttudo-se tal fluêca. Assm, das equações () e (8), pode-se ΔU * corrgr de modo a obter-se a varação da quatdade de movmeto o tervalo Δ t (equação (9)). p Δt p Δ ρu =ΔU* Δ t + u (9) Fazedo-se uma aproxmação das dervadas da pressão em relação às dreções x, de tal forma que seam tratadas como uma quatdade cohecda avalada o t = t tempo + θδt obtém-se a eq. (0), com a eq. () sedo válda, observado-se que o parâmetros θ.pode varar de 0 a, torado o algortmo explícto o tempo quado θ for ulo, ou sem-mplícto, ou sem-mplícto caso cotráro. + θ p Δt p Δ ρu =ΔU* Δ t + u (0) θ θ p p p = θ + ( θ ) + + () Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 37 Ou ada, em fução da varação da pressão t e t + tem-se a eq. (). Δ p, avalada o tervalo Δ t, etre Δ + θ p p p = + θ () Utlzado-se a equação da coservação da massa (), pode-se escrever a aproxmação: Δ ρ = Δ t ρu t = t + θ Δ t = Δ t ρu + θ Δ ρu ( ( )) ( ) ( ( ) ) (3) θ ode tem o mesmo sgfcado descrto para θ. ρu ( Aproxmado-se t = t + θδt) pela soma de ΔU *, dado pela equação (7) ρu com U * e eglgecado os termos de ordem superor da sére de aylor em, chega-se à equação (4): ρ t Δ = Δ ρu + θ ΔU Δ tθ + θ p Δ ( ) ( * ) x x x x p (4) Assm, de (7) obtém-se Δ U *, da equação (4) obtém-se Δ ρ, e através das equações (0) e () ecotra-se Δ ( ρu ), faltado resolver a equação da coservação da eerga (eq.(3)), que pelo mesmo processo pode ser dscretzada o tempo coforme a eq.(5). Δ( ρe) = Δt Δt + u ( u ρe) + ( ) ( uρe) ( u p) + ( ) + ( τ u ) ρg u ( u p) ( τ u ) ρg u (5).. Obteção das formas varacoas e solução va MEF As varáves são aproxmadas pelas fuções de forma φ, coforme as eq. (6)-(0): ρu = φρ ( u ) (6) u = φu (7) Δ U =φu * Δ ρ = φρ * (8) (9) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

38 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Δ p =φ p (0) ode: { } φ = φ... φ φ () Usado o método de resíduos poderados segudo o processo de Galer a equação (7), tem-se a equação (): τ Δt φδu* d=δtφ ( uρu) + + ρg + u ( uρu) ρg d.() Itegrado-se o segudo e o quarto termo do lado dreto da gualdade por partes e aplcado o teorema do dvergete, aparecem termos a serem tegrados o cotoro, porém, a parcela do quarto termo é descosderada devdo ao produto etre os vetores ormas e as velocdades serem ulos, coforme a equação (3): φ φδu* d=δt φ ( uρu) d τd+ φρgd Δt ( uφ) + ( uρu) ρg d t φτd + +Δ Γ Γ (3) Com base as equações (6)-(), e, admtdo-se que a le da vscosdade de Newto acrescda da hpótese de Stoes (5) sea válda, pode-se escrever matrcalmete a equação (3): M Δ U * =Δt C( ρu ) K ( ( ) ) τ u K u f t K u f u τ ρ + +Δ + u s (4) u u u τ = μ + δ 3 (5) ode as matrzes de massa M, a matrz de covecção C, e as demas matrzes e vetores são descrtos as equações (6)-(34), e as barras superores dcam valores odas. M (6) = φφd C = φ ( uφ) d (7) K τ ux φ φ 4 φ φ = μ + μ d x x 3 x x (8) K τ ux φ φ φ φ = μ + μ d x 3 x x x (9) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 39 K τ ux φ φ φ φ = μ + μ d x 3 x x x (30) K τ ux φ φ 4 φ φ = μ + μ d x x 3 x x (3) (3) f = φ ρgd+ φ τ dγ Γ K = ( uφ ) ( uφ) d (33) fs = ( uφ ) ρgd (34) Aplcado-se o mesmo método para a equação (4), tem-se: φδρd = Δt + Δt θ φ ( ρu ) d θ Δtφ ( ΔU * ) d p Δp φ + θ d (35) Itegrado-se os termos à dreta da gualdade de (35) por partes e aplcado-se o teorema do dvergete, chega-se à equação (36): φδρd = Δt Δt Γ p Δp φ ρu + θδu * Δtθ + θ d, (36) p Δp φ ρu + ΔU Δt + θ * θ θ dγ que é escrta matrcalmete coforme a equação (37), com as ovas matrzes e vetores descrtos as equações (38)-(40). M ( G ( ρu + θ ΔU * ) Δtθ H p f ) Δ + Δt θθ H Δp = Δt ρ (37) p G φ = φ d (38) φ φ H = φ d (39) p f p =Δ t φ ( ρu) + θδu* Δtθ d Γ (40) Γ Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

40 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Repetdo-se a aplcação do processo de Galer, agora para a equação (0), tem-se como resultado: p Δt p Δ ud= ΔU d Δt d+ u d + θ φ ρ φ * φ φ (4) Itegrado-se o últmo termo por partes, aplcado o teorema do dvergete, lembrado-se que e desprezado-se a tegral sobre o cotoro, e expaddo a +θ p aproxmação umérca, chega-se à equação (4), Δ ud= ΔU d Δ t + d u d p Δp Δt p φ ρ φ * φ θ ( φ ), (4) cua forma matrcal é dada pelas equações (43) e (44). Δt M Δ ρu = MΔU* Δ t G ( p+ θδp) P p (43) ode: φ P = ( φ u) d. (44) Falmete, segudo o mesmo processo para a equação (5), chega-se à equação (45), cua forma matrcal é apresetada as equações (46)-(49). Δ( ρe) = Δt φ Δt + + Δtφ τ u Γ ( u ( ρe + p) ) ( u φ) d + dγ φ τ u ( u ( ρe + p)) d + d [ C( ρe + p) + K + K u + f Δt( K ( ρ E p)) ] MΔρE = Δt τ (46) Com as matrzes dadas por: E e u + (45) K φ φ = d (47) ( τ φ) φ Kτ E = d (48) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 4 f e = φ τ + u dγ (49) Γ.. Formulação lagrageaa euleraa arbtrára Sedo o fludo modelado por uma formulação Euleraa e o sóldo por uma formulação Lagrageaa (método partcoado), surgem dfculdades para se aalsar ambos smultaeamete. A solução para o acoplameto partcoado etre o fludo e a estrutura é descrever o fludo através da formulação lagrageaa-euleraa arbtrára (ALE) (DONEA (98), GLÜCK et al. (00) e EIXEIRA e AWRUCH (005) ). A formulação ALE é obtda troduzdo-se um domío de referêca com movmeto arbtráro e depedete dos potos materas, coforme a Fgura ode R, C(to) e C(t) são respectvamete os domíos de refereca e cotíuo o tempo cal to e fal t. O domío R será tomado como o domío computacoal, cotedo a malha de potos da formulação do MEF. Fgura - Cemátca adotada a descrção ALE. Uma partícula a formulação ALE, tal como a formulação lagrageaa, é defda as suas coordeadas materas a cofguração cal do cotíuo, mas o processo de defção é dreto e feto sobre o vetor posção ξ que está lgado à varável a e à varável t, de acordo com a le que rege o movmeto do domío de referêca (DONEA et al. (98)). Segudo este procedmeto se escreve as equações ALE para coservação da massa, quatdade de movmeto e eerga, como segue: ρ ρu + t ρ = w (50) ( ρu ) ( u ρu ) τ p ( ρu + + ρg = w ) t (5) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

4 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda ( ρe) ( u ρe) ( u p) ( τ u ) ( ρe + + = w t x x x ) (5) Observa-se que quado a velocdade da malha w for ula, a formulação é a Euleraa, e quado a velocdade w for gual à velocdade u a formulação é a Lagrageaa (DONEA et al. (98)). Para falmete obter-se a formulação ALE do algortmo apresetado, basta aplcar o método das lhas característcas de Galer aos termos do lado dreto das equações (50), (5) e (5), e em seguda escreve-los matrcalmete, agrupado-os corretamete às eq. (4), (34), e (45). Neste trabalho é utlzada somete a forma explícta das equações com θ gual a e θ gual a zero, coforme as equações (53), (54) e (55) ode as barras superores dcam valores odas, com a matrz L descrta a equação (56). [ C( ρu ) K u K u + f + Δt( K( ρu ) + f ] MΔ U ) * = Δt τu τu + ΔtLρu s (53) [ G ( ρu + ΔU * ΔtH p f ] + ΔtLρ MΔ ρ = Δt ) p [ C( ρe + p) + K + K u + f Δt( K ( ρ E + p ] + tlρe MΔ ρe = Δt τ )) Δ φ L = w φd E e u (54) (55) (56) Falmete, às equações (53), (54), (43) e (55), as quas toma-se a velocdade do escoameto e a massa específca como varáves prcpas do problema, tora-se ecessáro a adção de relações das quas possam ser extraídas as demas varáves. Essas relações são, as equações (55)-(57) que são obtdas do calcula da eerga total, da equação de estado dos gases e da equação de Poso (ver por exemplo ZIENKIEWICZ e AYLOR(000)): E = c p + uu (57) c c = ( γ ) c p com γ = c p v e R = c p c v (58) p ( γ ) ρe ρu u (59) = Ode c p é o calor específco à pressão costate e c v é o calor específco a volume costate. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 43. Equacoameto da estrutura Utlzou-se o códgo desevolvdo por MACIEL e CODA (005), o qual se basea em uma formulação ão lear geométrca desevolvda por CODA (003). Para obter-se tal formulação, calmete, cosdera-se o prcípo da míma eerga potecal para elastcdade coservatva, escrto em termos das posções (equação (60)): Π = U e Ρ + K + Q (60) ode Π é a eerga potecal total, U e é a eerga de deformação e P é a eerga potecal das forças aplcadas, K, é referete à eerga cétca e o outro termo Q, referete à dsspação por amortecmeto. ora-se etão ecessáro mapear a geometra do corpo em estudo e ter o cohecmeto da relação etre esse mapeameto e as deformações de egehara adotadas. MACIEL e CODA (005) fazem o mapeameto empregado a cemátca de Resser, da qual escreve-se as coordeadas de um poto p (, m = xm ym) coforme as eq. (6) e (6): h x ( ξ, η) = x m ( ξ ) ηs θ ( ξ ) (6) h y ( ξ, η) = y m ( ξ ) + ηcos θ ( ξ ). (6) Os Gradetes do espaço admesoal para a cofguração cal quado =I, ou deste espaço para a cofguração deformada, quado =II, coforme mostrados a fgura 3, são obtdos dervado-se as equações (6) e (6), coforme (63): dx dx A A dξ dη A = =, (63) A A dy dy dξ dη Os estrametos λ t e λ podem ser calculados, segudo as dreções r r admesoas ξ e η com o uso dos vetores utáros M = [,0 ] e M = [0,] (ver Fgura 3) como segue as equações (64) e (65): r λ ( ) ( ) ( ) t = λ M t = A = A + A 0 (64) 0 λ = λ( M r ) = A = (65) t Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

44 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Fgura 3 - Versores e vetores as 3 cofgurações. ota-se que as dreções e 3 ão ocorre deformação esta formulação, ou sea, λ = e λ 3 =. Os estrametos λ t e λ em relação à cofguração cal B 0 coforme eq. (66) e (67), e as deformações ão leares de egehara ε t e ε, coforme GRECO e CODA (006), as dreções r e N r, são descrtas as equações (68) e (69). t II t I t II II ( A ) + ( A ) I I ( A ) + ( A ) λ λ = = (66) λ II λ λ = (67) λ = I ε λ (68) t = t ε λ = 0 = (69) Falmete, a eerga específca de deformação para uma le costtutva lear smples, é escrta a equação (70), ode E é o modulo de elastcdade do materal. γ t u e = E ε t + (70) Itegrado-se o volume de referêca, obtém-se a eerga de deformação: U e = V0 γ t E ε t + dv0, (7) A Eerga cétca é calculada coforme a equação (7): K = V 0 ρ & & (7) 0 x xdv0 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 45 ode x& são as velocdades e ρ 0 a desdade. O termo dsspatvo Q, tem sua forma dferecal de acordo com a equação (73) (ver GRECO e CODA (006)): p Q( t, x) = p q( x, t) dv0 = v0 v0 λ x& dv (73) m 0 ode q é o fucoal dsspatvo, λ m é uma costate de proporcoaldade e p, que agora vara o tempo, é a posção. Substtudo-se as equações (7), (7) e (73) a equação (60) e dervado-se a mesma em relação a uma posção odal geérca X s, sedo X a posção, e aplcado o prcípo do mímo potecal de eerga, desevolve-se a técca de solução (ver MACIEL e CODA (005))..3 Acoplameto etre fludo e estrutura O esquema de acoplameto utlzado fo o esquema partcoado, coforme á defdo, e segue o procedmeto descrto o fluxograma da Fgura 4. Fgura 4 - Fluxograma do programa de teração fludo-estrutura. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

46 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda O crtéro prcpal para a deformação da malha é o de que a mesma teha mímas alterações a forma (âgulos) dos elemetos a regão da estrutura (ode em geral a dscretzação é bem mas detalhada), de forma que os potos próxmos à estrutura terão deslocametos próxmos aos da estrutura, e, a medda em que os potos se afastam da estrutura, os deslocametos dmuem. Para os potos o cotoro da estrutura o deslocameto será gual ao da estrutura, e para os potos o cotoro da dscretzação do problema, o deslocameto será ulo. Assm, o método utlzado é semelhate ao utlzado por EIXEIRA (00), e cosste a dstrbução das velocdades w dos potos da malha, a dreção do exo =x ou y, varado de acordo com a dstâca aos potos o cotoro da estrutura, ode w assume o valor da velocdade do poto comum à estrutura u, a dstâca aos potos do cotoro fxo, ode a velocdade w é ula, coforme a equação (74). w = e e = a au + f = l= b l (74) ode e é o úmero de ós da estrutura, f é o úmero de ós o cotoro fxo, a são os coefcetes de fluêca dos ós da estrutura o poto dados a equação (75), e b l são os coefcetes de fluêca dos ós do cotoro fxo o poto coforme eq. (76). a = (75) d e b l = (76) d e l ode d é a dstâca etre o ó e o ó e e e e são expoetes referetes à flueca dos cotoros móvel e fxo, arbtrados pelo operador do programa. A atualzação das cargas sobre a estrutura o tempo t é feta fazedo a compoete de carga ormal gual à força de superfíce ormal do fludo o cotoro que é frotera com a estrutura e a compoete de carga tagecal gual à força de superfíce tagecal o mesmo poto, coforme (77) e (78), ode o ídce represeta o ó do domío fludo comum à estrutura e x e y são os as compoetes em x e em y do vetor ormal o poto, para fora do domío do fludo. q = τ yyyy τxxxx p τxy x y (77) qt = τ yx( y y + x x) + ( τ yy τxx) y x (78) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 47 3 IMPLEMENAÇÃO COMPUACIONAL Para o fludo utlzou-se elemetos tragulares com 3 ós e fuções aproxmadoras leares φ, ode é o úmero do ó varado de a 3, observado-se a partção da udade. Para que o presete algortmo a forma explícta teha establdade, o tervalo de tempo a ser utlzado para cada elemeto, defdo pelo problema de covecção dfusão, é fução do tamaho do elemeto e da velocdade do escoameto e do som o fludo, coforme (79), (NIHIARASU et al., (000), ZIENKIEWICZ e AYLOR (000)): Δ t = cov h V + c, (79) ode V é o módulo da velocdade o ó, c é a velocdade do som, e h mede o tamaho relatvo do elemeto, sedo que para os problemas bdmesoas, é obtdo da equação (80), ode Lado é o comprmeto do lado oposto ao poto.: h = m(* Área / Lado ) (80) elemeto Coforme desevolvdo por MACIEL e CODA (005), o códgo para mecâca das estruturas permte ao operador escolher o úmero de ós de cada elemeto fto, sedo o grau das fuções de forma Φ gual ao úmero de ós do elemeto meos (os-). As fuções de forma e suas dervadas são calculadas automatcamete pelas formulas geras dos polômos de Lagrage. 4 APLICAÇÕES 4. Escoameto sobre arco flexível Neste exemplo de aplcação, tomou-se um arco de 80º e rao de 0 m de materal com módulo de elastcdade logtudal E=0 GPa e coefcete de Posso ulo. estaram-se duas seções trasversas dferetes, a prmera com espessura de cm e largura de m, e a seguda com espessura de 5 cm e largura de m. O escoameto ão perturbado apreseta: Velocdade do som: c=345 m/s Velocdade do escoameto ão perturbado as dreções x e y: 0,8 u = 30( y /0) m/s, v = 0 m/s Massa Específca: ρ =, Kg/m³ Calor específco a pressão costate: c p = 005, J/(g.K) Calor específco a volume costate: cv = 78 J/(g.K) Vscosdade dâmca μ = 0.000079 Pa.s Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

48 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Codutvdade térmca ula. No state cal cosderam-se as propredades acma para todo o domío de fludo, etão se mpõe a codção de cotoro a estrutura. Na etrada prescreveu-se as velocdades, a saída prescreveu-se a pressão e a velocdade vertcal e teramete ao arco, mpôs-se uma pressão costate gual a 008 Pa (fluxo ão perturbado). A malha para o domío do fludo (ver Fgura 5) possu 7 ós e 39 elemetos. A estrutura fo dscretzada com 3 ós e 0 elemetos de aproxmação cúbca. Para a estrutura fo de 0,0 s, com um cclo de 00 passos de 0,000 s para o fludo. Fgura 5 - Malha para o arco. Nos gráfcos da fguras 7 (a) e (b), apreseta-se respectvamete o deslocameto horzotal do ó destacado a fgura 6 com o passar do tempo para o arco com espessura de cm e para o com espessura 5 cm. Fgura 6 - Nó usado para gerar os gráfcos. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 49 Deslocameto horzotal (m) 5 4.5 4 3.5 3.5.5 0.5 0 0 4 6 8 0 empo (s) 0.7 (a) e= cm Deslocameto horzotal (m) 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0 4 6 8 0 empo (s) (b)e=5 cm Fgura 7 - Deslocameto horzotal vs. tempo para o ó de refereca. Na Fgura 8 (a-c) é mostrado a dstrbução de pressão sobre o arco de espessura cm deformado os states 0,5 s, s e s, equato a Fgura 9 (a-c), é mostrado a dstrbução de pressão sobre o arco de espessura 5 cm deformado os states 0,35 s, 0,95 s e,87 s. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

50 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda (a) t=0,5 s (b) t=,0 s (c) t=,0 s Fgura 8 - Pressão (Pa) sobre o arco de espessura de cm. (a) t=0,35 s (b) t=0,95 s (c) t=,87 s Fgura 9 - Dstrbução de pressão sobre o arco de 5 cm de espessura. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 5 Nas fguras 0 a e b, apreseta-se a dstrbução de tesões ormas σ xx, sedo x o exo logtudal da estrutura, as faces exteras do arco de cm de espessura o state t=0,5 s e do arco de 5 cm de espessura, o state t=0,95 s. (a) Fgura 0 - esões (Pa) o arco (a) de cm de espessura em t=0,5 s e (b) de 5 cm de espessura e t=0,95 s. (b) 4. Escoameto sobre arco com estrutura tera omado-se o arco de espessura e= cm do tem.3, crou-se uma estrutura tera ao mesmo, toda composta por barras rotuladas os ós e com as mesmas propredades do arco, coforme a Fgura. Fgura - Arco trelçado. Utlzado-se a mesma malha para o fludo, as mesmas propredades e codções de cotoro, e o mesmo ó de referêca do tem.3, fo possível gerar o gráfco da fgura, ode ota-se o elevado aumeto de rgdez em relação ao mesmo arco sem a estrutura tera. As dstrbuções de pressão mostradas a Fgura 3 (a-c) foram obtdas para os states t=0,05 s, t=0, s e t=,8 s. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda 5 Deslocameto horzotal (m) 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.0 0.0 0 0 3 4 5 6 7 8 empo (s) Fgura - Deslocameto horzotal vs. tempo para o arco trelçado. (a)t=0,05 s (b)t=0, s (c)t=,8 s Fgura 3 - Dstrbução de pressão (Pa) sobre o arco trelçado. Na fgura 4 apreseta-se a dstrbução dos esforços ormas o arco, o state t= s. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

Aálse umérca bdmesoal de teração fludo-estrutura 53 Fgura 4 - Esforços ormas (N). Nota-se que estruturado-se o arco teramete fo possível cra uma estrutura com meores deslocametos e mas leve do que aumetado de 5 vezes a espessura da estrutura do prmero exemplo. 5 CONCLUSÃO Neste trabalho, utlza-se com sucesso o algortmo CBS (Characterstc Based Splt) em sua versão explícta, em uma formulação Lagrageaa Euleraa Arbtrára acoplado ao algortmo para mecâca das estruturas desevolvdo por MACIEL e CODA (005) de forma a produzr um algortmo partcoado para aálse de teração fludo estrutura, e exemplos de aplcações foram apresetados de forma a demostrar o fucoameto do mesmo. Mutas são as dfculdades para elaboração de algortmos que smulem problemas de teração fludo estrutura. Detre estas dfculdades destacam-se, por exemplo, a formulação e característcas dferetes para os dos materas, a dfculdade em se ecotrar as codções de cotoro adequadas a cada problema e a qualdade do equpameto utlzado, uma vez que à medda que os problemas a serem smulados vão se torado mas rcos em detalhes, faz-se ecessáro uma dscretzação bem mas refada, elevado bastate o tempo de processameto. Os segutes 6 tópcos são levatados como mportates para futuros estudos que podem ser desevolvdos sobre o presete trabalho: ) Melhora do desempeho do algortmo e da sua teração com o usuáro, cludo processameto paralelo, ) Estudo aprofudado sobre stabldade e amortecmeto umérco que possam ocorrer o algortmo, 3) Implemetação de modelos de turbulêca, 4) Implemetação de elemetos ftos so-paramétrcos de maor ordem para o fludo, 5) Implemetação de algum modelo de adaptação de malha para o domío do fludo e 6) Expasão para uma aálse trdmesoal. 6 REFERÊNCIAS ANUNES, A.R.E.; LYRA, P. R. M. E WILLMERSDORF, R. B. A Methodology ad Computatoal System for the Smulato of Flud-Structure Iteracto Problem. J. of the Braz. Soc. of Mech. Sc. & Eg.. 3, 005, p. 5-65. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008

54 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda CODA H. B. (003). Aálse ão lear geométrca de sóldos e estruturas: Uma formulação poscoal baseada o MEF. São Carlos. ese (Doutorado) Escola de Egehara de São Carlos Uversdade de São Paulo. DONEA, J.; GIULIANI, S.; LAVAL, H.; QUARAPELLE, L. Fte elemet soluto of the usteady Naver-Stoes equatos by a fractoal step method. Computer Methods Appled Mechacs a Egeerg, v.33, 98, p. 53-73. GLÜCK, M.; BREUER, M.; DURS, M.; HALFMANN, A.; RANK, E. Computato of flud structure teracto o lghtweght structures. J. of Wd Egeerg ad Idustral Aerodyamcs, 00, p.35-368 GRECO, M.; CODA, H.B. Postoal FEM formulato for flexble mult-body dyamc aalyss. Joural of Soud Vbrato,. 90, p. 4-74, Mar., 006. MACIEL D. N, CODA, H. B. Postoal descrpto for o-lear D statc ad dyamc frame aalyss by FEM wth Resser Kematcs. Computatoal Flud ad Sold Mechacs, 005 NIHIARASU, P. O boudary codtos of the charactersc based splt (CBS) algorthm for flud dyamcs. It. J. Numer. Meth. Egg,. 54, p. 53-536, 00. NIHIARASU, P.; CODINA, R.; ZIENKIEWICZ, O. C. he Characterstc Based Splt (CBS) Scheme a ufed approach to flud dyamcs. It. J. Numer. Meth. Egg p.-34, 000. SANCHES, R. A. K. (006) Aálse bdmesoal de teração fludo-estrutura: desevolvmeto de códgo computacoal. São Carlos. Dssertação (Mestrado). Escola de Egehara de São Carlos Uversdade de São Paulo. EIXEIRA, P. R. F.; AWRUCH, A. M. Numercal Smulato of flud-structure teracto usg the fte elemet method. Computers Fluds, v.34, p. 49-73, 005. EIXEIRA, P. R. F. (996) Smulação umérca de escoametos trdmesoas de fludos compressíves aplcado o Método de Elemetos Ftos. Ro Grade do Sul. Dssertação (Mestrado) UFRGS. EIXEIRA, P. R. F. (00). Smulação umérca da teração de escoametos trdmesoas de fludos compressíves e compressíves e estruturas deformáves usado o Método de Elemetos Ftos. Ro Grade do Sul. ese (Doutorado) UFRGS. VALLIAPPAN, S. Cotuum mechacs fudametals. A.A.BALKEMA (Ed.), Rotterdam, 98. p.7. ZIENKIEWICZ, O. C. e CODINA, R. Search for a geeral flud mechacs algorthm: froters of computatoal flud dyamcs. New Yor: J. Wley, 994, p. 0-3. ZIENKIEWICZ, O. C. e AYLOR, R. L. he Fte Elemet Method. Oxford, Eglad: Butterworth-heema Lacre house, Jorda Hll, 000. (v.3 - flud dyamcs, 5. ed. p. 334). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 0,. 43, p. 33-54, 008