étodos uméricos MÉTODO DOS MOMETOS - MOM Prof. Erivelto Geraldo epomuceo PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA ELÉTRICA UIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CETRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECOLÓGICA DE MIAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 6
Itrodução O método dos mometos é uma técica umérica, aaliticamete simples e versátil, usada para solucioar equações itegrais lieares. A idéia básica associada ao MOM é reduzir uma equação itegral em uma equação matricial. Suas soluções os casos práticos são aproximadas, porém com elevada precisão para os propósitos da egeharia. O MOM requer grade esforço computacioal, levado-o a ter limitações que são a velocidade de simulação e a capacidade de armazeameto de dados o computador. Assim a utilização dessa técica umérica é limitada para geometrias complexas.
MOM Seja a equação: L f g Ode: L é um operador qualquer (cohecido) g é a fote ou excitação (cohecida) f é o campo ou resposta (fução descohecida). A fução descohecida f é expadida em uma combiação liear de fuções, o domíio do operador L:... f f f f f Ode são costates descohecidas f é cohecida como fução de base (ou de expasão).
MOM Substituido a última equação a peúltima tem-se: L f g L f g Ode, f e g são fuções complexas.
MOM Assumido um produto escalar ajustável <f, g> a solução do problema idicado pode ser determiada. Para isso defiem-se fuções de peso (ou de teste) da forma w,w,,w m, o domíio de L, e faz-se o produto escalar da última equação para cada w m, tem-se: Tal equação trasportada para a forma matricial gera: w, L f w, g m,,3,..., m m I g m m I m w L f w, L f, w, L f w, L f m m g m w g w, m, g
MOM Se a matriz [I m ] é ão sigular etão [I m ] - existe, assim é dado por: I g m m com o valor de ecotrado determia-se o valor de f. f f f I g m m A solução para f pode ser mais ou meos aproximada depededo das escolhas do tipo das fuções de base e de peso, f e w m, respectivamete. Por um lado, para se ter soluções mais exatas pode-se úmero maior de fuções de base e de peso. assumir um
MOM Uma das pricipais tarefas a solução pelo MOM é a escolha de f w m apropriadas. e Um caso particular, cohecido como Método de Galerki, é quado f =w m. A fução f deve ser liearmete idepedete e escolhida de modo a aproximar a fução de f relativamete bem quado for superposta. A fução w m também deve ser liearmete idepedete e escolhida de maeira tal que os produtos escalar <w m, g> sejam relativamete idepedetes das propriedades de g. É vatajoso escolher fuções de base e de peso que miimizem os esforços computacioais para o cálculo da itegral e do produto escalar respectivamete.
MOM Outros fatores a serem cosiderados: Precisão da solução desejada Facilidade de avaliação dos elemetos da matriz. Tamaho da matriz a ser ivertida. Obteção de uma matriz [I m ] bem comportada.
MOM De acordo com a equação: I m w L f w, L f, w, L f w, L f m m têm-se termos para avaliar. Cada termo exige duas ou mais itegrações, uma para o calculo de L(f) e uma o produto escalar. Quado se utiliza a itegração umérica uma grade capacidade computacioal é requerida, ou seja, é exigido um grade tempo de simulação.
MOM Para dimiuir o esforço computacioal é possível utilizar um grupo de fuções de peso que reduzem o úmero de itegrais a serem resolvidas. Essas w m são cohecidas como fuções de teste Delta de Dirac e são defiidas como: w p p p p p p m,,... m Ode p é a posição de referêcia e p m é a posição ode a codição de cotoro é forçada. p p, g p p, L f m,,3,..., m m f, g f g ds p p g ds p p L f ds m,,3,..., m m p p m p p g L f m,,3,..., m
MOM Deste modo observa-se que a úica itegral a ser calculada é L(f ). Tal simplificação possibilita algumas soluções que são impraticáveis com o uso de outras fuções de teste. Fisicamete o uso das fuções delta de Dirac são tidas como a relaxação das codições de cotoro, que fazem com que sejam forçados potos discretos a superfície da estrutura aalisada.
MOM Fuções de Base As fuções de base que são utilizadas, a prática, os problemas determiísticos uméricos dividem-se em duas classes. A primeira classe são as fuções de subdomíio que são ão ulas apeas sobre a uma parte da superfície da estrutura aalisada. A seguda classe são as fuções de domíio-iteiro que existem ao logo de todo o domíio da fução descohecida.
MOM Fuções de Subdomíio São as mais comus etre as fuções de expasão. Sua vatagem reside o fato de sua utilização ser possível sem o cohecimeto prévio da atureza das fuções que devem represetar. Ao cotrário das fuções de domíio-iteiro. A abordagem dessa classe evolve a subdivisão da estrutura em segmetos ão coicidetes. Para torar mais claro o etedimeto, os segmetos são colieares e de igual comprimeto, embora essa codição ão seja ecessária. As fuções f são defiidas em cojuto com os limites de um ou mais segmetos.
MOM A fução de base mais comum dessa classe e coceitualmete mais simples é ao pulso, defiido como: f x x x x caso cotrário f x Uma vez que os coeficietes associados a f são determiados, etão está fução produz uma represetação em escada da fução descohecida. f x f x f x f 3 3 x
MOM Outra fução comum esse grupo são as triagulares, defiidas como: x x x x x x x x x f x x x x caso cotrário x x f x O aumeto das fuções de subdomíio para além da fução triagular ão se justifica, pois a melhora da precisão ão compesa, tedo em vista o aumeto da complexidade computacioal. Cotudo outras fuções podem ser usadas em casos específicos.
MOM Outra fução comum esse grupo são as Seoidais, defiidas como: si si si si x x x x x x x x x f x x x x x x caso cotrário f x f x f x 3 3 f x
MOM Também podem ser defiidas fuções trucadas: f x f x x cos x caso cotrário x x x x f x f x 3f3x
MOM Fuções de Domíio-iteiro São defiidas ão ulas ao logo de toda a estrutura cosiderada. Segmetações ão são utilizadas essa classe. Uma fução comum dessa classe é a seoidal represetada por: f x cos x l l x l A pricipal vatagem dessas fuções está associada à problemas ode a fução descohecida tem iicialmete um padrão. A represetação de uma fução cosseo e/ou seo de domíio-iteiro é semelhate à expasão da série de Fourier para fuções arbitrárias. Por meio dessas fuções é difícil modelar fuções descohecidas complicadas ou arbitrárias.
MOM Método do Poto de Observação (Poit Matchig) A trasformação da itegral a matriz é geralmete difícil em problemas práticos. Assim desevolveu-se uma maeira simples para se obter soluções aproximadas. A fução f é escolhida para cada L(f ), ode seu valor possa ser coveietemete especificado, em forma fechada preferecialmete ou umericamete. Têm-se uma equação com partes descohecidas, mas somete isso ão é suficiete para que seja calculado o valor da costate descohecida. Para se ecotrar a resposta desse último problema é ecessário se obter equações lieares idepedetes, o que pode ser feito por avaliação em potos discretos e distitos. Esse procedimeto é deomiado método dos potos de observação (poit matchig method).
Eletrostática: MOM - Aplicações
MOM - Aplicações Cosidere um fio fio codutor de raio a e comprimeto L (L>>a) localizado o espaço livre: Estado o fio em um potecial V o deseja-se determiar a desidade de cargas ao logo do fio e os valores do campo em qualquer poto. Da equação de Poisso tem-se: V L Ldl 4 R
MOM - Aplicações Para um poto fixo Y k o fio, tem-se: Se é pequeo, pode-se cosiderar a seguite aproximação: L k L d V 4 k k L f f f f d f...
MOM - Aplicações Com o fio dividido em segmetos de comprimeto, tem-se: =L/ = L k L d V 4 k k k V 4...
MOM - Aplicações Sedo a desidade de carga descohecida k e como a equação aterior deve ser válida para todos os potos sobre o fio, tem-se: Fuções de base: Pulso Fuções de Peso: Delta de Dirac (poit matchig) A itegral foi aproximada V V V... 4... 4... 4
Ou seja: MOM - Aplicações
MOM - Aplicações Para os termos da diagoal pricipal, cuidado! Sigularidades! Escrevedo de uma forma mais rigorosa, tem-se: Para miimizar a sigulariadade uma opção é: potos de observação o cetro e fote a superfície. Proceder a avaliação da itegral de forma umérica ou fechada.
MOM - Aplicações Como o fio é codutor, a desidade de carga superficial aparece somete a superfície. Pode-se cosiderar a seguite solução: >> a:
O campo pode ser calculador por: MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações Sedo V = V, L = m, a = mm e =, tem-se:
MOM - Aplicações Sedo V = V, L = m, a = mm e =, tem-se:
MOM - Aplicações Sedo V = V, L = m, a = mm e =, tem-se:
De forma mais rigorosa tem-se: MOM - Aplicações Fução de base
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações Cosiderado outra geometria de codutor:
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações Eletrostática: Determie a capacitâcia de um capacitor de placas paralelas. Seja a = m, b = m, d = m e r =. q ds s C Q V Q Para determiar s a placa P foi dividida em subáreas S, S,..., S e a placa P em subáreas S +, S +,..., S.
MOM - Aplicações O potecial o cetro de cada subárea,vi, é: V i S S ds 4 R j 4 S j j 4 i ds S j R i ij ds R ij Assumido que a desidade de carga é uiforme: V i A ij j A j 4 ij S i ds R ij
MOM - Aplicações Fuções de base: Pulso Fuções de Peso: Delta de Dirac (poit matchig) j j j j j j j j j j j j j j j A V A V A V A V A V,,,,,,, A A A A A A A A A
MOM - Aplicações Para determiar A ij as subáreas podem estar sobre a mesma placa ou placas diferetes. A R ij ij 4 ( x j x i ) x xx dxd R ( ij j i ) ( z j z i ) Assumido: x x l Pode-se mostrar que: A ij Si l 4 R R ij 4 ij i j A ii l l l 884. i j
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
= 9 C= 6.5 pf = 6 C=7.7 pf =5 C=7.74 pf MOM - Aplicações
Referecias Bibliográficas SADIKU, M.. O. Elemes of Eletromagetics. 3rd ed. ew York, USA: Oxford Uiversit Press. 769p. BALAIS, C. A. Advaced Egieerig Electromagetics. st ed. USA: Joh Wile &Sos, 98p. HARRIGTO, R.F. Field Computatio b Momet Methods. ew York: IEEE Press. 5p.