Aula - Moimeno em uma dimensão Física Geral I - F-18 semesre, 1 Ilusração dos Principia de Newon mosrando a ideia de inegral
Moimeno em 1-D Enender o moimeno é uma das meas das leis da Física. A Mecânica esuda o moimeno e as suas causas. A sua descrição e feia pela Cinemáica. As suas causas são descrias pela Dinâmica. Iniciamos com o moimeno em 1-D.
Posição 1D Em cinemáica, os conceios de empo e posição são primiios. Um objeo é localizado pela sua posição ao longo de um eio orienado, relaiamene a um pono de referência (obserador), geralmene omado como origem ( ) Um conceio imporane é o da relaiidade do moimeno: sua descrição depende do obserador. escolha um pono! -3 - -1 1 3 (m)
O deslocameno O deslocameno unidimensional de um objeo num ineralo de empo ( - 1 ) é a diferença enre a posição final ( ) no insane e a posição inicial ( 1 ) no 1. Eemplo: corrida de 1 meros. - 1 1 : deslocameno : ineralo de empo
Velocidade média m 1 1 > > ** Se (moimeno à direia, ou no senido de crescimeno de ) e se < > (moimeno à esquerda, ou no senido de decréscimo de ) Eemplo: Corrida de 1 meros. De a 5,1 s : m 4m / 5.1s 8, m/s De 5,1 a 1,5 s: m 6m / 5,49s 1,9 m/s Em odo o ineralo (de a 1,5 s) : m 1m / 1,5s 9,5 m/s A elocidade média nos dá informações sobre um ineralo de empo. Mas pode ser que queiramos saber a elocidade em um dado insane.
Velocidade média Velocidade média enre e () ( ) m gθ () θ m,6 m / s
Velocidade média Velocidade média enre e () ( ) m gθ θ () m 1, m / s
Velocidade média Velocidade média enre e () ( ) m gθ θ m 1,5 m / s
Velocidade insanânea Velocidade insanânea em ( ) () ( ) d( ) lim gθ d (a elocidade insanânea é a deriada da posição em relação ao empo) θ ( ) 1,5 m / s rea angene à cura
Velocidade insanânea Conceio ( ) lim d d Deriada Geomericamene Tangene Eemplo: Na corrida, de 1 m, a elocidade em s é 9m ( s) 8, m 11, s s
Visualização gráfica da deriada
Algumas deriadas imporanes f () a f ( ) b g( ) a consane n sin ω cos ω e λ ln λ df ( ) / a df ( ) / d b dg( ) / n n 1 ω cosω ω sin ω λ e λ 1 d d
Velocidade escalar média e elocidade escalar A elocidade escalar média é uma forma diferene de descreer a rapidez com que uma parícula se moe. Ela enole apenas a disância percorrida, independenemene da direção e senido: em disância oal Em algumas siuações, em m. Enreano, as duas podem ser basane diferenes. E: parícula pare de O, em rimo consane, ainge P e reorna a O, depois de decorrido um empo τ oal e er percorrido uma disância oal L. Nese caso: L m e em τ A elocidade escalar é o módulo da elocidade; ela é desiuída de qualquer indicação de direção e senido. (O elocímero de um carro marca a elocidade escalar insanânea e não a elocidade, já que ele não pode deerminar a direção e o senido). L O τ τ P
Velocidade insanânea Um caso paricular: elocidade consane ( ) ou: d d m ( ) Graficamene: () ()
O cálculo de () a parir de () Ese é o problema inerso. Considere inicialmene o caso de elocidade consane. Enão: ( ) Noe que ( ) é a área sob a cura () da elocidade consane em função do empo. Ese é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para ineralos de empo muio curos podemos escreer: ( ), onde () é a elocidade insanânea em.
O cálculo de () a parir de () Diidimos o ineralo (- ) em um número grande N de pequenos ineralos ( ) i i () ( i ) ( ) ( ) i ( ) i i i () i No limie N e : ( ) d
O cálculo de () a parir de () d( ) ( ) e ( ) d ( ) d A elocidade é obida deriando-se a posição em relação ao empo; geomericamene, a elocidade é o coeficiene angular da rea angene à cura da posição ersus empo no insane considerado. O deslocameno é obido pela ani-deriação (ou inegração) da elocidade; geomericamene, o deslocameno é a área sob a cura da função elocidade ersus empo.
Algumas inegrais imporanes f () a f ( ) b g( ) a consane F() a F( ) bg( ) a n, n 1 1 n / n 1 sin ω cosω / ω cos ω e λ 1 sin ω / ω e λ / ln λ
Aceleração média Aceleração média: a m 1 1 Um corredor acelera uniformemene aé 1 m/s em 4, s. Maném a elocidade nos próimos 4s e reduz a elocidade para 8, m/s nos 4,7s seguines. Acelerações médias: de s aé 4s: a m 1m/s / 4s,5 m/s de 4s aé 8s: a m m/s / 4s m/s de 8s aé 1,7s: a m -m/s / 4,7s -,4 m/s
Aceleração média Aceleração média enre e () ( ) a m gθ θ ()
Aceleração insanânea Aceleração insanânea em () a( ) lim ( ) d( ) d gθ (a aceleração insanânea é a deriada da elocidade em relação ao empo) θ rea angene à cura da elocidade
Aceleração insanânea a Conceio lim Noe que d d d d d a d d d Deriada d d Deriada segunda Eemplo: Na corrida de 1 m, a aceleração em s é: 5,9m s a ( s), m s,7s () () a() Gráficos
Aceleração consane Se a aceleração é consane a a a m ( ) ( ) Se e ( ), emos que a elocidade fica: Noe que nese moimeno a elocidade média é dada por Como m, emos: m a
Resumo: aceleração consane As equações de moimeno para o caso de aceleração consane são: ( ) ( ) a a a 1 1
Aceleração da graidade Galileo, o primeiro físico moderno, esudou a queda dos corpos. Refuou as hipóeses de Arisóeles. Usando eperimenos, mosrou que os corpos caem com a mesma elocidade, independenemene de sua massa. ~, ~ ; conseqüências de uma aceleração consane!
Aceleração da graidade Mas... deemos noar que há, em geral, ouras forças auando no corpo considerado, o que pode frusrar uma eperiência se não formos suficienemene cuidadosos. a resisência do ar!!
Corpos em queda lire Para cima: diminuindo Para baio Bola jogada para cima Bola para aumena
Resumo: aceleração consane (-g) As equações de moimeno para o caso de aceleração da graidade -g são (ao longo do eio y): ( ) ( ) y y y y g g y y g 1 1 g y
Eemplo Um corpo cai liremene a parir do repouso; calcule a sua posição e elocidade em 1,,, e 3, s. 1 y g e g Em 1, s: y - 4,9 m e -9,8m/s Coninuando emos...
O cálculo de () a parir de a() Ese é noamene o problema inerso. Considere inicialmene o caso de aceleração consane. Enão, a ( ) a() Noe que a(- ) é a área sob a cura da aceleração a() consane em função do empo. Ese ambém é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para ineralos de empo muio curos podemos escreer a( ) onde a() é a aceleração insanânea no insane. a
O cálculo de () a parir de a() Diidimos o ineralo (- ) em um número grande N de pequenos ineralos. a( ) ( ) ( ) i i i i a( ) i No limie N e : a ( ) d a() i a() a( i ) i
O cálculo de () a parir de a() d( ) a( ) e ( ) d a( ) d A aceleração é obida deriando-se a elocidade; geomericamene, é o coeficiene angular da rea angene à cura da elocidade ersus empo no insane considerado. A elocidade é obida pela ani-deriação (ou inegração) da aceleração; geomericamene, a ariação de elocidade é a área sob a cura da função aceleração ersus empo.
Moimeno relaio 1D Dadas as posições A e B de dois corpos A e B em relação a uma origem (referencial), a posição relaia de A em relação a B é dada por: AB A B Enão, a elocidade relaia AB de A em relação a B é: AB d d AB d d A d d E a aceleração relaia a AB de A em relação a B é: B A B a AB d d AB a A a B