1º Exame de Mecânca Aplcada II Este exame é consttuído por 4 perguntas e tem a duração de três horas. Justfque convenentemente todas as respostas apresentando cálculos ntermédos. Responda a cada pergunta em folhas separadas. Pergunta 1 (5 Val.) A barra AB roda com uma velocdade angular constante de 10 rad/s no sentdo horáro. Por sua vez, a extremdade da barra esbelta BC, com uma massa de 8 kg, deslza lvremente sobre a superfíce horzontal ao longo do exo x. Para o nstante representado na fgura: a) Determne a velocdade angular da barra BC. [1,5 Val.] b) Determne a aceleração angular da barra BC. [2 Val.] c) Determne a resultante das forças e dos momentos (em torno do respetvo centro de massa) que produzem o movmento da barra BC. [1,5 Val.] Pergunta 2 (5 Val.) Uma barra esbelta, com um comprmento L = 0,91 m e peso de 45,5 N, roda desde a posção vertcal até atngr a horzontal, onde ocorre o mpacto com a protuberânca B, a qual se encontra à dstânca b = 0,31 m do ponto de artculação A, tal como lustrado na fgura. Sabendo que a barra parte do repouso, que o coefcente de resttução é e = 0,6 e que o mpacto tem a duração t 2 t 1 = 0,1 s: a) Determne a expressão que permte calcular a velocdade angular ω da barra medatamente antes do mpacto. [2 Val.] b) Determne, na forma mas smplfcada, a expressão que relacona a velocdade angular ω da barra medatamente após o mpacto com a velocdade ω referda na alínea anteror. [1,5 Val.] c) Calcule o valor (médo) da força exercda na barra, em consequênca do mpacto em B. [1,5 Val.] Pergunta 3 (5 Val.) Consdere a aeronave de asa fxa com rotores de nclnação varável lustrada na fgura. A descolagem vertcal nca-se com θ = 0º, varando este ângulo, com uma taxa θ, até cerca de 90º para voo horzontal. Os raos de gração de cada rotor em relação aos seus exos prncpas de nérca são dados por k x, k y e k z. Sabendo que os rotores permanecem a rodar com uma velocdade angular constante N, para um dado valor de θ: a) Represente o referencal (x, y, z ) em rotação nos exos do rotor A e ndque a velocdade angular deste referencal. [0,5 Val.] b) Determne a velocdade e a aceleração angulares, respetvamente ω e α, do rotor A. [1 Val.]
MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectvo de 2015/2016 c) Determne o momento angular H A, em relação ao centro de massa do rotor A. [1,5 Val.] d) Determne a taxa de varação de momento angular, em relação ao centro de massa do rotor A. [1 Val.] e) Dscuta, justfcando analtcamente, a magntude e o sentdo da reação dnâmca da aeronave em termos de gunada (rotação em torno do exo z da aeronave) e rolamento (rotação em torno do exo x da aeronave), em vrtude da varação do momento angular dos rotores. [1 Val.] Pergunta 4 (5 Val.) x = r sn θ cos φ As coordenadas esfércas (r, θ, φ) podem ser defndas em R 3 por: { y = r sn θ sn φ. z = r cos θ a) Determne a matrz da transformação nversa. [0,5 Val.] b) Determne a base natural de (r, θ, φ). [0,5 Val.] c) Determne as matrzes da métrca covarante e contravarante. [1 Val.] d) Mostre que Γ r θθ = r, Γ θ φ θθ = 0 e Γ θθ = 0. [1 Val.] e) Sendo que uma partícula tem velocdade V = 2 e θ, determne as componentes físcas da aceleração em coordenadas esfércas. [2 Val.] Formuláro Barra esbelta: I = ml2 I = ml2 3 12 Relações fundamentas da dnâmca: F = ma G M G = H G Le de transformação tensoral: T 1 p j1 j q = X k X 1 1 X p p Xj1 j q j 1 X jq T 1 p j1, X det (X j q ) Símbolos de Chrstoffel em coordenadas ortogonas: Γ jk = 0, j, j k, k Γ j Γ jj = 1 2 g g xj, j = 1 2 g g jj x, j Γ = 1 2 g g x, para todos os índces guas. Aceleração em coordenadas curvlíneas: a = v + Γ jk v j v k
Pergunta 1 Resolução a) Velocdade do ponto B, notando que o ponto A se encontra no exo de rotação: Velocdade da extremdade C, usando o ponto B como referênca: Como a extremdade C deslza ao longo do exo x, a componente da respetva velocdade segundo o exo y (versor j) tem de ser nula, logo: b) Aceleração do ponto B, notando adconalmente que a barra AB roda com velocdade angular constante: Aceleração do ponto C, usando o ponto B como referênca: Como a extremdade C deslza ao longo do exo x, também a componente da respetva aceleração segundo o exo y (versor j) tem de ser nula, logo: c) De modo a aplcar as equações do movmento à barra esbelta BC, é necessáro determnar anda a aceleração do respetvo centro de massa: As resultantes da força, F, e do momento em torno do centro de massa, M, que produzem as acelerações, respetvamente lneares e angulares, anterormente determnadas são dadas pelas seguntes relações:
Pergunta 2 a) Usando o prncípo do trabalho e energa, calcula-se a varação de energa cnétca, notando que a barra parte do repouso: O trabalho das forças exterores (conservatvas) é smplesmente dado pela varação do potencal gravítco: Sendo ω a velocdade angular da barra medatamente antes do mpacto, a energa cnétca correspondente é: Substtundo e resolvendo para obter a expressão que dá a velocdade angular pretendda: onde o snal negatvo ndca o sentdo horáro de rotação. b) Da defnção do coefcente de resttução, tem-se: Como a protuberânca B permanece estaconára, resulta: As velocdades no ponto de barra que sofre o mpacto (à dstânca b da artculação), respetvamente antes e após o mpacto, obtêm-se da cnemátca: Substtundo, resulta a expressão que relacona as velocdades angulares da barra antes e após o mpacto: c) Aplcando o prncípo do mpulso e da quantdade de movmento (angular) ao mpacto da barra, obtém-se: onde se substtuem as expressões anterormente obtdas para as velocdades angulares, resultando: Da expressão anteror calcula-se o valor da força (méda) exercda na barra pela protuberânca B, ou seja:
Pergunta 3
Pergunta 4