Módulo I Ondas Planas Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Temos consderado o comportamento de campos em város meos, nclundo meos sem perdas, com perdas, bons condutores e condutores perfetos. Cabe, agora, estudarmos o fenômeno da reflexão das ondas planas ncdndo de forma normal e oblíqua, a partr do espaço lvre, em um materal arbtráro, para o qual z > 0, e os parâmetros consttutvos são, μ e σ, conforme fgura abaxo. campo ncdente campo transmtdo campo refletdo
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Esta análse é necessára porque, na prátca, ondas planas encontram obstáculos em seus camnhos. Um exemplo é o que ocorre quando uma onda de luz ncde sobre um espelho: uma grande parte da luz é refletda, sendo que uma parcela é transmtda, com a parte transmtda sendo rapdamente atenuada nas costas do espelho (as costas do espelho são metalzadas, e a profunddade de penetração no metal é pequena). A ntensdade da onda transmtda ou refletda depende dos parâmetros consttutvos dos dos meos envolvdos (, μ e σ). Para o caso da ncdênca normal, a frontera plana que separa os dos meos é perpendcular à dreção de propagação da onda.
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Consderemos que a onda plana ncdente tem campo elétrco harmônco no tempo, orentado (polarzado) em x, e está se propagando na dreção z. O campo ncdente é, então, dado por E z, t = E 0 e α 1z cos ωt β 1 z Onde E 0 é a ampltude da ntensdade de campo em z = 0 (posção da frontera entre os meos 1 e 2). 4
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Os fasores dos campos ncdentes, refletdos e transmtdos são dados por: Campos ncdentes E s = E 0 e α 1z e jβ 1z Campos refletdos E s r = E 0 r e α 1z e jβ 1z Campos transmtdos E s t = E 0 t e α 2z e jβ 2z H s = E 0 e α1z e jβ 1z j η 1 H r s = E 0 r e α1z e jβ 1z j H t η s = E 0 t e α2z e jβ 2z j 1 η 2 5
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Consderando que deve haver contnudade dos campos em uma frontera (z = 0) E tan1 = E tan2 (campo tangencal no meo 1 = campo tangencal no meo 2) E tan1 E tan2 H tan1 = H tan2 (na ausênca de corrente superfcal na nterface) H tan1 H tan2 O campo elétrco total no meo 1 deve ser gual ao campo elétrco total do meo 2 em z = 0, assm E 0 e α 1z e jβ 1z + E 0 r e α 1z e jβ 1z = E 0 t e α 2z e jβ 2z E 0 e α 1(0) e jβ 1(0) + E 0 r e α 1(0) e jβ 1(0) = E 0 t e α 2(0) e jβ 2(0) E 0 + E 0 r = E 0 t (1),, ou Da mesma forma para o campo magnétco total, logo E 0 r t E 0 = E 0 η 1 η 1 η 2 (2) a onda refletda do campo magnétco sempre tem snal trocado
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal 7 Coefcente de Reflexão e Coefcente de Transmssão De (2), temos que Substtundo os termos, temos que (equação (1)) na equação acma, e arranjando sendo Coefcente de Reflexão sendo Coefcente de Transmssão
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Coefcente de Reflexão e Coefcente de Transmssão Campos ncdentes Campos refletdos Campos transmtdos E s = E 0 e α 1z e jβ 1z E s r = E 0 r e α 1z e jβ 1z E s t = E 0 t e α 2z e jβ 2z H s = E 0 e α1z e jβ 1z j η 1 H r s = E 0 r e α1z e jβ 1z j H t η s = E 0 t e α2z e jβ 2z j 1 η 2 E 0 t = E 0 E 0 r = E 0 E s r = E 0 e α 1z e jβ 1z H r s = E 0 e α1z e jβ 1z j η 1 E s t = E 0 e α 2z e jβ 2z H t s = E 0 e α2z e jβ 2z j η 2
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Meo 1: Espaço lvre Meo 2: Delétrco sem perdas ( = 0 e/ou = 0) Constante de propagação: Comprmento de onda: Velocdade de fase: Impedânca ntrínseca: Para materal sem perdas, η é real. Γ e τ são reas. 9
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Meo 1: Espaço lvre Meo 2: Delétrco sem perdas ( = 0 e/ou = 0) Impedânca Intrínseca: Para materal sem perdas, η é real, logo Γ e τ são reas, e E e H estão em fase em ambas as regões. A conservação de energa pode ser demonstrada calculando o vetor de Poyntng nas duas regões. P ave z < 0 = P ave z > 0 P ave = 1 2 E 0 2 1 η 1 (1 Γ 2 ) k (a potênca útl é conservada) 10
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Meo 1: Espaço lvre Meo 2: Delétrco com perdas (caso geral) Constante de propagação: γ = jω με = jω με 1 j σ ωε = Re γ β = Im γ = + j Comprmento de onda: λ = 2π/β Velocdade de fase: u p = /β Impedânca ntrínseca: = jωμ/ η é complexa, logo E e H estão defasados do ângulo da mpedânca Γ e τ são complexos. 11
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Meo 1: Espaço lvre Meo 2: Delétrco com perdas (caso geral) Impedânca Intrínseca: = jωμ/ P ave z < 0 P ave z > 0 P ave = 1 2 E 0 2 1 η 1 (1 Γ 2 ) k P ave = 1 2 E 0 2 1 η 1 (1 Γ 2 ) e 2αz k Na nterface (z = 0), a potênca méda P ave é preservada, cfe. acma. À dreta da nterface, a densdade de potênca deca exponencalmente de acordo com o fator de atenuação e 2αz. Isso sgnfca que a potênca é dsspada em materas com perdas, à medda que a onda se propaga no meo, na dreção +z. 12
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Meo 1: Espaço lvre Meo 2: Bom condutor ( >> ou >> ) Constante de propagação: γ = (1 + j) ωμσ 2 Comprmento de onda: Velocdade de fase: Impedânca ntrínseca: η é complexa, com fase 45, logo E e H estão defasados de 45. Γ e τ são complexos. 13
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Reflexão e Transmssão com ncdênca normal Meo 1: Espaço lvre Meo 2: Bom condutor ( >> ou >> ) Impedânca Intrínseca: P ave z < 0 P ave z > 0 P ave = 1 2 E 0 2 1 η 1 (1 Γ 2 ) k P ave = 1 2 E 0 2 1 η 1 (1 Γ 2 ) e 2αz k Na nterface (z = 0), a potênca méda P ave é preservada, cfe. acma. À dreta da nterface, a densdade de potênca deca exponencalmente de acordo com o fator de atenuação e 2αz. Isso sgnfca que a potênca é dsspada em materas com perdas, à medda que a onda se propaga no meo, na dreção +z. 14
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Ondas Estaconáras O meo que contém a onda ncdente também contém a onda refletda, em função da reflexão que ocorre na frontera. A superposção das duas ondas produz um padrão de onda estaconára, como exbdo na fgura abaxo. Neste exemplo temos uma onda E = 1cos(ωt βz) V/m ncdndo na frontera z = 0, que apresenta um coefcente de reflexão Γ = Como Γ = 0,5 = E 0 r E 0, a onda nstantânea total no meo 1 é E = cos ωt βz + 0,5cos(ωt + βz) E 0 r E 0 = 0,5. Para o caso mostrado na fgura, E vara de 0.5 a 1.5 a cada z = /4 15
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Ondas Estaconáras Em uma onda estaconára, a dferença entre máxmos e mínmos é /4. E = cos ωt βz + 0,5cos(ωt + βz) E = 1e jβz + 0.5e jβz = ejβz e jβz (1e jβz +0.5e jβz ) E = 1 + 0.5e2jβz e jβz = 1 + 0.5e 2jβz = 1 + 0.5e 2j 2π λ z = 1 + 0.5e j4π λ z E z 1+1(0.5) =1.5 0 1-1(0.5) = 0.5 - /4 1+1(0.5) =1.5 - /2 1-1(0.5) = 0.5-3 /4 1+1(0.5) =1.5 -
Equações de Maxwell Teorema de Poyntng Ondas Estaconáras Relação de Onda Estaconára A razão entre a ampltude máxma e a ampltude mínma da onda estaconára é conhecda como relação de onda estaconára (ROE). ROE = E max E mn ROE = 1 + Γ 1 Γ 17
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Consderemos o caso em que uma onda plana unforme, ao se propagar, ncda oblquamente na nterface entre o meo 1 e o meo 2. Os meos 1 e 2 são meos delétrcos e sem perdas. Observe na fgura ao lado, que o ângulo de ncdênca é θ, o ângulo de reflexão é θ r, e o ângulo de transmssão é θ t. Incdênca Oblíqua Há dos caso a consderar: Polarzação paralela Polarzação perpendcular 18
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela Para este caso, o campo elétrco está no plano xz, conforme a fgura ao lado. Observe que o vetor campo elétrco está contdo no plano xz, enquanto que o vetor campo magnétco está ortogonal ao campo elétrco, sando do plano xz. 19
Campos ncdentes Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela E s = E 0 cos θ sn θ k e jβ 1(x sn θ +z cos θ ) H s = E 0 e jβ 1(x sn θ +z cos θ ) j η 1 Onde: β 1 = ω μ 0 ε 1 η 1 = μ 0 ε 1 Constante de propagação da regão 1 Impedânca da regão 1 θ Ângulo de ncdênca 20
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela E 0 cos θ é a projeção de E s (E na fgura) sobre o exo x Campos ncdentes E s = E 0 cos θ sn θ k e jβ 1(x sn θ +z cos θ ) E 0 sen θ é a projeção de E s (E na fgura) sobre o exo z 21
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela Campos ncdentes É a localzação, ao longo do camnho de propagação da onda ncdente onde E está sendo consderado pela expressão de E. E s = E 0 cos θ sn θ k e jβ 1(x sn θ +z cos θ ) É a projeção da coordenada x sobre a dreção de propagação É a projeção da coordenada z sobre a dreção de propagação A localzação do campo E na dreção de propagação é dada pela soma das duas projeções, sto é, (x sn θ + z cos θ ) 22
Campos refletdos Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela E s r = E 0 r cos θ r + sn θ r k e jβ 1(x sn θ r z cos θ r ) H s r = E 0 r η 1 e jβ 1(x sn θ r z cos θ r ) j Campos transmtdos E t s = E t 0 cos θ t sn θ t k e jβ 2(x sn θ t + z cos θ t ) H s t = E 0 t η 2 e jβ 2(x sn θ t +z cos θ t ) j β 1 = ω μ 0 ε 1 β 2 = ω μ 0 ε 2 Constantes de propagação das regões 1 e 2 η 1 = μ 0 ε 1 Impedâncas das regões 1 e 2 θ r Ângulo de reflexão η 2 = μ 0 ε 2 θ t Ângulo de transmssão 23
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela Para determnar os coefcentes de reflexão ( ) e de transmssão ( ), lembremos que deve haver contnudade dos campos tangencas E x e H y na frontera. Assm, tomemos os campos tangencas E r s = Et E s + s e H r s = Ht H s + s, em z = 0 (defnções dos campos conforme sldes anterores). Logo, cos θ e jβ 1x sn θ + cos θ r e jβ 1x sn θ r = cos θ t e jβ 2x sn θ t 1 η 1 e jβ 1x sn θ η 1 e jβ 1x sn θ r = η 2 e jβ 2x sn θ t (3) (4) Cabe notar que ambos os lados das duas equações acma são função da coordenada x. 24
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela Se E x e H y devem ser contínuos na nterface z = 0 para todo x, então esta varação de x deve ser a mesma em ambos os lados das equações, conduzndo a : β 1 sn θ = β 1 sn θ r = β 2 sn θ t O resultado acma é a Le de Snell da refração e da reflexão, ou seja: θ = θ r, β 1 sn θ = β 2 sn θ t. Substtundo as equações acma nas equações (3) e (4) do slde anteror, podemos encontrar as expressões para os coefcentes de reflexão ( ) e de transmssão ( ), conforme Γ = η 2 cos θ t η 1 cos θ η 2 cos θ t + η 1 cos θ τ = 2 η 2 cos θ η 2 cos θ t + η 1 cos θ Note que, para ncdênca normal, onde θ = θ r = θ t, Γ = η 2 η 1 τ = 2 η 2 e η 2 + η 1 η 2 + η 1 25
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Paralela Para a polarzação paralela, quando =0, exste um partcular ângulo de ncdênca, θ b, denomnado Ângulo de Brewster. Este ângulo ocorre quando o numerador da equação para é zerado, ou seja, η 2 cos θ t = η 1 cos θ em Γ = η 2 cos θ t η 1 cos θ η 2 cos θ t + η 1 cos θ Para este caso, θ = θ b, ou Ângulo de Brewster. Nesta stuação, consderando que β 1 = ω μ 0 ε 1, β 2 = ω μ 0 ε 2, η 1 = μ 0 ε 1, η 2 = μ 0 ε 2 e cos θ t = 1 sn θ t 2 = 1 β 1 2 β 2 2 sn θ t 2 η 2 cos θ t = η 1 cos θ pode ser reescrta como sn θ b = 1 1 + ε. 1 ε 2 26
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Perpendcular Para este caso, o campo magnétco está no plano xz, conforme a fgura ao lado. Observe que o vetor campo magnétco está contdo no plano xz, enquanto que o vetor campo elétrco está ortogonal ao campo magnétco, entrando no plano xz. 27
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Campos ncdentes Incdênca Oblíqua Polarzação Perpendcular E s = E 0 e jβ 1(x sn θ +z cos θ ) j H s = E 0 η 1 cos θ + sn θ k e jβ 1(x sn θ +z cos θ ) Onde: β 1 = ω μ 0 ε 1 η 1 = μ 0 ε 1 Constante de propagação da regão 1 Impedânca da regão 1 θ Ângulo de ncdênca 28
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Campos refletdos Incdênca Oblíqua Polarzação Perpendcular E s r = E 0 r e jβ 1(x sn θ r z cos θ r ) j H s r = E 0 r Γ η 1 cos θ r Campos transmtdos + sn θ r k e jβ 1(x sn θ r z cos θ r ) E s t = E 0 t e jβ 2(x sn θ t +z cos θ t ) j H s t = E 0 t τ η 2 cos θ t + sn θ t k e jβ 2(x sn θ t + z cos θ t ) β 1 = ω μ 0 ε 1 β 2 = ω μ 0 ε 2 Constantes de propagação das regões 1 e 2 η 1 = μ 0 ε 1 Impedâncas das regões 1 e 2 θ r Ângulo de reflexão η 2 = μ 0 ε 2 θ t Ângulo de transmssão 29
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Assm, tomemos os campos tangencas em z = 0. Logo, Incdênca Oblíqua Polarzação Perpendcular Para determnar os coefcentes de reflexão ( ) e de transmssão ( ), novamente devemos lembrar que deve haver contnudade dos campos tangencas E x e H y na frontera. E r s = Et E s + s e H r t H s + s = H s, e jβ 1x sn θ + e jβ 1x sn θ r = e jβ 2x sn θ t, 1 η 1 cos θ e jβ 1x sn θ + η 1 cos θ r e jβ 1x sn θ r = η 2 cos θ t e jβ 2x sn θ t Da mesma forma que no caso da polarzação paralela, cabe notar que ambos os lados das duas equações acma são função da coordenada x. 30
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Incdênca Oblíqua Polarzação Perpendcular Se E x e H y devem ser contínuos na nterface z = 0 para todo x, então esta varação de x deve ser a mesma em ambos os lados das equações, conduzndo a : β 1 sn θ = β 1 sn θ r = β 2 sn θ t O resultado acma é a Le de Snell da refração e da reflexão, ou seja: θ = θ r, β 1 sn θ = β 2 sn θ t. De onde podemos encontrar as expressões para os coefcentes de reflexão ( ) e de transmssão ( ), conforme Γ = η 2 cos θ η 1 cos θ t e τ = η 2 cos θ + η 1 cos θ t 2 η 2 cos θ η 2 cos θ + η 1 cos θ t. Para ncdênca normal, onde θ = θ r = θ t, Γ = η 2 η 1 τ = 2 η 2 e η 2 + η 1 η 2 + η 1 Para a polarzação perpendcular não exste um Ângulo de Brewster. 31
Reflexão e Transmssão com ncdênca oblíqua Reflexão Total A Le de Snell pode ser reescrta como sn θ t = ε 1 ε 2 sn θ. Consdere o caso (para polarzação paralela e perpendcular), onde ε 1 > ε 2. À medda que θ aumenta, o ângulo de refração θ t rá aumentar, mas a uma taxa maor do que θ aumenta. O ângulo de ncdênca θ para o qual θ t = 90 o é chamado Ângulo Crítco, θ C, onde sn θ C = ε 2 ε 1. A ângulos guas ou maores que o Ângulo Crítco, a onda ncdente será totalmente refletda, de tal forma que a onda transmtda não se propagará para a regão 2. 32