COKRIGAGEM Procediento geoestatístico segundo o qual diversas variáveis regionalizadas pode ser estiadas e conjunto, co base na correlação espacial entre si. É ua extensão ultivariada do étodo da krigage quando para cada local aostrado obté-se u vetor de valores e lugar de u único valor. Aplicação da cokrigage Quando duas ou ais variáveis são aostradas aproxiadaente nos esos locais dentro de u eso doínio espacial e apresenta significativo grau de correlação. O étodo pode ser usado quando a variável de interesse apresenta-se sub-aostrada e relação às deais. Essa variável é conhecida coo priária e as deais coo secundárias. O objetivo é elhorar a estiativa da variável priária utilizando aquelas ais densaente aostradas. Ou quando a variável priária tabé exibe ua baixa autocorrelação espacial e as variáveis secundárias apresenta ua alta continuidade. Noralente é usada ua variável priária e apenas ua secundária. Se o nuero total de variável priária e secundárias for igual a n, serão necessários (N v +) / variograas e covariograas cruzados. 3 4
ZS Fundaental na utilização da cokrigage é a verificação prévia da correlação existente entre as variáveis, a qual deve ser alta para que as estiativas seja consistentes. Tabé deve ser notado que a elhoria de interpretação soente é significativa quando ua das variáveis te u núero extreaente reduzido de casos e relação à outra. Se Z (x) e Z (x) são funções aleatórias estacionárias ou intrínsecas, o seu variograa cruzado, define-se coo : Z Z ( h) E[( Z( x) - Z( x h))( Z( x) - Z ( x h Variograa cruzado experiental: O estiador Z(x 0 ) nu ponto não aostrado x 0 pode ser descrito pela cobinação linear dos valores vizinhos de abas as variáveis ))] 5 6 Cokrigage Ordinária: solução por cálculo atricial [A] [B] [X] α i =,...n i representa os n i pontos para a variável Zi e α i =,...n i representa os n i pontos co deslocaento h para a variável Zi i é o identificador da variável priária Z ou secundária Z Matriz [A] coposta: pela sub-atriz, que descreve a distribuição espacial da prieira variável Z ; pela sub-atriz, que descreve a distribuição espacial da segunda variável Z ; pela sub-atrizes, que descreve a variabilidade cruzada das variáveis Z e Z consideradas e conjunto; os teros restantes 0 e corresponde à condição de não viés para abas as variáveis. 7 8
Vetor [B]: a atriz [A] não conté nenhua inforação sobre o ponto X 0, objeto da estiativa. Toda a inforação necessária está contida no segundo ebro do sistea, o vetor [B], o qual é coposto por subvetores: o que depende da configuração geoétrica relativa ao ponto X 0 e relação aos pontos x, onde Z é observada; o que depende da configuração geoétrica relativa ao ponto X 0 e relação aos pontos y, onde Z é observada; os teros restantes 0 e corresponde à condição de não viés. Vetor [X]: a solução do sistea, ou seja, o cálculo dos coeficientes s, s e dos ultiplicadores de Lagrange μ e μ, expressos pelo vetor [X] para diferentes pontos X 0 é obtida pela inversão de [A] e subseqüente ultiplicação por [B]. 9 0 Modelo linear de corregionalização As equações da cokrigage são foruladas na suposição que as variáveis priária e secundária apresenta covariâncias, co atriz positiva definitiva, para ser considerada ua atriz de covariâncias-cruzada válida. Ua aneira siples para a obtenção dessa atriz é utilizar o odelo linear de corregionalização. Ajusta os variograas e covariograas cruzados entre duas variáveis, ou ais, de tal aneira que a variância de qualquer cobinação linear possível dessas variáveis seja sepre positiva. Tal cobinação usa a esas estruturas dos variograas e dos covariograas cruzados, antendo o eso valor para o alcance. Abos os deterinantes das atrizes referentes aos valores do efeito pepita (Co) e soleira (C), deve ser positivos: 3
A variancia das cobinações lineares da variável de interesse é positiva, quando são utilizandos odelos variográficos. Ao incluir ais variáveis é necessário assegurar-se que a a variância das cobinações lineares delas tabe seja positiva. Para conseguir isto, utiliza-se do odelo linear de corregionalização, o qual estabelece que os variograas individuais e o cruzado são cobinações lineares de odelos de variograas. Para o caso de duas variáveis, te-se: h u h u h u h 3 h v h v h v h ZS Z S h w h w h w h ZS As equações anteriores pode ser escritas, e fora atricial: Z ( h) ZS ( h) u ZS h ( h) w S w ( h) v 0 0 u ( ) h w w ( h) v 0 0 ( ) h Cada ua das atrizes que conté os variograas são definidas positivas e, por tanto, para que o resultado final seja ua atriz definida positiva: 4 uj 0 v j 0 u v w 0 j j j ZS Co dados totalente coincidentes (isotopia): Conveniente, apenas, para estiar de aneira consistente o topo e a base de u jaziento. Cokriging Ipossível estiar covariancias cruzadas co todos os dados não coincidentes (heterotopia). Cokriging Topo Base Não se obte ua elhoria substancial quando se aplica a cokrigage, e relação à krigage ordinária. Variável secundária (ipedância acústica) Variável principal (porosidade) 5 6 4
Cokriging Resultados satisfatórios quando os dados são parcialente coincidentes (heterotopia parcial) Apenas variável secundária (ipedancia acústica) Apenas variável principal (porosidade) Variável principal e variável secundária A cokrigage ordinária é u procediento que requer o cálculo e odelage de variograas experientais diretos e cruzados. A odelage desses variograas não pode ser feita individualente, as si e conjunto de tal fora que deve satisfazer o odelo linear de corregionalização. Tal procediento pode se tornar uito trabalhoso à edida que auenta o núero de variáveis secundárias. Alé disso, dependendo do núero de variáveis envolvido, há o problea de estiativas discrepantes co a distribuição inicial da variável priária. Isso acontece devido às condições de restrição do sistea de equações de cokrigage ordinária e que os pesos da variável priária soa a u, enquanto os pesos da variável secundária soa zero. 7 8 Cokrigage colocalizada Variável priária: conheciento restrito a partir de pontos esparsaente distribuídos pelo doínio Variável secundária: conheciento exaustivo, conhecida e cada ponto da alha a ser estiada. Problea: alta densidade de inforação secundária pode resultar e instabilidade no sistea de equações lineares de cokrigage Siplificação da vizinhança que será considerada para a estiativa de valores da variável priária. ariograa da variável priária e variância da variável secundária. A cokrigage colocalizada é ua técnica que siplifica o procediento da co-estiativa, pois não requer o cálculo do variograa cruzado, o qual é deduzido co base no chaado Modelo de Markov ou, dependendo do suporte aostral da variável priária e relação à variável secundária. Trata-se de ua técnica que faz a estiativa usando a inforação secundária e caso de alta correlação ou a inforação priária e caso de baixa correlação. E situações de correlações édias, a cokrigage colocalizada faz uso tanto da inforação priária coo da secundária, por eio dos pesos da variável priária e peso da secundária. 9 0 5
Cokrigage co deriva externa Coo a krigage universal é u étodo híbrido, pois utiliza funções deterinísticas (contribuição não estacionária do fenôeno) e funções probabilísticas (contribuição estacionária do fenôeno Variável secundária: tendência de baixo grau Variograa dos resíduos A Cokrigage co deriva externa é tabé ua alternativa interessante e situações onde a variável secundária é fartaente aostrada. Nesse procediento, há ua condição de restrição que força os pesos da variável priária seguire a geoetria da variável secundária. A aior dificuldade da krigage co deriva externa está no cálculo da covariância residual a partir do variograa residual. Foi desenvolvido u procediento que perite calcular a coponente de tendência sobre a alha regular contendo a inforação secundária e a partir daí derivar o seu variograa, que subtraído do variograa da variável priária resulta no vaiograa residual. A cokrigage ordinária trabalha co ua base de dados, preferencialente co heterotopia parcial, da qual são calculados os variograas diretos e cruzado. A cokrigage colocalizada e a krigage co deriva externa usa duas bases de dados: a prieira co aostragens das variáveis priária e secundária nos esos pontos, ou seja, a base é isotópica e outra base co dados secundários sobre os pontos que se deseja estiar a variável priária. No caso da cokrigage colocalizada, parte-se do covariograa da variável priária para estiar o covariograa cruzado. A krigage co deriva externa precisa do variograa residual. 3 (Yaaoto e Landi, 03) 4 6
Exeplo (Isaaks & Srivastava, 989:405-407) Configuração de dados, ostrando valores para variável priária (U) e três valores para variável secundária (V) Localização dos pontos: P0: 0, 0 p: -3, 6 P: -8,-5 P3: 3,-3 Modelo linear de corregionalização: ( h) 440, 000 70, 000 Sph ( h ) 95, 000 Sph ( h ) U ( h), 000 40, 000 Sph ( h ) 45, 000 Sph ( h ) V VU ( h) 47, 000 50, 000 Sph ( h ) 40, 000 Sph ( h ) (7.) Valor de U0? 5 6 7 8 7
Exeplo: Distribuição dos poços que atingira o lençol freático/bauru,sp (Sturaro, 994) Topografia e lençol freático 7534000 554.08 7533000 576.60 753000 753000 7530000 759000 56.70 500.75 54.38 504.35 494.77 50. 58.00 50.8 53.60 508.80 496.77499.56 50.88 56.56 55.00 50.5 50.80 508.43 505.5 56.74 58.00 50.95 50.00 56.0 54.46 5.56 5.8 506.7 504.98 503.3 5.40 534.0 59.00 538.0 5.69 5.85 54.90 58.00 53.30 58.33 50.0 57.00 530.3 5.80 50.0 537.46 54.5 543.53 535.63 537.6 50.00 535.30 543.98 58.30 539.70 5.48 54.45 538.90 530.60 54.40 535.00 534.50 54.00 549.00 499.7 495.78 546.8 530.00 547.455.5 549.40 555.35 556.58 56.73 559.80 559.5 563.5 558.50 495.63 50.7 504.68 504.4 758000 534.00 554.87 577.87 564.73 55.00 757000 556.50 756000 548.48 9 568.84 696000 697000 698000 699000 700000 70000 70000 703000 704000 30 Correlação entre cota topográfica e topo do lençól freático 3 3 8
UTM - NORTE (UTM) - NORTE Variograas Cokrigage do topo do lençol freático COKRIGAGEM DO TOPO DO LENÇOL FREÁTICO 7538000 7536000 7534000 753000 7530000 758000 756000 600 590 580 570 560 550 540 530 50 50 500 490 480 470 460 450 754000 694000 696000 698000 700000 70000 704000 706000 (UTM) - LESTE 33 34 35 Mapa dos desvios padrão da cokrigage MAPA DOS DESVIOS PADRÃO DA COKRIGAGEM TOPO DO LENÇOL FREÁTICO 7538000 7536000 9.5 7534000 8.0 6.5 753000 5.0 3.5.0 7530000 0.5 9.0 758000 7.5 6.0 756000 754000 694000 696000 698000 700000 70000 704000 706000 UTM - LESTE EXERCÍCIO 05. Krigage indicativa Aplicar o algorito Kriging aos 359 dados do exercício 0, após transforação para valores binários 0-. Os níveis de corte, necessários para a transforação binária 0-, são 0.8 para cádio, 50 para cobre e 50 para chubo. Esses valores são definidos coo sendo o áxio tolerável para u solo ser considerado coo não poluído. Para a transforação binária: Planilha de dados/data Transfor Transfor with: Colun variables Transfor equation: Para cádio: G=IF(D>0.80,,0) Para cobre: H=IF(E>50,,0) Para chubo I=IF(F>50;,0) Calcular apas co valores de probabilidade de ocorrência para os etais cádio, cobre e chubo. Os apas resultantes deverão obedecer à área irregular abrangida pelos pontos de 36 aostrage. 9