Lista de Exercícios - Espaços Vetoriais. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: i. u + v (x y) + (s t) (x + s + y + t ) ii. αu α(x y) (αx + α αy α + ) (a) Calcule u + v e αu para u ( ) v ( ) e α (b) Mostre que ( ). Sugestão: Encontre um vetor w tal que u + w u (w representa o "vetor nulo") (c) Quem é u? (d) Mostre que vale o axioma ou seja que u + u (e) Verifique que são válidos os axiomas 678 e que portanto V é um espaço vetorial.. Mostre que o conjunto dos polinômios da forma a + bx com as operações definidas por: i. p(x) + q(x) (a + bx) + (c + dx) (a + b) + (c + d)x ii. α(a + bx) (αa) + (αb)x é um espaço vetorial.. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: i. u + v (x y) + (s t) (x + s ) ii. αu α(x y) (αx αy) Nessas consições V é um espaço vetorial? 4. Em cada caso represente W algebricamente e a seguir verifique se W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V dado. (a) V R e W é o conjunto dos pares ordenados pertencentes à curva y x. (b) V M e W é o conjunto de todas as matrizes simétricas. (c) V F(R) (Conjunto das funções reais) e W é o conjunto das funções pares. (d) V F(R) e W é o conjunto dos polinômios de grau exatamente igual a.. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V. (a) V R e W {(x y z) R : x + y z } (b) V R e W {(x x x ) R : x + x } (c) V P n e W {p P n : p() p()}
(d) V M( ) e S {X M det(x) } (S é o conjunto das matrizes singulares) (e) V M( ) e F {X M AX XA} (F é o conjunto das matrizes que comutam com a matriz A) { (f) V P e W p(x) P : } p(x)dx x y z (g) V R e W (x y z) R : det (h) V M e W {A M : A A} 6. a) Verifique se o conjunto S {A M( ); A e uma matriz anti sim etrica} é um subespaço vetorial de M( ). b) Considere o subconjunto de M dado por { [ ] a b W M c d b a e d a. Verifique se o subconjunto W é um espaço vetorial. 7. Os vetores u v e w de cada uma das figuras são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Explique. lista espacos vetoriais.png lista espacos vetoriais.png 8. Verifique se o conjunto W {( ) ( ) ( ) ( 4 )} R é L.I ou L.D. 9. Determine se as colunas da seguinte matriz formam um conjunto linearmente dependente 4 ou independente: A 7 7. Qual o número de soluções do sistema AX 6 onde X [x y z t] T? Existe alguma relação entre a dependência e independência linear das colunas da matriz A e o número de soluções de um sistema do tipo AX?. Dado o conjunto W {( ) ( ) ( ) ( 4 )} R extrair um subconjunto de vetores L.I.
. Seja {u v w} um conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V. Verifique se o conjunto {u + v w u + v w v + w} é um conjunto L.I ou L.D.. a) Se o conjunto β {v v... v n } é um conjunto Linearmente Independente então o o conjunto α { v } v... v n é LI ou LD? Justifique sua resposta. { } b) Considere o subespaço N. Qual é a base e a dimensão de N.. Considere o subespaço vetorial H {(x x z) : x z R}. (a) Interprete geometricamente o conjunto H. (b) Determine um conjunto de vetores geradores de H. (c) Verifique se o subespaço vetorial H é gerado pelos vetores ( ) e ( ). 4. Mostre que R ger{( ) ( ) ( )}.. Sejam U {a + bx + cx + dx P / a + b c + d } e W {p(x) P / p ( ) } dois subespaços vetoriais de P. Determine U W. ( ) ( ) ( ) 6. Qual o subespaço gerado pelas matrizes e? 7. P é gerado por + x x + x + x? { [ ] { [ a b a 8. Sejam U / a + b + c e W c d c vetoriais de M. Determine os geradores de U W. ] b d / b + d dois subespaços 9. Considere o espaço vetorial P e o conjunto W {p(x) P ; p () }. (a) Verifique se W é um subespaço vetorial de P. (b) Obtenha os geradores de W.. Mostre com um exemplo que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precisa ser um subespaço vetorial desse espaço.. Considere o subespaço Sde R 4 gerado pelos vetores v ( ) v ( ) v ( ) e v 4 ( ). (a) O vetor ( ) S ger {v v v v 4 }? Justifique. (b) Exiba uma base para S ger {v v v v 4 }. Qual é a dimensão deste espaço? (c) S ger {v v v v 4 } R 4? Por quê?. Estenda { ( ) ( ) a uma base de M( ).. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M( ). { [ a (a) V c ] b d com a b c d R e b c e a b
{ [ a (b) V c ] b d com a b c d R e b d Em caso afirmativo determine: i) uma base para W W ii) W + W é soma direta? iii) W + W M( )? 4. Considere os subespaços de R W {(x y z t w) x + z + w x + w } W {(x y z t w) y + z + t } e W {(x y z t w) x + t + w }. (a) Determine uma base para o subespaço W W W. (b) Determine uma base e a dimensão de W + W. (c) W + W é soma direta? Justifique. (d) W + W R?. Seja B M(n n) uma matriz fixada e considere W {A M(n n)/a T + AB } (a) Mostre que W é subespaço de M(n n) [ ] (b) Considerando n e B determine uma base e a dimensão de W. 6. Para que valores de k os vetores {( k) ( k ) ( ) ( k)} geram um subespaço de dimensão? 7. Considere os seguintes subespaços de P : { } U p P : p () { } e W p P : p () Determine dim(u + W ) e dim(u W ). 8. Considere o subespaço W de P que é gerado pelos polinômios p (x) + x + x p (x) + x + x e p (x) + 4x + 8x + 9x e o subespaço de P U {p P : p() } (a) Determine uma base e a dimensão de W. (b) Determine uma base para U W. (c) Determine uma base para U + W. 9. Sejam U ger{( ) ( )} e V ger{( ) ( )} subespaços gerados do R. Determine: (a) uma base e a dimensão de U W. (b) U + W R?. Considere o seguinte subespaço de M( ) { [ a S c ] b d M( ) : a + b c + d 4
(a) Determine uma base e indique a dimensão de S. (b) Construa uma base de M( ) que contenha a base de S obtida no ítem a).. Determine a dimensão e encontre uma base do espaço-solução do sistema x y + z x 6y + z x 9y + z. Dê exemplos de dois subespaços do R tais que V +V R. A soma é direta? Justifique sua resposta.. Sejam U e W subespaços de R 4 de dimensão e respectivamente. Mostre que a dimensão de U W é pelo menos. O que ocorre se a dimensão de U W for? Pode ser? Justifique sua resposta. 4. O conjunto A {( ) (a a ) ( a)} é uma base para um subespaço do R de dimensão se e somente se a? x + y + az. Seja S {X M : AX } o espaço solução do sistema x + ay + z. ax + y + z Determine os valores de a para os quais S seja: a própria origem; uma reta que passa pela origem; e um plano que passa pela origem. Deter- 6. Considere{ [ os conjuntos ] [ U {A ] M( [ )/tr(a) ] } e W ger subespaços do espaço vetorial V. mine uma base e a dimensão de U + W e U W 7. Sejam β {( ) ( )} β {( ) ( )} β { ) ( )} e β {( ) ( )} bases ordenadas de R. (a) Encontre a matrizes mudança de base: i. [I] β β ii. [I] β β iii. [I] β β iv. [I] β β. (b) Quais são as coordenadas do vetor v ( ) em relação à base i. β ii. β iii. β iv. β. (c) As coordenadas de um vetor u em relação à base β são dadas por [u] β Quais as coordenadas do vetor u em relação à base: i. β ii. β iii. β 8. a) Encontre as coordenadas do vetor p +t+t +t em relação base α { + t t + t t + t } de P b) O conjunto β { t t + t } é LI ou LD? Justifique sua resposta 9. Sejam P 4 {p a + a x + a x + a x + a 4 x 4 a a a a a 4 R} α { x x x x 4 } e β { x 4x 8x 6x 4 }. (a) Determine [I] α β.. [ 4 ]
(b) Se [p] α 4 determinar [p] β (c) Determine o polinômio p cujas coordenadas são dadas no item b) acima. { [ ] a b 4. Considere o seguinte subespaço de M : W d. Sejam c d α β { [ ] { [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (a) Detemine [I] α β π (b) Se [v] β e determine [v] α. 4. Sejam α e β bases de R. Determine a base β sabendo que α {( ) ( ) ( )} e a matriz mudança de base de α para β é [I] α β { ( ) ( ) ( ) 4. Seja α uma base para um subespaço de M e [I] α β onde β é também uma base para um subespaço de M (a) Determine a base β. (b) Se [v] β determine [v] α. 4. Seja E um espaço vetorial qualquer e α {u u u } uma base de E. Considere ainda os vetores v u + u v u + u u e v u. (a) Determine a matriz S de mudança da base β {v v v } para a base α {u u u }. (b) Calcule as coordenadas do vetor w v + v v na base {u u u }. 44. Sejam α e β bases de um espaço vetorial V ( ) (a) Mostre que det [I] α β [I]β α (b) Determine [I] α α 6
4. Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras demonstre. Se forem falsas dê um contra-exemplo. (a) A interseção de dois subespaços vetoriais nunca é vazia. ( ) { ( ) ( ) ( ) (b) A matriz pertence ao subespaço W ger. (c) Se os vetores u v e w são LI então os vetores u v v w e u w são LI s. (d) W ger{( ) ( 4 )} é um plano no R que passa pela origem. (e) Se β { v v v } é uma base de um espaço vetorial V então o conjunto A { v + v v + v v + v + v } é lineramente independente. (f) O subespaço W {p P : p () e p ( ) } é gerado pelos polinômios p e p 9x + x + x. (g) O conjunto { v v v } é sempre uma base para o subespaço ger{ v v v }. ALGUMAS RESPOSTAS:... Não 4. (a) W {(x y) R y x } ou W {(x x ) x R}. W não é subespaço de V R. (b) W {A M A T A}. W é subespaço de V M (c) W {f F(R) f( x) f(x)}. W é subespaço de V F(R) (d) W {f F(R) f(x) ax + bx + c a }. W não é subespaço de V F(R).. (a) Sim. (c) Sim. (e) Sim. (g) Sim. (b) Não (d) Não (f) Sim. (h) Não. 6. a) Sim b) Sim 7. 8. É LD. 9. As colunas da matriz formam um conjunto L.D.; o sistema é possível e determinado.. Um exemplo é W {( ) ( ) ( )}. É L.D... (a) a) Reta do espaço (y x) que passa pela origem. (b) H ger( ) ( ) (c) ( ) ( ) geram o subespaço (x y ) x y R H 7
4.. Uma possibilidade de expressar U W é U W {a + bx + cx + dx P / c a e b c d} ou U W {p(x) a + ( a d)x ax + dx ; a d R}. { [ ] a b 6. W M c d : a + b c + d 7. Sim 8. Uma das possibilidades é: U W 9. a) Sim b) W ger { x x x }. [ [ ] [ ] ]. b) β {( ) ( ) ( )} e dim W. A base de M( ) deve conter quatro matrizes LI s incluindo as matrizes dadas. Não esqueça de mostrar que as quatro matrizes geram M( ). { ( ). i) α ii) Não iii) Sim 4. a) Uma das bases é: β {( )} b) Uma das bases é: β {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} { ( ). α 6. k ou k 7. dim(u + W ) 4 e dim(u W ) 8. a) Uma das bases é: β { + x + x + x + x } dim W b) Uma das bases é: β { x + x + x } c) Uma das bases é: β { + x + x + x + x x x } 9. a) Uma das bases é: β {( )} dim(u W ) { ( ) ( ). a)uma base é β e dim S. { ( ) ( ) ( ) ( ) b) Um exemplo é: β. Uma base é β e dim W... 8
4. Falso. a ou a. i) a a b) a a c) a { ( ) ( ) 6. Uma possibilidade é: β U W [ ] 7. a) i) [I] β β [ ] [ ii. [I] β β ] { ( ) e β U+W ] iii. [I] β β [ 6 6 ( ) iv. [I] β β ( ) ( b) i) [v] β ( ) ( ) 4 4 ii. [v] β ( ) ( + c) i) [u] β ii. [u] β 8. a) [p] α b) Linearmente independente. 9. a) [I] α β 4 b) [p] β 4 8 6 6 4. a) [I] α β b) [v] α ( ) iii. [v] β + ) ( ) iii) [u] β π + 4. β {( ) ( ) ( )} { ( ) ( ) ( ) 4. a) β 4 4 4 b) [v] α 4. a) [I] β α b) [w] α π e e iv. [v] β ( c) p(x) + x + x + 4x + x 4 ) 44. b) [I] α α I n 4. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) F 9