Diensionaento de Lotes co Múltiplas Plantas: Coparação entre dois odelos Daniel Henrique Silva Instituto de Ciências Mateáticas e de Coputação Universidade de São Paulo (USP) danielhs@icc.usp.br Franklina Maria Bragion Toledo Instituto de Ciências Mateáticas e de Coputação Universidade de São Paulo (USP) fran@icc.usp.br RESUMO Diferentes variantes do problea de diensionaento de lotes vê sendo odeladas na literatura utiliando a ideia de localiação por facilidades. Neste tipo de odelage, as variáveis de produção relacionadas à quantidade de produtos produidos são desagregadas. Ebora o núero de variáveis reais do odelo se torne aior, a qualidade de seu liitante inferior do problea elhora de fora significativa, o que leva a ua resolução ais eficiente do eso. Neste trabalho, propoos a odelage do problea de diensionaento de lotes co últiplas plantas utiliando esta ideia. Testes coputacionais ostrara que a resolução do problea reodelado obté resultados elhores que o odelo original. PALAVARAS CHAVE. Diensionaento de lotes, últiplas plantas, prograação inteira-ista. Área principal: Otiiação Cobinatória. ABSTRACT Different variants of the lot-siing proble have been odeled using the facility location idea. In this odeling, the variables related to the aount of products are split. Although the quantity of variables increases, the quality of the lower bound iproves significantly, which leads to a ore efficient solution of the proble. In this paper the ultiplant lot-siing proble is odeled using this idea. Although in this variant the increase in the nuber of production variables of the odel is bigger than the others variants entioned in the literature, the coputational eperients show that the solution of the reodeled proble obtained better results than the original odel. KEYWORDS. Lot siing, ulti-plant, ied-integer prograing. Main area: Cobinatory Optiiation 638
. Introdução O problea de diensionaento de lotes consiste basicaente e, dada ua linha de produção co capacidade liitada e deanda conhecida, obter u planejaento de quais produtos deve ser fabricados, e qual oento, e e que quantidade, dentro de u horionte de produção finito, co o objetivo de deterinar u plano de produção que atenda às características especificadas, co o enor custo possível. É possível subdividir o estudo dos probleas de diensionaento de lotes e categorias, de acordo co as características próprias de cada classe de probleas. Os probleas pode tratar de u único produto, ou de diversos produtos distintos. O problea pode tratar ua única linha de produção, ou várias linhas de produção paralelas, ou ainda linhas de produção dependentes entre si. Tabé, pode haver ou não relações de dependência na orde de produção dos produtos. Esse problea é bastante estudado na literatura, e boas revisões sobre o assunto são encontradas e (Drel & Kis, 997), (Kari Ghio & Wilson, 2003), (Brahii et al., 2006), (Jans & Degraeve, 2008) e (Buschkühl, et al., 200). Neste artigo e específico, vaos considerar o problea de diensionaento de lotes de últiplos produtos, co últiplas plantas, últiplos períodos de produção e capacidade liitada. Nesta classe de probleas, considera-se a eistência de diferentes plantas, capaes de produir diferentes produtos. Alé disso, é peritido o transporte de produtos entre as plantas. Krarup & Bilde (977) propusera u odelo baseado na ideia de localiação de facilidades para tratar o problea de diensionaento de lotes. Esta odelage possui coo grande vantage o fato de levar a liitantes inferiores de boa qualidade para o problea. No entanto, o núero de variáveis de produção do problea é auentado. O objetivo central deste trabalho é propor ua adaptação do odelo proposto por Sabasivan & Yahya, (2005), utiliando a ideia baseada e localiação de facilidades de Krarup & Bilde (977), e analisar a qualidade deste odelo novo e coparação co o odelo original. Este artigo está organiado da seguinte fora. Na Seção 2, é detalhado o problea estudado e o odelo de Sabasivan & Yahya, (2005). Nesta esa seção tabé é proposto u novo odelo para o problea. Na Seção 3, testes coputacionais são apresentados e analisados. Finalente, na Seção 4, conclusões e considerações para trabalhos futuros são apresentadas. 2. Modelo Mateático Neste artigo, é abordado o problea de diensionaento de lotes co últiplas plantas, últiplos produtos e últiplos períodos. O abiente de produção te capacidade liitada e a fabricação de u produto requer a preparação da áquina (setup), a qual está associada a u custo de preparação. As plantas tê localiações distintas e pode produir diferentes produtos. Alé disso, a carteira de clientes é conhecida, e cada cliente copra seus produtos de ua única planta, pré-deterinada. O preço pago pelo cliente é sepre o eso, independente dos produtos adquiridos tere sido fabricados na planta de onde se copra ou não. Os custos de transporte dos produtos entre as plantas, caso este transporte ocorra, fica a cargo da epresa. O objetivo é encontrar u plano de produção que iniie a soa dos custos de produção, de preparação, de estoque e de transporte entre as plantas e u horionte de planejaento conhecido. Coo proposto por Sabasivan & Yahya, (2005), este problea pode ser descrito pelo odelo abaio, de acordo co os seguintes parâetros, índices e variáveis: Parâetros: n: Núero de produtos distintos produidos; : Núero de plantas eistentes; T : Núero de períodos do horionte de planejaento; d : Deanda do produto i na planta j no período t; P jt : Capacidade de produção da planta j no período t; 639
b ij : Tepo de processaento do produto i na planta j; s ij : Tepo de preparação do produto i na planta j; V ij : Custo de preparação para a produção do produto i na planta j; M ij : Custo unitário de produção do produto i na planta j; r ijk : Custo unitário de transporte do produto i na planta j para a planta k; H : Custo unitário de estoque do produto i na planta j ao final do período t. Índices: i : Índice relativo aos produtos. i =,, n; k : Índices relativos às plantas. k =,, ; t : Índice relativo aos períodos. t =,, T. Variáveis de decisão: : Quantidade do produto i produida na planta j do período t. I : Quantidade do produto i estocada na planta j ao final do período t. w ijkt : Quantidade do produto i transportada da planta j para a planta k no período t. : Variável binária, de valor igual a u caso o produto i seja produido na planta j no período t, e ero caso contrário. Min s. a. I n ( bij + sij ) i= w T = I, I ijkt n ij( t ) 0 j= l= t 0 {0,} M + T d ijl + H w + w ijkt k= l= k j l j P jt I + V ij ij ijk t= j= i= k= k j iljt + d r w ijkt k, j k () (2) (3) (4) (5) (6) (7) A função objetivo () visa iniiar a soa dos custos de produção, de estoque, de preparação e de transporte entre plantas para todos os períodos do horionte de planejaento. O grupo de restrições dado pelas equações (2) garante o balanço de estoque. As restrições (3) ipõe que a planta esteja preparada para a produção toda ve que houver produção do produto a ela associado. As restrições (4) garante que a capacidade de produção é respeitada e todas as plantas e e todos os períodos. Finalente, os grupos de restrições (5) ~ (7) define o doínio das variáveis. É iportante observar que coo as variáveis I são todas não-negativas, a deanda é obrigatoriaente atendida no prao, não havendo atrasos (backlogging). Poré, esse odelo pode ser facilente adaptado para aditir a possibilidade de atrasos na entrega. Alé disso, este odelo assue que, caso haja transporte de produtos entre plantas e deterinado período, este transporte é feito no decorrer do próprio período. Isso é ua hipótese viável se a unidade de tepo utiliada para definir cada período for longa o suficiente para peritir o transporte dos produtos no decorrer do próprio período de produção. Poré, esse 640
odelo pode ser adaptado alterando-se os índices das variáveis de transporte na restrição (2) para aditir tepos de entrega ais longos. Tabé assuios que os custos de transporte entre plantas sepre respeita a desigualdade triangular, ou seja, faer o transporte de qualquer produto entre a planta j e a planta j 3 diretaente é sepre ais vantajoso que faer o transporte da planta j para a planta j 3 passando pela planta j 2. Baseados na ideia de Krarup & Bilde, (977), estaos propondo ua adaptação do odelo original para este problea. A ideia da reodelage consiste e desagregar as variáveis de produção e relação às plantas nas quais os produtos são produidos e entregues, e e relação aos períodos nos quais os produtos são produidos e entregues. Co isso, cada variável irá carregar consigo ais inforação. Para este novo odelo, as variáveis de produção que representa a quantidade produida do produto i na planta j no período t ( ) são desagregadas, ou seja, esta variável é reescrita para representar a quantidade produida do produto i na planta j no período t para atendar a deanda do produto i (ou parte dela) na planta k no período u, ou seja, uk : Quantidade do produto i produida na planta j durante o período t para ser entregue no período u na planta k. A desagregação da variável de produção descarta a necessidade das variáveis de estoque, pois agora teos a produção diretaente direcionada ua planta e a u período específicos, portanto, é possível saber iplicitaente por quanto tepo os produtos são estocados (u produto é sepre estocado entre os períodos t e u), e se há transporte de produtos (haverá transporte toda ve que uk 0 para j k). Para incorporar estas udanças, os custos de produção associados às variáveis deve incorporar os custos de produção, de transporte entre plantas, e de estoque dos produtos, ou seja, o custo associado a cada variável é dado por: C uk = M ij + r ijkt 0, se u < t + ( u. Min{ H ij ; H ik }, caso contrário E o odelo original pode ser reescrito coo: Min n T T n T ( Cuk uk ) + ( Vij ) i= j= t= u= t k= i= j= t= (8) s. a. k= u= t sij + k u Min { d 0 i= = = t. n uk uk T uk {0,} = d T iuk b ij uk Pjt ; P } jt t, u, k) t, u, k) (9) (0) () (2) (3) A função objetivo (8) visa iniiar a soa dos custos de preparação para produção, de produção, de estoque e de transporte entre plantas para todos os períodos do horionte de produção. Vale ressaltar que os três últios custos estão contabiliados iplicitaente no parâetro C uk. As equações (9) garante o atendiento da deanda. As restrições (0) 64
assegura que a capacidade de produção seja respeitada e cada ua das plantas e e cada u dos períodos. As restrições () ipõe que a planta esteja preparada para a produção, toda ve que houver produção do produto a ela associado. Finalente, as restrições (2) ~ (3) define o doínio das variáveis. Este odelo novo apresenta coo grande vantage o fato de possuir ua relaação linear ais apertada que o odelo () ~ (7), graças aos elhores liitantes para as variáveis inteiras de preparação de áquina, que são liitados pela deanda de cada período ao invés da soa de deandas coo no odelo anterior. E contrapartida, este odelo possui u núero uito aior de variáveis de decisão e de restrições. No odelo original, quando teos u problea co n diferentes produtos, diferentes plantas, e T períodos de produção, são necessárias 2nT + n 2 T vairáveis reais, alé de nt variáveis inteiras. Alé disso, o problea apresenta T(4n + n + ) restrições, no entanto, o odelo adaptado possui n 2 T 2 vairáveis reais, alé de nt variáveis inteiras, e T(n + nt + ) restrições. 3. Testes coputacionais Para realiar coparações entre o odelo original e o odelo proposto, abos fora escritos e linguage de odelage e testados, utiliando-se o software de otiiação CPLEX versão 2.4, interface OPL, e u coputador Intel Core 2, CPU T5300,.73GH,.87Gb de RAM. Duas classes de instâncias da literatura fora utiliadas para avaliar os odelos. A prieira classe, coposta por 20 instâncias, foi proposta por Sabasivan & Yahya (2005). Estas instâncias fora divididas e grupos de acordo co o núero de plantas (3 ou 4), de produtos (5, 0 ou 5), e de períodos (3, 4, 5 ou 6). A segunda classe foi proposta por Nasciento, Resende & Toledo (200). Esta classe é coposta por 480 instâncias, divididas e 8 grupos, de acordo co os seguintes parâetros: nível de capacidade disponível (A = apertada, N = noral); custo de preparação (A = alto, B = baio), e tepo de preparação (A = alto, B = baio). Para cada grupo fora geradas 60 instâncias co: 2, 4 ou 6 plantas, 6, 2, 25, ou 50 produtos, e 2 períodos, cinco de cada diensão. Separando as classes de teste de acordo co os parâetros n, e T, teos 2 classes de teste, cada ua co 40 instâncias. Prieiraente analisaos os liitantes obtidos ao resolveros as relaações lineares dos dois odelos. Nas Tabelas e 2, são reportados os valores dos liitantes inferiores obtidos para as instâncias de testes. Nas três prieiras colunas são definidos, respectivaente, o núero de plantas, de produtos e de períodos de cada grupo de instâncias, cada grupo é coposto por cinco instâncias. Na quarta e quinta colunas são apresentados, respectivaente, os tepos édios para se obter ua solução ótia da relaação linear do odelo original (MO) e do odelo proposto (MP). Na últia coluna da tabela apresentaos o desvio porcentual édio entre os valores ótios das soluções e cada classe, calculado da seguinte fora: Desvio = k i= ( ) MPi k MTi MPi *00 Onde MPi indica o valor ótio da i ésia solução calculado no odelo proposto de u grupo, e MTi indica o valor ótio da i ésia solução calculado no odelo original de u eso grupo de testes, e k indica a quantidade de instâncias e u grupo de testes. 642
Tabela Resultados da relaação linear dos odelos: Instâncias de Sabasivan & Yahya, (2005). Desvio Plantas Produtos Perídos MO MP (%) 3* 5 3,04 2,03 4,98 3 0 3,85 2,0 2,94 3 5 3 3,0 3,85 3,52 3* 5 4 2,32 2,97 3,69 3 0 4 2,75 3,65 3, 3 5 4 2,95 4,63 3,50 3 5 5,8 3,03 4,37 3 0 5 2,73 5,86 3,85 3* 5 5 4,4 4,5 3,69 3 5 6 2,2 3,50 3,57 3 0 6 3,74 4,26 4,6 3* 5 6 3,66 6,99 4,06 4 5 3 2,4 2,3 3,43 4 0 3 3,26 2,78 3,9 4 5 3 3,46 3,4 3,50 4 5 4 2,33 2,77 3,9 4 0 4 3,46 5,0 3,66 4 5 4 4,09 5,4 4,02 4 5 5 3,00 3,06 4,36 4 0 5 4,03 4,74 3,9 4 5 5 4,79 5,47 3,56 4* 5 6 2,26 4,00 4,3 4 0 6 4,22 5,26 3,77 4 5 6 5,39 7,93 4,3 Média 3, 4,2 3,80 *Esses grupos possue apenas quatro instâncias ao invés de cinco. Na édia, o novo odelo apresentou u liitante de qualidade 3,8% elhor para essa classe de instâncias, quando coparaos as suas relaações lineares. Ebora o odelo proposto possua u núero uito aior de restrições e de variáveis, a diferença no tepo édio de resolução édio dos dois odelos é de aproiadaente u segundo. Para a segunda classe de instâncias, notaos ua elhoria édia de 0,82% no valor do liitante encontrado na relaação linear quando confrontaos o odelo proposto co o odelo original. No entanto, a diferença entre os tepos édios necessários para se obter o ótio do problea relaado é ais significativa, aproiadaente 30 segundos. 643
Tabela 2 - Resultados da relaação linear dos odelos: Instâncias de Nasciento, Resende, & Toledo, (200). Plantas Produtos Períodos MO MP Desvio (%) 2 6 2 2,82 7,48 2,52 2 2 2 3,75 0,,47 2 25 2 5,84 5,08,95 2 50 2 8,53 22,06 2,7 4 6 2 4,62 2,37,24 4 2 2 6,64 8,52 0,54 4 25 2 0,43 36,98 0,79 4 50 2 8,05 70,47,72 6 6 2 5,89 8,57 9,8 6 2 2 8,64 26,57 9,42 6 25 2 6,94 6,87 9,45 6 50 2 27,04 67,38 9,37 Média 9,93 38,96 0,82 Co a finalidade de verificar qual dos odelos é ais eficiente se trataros o problea inteiro isto, resolveos as instâncias utiliando o software de otiiação CPLEX versão 2.4, e ua áquina co configurações Ubuntu 0.04 (64 bits), Intel Core i5-2300, 2.8 GH, 2 Gb de RAM, co tepo liite áio de ua hora de eecução. Todas as instâncias da prieira classe fora resolvidas pelos odelos e enos de 0 segundos cada. Já para a segunda classe o odelo proposto se ostrou ais eficiente, coo destacaos na Tabela 3. Na Tabela 3, apresentaos os tepos édios de eecução para cada grupo de testes, nas três prieiras colunas são definidos, respectivaente, a capacidade da planta (A = Apertada, N = Noral), o custo de preparação (A = Alto, B = Baio), e o tepo de preparação (A = Alto, B = Baio), onde cada grupo é coposto por 60 instâncias. Na quarta e quinta colunas são apresentados, respectivaente, os tepos édios e segundos para se obter ua solução ótia do problea inteiro isto no odelo original (TMO) dentre os probleas resolvidos até a otialidade, ou seja, os probleas que não terinara por tepo de eecução, e o núero de probleas que fora resolvidos até a otialidade e cada grupo pelo odelo original (NMO). Na seta e sétia colunas apresentaos, respectivaente, os tepos édios e segundos para se obter ua solução ótia do problea inteiro isto no odelo proposto (TMP) dentre os probleas resolvidos até a otialidade, ou seja, os probleas que não terinara por tepo de eecução, e o núero de probleas que fora resolvidos até a otialidade e cada grupo pelo odelo proposto (NMP). 644
Tabela 3 Resultados do odelo inteiro isto: Instâncias de Nasciento, Resende, & Toledo (200). Cap SC ST TMO NMO TMP NMP A A A 428,7 6 2,4 60 A A B 294,2 5 2,0 60 A B A 9,9 54 0,8 60 A B B 6,6 53 0,9 60 N A A 47,7 6 2,4 60 N A B 542,2 7 2,5 60 N B A 43,0 54 0,8 60 N B B 34,4 54 0,9 60 Média 6,9 0, Coo destacado na Tabela 3, o odelo proposto resolveu todas as instâncias teste co tepo édio inferior a segundo. Destacaos ainda que cada ua das instâncias teste foi resolvida e enos de 3 inutos. Para o odelo original, fora resolvidas apenas 279 instâncias no tepo liite de ua hora, ou seja, 58% das instâncias. Alé disso, o tepo édio para resolver as instâncias teste foi de 6,9 segundos, enquanto que o tepo áio é superior a ua hora. 4. Conclusão O objetivo deste trabalho foi propor ua adaptação do odelo proposto e Sabasivan & Yahya (2005) para o problea de diensionaento de lotes co últiplas plantas, últiplos produtos, últiplos períodos, co restrições de capacidade, co tepo de preparação de áquina, utiliando a ideia de localiação de facilidades para desagregar as variáveis de produção (Krarup & Bilde, 977). Analisaos o odelo proposto e duas etapas. Prieiraente, resolveos dois grupos de instâncias testes da literatura utiliando a relaação dos odelos para coparar a qualidade do liitante obtido e o tepo necessário para obtê-lo. E seguida, resolveos as esas instâncias para os probleas inteiro-istos e coparaos a qualidade das soluões inteiras obtidas no tepo liite de ua hora. Ebora o odelo proposto tenha u núero de restrições e de variáveis aior do que o odelo original, a partir da análise dos resultados obtidos, concluíos, prieiraente, que o odelo proposto apresenta elhores resultados e sua relaação linear quando coparado ao odelo original, e, alé disso, que o odelo proposto pôde ser resolvido ais rapidaente que o odelo original, quando são coparadas as resoluções dos probleas inteiro-istos. Logo, coo reportado na literatura para outros probleas de diensionaento de lotes (Wu & Sh 20), a odelage utiliando localiação de facilidades tabé é eficiente para o problea co plantas paralelas. Pretendeos verificar se essa reodelage continuará raoável coputacionaente para variantes do problea, coo por eeplo, quando aditios a possibilidade de atrasos na entrega (ou backlogging ). Referências Brahi N., Dauere-Pere, S., Najid, N. M., & Nordl A. (2006). Single ite lot siing probles. European Journal of Operational Research 68, - 6. Buschkühl, L., Sahling, F., Helber, S., & Tepeleier, H. (200). Dynaic capacitated lotsiing probles: a classification and review of solution approaches. OR Spectru 32, 23-26. 645
Drel, A., & Kis, A. (997). Lot siing and scheduling - survey and etensions. Journal of Operational Research 99, 22-235. Jans, R., & Degraeve, Z. (2008). Modeling industrial lot siing probles: a review. International Journal of Production Research, 46, 69-943. Kari B., Ghio S., & Wilson, J. (2003). The capacitated lot siing proble: a review of odels and algoriths. Oega, 3, 365-378. Krarup, J., & Bilde, O. (977). Sharp lower bounds and efficient algoriths for the siple plant location proble. Annals of Discrete Matheatics, 79-97. Nasciento, M. C. V., Resende, M. G. C., & Toledo, F. M. B. (200). GRASP heuristic with path-relinking for the ulti-plant capacitated lot siing proble. European Journal of Operacional Research 200, 747-754. Sabasivan, M., & Yahya, S. (2005). A Lagrangean-based heuristic for ulti-plant, ulti-ite, ulti-period capacitated lot-siing probles with inter-plant transfers. Coputers & Operations Research 32, 537-555. Wu, T., & Sh L. (20). Matheatical odels for capacitated ulti-level production planning probles with linked lot-siing. International Journal of Production Research 49, 6227-6247. 646