AVALIAÇÃO DE MÉTODOS HEURÍSTICOS CONSTRUTIVOS PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE OPERAÇÕES NO-WAIT FLOW SHOP

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1 AVALIAÇÃO DE MÉTODOS HEURÍSTICOS CONSTRUTIVOS PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE OPERAÇÕES NO-WAIT FLOW SHOP EVALUATION OF CONSTRUCTIVE HEURISTICS FOR NO-WAIT FLOW SHOP SCHEDULING Fábio José Ceron Branco Mestre e Engenharia de Produção Universidade de São Paulo - Escola de Engenharia de São Carlos Departaento de Engenharia de Produção Avenida Trabalhador Sãocarlense, Centro, São Carlos - SP - Brasil Telefone: (16) , E-ail: fbranco@hotail.co Marcelo Seido Nagano Professor Doutor Universidade de São Paulo - Escola de Engenharia de São Carlos Departaento de Engenharia de Produção Avenida Trabalhador Sãocarlense, Centro, São Carlos - SP - Brasil Telefone: (16) , E-ail: drnagano@usp.br João Vitor Moccellin Professor Titular Universidade de São Paulo - Escola de Engenharia de São Carlos Departaento de Engenharia de Produção Avenida Trabalhador Sãocarlense, Centro, São Carlos - SP - Brasil Telefone: (16) , E-ail: jvoccel@sc.usp.br 28

2 RESUMO Universidade Federal de Santa Catarina Este artigo trata do problea de prograação de operações e u abiente de produção nowait flow shop, tendo coo objetivo a iniização da duração total da prograação. A partir da análise das características do problea u novo étodo heurístico construtivo é apresentado pela cobinação de diferentes procedientos de ordenações iniciais e de reseqüenciaentos das tarefas encontradas na literatura. Os resultados experientais ostra a superioridade do novo étodo para o conjunto de probleas tratados e relação a qualidade da solução obtida e esforço coputacional. Palavras chave: Prograação da produção, No-Wait Flow Shop, Métodos heurísticos. ABSTRACT In this article we consider the no-wait flow shop proble with akespan objective. Following an investigation of the proble characteristics a new constructive heuristic ethod is presented by the cobination with other iproveent strategies reported in the literature. Experiental results shows that the new heuristic provide better solutions regarding both the solution quality and coputational effort. Keywords: Production scheduling, No-Wait Flow Shop, Heuristics. 1. INTRODUÇÃO O problea tradicional de Prograação Flow Shop é u problea de produção onde u conjunto de n tarefas deve ser processado, na esa seqüência, por u conjunto de áquinas. Quando a orde de processaento e todas as áquinas for a esa, te-se o abiente de produção Flow Shop Perutacional, onde o núero de possíveis prograações para n tarefas é n!. Ua situação específica e uito freqüente para este problea é a prograação da produção e sistea de produção flow shop se interrupção na execução das tarefas, que ocorre geralente e u abiente caracterizado pela tecnologia do processo. Alguas aplicações típicas para este problea são encontradas e indústrias de produção de etais e plásticos (WISMER, 1972), indústrias quíicas (RAJENDRAN, 1994), faracêuticas (RAAYMAKERS e HOOGEVEEN, 2000) e indústrias de processaento de alientos (HALL e SRISKANDARAYAH, 1996). O problea consiste e obter ua seqüência das tarefas que otiize ua deterinada edida de desepenho. Nos odelos para solução do problea, as edidas usuais refere- 29

3 se à iniização do tepo édio de fluxo (ean flow tie), associado à redução do estoque e processaento, e à iniização da duração total da prograação (akespan) associada à utilização eficiente dos recursos produtivos, sendo esta últia a edida adotada neste trabalho. Confore a literatura este problea tabé é chaado de Flow Shop se espera ou No-Wait Flow Shop (NWFS) apresentando a seguinte estrutura confore apresentada na figura 1. Figura 1 - No-Wait Flow Shop co áquinas e n tarefas A figura 1 apresenta a prograação de u conjunto de n tarefas ( J = J,J,...,J,..., }) que deve ser processadas, na esa seqüência, por u conjunto { 1 2 i J n de áquinas distintas, onde o tepo de processaento da tarefa J i na áquina k é p k, i ( k = 1,2,...,; i = 1,2,..., n ). A principal característica do NWFS é a necessidade de que a operação p + de ua g 1, i deterinada tarefa ( 1 g 1) J i te que ser processada logo após o térino da operação, não peritindo que ocorra tepo de espera no processaento de ua tarefa de ua áquina para a outra (no-wait). O único tepo de espera peritido é no início do processaento das tarefas na prieira áquina. Este problea é classificado coo F / pru,no - wait / de acordo co a notação de GRAHAM et al. (1979). C ax p g, i O problea F / pru,no - wait / C tabé é considerado coo NP-Hard para o ax caso de três ou ais áquinas (PAPADIMITRIOU et al., 1980). Entretanto, a pesquisa nesta área te-se direcionado para o desenvolviento de étodos heurísticos capaz de obter soluções de boa qualidade ebora não necessariaente ótias co relativo pequeno tepo coputacional. Para o critério de iniização do akespan, REDDI e RAMAMOORTHY (1972) e WISMER (1972) fora os prieiros a estudar o problea. BONNEY e GUNDRY (1976), KING e SPACHIS (1980), fora os prieiros a desenvolver 30

4 as heurísticas para o problea. Finalente, GANGADHARAN e RAJENDRAN (1993) e RAJENDRAN (1994) desenvolvera ais recenteente as heurísticas que apresentara elhores desepenhos que as de BONNEY e GUNDRY (1976) e KING e SPACHIS (1980). O objetivo deste trabalho é obter e avaliar o elhor étodo heurístico construtivo para o problea, pela cobinação de diferentes procedientos de ordenações e reseqüenciaentos das tarefas. Nesse sentido ua extensa experientação coputacional é realizada de fora a avaliar o desepenho quanto a qualidade da solução e esforço coputacional. Finalizando, o elhor étodo encontrado é avaliado verificando o seu desepenho, resgatando as características essenciais de u étodo heurístico: adequado equilíbrio entre a qualidade da solução e esforço coputacional, siplicidade e facilidade de ipleentação. 2. METODOS HEURÍSTICOS PARA A MINIMIZAÇÃO DA DURAÇÃO TOTAL DA PROGRAMAÇÃO Os prieiros trabalhos para o problea NWFS para a iniização do akespan coeçara a partir de BONNEY e GUNDRY (1976), que utilizara relações geoétricas e extensões de algoritos para probleas de áquina única. KING e SPACHIS (1980) apresentara e sua pesquisa foras diferenciadas de ordenações de tarefas, coparando e avaliando os resultados quanto ao porte dos probleas gerados. Nas últias três décadas, u extenso esforço de pesquisa te sido dedicado para o problea, e alguns étodos já propostos te sido adaptados ou odificados para a solução de outros probleas, coo, por exeplo, a heurística NEH (NAWAZ et al., 1983). Devido a sua eficiência e eficácia (qualidade da solução e tepo de coputação), vários outros étodos tê-se baseado na estrutura da heurística construtiva NEH para o desenvolviento de novos étodos e outros probleas de Flow Shop (GANGADHARAN e RAJENDRAN,1993; RAJENDRAN, 1994; FRAMINAN et al., 2003). A heurística NEH é coposta de duas fases: a prieira de indexação das tarefas, onde as tarefas são ordenadas de acordo co os valores não-crescentes das soas dos tepos de processaentos, e a segunda de construção da seqüência solução. Nesse caso ua parcial seqüência é construída selecionando a prieira a tarefa obtida na prieira fase, e seguida, para i = 2,..., n, i seqüências parciais são construídas inserindo a i-ésia tarefa da ordenação da prieira fase, 31

5 para todas as i possibilidades de acrescentar a tarefa na seqüência até então obtida, adota-se aquela que leva a ua enor duração total da prograação parcial. GANGADHARAN e RAJENDRAN (1993) desenvolvera dois étodos heurísticos, que coprovara sere elhores que as heurísticas desenvolvidas anteriorente. Os étodos era copostos de duas fases: ua prieira fase de geração e construção da seqüência, e ua segunda fase de elhoria da seqüência obtida na fase anterior. RAJENDRAN (1994) apresentou u étodo heurístico considerado o elhor até o presente oento para o problea. A heurística de Rajendran consiste de ua fase indexação seguida por ua fase de construção da seqüência solução. A fase de indexação consiste prieiro no desenvolviento de u índice P i para cada tarefas ( P = j p p i k= 1 k i k= 1 k i dependendo dos valores de i ) onde, as tarefas são designadas e dois conjuntos A e B e P sere aiores ou não que ( ) / O conjunto A (B) é então ordenando de acordo co o valor não-decrescente (não-crescente) do índice T ( k + 1) i = k = 1 p k i, e abos os conjuntos são agrupados. Na fase de construção da seqüência solução, a seqüência obtida na fase anterior é utilizada coo seente para o processo de inserção, seelhante ao étodo de construção da seqüência solução do NEH (NAWAZ et al., 1983), onde neste caso cada tarefa i é inserido dentro da segunda etade da seqüência parcial, isto é, entre a ( k + 1) / 2 -ésia e ( k + 1) -ésia posição. Outros pesquisadores tê direcionado seus esforços para a solução do problea utilizando-se de técnicas denoinadas etaheurísticas (Algoritos Genéticos, Busca Tabu, Siulated Annealing, Ant Colony), por exeplo, ALDOWAISAN e ALLAHVERDI (2003) que desenvolvera três heurísticas denoinadas SA, SA-1 e SA-2, baseadas no étodo Siulated Annealing e outras três denoinadas GA, GA-1 e GA-2 baseadas no étodo Algorito Genético. Os resultados coputacionais apresentara que significativas elhorias são obtidas se a heurística NEH é aplicada nos procedientos etaheurísticos. SCHUSTER e FRAMINAN (2003) apresentara dois étodos de busca local, onde o prieiro foi baseado na variação do étodo de busca na vizinhança denoinado VNS (Variable Neighborhood Search), o segundo foi u étodo hibrido Siulated Annealing e Algorito Genético denoinado GASA. Os resultados analisados apresentara que os dois étodos propostos obtê resultados elhores que a heurística proposta por RAJENDRAN (1994). 32

6 Recenteente GRABOWSKI e PEMPERA (2005) apresentara variações de algoritos de busca descendente e Busca Tabu. Para os étodos propostos são usados ultiovientos de fora a acelerar a convergência para boas soluções. Os resultados coputacionais confirara que os étodos DS (Descending Search) são viáveis e confiáveis desde que não seja coplicados, e possa ser facilente ipleentados coputacionalente. O elhor desepenho entre os étodos avaliados foi o DS+M (Descending Search Algorith with Multioves). Ao final da pesquisa os autores sugere a diversificação do étodo para o problea NWFS co diferentes critérios de avaliação. 3. MÉTODOS HEURÍSTICOS Os étodos heurísticos a sere avaliados nesta pesquisa são copostos de duas fases, seelhante ao elhor étodo heurístico construtivo proposto por Rajendran (1994) para o problea de NWFS. Coo foi apresentado anteriorente, ua extensa experientação coputacional será realizada de fora a obter u novo étodo heurístico pela cobinação dos procedientos de ordenação e de re-seqüenciaento das tarefas. Incialente fora analisados os principais étodos desenvolvidos apresentados na literatura para o problea flow shop, verificando as estruturas de coposição dos étodos existentes, seelhante a pesquisa realizada por Frainan et al. (2003). Após a análise dos principais étodos fora destacados oito procedientos de ordenação inicial das tarefas e cinco procedientos de re-seqüenciaento das tarefas confore apresentado a seguir Procedientos de ordenações iniciais das tarefas NEH: Este procediento de ordenação é seelhante a do étodo NEH (Nawaz et al., 1983) para o problea de iniização do akespan e u flow shop tradicionais. O procediento de ordenação é coposto por dois passos: Passo 1 Calcule, para cada tarefa, a soa dos tepos de processaento e todos as áquinas; Passo 2 Ordene as n tarefas de acordo co os valores não-crescentes das soas dos tepos de processaento. 33

7 RAJ: Procediento de ordenação seelhante a do étodo de Rajendran (1994), confore apresentado anteriorente; ALEAT: Procediento de ordenação onde ua seqüência de tarefas é obtida por geração aleatoriaente; BN1: Este procediento de ordenação é baseado na expressão que fornece o tepo total da prograação de pares de tarefas adjacentes, e quaisquer posições na seqüência, na condição de no-wait (Lawler et al., 1993). Para o caso de áquinas ua expressão recursiva é apresentada, onde para todos os pares de tarefas prograação pela expressão: J i e J j é obtido a duração total da Cax ( J i,j j ) = p1i + R( J i,j j ) (1) para i = 1,2,...,n e j = 1,2,..., n Onde: R0 ( J i,j j ) = 0 R ( J i,j j ) = pj + ax( R 1( J i,j j ); pki ) O procediento de ordenação é foralente descritos pelos seguintes passos, onde inicialente são considerados: u conjunto J ( J = J,J,..., }) de n tarefas a sere k= 2 { 1 2 J n prograadas, S ua seqüência parcial de tarefas prograadas, S [ k ] a posição k-ésia tarefa na seqüência S: Passo 1 (Inicialização) Passo 2 { J,J,J,...,J,..., } J = ; S = Ø ; i J n Selecione o aior eleento ax ( J i, J j ) S ( J j, J i ); J J { J, J }; u S[ 2] ; k = 3. i j C ; Selecione o enor eleento C ( J, J ) ax u v, tal que J v J ; 34

8 Passo 3 Exaine todas as possibilidades de inserir a tarefa a seqüência que leva a enor duração total da prograação; { } J J. u S[ k ] ; J v k k + 1; Se Universidade Federal de Santa Catarina J v na seqüência parcial (S), e adote J Ø, volte para o Passo 2. Caso contrário, a ordenação inicial das tarefas está concluída. Para as ordenações RESD1, RESD2 e RESD3 o eso procediento de ordenação do BN1 é aplicado, diferenciando-se soente pelas expressões propostas por Stinson e Sith (1982). Nesse caso as expressões 2, 3 e 4 apresenta ua atriz de distância, onde tal problea transforado é análogo ao problea do Caixeiro-Viajante ( TSP Traveling Selesan Proble ). RESD1: ( J,J ) = ax( r,0) + 2 in( r,0) C (2) i j k = 2 k,ij k,ij Onde: r k,ij = p ki p ( k 1 ) j RESD2: RESD3: ( J,J ) = ( r * ) i j k= 2 k,ij 2 C (3) Onde: r * = p p in( r,0) k,ij ( J,J ) = i j k = 2 ki k,ij ( k 1 ) j + ( k 1 ), ij C r * (4) Onde: r * = p p in( r,0) k,ij ki ( k 1 ) j + ( k 1 ), ij BN2: Este procediento de ordenação utiliza a expressão 1, poré o procediento se diferencia pelo seu esforço coputacional na intensificação no procediento de busca de ua elhor solução parcial. O procediento apresenta os seguintes passos: Passo 1 (Inicialização) { J,J,J,...,J,..., } J = ; S = Ø ; i J n 35

9 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Selecione o aior eleento ax ( J i, J j ) S ( J j, J i ); J J { J, J }; u S[ 2] ; k = 3. i j C ; Selecione o enor eleento ( J, J ) C ax u v tal que v Universidade Federal de Santa Catarina J J ; Exaine todas as possibilidades de inserir a tarefa J v na seqüência parcial (S), e adote aquela que leva a enor duração total da prograação; { } J J ; J v Considerando a Vizinhança de Inserção exaine todas as seqüências vizinhas obtidas co a tarefa da prograação; J v, e atualize a seqüência S co aquela que leva a enor duração total Considerando toda a Vizinhança de Inserção da seqüência parcial co k tarefas, constituídas de ( k 1) 2 seqüências, deterine a seqüência S ' associada a enor duração total da prograação. Dada ua seqüência de tarefas, ua outra seqüência pertencente à sua vizinhança de inserção é obtida escolhendo-se ua das tarefas e ua das posições, inserido nessa posição a tarefa escolhida; Considerando toda a Vizinhança de Perutação da seqüência parcial S ' co k tarefas, constituída de ( k 1) 2 k seqüências, deterine a seqüência S '' associada a enor duração total da prograação. Dada ua seqüência de tarefas, ua outra seqüência pertencente à sua vizinhança de perutação é obtida trocando-se as posições de duas tarefas quaisquer; Atualize, co a seqüência u S[ k ] ; k k + 1; Se S '', as k prieiras posições da seqüência de S ' ; J Ø, volte para o Passo 2. Caso contrário, a ordenação inicial das tarefas está concluída. 36

10 3.2. Procedientos de re-seqüenciaentos das tarefas Universidade Federal de Santa Catarina Para a obtenção da seqüência final os procedientos de re-seqüenciaento utilizados são os seguintes: NEH: Este procediento de re-seqüenciaento é seelhante ao NEH de Nawaz et al. (1983), e é coposto por dois passos: Passo 1 Passo 2 Selecione as duas prieiras tarefas da ordenação, seqüenciando-as de aneira a iniizar a duração total da prograação, considerando-se soente essas duas tarefas; Para k = 3 a n, faça; Selecione a tarefa que ocupa a k-ésia posição na ordenação obtida no processo de ordenação; Exaine as k possibilidades de acrescentar a tarefa na seqüência até então obtida, adotando aquela que leva a ua enor duração total da prograação parcial. RAJ: Este procediento de re-seqüenciaento é igual ao étodo proposto por Rajendran (1994), confore apresentado anteriorente; FL: Este procediento de re-seqüenciaento proposto por Frainan e Leisten (2003) é apresentado a seguir: Passo Para k = 3 a n, faça; Selecione as k 1 prieiras tarefas da seqüência inicial S. Exaine todas as possibilidades de inserir a tarefa S [ k ] na seqüência parcial até então obtida, e adote aquela que leva a enor duração total da prograação; Considerando toda a Vizinhança de Perutação da seqüência parcial co k tarefas, constituídas de ( k 1) k seqüências, deterine a seqüência associada a enor duração total da prograação. BN: Este procediento de re-seqüenciaento é ua odificação do étodo proposto por Frainan e Leisten (2003). A diferença fundaental está na fora de busca de seqüências vizinhas onde, no étodo FL, é utilizada a vizinhança de perutação de pares de tarefas. Para o procediento proposto será utilizada a vizinhança de inserção de tarefa. A troca de u procediento de busca na vizinhança por u outro pode auentar o núero de seqüências 37

11 avaliadas, peritindo desse odo ua aior possibilidade de soluções. A seguir é apresentado o procediento de re-seqüenciaento proposto: Passo Para k = 3 a n, faça; Selecione as k 1 prieiras tarefas da seqüência inicial S. Exaine todas as possibilidades de inserir a tarefa S [ k ] na seqüência parcial até então obtida, e adote aquela que leva a enor duração total da prograação; Considerando toda a Vizinhança de Inserção da seqüência parcial co k tarefas, constituídas de ( k 1) 2 seqüências, deterine a seqüência associada a enor duração total da prograação. NM: Este procediento de re-seqüenciaento te coo base o étodo proposto por Nagano e Moccellin (2005) adaptado para o problea de iniização da duração total da prograação. O étodo consiste de u procediento de intensificação da busca de ua elhor seqüência vizinha através da cobinação de duas vizinhanças (perutação e inserção). O procediento adaptado para o presente problea é coposto pelos seguintes passos: Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Selecione as duas prieiras tarefas da ordenação obtida no processo de ordenação, seqüenciando-as de aneira a iniizar a duração total da prograação, considerando-se soente essas duas tarefas. Para k = 3 a n, faça; Selecione a tarefa que ocupa a k-ésia posição na ordenação obtida no processo de ordenação; Exaine as k possibilidades de inserir a tarefa na seqüência parcial até então obtida, adotando aquela que leva a enor duração total da prograação parcial. Arazene e S a elhor seqüência obtida no Passo 2. No final do processo iterativo, a solução do problea será a seqüência S. Para k = 3 a n, faça; Selecione as k prieiras tarefas da seqüência S e calcule a sua respectiva duração total da prograação; 38

12 Considerando toda a Vizinhança de Inserção da seqüência parcial co k tarefas, constituída de ( k 1) 2 seqüências, deterine a seqüência S associada a enor duração total da prograação. Dada ua seqüência de tarefas, ua outra seqüência pertencente à sua vizinhança de inserção é obtida escolhendo-se ua das tarefas e ua das posições, inserindo nessa posição a tarefa escolhida. A seguir, considerando toda a Vizinhança de Perutação da seqüência parcial S co k tarefas, constituída de ( k 1) 2 k seqüências, deterine a seqüência S associada a enor duração total da prograação. Dada ua seqüência de tarefas, ua outra seqüência pertencente à sua vizinhança de perutação é obtida trocando-se as posições de duas tarefas quaisquer. Atualize, co a seqüência S, as k prieiras posições da seqüência solução S. 4. EXPERIMENTAÇÃO COMPUTACIONAL E ANÁLISE DOS RESULTADOS Para a coparação dos étodos foi utilizada ua aostra constituída de 7200 probleas-teste, referente ao trabalho de Nagano et al. (2005). Nessa aostra, o núero de tarefas (n) { 5,6,7,8,9,10, 20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130}, e o núero de áquinas () { 5,10,15, 20}, co 100 probleas para cada cobinação ( n) Os probleas fora agrupados seguindo as seguintes categorias: Pequeno porte: 2400 probleas: - tarefas (n) { 5, 6,7,8,9,10} e aquinas () { 10,15, 20} Médio porte: 2800 probleas: 5, ;. - tarefa (n) { 20, 30,40,50,60,70,80} e áquinas () { 10,15, 20} Grande porte: 2000 probleas: 5, ; - tarefa (n) { 90, 100,110,120,130} e áquinas () { 10,15, 20} 5, ; Os tepos de processaento das tarefas fora gerados aleatoriaente no intervalo de variação 1 a 99, confore ua distribuição unifore. Os étodos heurísticos desenvolvidos fora codificados e linguage DELPHI e processados e u icrocoputador Pentiu IV 3.00 GHz. As estatísticas usadas para avaliar o desepenho dos étodos fora a Porcentage de Sucesso, o Desvio Médio Relativo e o Tepo Médio de Coputação. 39

13 A prieira é definida pelo quociente entre o núero de probleas para os quais o étodo obteve a elhor solução (akespan) e o núero total de prograas resolvidos. Obviaente, quando os étodos obtê a elhor solução para u eso problea, suas Porcentagens de Sucesso são siultaneaente elhoradas. O Desvio Relativo ( DR ) quantifica o desvio que o étodo h obté e relação ao h elhor akespan obtido para o eso problea, sendo calculado confore segue: onde, Dh D* DRh (%) = 100 (5) D* D h é a duração total da prograação (akespan) obtido pelo étodo h ; D é o elhor akespan obtido pelo(s) étodo(s), para u deterinado problea. O Tepo Médio de Coputação de u étodo é calculado pela soa dos tepos de coputação de cada problea dividida pelo núero total de probleas resolvidos (édia aritética dos tepos de coputação). Na experientação coputacional, o tepo édio de coputação para o problea foi edido e ilisegundo (s). Para os resultados a sere apresentados a seguir serão adotadas as seguintes notações: * Porcentage de Sucesso (%); ** Desvio Médio Relativo (%); *** Tepo Médio de Coputação (ilisegundo). 40

14 4.1. Avaliação das ordenações iniciais Prieiraente é apresentado o resultado dos oito procedientos de ordenações iniciais (Tabela 1), agrupando os dados por núero de áquinas e separando por categorias de probleas de pequeno, édio e grande porte. Tabela 1 Avaliação dos procedientos de ordenações iniciais Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 0,21* 7,33 47,29 0,17 28,75 28,08 28,00 79,67 16,459** 7,490 1,137 25,453 2,663 2,701 2,721 0,303 1,00*** 0,91 1,06 0,98 1,06 1,01 0,97 1,02 0,00 0,00 3,61 0,00 3,79 3,18 3,93 86,18 28,439 22,909 2,441 49,170 2,511 2,557 2,558 0,112 1,56 1,47 1,95 1,42 2,63 2,18 2,11 16,78 0,00 0,00 0,25 0,00 0,65 0,40 0,45 98,30 33,551 30,240 2,861 57,179 2,635 2,598 2,571 0,005 2,83 3,09 4,59 2,87 7,98 6,19 6,23 184,62 0,07 2,44 17,24 0,06 11,24 10,71 10,99 87,38 25,866 19,806 2,123 43,489 2,596 2,617 2,616 0,146 1,73 1,73 2,39 1,68 3,59 2,91 2,87 58,14 A tabela 1 apresenta claraente a superioridade do procediento de ordenação inicial BN2 coparado aos deais étodos. À edida que auenta o núero de tarefas, auenta a porcentage de sucesso do algorito BN2 e relação aos seus concorrentes. No total verificou-se que BN2 apresenta elhor ordenação e 6291 probleas, ou seja, e 87,38% dos probleas. O desvio édio relativo tende a verificar os resultados anteriores. É conveniente lebrar que, quanto enor o valor do desvio édio relativo, aior é a qualidade da solução obtida pelo procediento considerado. O procediento BN2 tabé apresentou sua superioridade chegando uito próxio de desvio édio relativo zero e todas as faixas de probleas, principalente para probleas de édio e grande porte. Pode-se observar tabé na tabela 1 que o procediento BN2 apresenta, e teros gerais, u desvio édio relativo uito enor que os deais procedientos de ordenação inicial investigados. BN2 teve, na édia dos 7200 probleas, u desvio édio relativo de 0,146%; o segundo enor desvio foi de 2,123% do procediento BN1, aproxiadaente 15 vezes aior. Quanto ao tepo de coputação, BN2 apresentou-se ais elevado, devido ao étodo de ordenação ser ais intensivo. Contudo, o tepo édio coputacional não ultrapassa 0,2 41

15 segundo para probleas de grande porte, sendo assi aceitável e não relevante para fins de coparação Avaliação dos procedientos de ordenações iniciais co os procedientos de reseqüenciaentos Para a avaliação dos procedientos de re-seqüenciaentos, todos os procedientos de ordenações iniciais fora cobinados co os procedientos de re-seqüenciaentos. As tabelas abaixo apresenta os resultados obtidos e relação a porcentage de sucesso, desvio édio relativo e tepo édio de coputação. Confore apresentado nas tabelas abaixo, e todos os casos, a cobinação que leva a ordenação inicial BN2 foi a que obteve a aior porcentage de sucesso e enor desvio édio relativo. Os tepos édios de coputação não ultrapassara, na édia, eio segundo e, portanto, nenhu étodo apresentou-se inviável por este critério. Assi, pode-se destacar os cinco elhores étodos de duas fases, i.e., o elhor para cada procediento de re-seqüenciaento. Analisando-se as tabelas 2A a 2E pode-se verificar que as cobinações BN2+NEH, BN2+RAJ, BN2+FL, BN2+BN e BN2+NM fora as elhores. Os resultados da próxia experientação terão coo objetivo apresentar o elhor étodo de duas fases entre os 5 que ais se destacara. Tabela 2A Avaliação dos étodos de duas fases Re-seqüenciaentos NEH Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total Ordenações Iniciais NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 36,21* 35,46 55,75 36,17 47,46 48,38 48,21 75,33 1,516** 1,628 0,703 1,591 0,992 0,978 1,010 0,332 1,11*** 0,95 1,06 1,05 1,10 1,00 1,06 1,15 2,18 3,18 4,96 3,07 5,75 5,21 6,25 70,86 2,535 2,556 1,822 2,306 1,833 1,817 1,786 0,223 2,19 2,15 2,53 2,13 3,30 2,81 2,91 17,03 0,35 0,30 0,80 0,50 1,45 1,30 1,80 93,55 2,715 2,874 2,227 2,576 2,086 2,052 2,022 0,021 7,25 7,94 9,80 7,16 12,85 11,52 10,90 188,58 13,01 13,14 20,74 13,39 18,46 18,51 19,00 78,65 2,245 2,335 1,562 2,143 1,623 1,603 1,593 0,203 3,24 3,36 4,06 3,17 5,22 4,63 4,51 59,39 42

16 Re-seqüenciaentos RAJ Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total Tabela 2B - Avaliação dos étodos de duas fases Ordenações Iniciais NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 5,83* 26,75 55,54 14,04 36,21 36,13 35,33 78,17 7,282** 2,342 0,783 5,325 2,010 2,123 2,124 0,305 1,14*** 0,98 0,91 1,02 1,07 1,07 1,00 1,05 0,00 0,93 4,11 0,00 4,39 3,54 4,43 83,43 7,627 4,406 2,135 10,162 2,275 2,344 2,335 0,130 2,44 2,12 2,12 1,73 3,00 2,62 2,89 17,20 0,00 0,00 0,35 0,00 0,75 0,45 0,55 97,95 6,350 5,426 2,740 9,757 2,551 2,522 2,497 0,007 6,50 6,90 9,32 4,49 13,02 10,60 10,72 188,21 1,94 9,28 20,21 4,68 13,99 13,54 13,65 85,71 7,157 4,001 1,852 8,437 2,263 2,320 2,310 0,154 3,13 3,07 3,72 2,26 5,14 4,32 4,44 59,32 Re-seqüenciaentos FL Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total Tabela 2C - Avaliação dos étodos de duas fases Ordenações Iniciais NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 54,83* 49,79 63,83 52,63 58,13 60,42 58,79 77,08 0,764** 0,959 0,486 0,869 0,644 0,623 0,644 0,262 0,94*** 0,95 0,99 1,00 1,03 1,04 1,06 1,04 6,86 7,11 7,96 7,89 9,25 8,86 9,86 45,32 1,458 1,552 1,319 1,426 1,318 1,312 1,292 0,434 8,95 8,96 9,82 8,97 10,51 10,56 9,75 26,57 4,75 2,90 5,15 4,05 5,65 5,40 4,60 68,10 1,211 1,373 1,211 1,334 1,171 1,160 1,164 0,143 93,65 93,90 99,14 96,11 100,42 101,45 97,71 293,90 22,26 20,17 25,81 21,74 24,54 25,08 24,71 62,24 1,158 1,305 1,011 1,215 1,053 1,040 1,040 0,295 29,81 29,88 31,69 30,52 32,32 32,63 31,29 92,32 Tabela 2D - Avaliação dos étodos de duas fases Re-seqüenciaentos BN Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total Ordenações Iniciais NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 58,29* 48,42 62,83 52,00 58,25 59,38 58,38 77,50 0,733** 1,136 0,554 0,960 0,699 0,682 0,710 0,286 2,58*** 1,59 1,59 1,66 1,57 1,58 2,60 1,08 10,75 6,18 9,93 9,71 9,29 9,64 10,82 37,07 1,212 1,555 1,289 1,323 1,261 1,258 1,238 0,537 13,23 10,79 11,30 11,07 12,27 11,86 13,64 27,35 10,25 3,70 7,25 6,65 6,70 8,10 9,00 49,40 0,990 1,342 1,115 1,161 1,082 1,030 1,039 0, ,18 104,91 107,81 105,26 110,71 111,62 112,57 306,33 26,46 19,57 26,82 22,96 24,89 25,79 26,17 53,97 0,991 1,356 0,996 1,157 1,024 1,003 1,007 0,378 36,33 33,87 34,87 34,10 36,05 36,15 37,44 96,09 43

17 Re-seqüenciaentos NM Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total Tabela 2E - Avaliação dos étodos de duas fases Universidade Federal de Santa Catarina Ordenações Iniciais NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 57,75* 49,83 63,54 54,42 59,88 60,75 60,08 76,71 0,717** 1,057 0,499 0,858 0,640 0,629 0,638 0,266 1,02*** 0,94 1,05 0,97 1,00 1,04 1,08 1,08 4,82 4,32 6,00 5,11 7,89 7,29 7,71 59,00 1,914 2,041 1,575 1,804 1,549 1,522 1,511 0,318 17,53 17,31 17,85 17,86 19,04 18,31 18,41 35,27 0,85 1,05 1,90 1,35 2,70 2,45 2,40 87,70 2,294 2,478 1,951 2,195 1,837 1,802 1,781 0, ,01 197,77 195,02 192,08 198,79 195,50 197,20 404,06 21,36 18,58 24,04 20,50 23,78 23,76 23,69 72,88 1,621 1,834 1,321 1,597 1,326 1,302 1,295 0,225 60,49 61,98 61,46 60,62 62,96 61,77 62,30 126,31 A tabela 2B apresenta que o principal étodo da literatura RAJ+RAJ (Rajendran, 1994), foi superado pelo étodo coposto BN2+RAJ. Desta fora para a avaliação final dos elhores étodos de duas fases não será considerado o étodo RAJ+RAJ (Rajendran, 1994), já que o étodo proposto (BN2+RAJ ) é superior Avaliação entre os elhores étodos de duas fases A tabela 3 apresenta os resultados finais da experientação coputacional para os cinco elhores étodos avaliados. Tabela 3 - Avaliação dos elhores étodos de duas fases Ordenação Inicial BN2 Pequeno Porte Médio Porte Grande Porte Total Re-seqüenciaentos NEH RAJ FL BN NM 84,50* 80,21 92,21 91,79 91,83 0,202** 0,296 0,100 0,109 0,083 1,15*** 1,05 1,04 1,08 1,08 52,93 52,64 67,82 78,82 59,46 0,370 0,429 0,215 0,123 0,283 17,03 17,20 26,57 27,35 35,27 62,55 62,55 71,10 90,10 64,05 0,198 0,205 0,137 0,032 0, ,58 188,21 293,90 306,33 404,06 66,13 64,58 76,86 86,28 71,53 0,266 0,323 0,155 0,093 0,190 59,39 59,32 92,32 96,09 126,31 Para o problea de pequeno porte, pode-se perceber que são três os principais étodos co a aior porcentage de sucesso: BN2+BN, BN2+NM e BN2+FL. À edida 44

18 que auenta o núero de tarefas, BN2+BN coeça a se destacar, distanciando-se dos deais étodos, a partir dos probleas de édio porte. Os étodos BN2+NEH e BN2+RAJ apresentara praticaente o eso resultado, evidenciando que os re-seqüenciaentos NEH e RAJ não são deterinantes para ua elhoria significativa das soluções. Para o problea de grande porte, o coportaento é seelhante ao problea de édio porte, onde se destaca BN2+BN. De fora geral o elhor desepenho foi do algorito BN2+BN para os 7200 probleas analisados, o núero de sucessos foi de 6212 probleas, ou 86,28%. A tabela 3 ve coprovar a qualidade da solução do étodo BN2+BN coo o elhor étodo através do desvio édio relativo. BN2+BN teve u desvio édio relativo de 0,093% e 7200 probleas, cerca de 40% enor que o desvio do segundo elhor algorito, BN2+FL. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho foi apresentado e avaliado u novo étodo heurístico construtivo, denoinado BN2+BN, para o problea NWFS co o objetivo de iniizar a duração total da prograação (akespan). Preliinarente, ressalta-se que para fins práticos, as soluções obtidas pelos étodos heurísticos de duas fases já existentes, para o problea NWFS, são suficientes, ou seja, tal problea pode ser considerado coo já resolvido. Poré, tendo e vista a coplexidade do problea e questão, a busca por novos étodos que contê adequado equilíbrio entre a qualidade da solução e a eficiência coputacional, siplicidade e facilidade de ipleentação, ainda continua coo ua direção para novas pesquisas. O principal aspecto a ser destacado neste artigo refere-se ao fato de que os resultados experientais ostrara que o étodo heurístico proposto BN2+BN possui u desepenho superior aos deais, para solução do problea e questão. Dessa fora, este trabalho apresentou ua contribuição que procura evidenciar que apesar dos algoritos existentes proporcionare boas soluções, é possível, por eio da propriedade já existente (Lawler, 1993), criar novos étodos de soluções para o problea. 45

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