XLVII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL

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1 DECOMPOSIÇÃO LAGRANGEANA DESBALANCEADA PARA O PROBLEMA DE ROTULAÇÃO CARTOGRÁFICA DE PONTOS Sóstenes Pereira Goes 1 Luiz Antonio Nogueira Lorena 2 Glaydston Mattos Ribeiro 3 Geraldo Regis Mauri 4 12 Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Av. dos Astronautas 1758 São José dos Capos SP Brasil 1 sostenes.goes@gail.co 2 lorena@lac.inpe.br 3 Universidade Federal do Rio de Janeiro Av. Horácio Macedo 2030 Rio de Janeiro RJ Brasil glaydston@pet.coppe.ufrj.br 4 Universidade Federal do Espírito Santo Alto Universitário s/n Guararea Alegre ES Brasil auri@cca.ufes.br Resuo Este trabalho aborda o Problea de Rotulação Cartográfica de Pontos (PRCP) o qual é u problea de otiização cobinatória já deonstrado na literatura ser NP-difícil. É abordado o problea de obter bons resultados de particionaento no processo de aplicação da Decoposição Lagrangeana para o PRCP que u tea relevante pois o núero de arestas interpartições (corte) geradas pode influenciar o núero de restrições relaxadas e consequenteente a convergência do étodo de Subgradientes. Coo a redução do núero de partições para obter u enor valor de arestas cortadas pode não ser ua boa opção por causa do auento no taanho dos subprobleas é proposto o uso de taanhos de partições desbalanceados. Isto resulta e elhores partições co u núero enor de cortes. Os resultados coputacionais apresenta a solução ótia para todas as instâncias de teste utilizadas co elhores tepos coputacionais coparados aos resultados da decoposição co partições balanceadas. PALAVRAS CHAVE. Decoposição Lagrangeana Prograação Inteira Rotulação Cartográfica Área principal: Otiização Cobinatória Abstract This paper concerns to the Point Feature Cartographic Label Placeent Proble (PFCLP) which is a NP-hard cobinatorial proble. We address the proble of obtain good results of partitioning in the process of applying the Lagrangean Decoposition for the PFCLP which is a pertinent issue since the generated nuber of inter-partitions edges (edge cut) can affect the nuber of relaxed constraints and therefore the convergence of the Subgradient ethod. Because reducing the nuber of partitions to obtain a sall nuber of edge cu ay be not a good option due to the resulting increase in the size of generated subprobles we propose the use of inhoogeneous partition sizes. That resulted in better partitions with a reduced nuber of edge cut. The coputational results found the optial solutions to all instances of tes obtained fro literature with sall coputer ties when copared to CPLEX and the Lagrangean decoposition with balanced partitions. Keywords: Lagrangean Decoposition Integer prograing Cartographic label placeent Main area: Cobinatorial Optiization 2358

2 1. Introdução O problea de autoaticaente posicionar rótulos e apas diagraas grafos ou qualquer objeto gráfico conhecido coo Problea de Rotulação Cartográfica (PRC) é u problea cou na área de Sisteas de Inforações Geográficas (SIG) e é geralente referenciado e três características diferentes: linhas (rios estradas etc.) polígonos (lagos distritos construções etc.) e pontos (cidades ontanhas etc.). No PRC é necessário considerar que a sobreposição de rótulos deve ser evitada para ua elhor visibilidade do objeto gráfico. O problea de rotular características de pontos evitando a sobreposição de rótulos é conhecido na literatura coo o Problea de Rotulação Cartográfica de Pontos (PRCP). Christensen et al. (1995) propusera ua padronização para a odelage discreta das possíveis posições de rótulos definidas coo posições candidatas e características de pontos. Esta padronização utiliza u valor de rank de prioridade indicando as elhores posições onde o enor núero representa a aior prioridade. A Figura 1 ilustra esta padronização considerando quatro e oito posições candidatas. Figura 1. Padronização cartográfica proposta por Christensen et al. (1995). As possíveis sobreposições de rótulos considerando a padronização de Christensen et al. (1995) pode ser odeladas coo u grafo de conflitos G (V A) onde o vértice v ij V representa a posição candidata j do ponto i i {1... N} j {1... P i } onde N é a quantidade de pontos no grafo e P i é a quantidade de posições candidatas do ponto i. Adicionalente define se as arestas a(v ij v k t ) A representando ua sobreposição (conflito) entre as posições candidatas (i e (k t) caso estas posições seja escolhidas para rotulação. U exeplo de grafo de conflitos para u problea contendo quatro pontos co quatro posições candidatas para cada ponto seguindo a padronização de Christensen et al. (1995) é apresentado a seguir. Figura 2. Exeplo de grafo de conflitos para ua instância de 4 pontos. Existe atualente três principais abordagens do PRCP que utiliza a estrutura do grafo de conflitos: Problea do Máxio Conjunto Independente de Vértices (PMCIV) Problea do Máxio Núero de Rótulos Se Conflitos (PMNRSC) e o Problea da Miniização do Núero de Conflitos (PMNC) (Ribeiro e Lorena 2006). Coo u PMCIV o objetivo é rotular a aior quantidade de pontos possível e coo probleas reais são e geral uito coplexos alguns pontos pode não ser rotulados co esta abordage. No PMNRSC o objetivo é rotular todos os pontos do apa de fora que a quantidade de rótulos posicionados se conflitos seja a áxia possível. Já o PMNC visa iniizar a quantidade de conflitos gerados no processo de rotular todos os pontos do apa. 2359

3 Mauri et al. (2010) odelara o PMNRSC coo u problea de prograação linear inteira binária e propusera ua Decoposição Lagrangeana (Chardaire e Sutter 1995) para dividir o problea original e diversos subprobleas através do particionaento do grafo de conflitos e resolvê-los de aneira independent. Ao particionar u grafo é possível que vértices adjacentes fique e partições diferentes gerando arestas entre partições. A quantidade destas arestas é denoinada na literatura de corte de arestas. Coo as arestas entre vértices do grafo do PMNRSC indica u conflito entre vértices elas deve ser consideradas tabé na decoposição e para isto u vértice que possua adjacência externa é copiado para a partição do vértice adjacente de aneira que sua restrição de conflito seja considerada e u dos subprobleas. Para que as características do problea original seja antidas são necessárias restrições adicionais que assegure que os valores das variáveis copiadas seja iguais aos valores das variáveis originais. Estas restrições são então relaxadas no sentido Lagrangeano peritindo que os subprobleas seja resolvidos de aneira independente co u problea dual Lagrangeano correspondente a ser otiizado utilizando o étodo de Subgradientes (Narciso e Lorena 1999). A Decoposição Lagrangeana apresentou bons resultados e soluções ótias para instâncias de até 1000 pontos. Poré o étodo não conseguiu coprovar a otialidade de diversas instâncias do conjunto de 1000 pontos pois para estas instâncias o Subgradientes teve dificuldade e obter bons liitantes para as soluções. Este trabalho considera a sensibilidade do étodo Subgradientes co relação à quantidade de restrições relaxadas e leva e conta que peritir que o taanho dos subprobleas seja inoogêneos através de u particionaento desbalanceado possibilita obter ua quantidade enor de restrições relaxadas facilitando a convergência do étodo. Os resultados da Decoposição Lagrangeana desbalanceada é coparada co os resultados da decoposição proposta por Mauri et al. (2010). O restante deste trabalho está organizado co se segue. Ua revisão bibliográfica sobre o PRCP é apresentada na próxia seção. A Seção 3 descreve a Decoposição Lagrangeana para o PMNRSC e o algorito para particionaento desbalanceado proposto neste trabalho. A Seção 4 apresenta os resultados coputacionais obtidos. Seção 5 apresenta as considerações finais sobre o trabalho. 2. Revisão bibliográfica Existe diversos trabalhos na literatura sobre as três principais abordagens do PRCP. Considerando coo PMCIV Zoraster (1990) apresentou ua forulação de prograação linear binária e propôs restrições co posições candidatas fictícias que são penalizadas na função objetivo. Strijk et al. (2000) propusera forulações ateáticas utilizando restrições de corte co inequações para todas as cliques áxias no grafo de conflitos. Para instâncias grandes eles aplicara diversas heurísticas: Siulated Annealing Diversified Neighborhood Search k-opt e Busca Tabu. Agarwal et al. (1998) propusera algoritos de aproxiação para rotular a aior quantidade possível de pontos através da obtenção do subconjunto áxio de retângulos de diensões variadas que não se intersecta. Verweij e Aardal (1999) apresentara u algorito branch-and-cut e resultados para instâncias co 950 pontos. Adicionalente os autores apresentara ua técnica baseada e decoposição de cainhos. Ribeiro et al. (2011) apresentara ua decoposição Lagrangeana para o problea e soluções ótias para quase todas as instâncias de grande escala propostas na literatura. Considerando a abordage do PMNRSC Christensen et al. (1995) propusera dois algoritos baseados e ua discretização da descida de gradiente e Siulated Annealing. Yaaoto et al. (2002) propusera u algorito de Busca Tabu que obteve bons resultados e dados reais. Yaaoto e Lorena (2005) apresentara u algorito exato e u Algorito Genético Construtivo. O algorito exato não conseguiu bons resultados e instâncias aiores que 25 pontos enquanto o Algorito Genético obteve bons resultados para instâncias de até 1000 pontos. Alvi e Taillard (2009) utilizara as instâncias propostas por Yaaoto et al. (2002) para testes da etaheuristica POPMUSIC. A POPMUSIC constrói inicialente subprobleas do 2360

4 problea principal. Estes subprobleas são resolvidos separadaente e são integrados coo ua nova solução do problea principal. O étodo é repetido para obter soluções elhoradas até u dado critério de parada. Mauri et al. (2010) propusera o prieiro odelo ateático para o PMNRSC e ua decoposição Lagrangeana para resolver o problea e instâncias de até 1000 pontos. Seus resultados coputacionais apresenta soluções ótias para diversas instâncias propostas na literatura. O PMNC foi introduzido por Ribeiro e Lorena (2006) coo ua nova abordage para elhorar a legibilidade de soluções quando todos os pontos deve ser rotulados e sobreposições são inevitáveis. Eles apresentara ua forulação ateática e alguas heurísticas de relaxação Lagrangeanas. Cravo et al. (2008) propusera u algorito GRASP e obtivera elhores resultados que outras técnicas da literatura. Ribeiro e Lorena (2008) apresentara duas forulações ateáticas para o PMNC e propusera relaxações Lagrangeanas co clusters que obtivera elhores resultados que os apresentados na literatura. A principal diferença entre as forulações é coo os grafos de conflitos são construídos: ua forulação é baseada apenas nas posições candidatas enquanto a outra é baseada e posições candidatas e pontos. Recenteente Goes et al. (2013) apresentara duas forulações de dispersão discreta para o PRCP utilizando distâncias entre posições candidatas nos grafos de conflitos que obtivera bons resultados. 3. Decoposição Lagrangeana para o PMNRSC O odelo proposto por Mauri et al. (2010) leva e conta a abordage do PMNRSC co os rótulos tendo diensões fixas e utilizando a padronização cartográfica de Christensen et al. (1995). Utiliza-se a variável de decisão binária x ij para identificar se a posição candidata (i é utilizada para rotular u ponto ou não a variável binária z i indicando se u ponto i está rotulado co conflitos e u peso w ij indicando a recopensa por escolher a posição candidata (i. Inicialente o grafo G é particionado e k partições e que T é o subconjunto de vértices de G representando a partição {1... k}. E seguida são selecionados vértices que possue adjacências externas para sere copiados para ua das partições de seus vértices adjacentes. Desta fora são definidos os conjuntos C de vértices copiados para a partição e X V - T o conjunto de todos os vértices que não estão e T. Para obter as partições T foi utilizada a heurística Metis (Karypis e Kuar 1998) resolvendo o problea de k- Particionaento onde k é a quantidade de partições desejada. Para obter os conjuntos C utiliza-se a estratégia proposta por Sachdeva (2004) que iterativaente seleciona o vértice co a aior quantidade de arestas inter-partição e o copia para o cluster co a aior incidência de arestas inter-partição. Ao fazer isto estas arestas de conflito entre partições passa a não existir ais e as restrições de conflito referentes a elas são usadas no subproblea referente à partição onde o vértice foi copiado. E seguida este núero de arestas é redefinido e o procediento é repetido. Dados o grafo particionado e os conjuntos C e X o PMNRSC é odelado coo apresentado por Mauri et al. (2010): k Maxiizar w i jxi j zi (1) 1 ( i T ( i Sujeito a: x 1 i 1... (2) i j N j P i i j + xt u zi 1 i Si j; i t; x ( 1... k; (3) x x z 1 ( i C S ; 1... k; (4) i j + u i i j x + x z 1 ( i C S ; 1... k; (5) i j u t i j 2361

5 x t u xt u ( C X ; 1... k; (6) z z ( C X ; 1... k; (7) t t i j u u i t t x x x z z z {01} ( i C ; 1... k; (8) onde a variável representa a posição candidata ( copiada na partição e é a variável indicadora da rotulação co conflitos de u ponto t que teve suas posições candidatas copiadas e. A restrição (2) assegura que cada ponto possua apenas u rótulo. A restrição (3) atribui o valor 1 a z i e caso de conflitos. A restrição (4) considera os conflitos inter-partições e deterina se u ponto externo à partição é rotulado co conflitos. A restrição (5) considera os conflitos inter-partições deterinando se u ponto da partição é rotulado co conflitos. As restrições (6) e (7) assegura a igualdade entre as variáveis de vértices copiados e as variáveis dos vértices originais. Ao relaxar as restrições (6) e (7) no sentido Lagrangeano cada partição pode ser odelada e u subproblea v coo se segue {1... k}: v Maxiizar ( ) + ( ) + d d wi j i j xi j t x i i t t u t z z z (9) u i j i ( i j ) T d ( t C ( ) d ( C T Sujeito a: x 1 i j j P i i j + xt u zi 1 i i (10) x ( S ; i t; 1... k; (11) i j x x z 1 ( i C S ; 1... k; (12) i j + u i i j x + x z 1 ( i C S ; 1... k; (13) i j u t i j x x x z z z {01} ( i C ; 1... k; (14) i j u u i t t onde e são os ultiplicadores Lagrangeanos variáveis do seguinte problea dual a ser otiizado: Miniizar (15) Sujeito a: (16) Coo encionado anteriorente quanto aior a quantidade de restrições (6) e (7) relaxadas ais coplicado é encontrar bons liitantes duais para o problea decoposto de fora que obter bons resultados de particionaento pode facilitar a obtenção da solução ótia para ua dada instância do problea. Considerando u particionaento balanceado quanto aior o núero k de partições aior tende ser o valor do corte co u pior caso de k N onde o corte é a quantidade de arestas no problea. Por outro lado u núero pequeno de partições que reduza o valor do corte não necessariaente é ua boa opção pois o taanho dos subprobleas pode ser grande deais para ser resolvido por u étodo exato coo o Branch & Bound. Ua alternativa é peritir que o taanho das partições seja aior que L de aneira que a inclusão de vértices e ua partição que reduza a quantidade de arestas entre partições não seja liitada pelo fator de balanceaento. Isto pode ser usado para obter ua aior 2362

6 quantidade de subprobleas e consequenteente subprobleas enores evitando o acréscio no valor do corte. O étodo proposto para obter as partições T de aneira desbalanceada é apresentado na seção a seguir. 3. Particionaento desbalanceado O problea de particionaento geral conhecido coo particionaento e k-vias ou k-particionaento é o problea de obter para u deterinado grafo G (V A) k subconjuntos disjuntos de vértices de aneira que o peso total das arestas entre partições definido coo corte seja iniizado e o núero de vértices e cada subconjunto seja o eso (ou aproxiadaente o eso). Do ponto de vista da otiização cobinatória a iniização do corte é considerada a função objetivo do problea e o balanceaento entre as partições é ua restrição. No entanto existe alguas variações desta função objetivo que considera por exeplo iniizar especificaente o núero de partições interconectadas. Ua variação do problea de particionaento utilizada neste trabalho é a de peritir o desbalanceaento dos clusters para peritir ua redução da quantidade de arestas entre partições e se possível o núero de partições interconectadas. U resultado de particionaento é dito ser balanceado se { 1... k}: T L V / k onde T é a cardinalidade da partição T. Ua solução e que T L {1... k} é considerada perfeitaente balanceada. O algorito para particionaento desbalanceado apresentado nesta seção considera u dado fator áxio de balanceaento F bal de aneira que a inequação T / L Fbal {1... k} seja a nova restrição de balanceaento utilizada co F bal > 1. O algorito utilizado para os testes neste trabalho é apresentado na próxia Seção. 3.1 Algorito ultinível Nesta Seção apresenta-se o algorito para particionaento desbalanceado utilizado para obter os subprobleas da Decoposição Lagrangeana. O algorito te coo base o trabalho de Hendrickson e Leland (1995) que apresentou ua heurística ultinível para o k- Particionaento e é atualente o arcabouço ais utilizado para a resolução de probleas de particionaento e geral. O algorito te coo passos principais o colapsaento de vértices coalescendo pares de nós adjacentes gerando u novo grafo. O étodo é aplicado recursivaente para forar grupos de vértices que são utilizados para forar ua partição inicial do problea. Após o particionaento inicial o étodo retorna iterativaente ao grafo original separando os vértices colapsados e aplicando u algorito de refinaento da solução de particionaento e cada iteração. Para o étodo apresentado nesta seção são definidos os conjuntos V l de vértices de G no nível l co V 0 V. É interessante no particionaento para a DecLag do PMNRSC que todas as posições candidatas (i de u eso ponto seja coalescidas e u eso subconjunto C i no nível u (l 1) para cada ponto i. Isto porque estes vértices fora cliques cujas arestas já estarão inclusas neste coalesciento. Então V 1 {C 1 C 2...C N } e C i {(i 1) (i 2)...(i P i )} i {1...N}. Alé disto define se as arestas a(c i C s ) A l indicando adjacência entre os subconjuntos C i e C s se existir adjacência entre ao enos u par de vértices (i e (s t); e os pesos associados a estas arestas (i C i e (s t) C s. O algorito da etapa de coalesciento é apresentado no pseudocódigo a seguir. 2363

7 Coalesce Vértices V 0 V; Adicionar (i e C i i {1...N} e j {1... P i }; l 1; V l {C 1... C N }; enquanto V l < V l-1 ou V l > k V l+1 V l ; enquanto (houver C i não selecionado e V l+1 ) encontrar aleatoriaente C i e V l+1 que não tenha sido selecionado; arcar C i coo selecionado; encontrar C s e V l+1 tal que C s seja o enor C s V l+1 e a(c i C s ) A e C s não tenha sido selecionado; se {C i C s } então arcar C s coo selecionado; C i C i C s ; V l+1 V l+1 C s ; fi_se fi_enquanto l l + 1; fi_enquanto Figura 3. Pseudocódigo do algorito Coalesce Vértices. A partir de l 1 dadas as arestas entre cada eleento de V l seleciona-se aleatoriaente u eleento C i. Seleciona-se tabé o eleento adjacente C s que possui a enor cardinalidade. Coo inicialente C s P s isto é cada C s possui a esa quantidade de vértices que são as posições candidatas do ponto s o prieiro eleento visitado será o escolhido. Dados os eleentos selecionados no passo anterior para o próxio nível do grafo todos os vértices de C s são adicionados a C i e C s é reovido. Desta aneira a cardinalidade de V l+1 é reduzida de u as a cardinalidade de C i é increentada de C s. Os eleentos C i e C s são arcados para que não seja selecionados novaente nesta iteração e o procediento é reiniciado. Este processo é repetido enquanto houvere eleentos a sere selecionados e ao finalizar l é increentado. Se V l possuir ua cardinalidade enor que V l-1 o algorito fará ais ua iteração dos passos anteriores na tentativa de reduzir o grafo novaente. Caso contrário o algorito finaliza. Outro critério de parada é a cardinalidade de V l ser igual à quantidade k de partições. A Figura 4 ilustra o funcionaento da etapa de coalesciento dos vértices co k 3. Figura 4. Exeplo da etapa de coalesciento de vértices co k

8 Coo resultado da execução do algorito Coalesce Vértices o grafo estará reduzido a u conjunto enor de vértices facilitando assi deterinar ua partição inicial de G obtida pelo algorito Obté Partição Inicial apresentado na Figura 5 a seguir. Obté Partição Inicial repetir para todo C i V l encontrar C i que possui o enor C i C i V l ; encontrar a partição T tal que T T C i produza a enor violação de F bal ; se então T T C i ; fi_se senão executar Partição Inicial e V l-1 ; fi_senão fi_repetir Figura 5. Pseudocódigo do algorito obté partição inicial. No algorito da Figura 5 l é iniciado do últio increento de Coalesce Vértices ou seja inicia-se do últio nível de coalesciento obtido para G e sendo assi V l possui poucos subconjuntos C i que por sua vez contê grandes quantidades de vértices do grafo original. Nesta etapa o objetivo é obter ua partição inicial para G inserindo os eleentos de V l nas partições T {1... k} levando e conta o fator de balanceaento F bal desejado. Se eventualente não é possível selecionar u eleento C i que não viole F bal o algorito é aplicado recursivaente e V l-1. Os eleentos de C i coalescidos e V l estão separados e V l-1 e consequenteente possue ua cardinalidade enor. O algorito efetua a busca novaente por u conjunto C i que não viole F bal e se encontrado ele é inserido na partição T tal que T Ci L Fbal {1... k}. Apesar de o algorito Obté Partição Inicial deterinar ua partição para G ele não considera o problea de iniizar a quantidade de arestas entre as partições. Para isto neste trabalho é utilizado u algorito baseado na técnica proposta por Kernighan e Lin (1970). Esta técnica utiliza o conceito de atriz de ganho que conté para cada vértice do grafo valores indicando a contribuição para a iniização do corte ao over este vértice da partição atual para outras partições. Para isto utiliza-se o valor de ganho g (C i ) ao over o eleento C i de sua partição atual p para a partição. Dados os pesos w a ( C i C s ) para cada aresta a(c i C s ) A l onde A l é o conjunto de arestas de G no nível l. A atriz de ganho baseada no odelo Kernighan Lin pode ser definido coo wa ( C i Cs ) se Cs T g ( Ci ) wa ( C i Cs ) se Cs Tp (17) a( C i Cs ) Al 0 se C r p r s r No soatório e (17) o ganho e over C i para T auenta para cada eleento adjacente C j que estiver na nova partição. Se C s estiver na partição atual T p ua penalidade é iposta no valor de g (C i ) e se C s não pertencer ne a T e ne a T p não existe alteração no ganho. O valor de g (C i ) é utilizado no pseudocódigo a seguir. 2365

9 Refina Particionaento enquanto (não alcança a condição de parada) calcular g (C i ) para todo C i V 0 que não tenha sido ovido {1... k}; obter o aior valor de g (C i ) tal que ; dado g (C i ) over o conjunto C i para a partição ; arcar i coo ovido ; fi_enquanto Figura 6. Pseudocódigo do algorito Refina Particionaento. No refinaento da solução o algorito busca pelos elhores ovientos de vértices utilizando os aiores valores de ganho g (C i ). O procediento reitera enquanto houvere vértices não selecionados que tenha u oviento possível que elhore o resultado do corte e não viole F bal. 4. Resultados coputacionais Nesta seção são apresentados resultados coputacionais da decoposição desbalanceada do PMNRSC para as instâncias 1000 pontos que fora utilizadas para os testes de Mauri et al. (2010) e não tivera as soluções ótias coprovadas considerando quatro posições candidatas para cada ponto de acordo co a padronização de Christensen et al. (1995). Estas instâncias geradas no trabalho de Yaaoto et al. (2002) estão disponíveis no site Prieiro são apresentados na Tabela 1 os resultados de testes co as esas quantidades de partições utilizadas no trabalho de Mauri et al. (2010). A quantidade de partições é apresentada na coluna co o cabeçalho k seguido das elhores soluções obtidas na coluna LI e dos liitantes duais na coluna LS. E seguida é apresentado o Gap relativo entre LI e LS e os tepos de execução do étodo. Os testes fora executados utilizando o solver coercial CPLEX 12.6 utilizando o fator F bal 2. Ou seja { 1... k}: T L 2. Coo esperado a Tabela 1 ostra elhores resultados para o liite dual obtido pela versão desbalanceada da Decoposição Lagrangeana possibilitando provar a otialidade de 13 das 19 instâncias teste. Alé disto fora obtidos novos resultados para a função objetivo do problea e quatro instâncias. Foi possível tabé obter elhores resultados de tepos de execução do étodo para 12 instâncias. E todas as instâncias o Gap da decoposição desbalanceada foi elhor. Alé dos testes co as quantidades de partições utilizadas por Mauri et al. (2010) fora executados testes co outros valores de k. Para a escolha destas partições foi adotado o critério do enor valor de corte gerado no particionaento. Foi observado que para outros valores de F bal é possível obter quantidades de variáveis copiadas e restrições relaxadas siilares ao valor do corte iplicando ua enor quantidade de arestas inter-partições incidentes nos vértices a sere copiados. Isto por sua vez significa que ua dada variável copiada é utilizada e poucas restrições de conflitos dos tipos (12) e (13) por precisare eliinar poucas arestas inter-partições no processo de cópia. Coo variáveis de restrições relaxadas participa de enos restrições dos subprobleas o Subgradientes apresentou ua elhora no tepo de convergência e nos liites obtidos. Para analisar a relação entre a quantidade de variáveis relaxadas e o valor do corte é utilizada a proporção H nº de variáveis copiadas/corte. Os dados co inforações sobre os valores de k quantidade de corte restrições relaxadas e os valores de F bal utilizados para obter a proporção H do particionaento desbalanceado para todas as instâncias são apesentados na Tabela 2. Os resultados obtidos co estes particionaentos são apresentados na Tabela

10 Tabela 1. Resultados utilizando o particionaento de Mauri et al. (2010). Desbalanceado Balanceado Instância k LI LS Gap Tepo de execução (s) LI LS Gap Tepo de execução (s) 1000_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Tabela 2. Dados dos testes utilizando diferentes valores de k e F bal. Desbalanceado Balanceado Instância k F bal Corte Variáveis Copiadas H Corte Variáveis Copiadas H 1000_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11 Tabela 3. Resultados co solução ótia obtidos co os particionaentos da Tabela 2. Desbalanceado Balanceado Instância k LI LS Gap Tepo de execução LI LS Gap Tepo de execução 1000_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Os valores de k da Tabela 3 apresentara elhores liitantes para o problea. A otialidade dos resultados foi coprovada para todas as instâncias e a versão desbalanceada da decoposição Lagrangeana obteve elhores resultados de tepo coputacional. Alé disto foi possível obter novos valores para a função objetivo de três instâncias. Co os resultados apresentados todas as instâncias geradas no trabalho de Yaaoto et al. (2002) e utilizadas por Mauri et al. (2010) tivera suas soluções ótias obtidas. Estes resultados obtidos pela decoposição desbalanceada são possíveis principalente por possibilitar obter enor quantidade de arestas entre partições e consequenteente elhores liitantes e elhor valor do gap. 5. Conclusão Este trabalho apresentou ua abordage de Decoposição Lagrangeana desbalanceada para o Problea de Rotulação Cartográfica de Pontos. A abordage foi coparada co a Decoposição Lagrangeana proposta por Mauri et al. (2010) que trata-se ua forulação ateática para o Problea do Maior Núero de Rótulos se conflitos decoposta hoogeneaente no sentido Lagrangeano que apresentou bons resultados na literatura. Para a abordage inoogênea foi ipleentado u algorito de particionaento ultinível que perite o desbalanceaento de partições para que o corte de arestas interpartição seja enor co o objetivo de obter enos restrições relaxadas na Decoposição Lagrangeana. Através de testes coputacionais foi observado que a versão desbalanceada obteve elhores resultados de liitante peritindo encontrar a solução ótia de todas as instâncias de testes indicando que o desbalanceaento de partições elhora a convergência do étodo de Subgradientes por reduzir a quantidade de restrições relaxadas eso auentando o taanho de alguns dos subprobleas. Observa-se poré que obter particionaento ótio não é o escopo deste trabalho e portanto é possível que resultados elhores de corte destas instâncias seja obtidos. Trabalhos futuros inclue a ipleentação de étodos para deterinar 2368

12 autoaticaente bons valores de k e de F bal que perita obter bons resultados de corte de arestas interpartições e da proporção H. Referências Agarwal P. K. Kreveld M. V. Suri S. (1998). Label placeent by axiu independent set in rectangles. Coputational Geoetry: Theory and Applications Alvi A. C. F. Taillard E. D. (2009). POPMUSIC for the point feature label placeent proble. European Journal of Operational Research 192(2) Chardaire P. Sutter A. (1995) A decoposition ethod for quadratic zero-one prograing. Manageent Science v. 41 n. 4 p Christensen J. Marks J. Shieber S. (1995). An epirical study of algoriths for pointfeatures label placeent. ACM Transactions on Graphics 14(3) Goes S. P. Ribeiro G. M. Lorena L. A. N. (2013). Dispersion for the point feature cartographic label placeent proble. Expert Systes with Applications Hendrickson B. Leland R. A. (1995). Multilevel algorith for partitioning graphs. Supercoputing '95. New York: ACM Press. Karypis G. Kuar V. (1998). Multilevel k-way partitioning schee for irregular graphs. Journal of Parallel and Distributed Coputing v. 48 n. 1 p Kernighan B. W. Lin S. (1970) An Efficient Heuristic for Partitioning Graphs. Bell Systes Technical Journal v. 49 p Mauri G. R. Ribeiro G. M. Lorena L. A. N. (2010). A new atheatical odel and a lagrangean decoposition for the point-feature cartographic label placeent proble. Coputers & Operations Research 37(12) Narciso M. G. Lorena LAN. (1999). Lagrangean/surrogate relaxation for generalized assignent probles. European Journal of Operational Research 114(1) Ribeiro G. M. Lorena L. A. N. (2006). Heuristics for cartographic label placeent probles. Coputers & Geosciences 32(6) Ribeiro G. M. Lorena L. A. N. (2008). Lagrangean relaxation with clusters for point-feature cartographic label placeent probles. Coputers & Operations Research 35(7) p Ribeiro G. M. Mauri G. R. Lorena L. A. N. (2011). A lagrangean decoposition for the axiu independent set proble applied to ap labeling. Operational Research 11(3) Sachdeva S. (2004). Developent of a branch and price approach involving vertex cloning to solve the axiu weghted independent set proble. A&M University. [S.l.]. Strijk T. Verweij B. Aardal K. (2000). Algoriths for axiu independent set applied to ap labeling 42pp. Available at [Accessed June ]. Verweij A. M. Aardal K. I. (1999). An optiization algorith for axiu independent set with aplications in ap labelling. In: Proceedings 7 th Annual European Syposiu on Algoriths Prague Czech Republic pp Yaaoto M. Caara G. Lorena L. A. N. (2002). Tabu search heuristic for point-feature cartographic label placeent. Geoinforatica 6(1) Yaaoto M.; Lorena L. A. N. (2005). A constructive genetic approach to point-feature cartographic label placeent. In: Ibaraki T. Nonobe K. Yagiura M. (Eds.) Metaheuristics: Progress as Real Proble Solvers Kluwer Acadeic Publishers pp Zoraster S. (1990). The solution of large 0-1 integer prograing probles encountered in autoated cartography. Operations Research 38(5)