ALGORITMO GENÉTICO E PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA NA RESOLUÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE BEBIDAS

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1 ALGORTMO GENÉTCO E PROGRAMAÇÃO MATEMÁTCA NA RESOLUÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTCO PARA UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE BEBDAS Claudio Fabiano Motta Toledo Departaento de Ciência da Coputação Universidade Federal de Lavras Capus Universitário, C.P. 3037, CEP , Lavras, MG claudio@dcc.ufla.br Lucas de Oliveira Departaento de Ciência da Coputação Universidade Federal de Lavras Capus Universitário, C.P. 3037, CEP , Lavras, MG oliveiralukas@yahoo.co.br Renato Resende Ribeiro de Oliveira Departaento de Ciência da Coputação Universidade Federal de Lavras Capus Universitário, C.P. 3037, CEP , Lavras, MG renatorro@cop.ufla.br Deiseara Ferreira Departaento de Engenharia de Produção, Universidade Federal de São Carlos ; São Carlos, SP deise@dep.ufscar.br RESUMO O presente artigo propõe u algorito genético ulti-populacional, associado à prograação ateática, na resolução de u odelo de prograação inteiro isto para u problea de prograação da produção encontrado na indústria de refrigerantes. O algorito genético fixa as variáveis binárias do odelo e u étodo exato define valores para as variáveis contínuas. Dois tipos de população no algorito genético evolue utilizando diferentes operadores genéticos e funções de avaliação. O étodo proposto é avaliado e u conjunto de instâncias baseadas e dados reais fornecidos por ua indústria de refrigerantes. Os resultados são coparados àqueles obtidos por outro étodo encontrado na literatura. PALAVRAS CHAVE. Algoritos Genéticos. Diensionaento de Lotes e Prograação da Produção. ndústria de refrigerantes. Palavra chave. Área de classificação principal: MH Metaheurísticas ABSTRACT The present paper proposes a genetic algorith associated with a atheatical prograing applied to the resolution of a ixed integer prograing odel for a lot size and scheduling proble found in soft drink industries. The genetic algorith fixes binary variables of the odel and an exact ethod defines values for continuous variables. Two types of population evolve using different genetic operators and fitness functions. The ethod proposed is evaluated on a set of instances based on real data provided by a soft drink industry. The results are copared with those obtained by another ethod found in the literature. KEYWORDS. Genetic Algorith. Lot size and Scheduling. Soft drink industry. Main area: Metaheuristics. XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 710

2 1. ntrodução A produção de refrigerantes no Brasil te auentado a cada ano. O volue produzido e 2008 ultrapassou 14 bilhões de litros, representando u auento de 4,04% e relação ao ano de sso levou o setor a u faturaento 9,05% aior e 2008 (ABR, 2009). O Brasil é o terceiro aior ercado de bebidas do undo, perdendo apenas para EUA e México. Estes dados ostra a iportância do setor e a necessidade de novos étodos de resolução integrados a ferraentas coputacionais que apóie a toada de decisão. Poré, o sistea de planejaento da produção deste setor ainda não é autoatizado e uitas fábricas. A prograação da produção de bebidas consiste no diensionaento e seqüenciaento da produção tanto dos xaropes (atéria pria) quanto do produto final (bebida envasada) de fora sincronizada. Na literatura, os trabalhos de Rangel e Ferreira (2003), e Clark (2003) apresenta odelos de prograação inteira ista para tratar apenas do diensionaento de lotes da produção de bebidas. E Ferreira et al. (2008a) foi estudado u problea de diensionaento e seqüenciaento da produção de refrigerantes e ua fábrica de pequeno porte, usando u odelo de otiização baseado no General Lotsizing and Scheduling Proble. Heurísticas do tipo relax and fix fora propostas para resolver o odelo. O caso de fábricas de grande porte co dois estágios de produção (preparo do xarope e envase da bebida), várias linhas e tanques, e sincronia entre os estágios foi estudado e Toledo et al. (2007) e Ferreira et al. (2008b, 2009). E Ferreira et al. (2008b) é apresentada ua revisão de trabalhos da literatura sobre o setor de bebidas e duas abordagens de solução do problea são coparadas, u algorito eético e estratégias de solução baseadas e odelos de prograação inteiro istos. Toledo et al. (2007) propõe u odelo ateático para o eso problea, onde instâncias de pequena e elevada diensão são geradas e solucionadas utilizando o pacote coputacional GAMS/CPLEX. Ferreira et al. (2009) apresenta estratégias baseadas e odelos de prograação inteiro istos que difere do odelo proposto por Toledo et al. (2007) ao considerar tanques dedicados a linhas. Essa suposição reduz consideravelente o núero de variáveis e restrições nos odelos ateáticos. Heurísticas do tipo relax and fix são testadas na solução dos odelos. O problea de fabricação de refrigerantes requer a resolução integrada de dois Probleas de Prograação e Diensionaento de Lotes Capacitado (PPDLC) coo subprobleas, u nos tanques e outro nas linhas de produção. Bitran e Yanasse (1982) provara que o problea de otiização PPDLC é NP-Difícil. Assi, diversos étodos de resolução baseados e etaheurísticas coo Algoritos Genéticos costua ser utilizados. Algoritos Genéticos são étodos de coputação evolutiva que siula processos biológicos (Holland, 1975). U algorito genético híbrido e ulti-populacional co populações hierarquicaente estruturadas foi proposto e Buriol et al. (2004) para solucionar o problea do caixeiro viajante assiétrico. U algorito genético co estrutura hierárquica de indivíduos tabé foi utilizado por França et al. (2001) para solucionar o Total Tardiness Single Machine Scheduling Proble. O uso de Algoritos Genéticos e Busca Tabu tabé foi adotado por Toledo et al. (2008a, 2008b) para solucionar instâncias de probleas de prograação da produção e fábricas de refrigerantes. A abordage proposta neste trabalho consiste na execução de u Algorito Genético ultipopulacional integrado à resolução exata de u odelo linear de prograação ateática. Meyr (2002) soluciona u problea de prograação e diensionaento de lotes e áquinas paralelas utilizando ua heurística de busca local (threshold accepting) para fixar variáveis binárias, deixando para u étodo exato deterinar as deais variáveis contínuas do odelo. Defersha e Chen (2008) solucionara u odelo não-linear co variáveis inteiras, utilizando u algorito genético na deterinação das diversas variáveis inteiras do odelo. sso peritiu ua reodelage que levou à resolução exata de u odelo linear. A próxia seção apresenta os detalhes do problea de fabricação de refrigerante, o odelo ateático relacionado e u étodo de resolução encontrado na literatura. A seção 3 descreve o AG ulti-populacional proposto e sua integração à resolução do odelo ateático. Os resultados e conclusões são reportados nas seções 4 e 5, respectivaente. XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 711

3 2. Problea de Fabricação de Bebidas. 2.1 Processo de produção. A produção de bebidas possui dois estágios principais que são o preparo do xarope (sabor) e o envase da bebida pronta. O principal objetivo é deterinar o diensionaento e o sequenciaento da produção tanto dos xaropes quanto das bebidas. Há u tepo de preparo dos xaropes nos tanques eso entre trocas de sabores idênticos. Após o preparo, os xaropes são enviados para as linhas onde serão envasados. Cada linha de envase recebe xarope de apenas u tanque por vez, independente do núero de tanques. Poré, u tanque pode enviar xarope para ais de ua linha siultaneaente, se elas estivere envasando o eso sabor de bebida. A cada troca de xarope nos tanques ou produto nas linhas, se gasta u tepo de preparação (lipeza ou ajuste do aquinário) que depende da sequência da produção. A sincronia entre os estágios de preparo de xarope e envase da bebida é outro fator fundaental na prograação da produção neste tipo de problea. Se o tanque não estiver co o xarope pronto para ser enviado para a linha de envase, esta deve aguardar até que o xarope esteja pronto. Do eso odo, o tanque só pode iniciar o envio de xarope para a linha de envase se ela estiver preparada. A Figura 1 abaixo apresenta ua prograação da produção não sincronizada (a) e a esa prograação sincronizada (b). (a) Prograação não sincronizada. (b) Prograação sincronizada. Tanque a b b b Tanque a b b b Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Linha Capacidade disponível para produção. linha Capacidade disponível para produção. Figura 1. Prograações não sincronizada e sincronizada. (Adaptado de (Ferreira et al., 2009)). Na Figura 1, os retângulos representa os taanhos dos lotes e o espaço entre eles define os tepos de troca. Os tipos de refrigerantes são rotulados pelos núeros 1, 2 e 3, e os tipos de xaropes pelas letras a e b. Os retângulos de cor preta na Figura 1(b) representa os tepos de espera. Observe na Figura 1(a) que a linha de envase iniciou a produção do ite 1 usando o xarope a, poré este ainda está sendo preparado. Na prieira troca (xarope a para b e refrigerante 1 para 2), apesar do tepo de troca ser o eso no tanque e na linha, a produção na linha continua adiantada por não ter considerado a espera do lote anterior. Essa situação é tratada na Figura 1(b) pela inserção do tepo de espera antes da produção do ite 1. Quando u lote de bebida necessita de ais de u tanque de xarope, o tepo de preparo deste novo tanque deve ser considerado. Por exeplo, as trocas do refrigerante 2 para 2 e do xarope b para b exige a inserção de tepo de espera (segundo retângulo de cor preta da Figura 1(b)). Há tabé o caso onde o tepo de troca na linha é aior que no tanque, coo no caso da troca do refrigerante 2 para 3 que utiliza o eso xarope b da Figura 1. Nesta situação o tanque deve esperar o preparo da linha para enviar o xarope b a ser envasado. Se fore consideradas todas essas esperas, a prograação sincronizada seria coo na Figura 1 (b). Observe que após estabelecer a sincronia, o tepo necessário para a produção auenta e o sequenciaento proposto ultrapassa a capacidade disponível. Por isso, há necessidade de se considerar a sincronia entre os estágios no oento e que está sendo estabelecido o diensionaento e o sequenciaento da produção. 2.2 Modelo Two-stage ulti-achine lot-scheduling odel-p2smm Ferreira et al. (2009) propusera u odelo ateático, odelo P2SMM, para descrever o processo de produção de bebidas apresentado na seção 2.1. O odelo P2SMM é descrito a seguir, e utiliza os parâetros, J indexado por i e j, M indexado por, L indexado por Linha XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 712

4 k e l, T indexado por t, e N indexado por s, que representa respectivaente o núero de itens, áquinas (tanques), períodos e icro-períodos. O horizonte de planejaento T é coposto por períodos t de eso taanho, cada período é dividido e u núero pré-definido de icroperíodos. Esses icro-períodos corresponde aos lotes de produção de cada produto e seus taanhos representa o tepo de produção do ite naquele período, logo seus taanhos varia. Por exeplo, toe u período de produção (ua seana) dividido e quatro icro-períodos, e três produtos a sere produzidos. Ua prograação de produção destes três itens neste período seria, produzir o ite 1 durante dois dias, o ite 2 durante u dia e o ite 3 durante três dias. Logo o icro-período 1 te o taanho de dois dias de produção, o icro-período 2 te duração de 1 dia, o icro-período 3 te duração de três dias, e para o quarto icro-período não há produção, ou seja, ele te taanho zero. O conjunto no odelo representa o conjunto de icro-períodos e cada período t; ρ j é o conjunto de áquinas que pode produzir o produto j; δ é o conjunto de itens que pode ser produzidos na áquina (linha) ; θ é o conjunto de xaropes que pode ser arazenados no tanque ; ω l é o conjunto de itens que pode ser produzidos na áquina e utiliza o xarope l; e P t é o prieiro icro-período do período t. Os custos de estoque e atraso do ite j são dados pelos parâetros h j e g j respectivaente. A deanda do ite j no período t é dada por d jt. Nos parâetros a seguir o sobrescrito designa os parâetros relativos ao estágio e o sobrescrito designa os parâetros e variáveis relativos ao estágio : troca do xarope k para o xarope l; sij custo de troca do produto i para j; s custo de kl b kl tepo de troca do xarope k para o xarope l; b tepo de troca do produto i para j; a tepo de processaento de ij ua unidade do ite j na áquina ; K capacidade do tanque e litros; K t = capacidade e unidade de tepo da áquina no período t; r jl quantidade do xarope l necessária para a produção de ua unidade do produto j; estoque inicial do produto j;, 1 se no tanque está preparado co o xarope l no início do horizonte de planejaento; + j0 j y l 0 y j 0 igual a 1 se na áquina está preparada co o produto j no início do horizonte de planejaento. As variáveis do odelo são apresentadas a seguir: + = quantidade e estoque do produto j ao final do período t; jt jt = quantidade não produzida de j ao final do período t; x jt = quantidade do ite j produzida na áquina no icro-período s; se o tanque arazena o xarope l no icro-período s; 0 caso contrário; ls y se a áquina produz o produto j no icro-período s; 0 caso contrário; js z kls se há troca no tanque do xarope k para l no icro-período s; 0 caso contrário; z ijs se há troca na áquina do produto i para j no icro-período s; 0 caso contrário. J T M N M N + j jt + j jt + kl kls + ij ijs j= 1 t= 1 = 1 s= 1 k θ l θ = 1 s= 1 i δ j δ (1) Min Z= ( h g ) s z s z Sujeito a: S t qls yls rjl xjs K yls, j ω l yl ( s 1) y 1,..., M; ls l θ l θ kls k ( s 1) ls 1 = 1... M, l θ, s..., N; (2) = t..., T; s S { P }; (3) z y + y..., M ; k, l θ ; s..., N; (4) t t XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 713

5 z y y..., M ; k, l θ; t = 2,..., T; s = Pt ; (5) kls j( s 1) + ls 1 j ω k zkls 1 = 1,..., M ; t..., T; s S t ; (6) θ θ k l + j(t 1) + jt + x = js ρ j s St + jt + j(t 1) j js ij ijs s t j δ s St i δ j δ s St s St + d jt, j..., J, t..., T; (7) a x + b z + v K, = 1,..., M ; t..., T; (8), 1,..., M ; s 1,..., N; v b z b z s kl kls ij ijs k θ l θ i δ j δ t j = = (9) K xjs yjs,..., M ; j δ ; t..., T; s S t ; (10) a yjs..., M ; s..., N; (11) j δ zijs y i( s 1) + js zijs 1, i δ j δ + jt, jt 0 y -1,..., M ; i, j δ ; s..., N; (12), j..., J, t..., T ; i e j δ, k e l θ, t..., T, x js, v s, z ijs,..., M ; s..., N ; (13) zkls 0 ; y,..., M, js s St. (14) As restrições (2) a (6) são referentes ao estágio (xaroparia), e as restrições (7) a (14) odela o estágio (envase) do processo de produção de bebidas. Os custos de atraso, estoque e troca são iniizados na função objetivo (1). As restrições (2) deterina as capacidades ínia e áxia dos tanques, caso a atribuição de xarope ao tanque efetivaente ocorra ( y ls =1). As restrições (3) garante que os icro-períodos ociosos ocorrera apenas no fi dos períodos. Para considerar as trocas entre xaropes nos tanques e produtos nas linhas são definidas as restrições (4), (5) e (12). As restrições (5) são necessárias para controlar as trocas de xaropes no início de cada período, pois o tero é que irá deterinar o últio xarope y j( s 1) j ω k preparado no tanque no período t-1. As restrições (6) e (13) garante que há no áxio ua troca de xarope no tanque e produto na linha e cada icro-período. As restrições (7) estabelece a equação de balanço de estoque para produtos nas linhas e as restrições (8) define ua restrição de capacidade para as linhas e cada período. A variável v s é o tepo de espera da linha pelo preparo de xarope no tanque e garante que a prograação de tanques e linhas seja sincronizada. Na Figura 1 (b) da seção 2.1 esta variável é representada pelos retângulos de cor preta. Então note que o tepo de espera da linha pelo preparo do xarope deve ser considerado nesta restrição de capacidade. Esse tepo de espera é calculado na restrição (9) pela diferença entre o tepo de preparo do xarope e o tepo de preparo do ite na linha. A restrição (10) é a restrição de setup nas linhas. O conjunto de restrições (11) deterina que a linha sepre está preparada para produzir exataente u ite e cada icro-período. O doínio das variáveis é estabelecido na restrição (14). 2.3 Métodos da Literatura Relaxation Approach (RA) Ferreira et al. (2009) testa e copara diferentes étodos de solução para resolver o odelo P2SMM. Os elhores resultados fora obtidos pela estratégia de relaxação Relaxation Approach (RA) que considera coo gargalo da produção a linha de envase. Os autores tabé solucionara o odelo copleto (P2SMM), as os resultados obtidos e 4 horas de execução XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 714

6 não retornara solução ótia para as instâncias avaliadas. Alé disso, as elhores soluções obtidas solucionando P2SMM fora inferiores àquelas retornadas pela estratégia RA. Esta estratégia supõe que, ua vez prograada a produção dos itens nas áquinas, ua prograação viável dos xaropes nos tanques pode ser facilente obtida. Desta fora, apenas as restrições de capacidade do tanque no estágio são necessárias e o problea de sequenciaento e diensionaento de lotes no estágio é resolvido através do Modelo P1SMM. Esse odelo é forado pelas restrições (2), (7), (8) e (10)-(14), sendo que a restrição de capacidade não possui o tero de espera. As variáveis do odelo P1SMM são as esas variáveis do odelo P2SMM, exceto pelas variáveis z que não são necessárias. Após a solução do odelo P1SMM, as kls variáveis binárias associadas aos icro-periodos onde ocorre produção são fixadas. O odelo P2SMM é então resolvido obtendo ua solução viável para o problea original. O algorito RA é descrito na Figura 2. Algorito RA Passo 1 - Resolva o odelo P1SMM. Passo 2 - Se P1SMM é viável, então Para todo..., M, j α, s..., N faça se x > 0 então js Fixe as variáveis de preparo no odelo P2SMM de acordo co: y js =1 e yls = 1, l σ j Passo 3 - Resolva o odelo P2SMM obtido na Passo2. σ é o xarope necessário para a produção do ite j) ( j Figura 2. Algorito RA. 3. Algorito Genético Proposto O presente artigo propõe u algorito genético (AG) ulti-populacional associado ao odelo de prograação inteiro isto P2SMM para resolver o problea de prograação da produção de bebidas. Trata-se de u AG co evoluções distintas para dois tipos de populações (Figura 3). Algorito Genético início Repetir iniciarpopulações(); avaliarpopulações(); Repetir {evoluir população 1} recobinarpopulação_1(); utarpopulação_1(); avaliarpopulação_1(); reestruturarpopulação_1(); até convergência Repetir {evoluir população 2} recobinarpopulação_2(); utarpopulação_2(); avaliarpopulação_2(); reestruturarpopulação_2(); até convergência; executarmigração(); até tepo de execução; fi Figura 3 Pseudocódigo do algorito genético AG proposto. XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 715

7 A principal diferença entre a evolução de cada população está na resolução ou não do odelo ateático. Tabé há operadores genéticos distintos para cada população. O operador de igração e novas inicializações são executados toda vez que as duas populações converge. A convergência ocorre quando novos indivíduos não são inseridos e nenhua das populações. As próxias seções irão detalhar os diversos aspectos do AG proposto ndivíduos Ua atriz indexada por linhas de produção e períodos foi utilizada para representar u indivíduo. Cada posição da atriz possui ua lista co a sequência dos produtos (bebidas) que ocupa a linha naquele período. A sequência dos xaropes nos tanques pode ser obtida a partir da sequência das bebidas nas linhas, considerando que cada produto possui apenas u único xarope coo atéria pria. Desta fora, torna-se desnecessária a representação do sequenciaento dos xaropes no indivíduo. A Figura 4 abaixo exeplifica u possível indivíduo co sequências de produtos geradas e cada período. Figura 4 Codificação para u ndivíduo. U processo de decodificação da inforação perite avaliar a inforação contida e cada indivíduo. O processo de decodificação consiste e atribuir = 1, se o produto j está atribuído à posição (icro-período) s S t da linha na sequência de produção do acro t. Nesse caso, tabé é ajustado = 1, correspondente ao xarope i (supondo i o xarope da bebida j) is arazenado no tanque no eso icro-período s. Devido às restrições (11) e (12) do odelo, o processo de decodificação repete o últio produto efetivaente atribuído àquele período nos deais icro-períodos não utilizados. A Figura 5 ilustra a decodificação das inforações do indivíduo da Figura 4. Linha 1 - Período 1 Sequência: P1-P3-P4 Linha 1 - Período 2 Sequência: P3-P2 Linha 2 - Período 1 Sequência: P2-P2 Linha 2 - Período 2 Sequência: P1-P1-P4 A1, S1 A2, S 4 Tk 2, A1, S1 Tk 2, A1, S 4 y P1, S1 y P3, S 4 y L2, P2, S1 y L2, P1, S 4 A2, S 2 A1, S 5 Tk 2, A1, S 2 Tk 2, A1, S 5 y js y P3, S 2 y P 2, S 5 y L 2, P 2, S 2 y L 2, P1, S 5 A2, S 3 P 2, S 6 Tk 2, A1, S 3 Tk 2, A2, S 6 = 0, = 0, Figura 5 - Exeplo de decodificação do ndivíduo da Figura 4. y P 4, S 3 y P 2, S 6 y L2, P 2, S 3 y L2, P 4, S 6 = 1 = 1 = 1 = 1 Vaos supor que P1 e P2 utilize o xarope A1, enquanto P3 e P4 utiliza A2. Vaos supor tabé que os icro-períodos são S 1 ={s1,s2,s3} e S 2 ={s4,s5,s6} para S t co t=1,2. Na linha 1, a sequência de produtos P1-P3-P4 no prieiro período leva a fixação das variáveis y y P1, S1 = 1, = 1, 1 A1, S1 L 1, P3, S 2 Tk 1, A2, S 2 y =, = 1. No segundo acro- período da P4, S 3 Tk 1, A2, S 3 linha 1, observe que o últio produto atribuído à linha, P2, te suas variáveis y fixadas até o últio icro-período ( = 1 e ) atendendo às restrições (12) e (13) do odelo. y P2, S 6 y P2, S Funções de Avaliação do Algorito Genético Após a inicialização das duas populações consideradas, o AG faz ua chaada ao pacote coputacional AMPL/CPLEX e fornece u arquivo co os valores fixados para e y. O AMPL/CPLEX resolve o odelo P2SMM, onde as variáveis e y passa a ser declaradas XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 716

8 coo parâetros. O solver retorna inforações para que o AG deterine os custos de estoque e atraso (Eq. 18), custos de troca (Eq. 19) e a atriz cap(,t) (Eq. 20) co o valor da violação na capacidade de produção das linhas dentro dos períodos. = ( J T ce h ) + + g (18) ct = j= 1t= 1 j jt j jt N M N M skl zkls + s= 1= 1 k β l β s= 1= 1 i α j α s cap(, t) = ax 0, aj xjs + bij zijs + vs K t j s i j s s δ S t δ δ S t S t..., M ; t..., T. (20) Essas inforações são arazenadas no indivíduo e utilizadas no cálculo da função de avaliação de acordo co o tipo de população considerada. A função de avaliação da população 1 na Figura 3 é a função objetivo do odelo (Eq. 21). O valor lógico v indica se foi encontrada ou não ua solução factível pelo solver, onde u valor elevado M 1 é atribuído ao indivíduo infactível. ce + ct, se v = verdadeiro f 1= (21) M, se v = falso. 1 U segundo tipo de função de avaliação foi utilizada na evolução da população 2 (Eq. 22). M T f 2 = ce + ct + cap(, t). (22) M 2 = 1 t= 1 O valor M 2 corresponde a ua penalização associada à violação de capacidade cap(,t). Exceto pela inicialização e pelas posteriores reinicializações na população 2, o AMPL/CPLEX não é ais executado na deterinação da função de avaliação dos novos indivíduos dessa população. Por isso, as recobinações e utações executadas provoca alterações apenas nas sequências de produção das linhas dentro de cada período. A idéia é não executar udanças na configuração que leve a u recalculo dos lotes a sere produzidos. Por exeplo, nenhu operador genético troca produtos entre períodos ou áquinas diferentes. sso poderia provocar alterações nos custos de estoque e nos tepos de produção, exigindo possíveis recálculos do taanho dos lotes para se evitar violações nas restrições de capacidade das linhas. Por isso, os operadores executa udanças apenas no ordenaento dos produtos dentro das sequências de ua esa áquina e u eso período. Esse procediento deanda a deterinação de novos custos e tepos de troca, fazendo co que soente os teros ct e cap(,t) seja atualizados na Eq Operadores genéticos Na prieira população, u operador de recobinação (crossover) de dois pontos é utilizado para gerar novos indivíduos. A Figura 5 exeplifica este tipo de recobinação. Na segunda população, ua recobinação baseada e ordenaento é utilizada. Para cada linha e cada período t do Pai 2, os produtos são copiados para o novo indivíduo seguindo a orde co que esses produtos aparece na esa linha, as e u período t aleatoriaente selecionado no Pai 1. Quando u período t do Pai 2 não te todos os produtos presentes no período t do Pai 1, os produtos ausentes são alocados no final do período do novo indivíduo. Alé desse novo ordenaento das linhas, a recobinação tabé agrupa os lotes que produze o eso produto para eliinar custos de troca. A Figura 6 exeplifica este tipo de recobinação. Os núeros ao lado dos pais indica as linhas e períodos usados no reordenaento. Por exeplo, o prieiro período da linha 1 no Filho, foi estabelecido a partir das sequências da prieira linha no prieiro período de Pai 2 e da prieira linha no segundo período do Pai 1. ij z ijs (19) XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 717

9 Figura 5 - Exeplo de recobinação de dois pontos. Figura 6 - Exeplo de recobinação de ordenaento. U total de quatro operadores de utação foi definido para os indivíduos. A prieira utação troca de posição dois produtos aleatoriaente selecionados, dentro de ua esa linha e período. A segunda utação seleciona aleatoriaente ua linha e u período, gerando aleatoriaente ua nova sequência a partir dos produtos da sequência atual. Essas duas utações são executadas nos indivíduos tanto na prieira quanto na segunda população. A terceira e quarta utação são executadas apenas na prieira população, pois exige recálculo dos lotes. A terceira utação insere u produto aleatoriaente selecionado de ua posição e outra posição tabé aleatoriaente deterinada. A quarta utação sorteia aleatoriaente ua linha e u período. U novo núero taanho para a sequência de produtos é sorteado entre 1 e o núero áxio de icro-períodos. Se esse núero for enor que o taanho atual, produtos sorteados aleatoriaente são reovidos da sequência. Caso contrário, novos produtos aleatoriaente selecionados serão inseridos. Após a geração de u novo indivíduo pelo operador de recobinação, o AG seleciona aleatoriaente u valor λ [0,1]. Se λ<taxademultação, a utação é aplicada sobre o novo indivíduo. A utação a ser aplicada é selecionada aleatoriaente entre os quatro tipos de utação apresentados. Os indivíduos estão estruturados hierarquicaente e árvores binárias co diversos clusters. Cada cluster possui u nó líder e dois nós seguidores, onde o líder possui o elhor valor de função de avaliação. A seleção dos indivíduos para recobinação é feita sorteando u cluster e selecionando coo pais o nó líder e u de seus seguidores (Figura 7(a)). Figura 7 - nserção de novos indivíduos e reorganização da população. U indivíduo é inserido na população quando sua função de avaliação supera u de seus pais. Após a inserção dos novos indivíduos, a população é reestruturada (Figura 7 (b)). Os testes coputacionais realizados co instancias baseadas e dados reais são apresentados na próxia seção. XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 718

10 4. Resultados Coputacionais Os étodos fora avaliados e áquinas co 1.0 GB de RAM, 3.2 GHz e processador Pentiu ntel 4. As instâncias utilizadas nos testes coputacionais do presente trabalho fora obtidas de Ferreira et al. (2009). A prieira instância (1) foi gerada a partir dos dados associados a duas linhas de envase existentes e ua fábrica situada no interior do Estado de São Paulo. Fora geradas ais quatro instâncias (2, 3, 4 e 5) baseadas na instância 1. A Tabela 1 resue as características dessas instâncias. Estas instâncias considera duas linhas de envase, 23 itens sendo produzidos na linha 1 e 13 destes itens na linha 2, 18 xaropes, 3 períodos, e 25 icro-períodos por período. Alé dos dados das instâncias 1-5, tabé fora coletados na fábrica dados relativos à deanda de u período de 30 seanas. Estas deandas peritira a geração de outras 10 instâncias (6-15). Cada ua dessas 10 instâncias está associada à deanda de três seanas consecutivas de produção na fábrica. As instâncias 6, 7, 14 e 15 corresponde a períodos de deanda ais alta do que as instâncias 8-13, auentando o nível de dificuldade nessas instâncias. Maiores detalhes são descritos e (Ferreira et al., 2009). Tabela 1. Características dos exeplares 1-5 (Ferreira et al., 2009). nstâncias Modificações 1 Dados originais fornecidos pela fábrica. 2 Custos de estoque do 1 dobrados. 3 Custos de atraso do 1 dobrados. 4 Deanda total de cada ite do 1 redistribuída aleatoriaente nos três 5 períodos. Capacidade das áquinas reduzida e 25%. Os resultados obtidos pelo AG proposto nessas instâncias serão coparados àqueles obtidos pelo étodo RA, reportados e Ferreira et al (2009) e apresentados na Tabela 2. O AG foi executado 10 vezes e cada das instancias co 4 horas para cada execução. Trata-se do eso tepo de execução dado ao étodo RA e Ferreira et al (2009). Os autores daquele trabalho justifica que a prograação da produção leva e torno de 4 horas para ser definida na fábrica. Eles tabé justifica que esse tepo foi toado apenas coo referência, por ser aceitável na opinião dos responsáveis pela produção na fábrica. As duas populações do AG fora ajustadas para estrutura binária co 7 indivíduos e cada ua delas. Na população 1, u total de 1,5 vezes o taanho da população foi o núero de recobinações executada a cada chaada do operador de recobinação. O operador de utação nessa população foi executado co taxa de utação de 0,45. Na população 2, u total de 20 vezes o taanho da população foi executado a cada chaada do operador de recobinação. Esse elevado núero de recobinações se justifica pela convergência preatura apresentada pela população 2 nos testes co baixas taxas de recobinação. sso fazia co que o étodo executasse frequenteente novas inicializações, exigindo repetidas chaadas ao AMPL/CPLEX. As elevadas taxas de recobinação evitava a convergência preatura ao auentar a chance de inserção de novos indivíduos na população. Desta fora, novas inicializações era adiadas e, consequenteente, chaadas ao AMPL/CPLEX. Ua taxa de utação de 0.7 foi utilizada na população 2. A Tabela 2 a seguir copara os resultados obtidos pelo AG co o étodo RA descrito na seção 2.3. O étodo RA utiliza ua abordage exata de resolução do odelo, por isso, ua única execução se faz necessária. Por outro lado, o AG pode variar seu desepenho dependendo das inicializações e re-inicializações aleatórias. Desta fora, a Tabela 2 apresenta o valor édio considerando a elhor solução obtida pelo AG e cada execução. Tabé é apresentada a evolução desse valor édio a cada hora de execução. O AG consegue e édia superar as soluções retornadas pelos outros étodos e 11 das 15 instancias avaliadas. Alé disso, os elhores resultados fora obtidos na prieira hora de execução do AG e 10 dessas instancias. Apenas na instancia 1, o AG superou o étodo RA ao final de 4 horas de execução. A Figura 8 copara os étodos, considerando o valor da elhor solução encontrada pelo AG entre todas as dez execuções realizadas. Observe que o AG conseguiu superar pelo enos e ua das 10 execuções o elhor resultado obtido pelo RA, exceto na instancia 5. Considerando as 10 XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 719

11 execuções, o AG obteve valor final elhor que RA 4 vezes nas instancias 1 e 3, 2 vezes e 2 e 6 vezes e 4. Nas deais instancias o AG supera RA e todas as 10 execuções. O elhor resultado foi obtido na aioria das vezes e 1 hora de execução. Tabela 2. Coparação do desepenho dos étodos e RA AG Proposto nstâncias Exec -4h Exec- 1h Exec 2h Exec - 3h Exec - 4h 1 306,83 394,6 345,5 317,9 305, ,19 419,2 346,8 328,4 319, , ,4 340,9 327, ,40 422,8 363,6 337,5 317, ,55 510,2 449,1 418,4 402, ,47 322, ,5 276, ,46 264,1 227, , ,67 229,7 202,2 200,3 198, ,24 186,1 170,6 167,1 165, ,87 207,7 172,3 172,3 172, ,17 208,6 184,3 183,9 182, ,73 215, ,9 182, , ,6 177,2 175, ,51 261,4 235,4 232, ,19 304,3 269,9 265,7 262,7 600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 RA AG - Exec 1h AG - Exec 2h AG - Exec 3h AG - Exec 4h 100,00 0, Figura 8 - Coparação do elhor valor obtido pelo AG co P2SMM e RA_R2 e Conclusão O presente artigo apresentou u étodo que cobina o uso de u algorito genético ultipopulacional co a resolução exata de u odelo ateático. Os indivíduos do AG fornece diversos padrões para produção nas linhas que são utilizados na deterinação das variáveis inteiras do odelo ateático. Assi, ua versão relaxada do odelo é solucionada utilizando o pacote coputacional AMPL/CPLEX que deterina as variáveis contínuas. Todavia, essa fora de se avaliar os indivíduos é constanteente utilizada apenas por ua das duas populações utilizadas no étodo. A outra população faz chaadas ao AMPL/CPLEX para avaliar os indivíduos apenas na sua inicialização e reinicialização. Durante o processo evolutivo da segunda população, os operadores genéticos gera novos indivíduos cuja avaliação é executada recalculando os valores fornecidos inicialente pela AMPL/CPLEX. sso liita a fora de busca por soluções a valores inicialente fixados, as evita novas execuções do AMPL/CPLEX. As igrações entre populações perite trocas de inforações entre os dois tipos de evoluções executadas. Assi, a cobinação dessas duas abordagens e cada população conduziu o étodo XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 720

12 à obtenção de elhores resultados na aior parte das instancias avaliadas. O AG não apresentou u desepenho édio superior ao étodo RA (Relaxation Approach) e 2, 3, 4 e 5. sso pode indicar que o AG proposto apresenta dificuldades e estabelecer sequências para o odelo que consiga lidar co estoque (2) e atrasos (3) ais penalizados, ou co capacidade reduzida (5). Apesar disso, o AG conseguiu soluções elhores que o RA nessas instancias e alguas das 10 execuções realizadas. O AG obteve ua elhoria considerável e relação aos resultados obtidos pelo RA e todas as deais instancias (6-15), onde a aior parte desses elhores resultados foi alcançada e édia dentro de 1 hora de execução. 6. Agradecientos Essa pesquisa foi financiada pela Fundação de Aparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMG), projeto CEX APQ /07, e pela Fundação de Aparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp-04/ ). 7. Referências. ABR, Associacão Brasileira das ndústrias de Refrigerantes e de Bebidas Não Alcoólicas, Dados de Mercado, disponível e (últio acesso: 15/04/2009). Bitran, G. R. e Yanasse, H. H. (1982), Coputational coplexity of the capacitated lot size proble, Manageent Science 28 (10), Buriol, L., França, P.M. e Moscato, P. (2004), A new eetic algorith for the asyetric traveling salesan proble, Journal of Heuristics 10, Clark, A. R. (2003), Hybrid heuristics for planning lot setups and sizes, Coputers & ndustrial Engineering, 45, Defersha, F. M. e Chen, M. (2008), A linear prograing ebedded genetic algorith for an integrated cell foration and lot sizing considering product quality, European Journal of Operational Research, 187, Rangel, S. e Ferreira, D. (2003), U Modelo de Diensionaento de Lotes para ua fábrica de refrigerantes, TEMA Tendências e Mateática Aplicada e Coputacional, 4, 2, Ferreira, D., França, P. M., Kis, A., Morabito, R., Rangel, S. e Toledo, C. F. M., Heuristics and etaheuristics for lot sizing and scheduling in the soft drinks industry: a coparison study, Studies in Coputational ntelligence, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 128, , Ferreira, D., Morabito, R. e Rangel, S. (2008), U odelo de otiização inteira ista e heurísticas relax and fix para a prograação da produção de fábricas de refrigerantes de pequeno porte, Produção, 18, 1, Ferreira, D., Morabito, R. e Rangel, S. (2009), Solution approaches for the soft drink integrated production lot sizing and scheduling proble, European Journal of Operational Research, v 196 (2), França, P. M., Mendes, A. S. e Moscato, P. (2001), A eetic algorith for the total tardiness single achine scheduling proble, European Journal of Operational Research, 1(132), Holland, J.H., Adaptation in natural and artificial systes, The University of Michigan Press, Meyr. H. (2002), Siultaneous lotsizing and scheduling on parallel achines, European Journal of Operational Research, 139, Toledo, C. F. M., França, P. M., Morabito, R. e Kis, A. (2007), U Modelo de Otiização para o Problea ntegrado de Diensionaento de Lotes e Prograação da Produção e Fábrica de Refrigerantes, Pesquisa Operacional, v. 27, Toledo, C. F. M., França, P. M., Morabito e R., Kis, A. (2008a), Multi-population genetic algorith to solve the synchronized and integrated two-level lot sizing and scheduling proble. nternational Journal of Production Research, Toledo, C. F. M., França, P. M. e Ferreira, J.E. (2008b), Meta-Heuristic Approaches for a Soft Drink ndustry Proble, n: 13th EEE nternational Conference on Eerging Technologies and Factory Autoation, 2008, Haburg, Aleanha, XL SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conheciento Pág. 721