Uma Heurística para o Problema de Redução de Padrões de Corte

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1 Uma Heurística para o Problema de Redução de Padrões de Corte Marcelo Saraiva Limeira INPE/LAC marcelo@lac.inpe.br Horacio Hideki Yanasse INPE/LAC horacio@lac.inpe.br Resumo Propõe-se um procedimento híbrido para obter a redução do número de padrões em problemas de corte de estoque. Em um primeiro estágio são gerados bons padrões de corte que, uma vez cortados, simultaneamente completam as demandas de alguns dos itens contidos nele. Com a redução do problema, outras técnicas básicas de redução de padrão, propostas previamente na literatura, são utilizadas para se tentar obter uma melhor solução para o problema. 1. Introdução O problema de corte básico consiste em determinar a "melhor maneira" de cortar itens, com dimensões e quantidades específicas, de objetos com dimensões específicas de forma a otimizar uma função objetivo, por exemplo, minimização dos custos. Os objetos podem estar disponíveis em estoques, ou serem produzidos ou adquiridos de terceiros. Padrão de corte é definido pelos itens a serem cortados de um objeto bem como a disposição deles no objeto para a realização dos cortes em sua produção. Observe que a geometria é determinante, isto é, as formas e as dimensões dos itens e objetos determinarão os possíveis padrões de corte. Qualquer solução para o problema de corte de estoque consiste de um conjunto de padrões de corte e as freqüências correspondentes, isto é, o número de vezes que cada padrão tem de ser cortado. Vários métodos de solução estão sugeridos na literatura, tais como Gau e Waescher [3], Stadtler [5], etc, para o problema de corte de estoque unidimensional. Em particular, nem sempre pode ser apropriado considerar a minimização de perdas como um único objetivo. Na prática, o material do qual os itens são usualmente cortados faz parte apenas de um dos custos relevantes de decisão do processo de corte. O número de trocas de padrões de corte para satisfazer uma dada demanda pode afetar consideravelmente o tempo do processo de corte. Este é particularmente o caso quando, o equipamento de corte tem de ser preparado a cada novo padrão de corte; um procedimento que consome um determinado tempo durante o qual o processo de corte tem de ser interrompido. Para evitar a falta de produção devido aos tempos de preparação de máquina, a minimização do número de padrões de corte diferentes é, nestes casos, um segundo objetivo a ser considerado na geração dos padrões. Visto que a minimização do número de objetos (minimização da entrada) e a minimização do número de padrões de corte (setups) são objetivos parcialmente conflitantes, seria desejável avaliar os efeitos de ambos os fatores em uma minimização mais geral do custo. Um limitante inferior para o número de padrões distintos, pode ser obtido através da resolução do problema bin packing associado, onde a demanda de cada item tem valor igual a 1. Uma formulação do problema de corte de estoque que tem como objetivo não só a minimização dos custos de perdas mas também os custos de trocas de padrões distintos foi sugerida por Haessler [4]. Parece existir um número relativamente pequeno de trabalhos publicados tratando o problema de redução de padrões (Haessler [4], Farley e Richardson [1]). Na observação destes trabalhos este problema foi resolvido com o uso de heurísticas. Foerster and Wäscher [2] apresentaram uma pequena revisão de alguns trabalhos, incluindo os dois listados anteriormente. Eles propuseram um método de redução de padrões que combinava 2, 3, ou 4, padrões, de um plano de corte de entrada mínimo gerado em um primeiro estágio. Um algoritmo exato para o problema de minimização de padrões é proposto por Vanderbeck [6]. Este tem como objetivo minimizar o número de padrões de corte distintos utilizando, no máximo, a quantidade de objetos em estoque. O problema é primeiramente formulado como um problema de programação inteira quadrático, e em seguida é decomposto dentro de múltiplos problemas da mochila limitados. Então um algoritmo branch-andbound com técnica de geração de colunas é aplicado. De acordo com os testes computacionais, foi observado que este algoritmo conseguiu resolver de maneira exata vários

2 problemas de tamanho pequeno, mas falhava para obter soluções ótimas para diversas instâncias de tamanho moderado, considerando um limite máximo de tempo de duas horas. Neste trabalho apresentamos uma heurística para resolver o problema de redução de padrões em problemas de corte de estoque. O método proposto é baseado na observação que para se ter uma redução do número de padrões, os requisitos de mais de um item (em média) precisam ser completados quando a quantidade total de um padrão é cortada. Esta quantidade é o número de vezes que um padrão é repetido em uma solução. 2. A heurística Focalizaremos o problema com um único tipo de objeto e teremos como objetivo reduzir o número de padrões dentro de um desperdício tolerável. A idéia básica é relativamente simples. Do problema original (P), nós definimos um problema (P 1 ) com os mesmos itens do problema original (P) mas com as demandas ajustadas de acordo com um fator F 1. O problema (P 1 ) é obtido dividindo-se d 1, d 2,...,d m (m é o número de itens) por F 1 e pegando-se apenas a parte inteira. Qualquer padrão de corte viável para o problema (P 1 ) é também viável para (P) e, além disso, este padrão pode ser cortado F 1 vezes sem ter excesso de produção de um item. Uma seqüência de padrões é gerada para o problema (P 1 ) e um padrão é aceito se possui um desperdício em torno de um determinado α e completa simultaneamente as demandas de mais de um item contido nele (níveis de aspiração). Este padrão fará parte da solução global do problema (P) tendo uma quantidade F 1. Se nenhum padrão foi escolhido, nenhuma redução é realizada. Um novo fator F 2 é definido e o processo é repetido como do início. O processo termina quando o fator 1 é alcançado e nenhum outro padrão alcança os níveis de aspiração desejados. Caso se tenha no final um problema residual, demandas de alguns itens ainda não atendidas, então este problema residual é resolvido de maneira independente e, técnicas de redução de padrão, propostas previamente na literatura são aplicadas para a solução composta de todos os padrões gerados. Os fatores F 1, F 2,...1 são definidos da seguinte maneira. Visto que os padrões desejados, quando cortados, precisam finalizar as demandas de pelo menos dois itens, as quantidades de tais padrões precisam ser submúltiplas das demandas de alguns itens. Portanto, os candidatos a fatores são números submúltiplos das demandas dos itens e definidos da seguinte maneira: d m ; d m /2 ; d m /3 ; d m /4 ;... ; 1; d m-1 ; d m-1 /2 ; d m-1 /3 ; d m-1 /4 ;... ; 1; d 1 ; d 1 /2 ; d 1 /3 ; d 1 /4 ;... ; 1; Estes valores são ordenados em ordem decrescente (excluindo os valores iguais) e são testados um a um. Alguns valores podem ser imediatamente excluídos. Por exemplo, visto que estabelecemos que dois ou mais itens precisam ser finalizados por padrão, então o primeiro fator F 1 a ser considerado é d m-1, se d m é um múltiplo de d m-1 ou, um valor menor, caso contrário. Um dos níveis de aspiração para os padrões gerados é que o desperdício precisa estar em torno de um determinado α visto que nosso objetivo é gerar uma solução com desperdício global tão igual quanto possível do valor de α. Contudo, não conhecemos o desperdício dos diferentes padrões que compõem uma solução. O valor α é obtido através da computação do desperdício gerado pela solução do problema de corte, que pode ser resolvido por algum método já proposto na literatura. Para que se tenha um desperdício global aceitável os padrões escolhidos no procedimento precisam ter um desperdício menor ou próximo de α e padrões que são repetidos várias vezes precisam ser analisados detalhadamente quanto ao desperdício, pois se sua freqüência é elevada a solução global no final pode ter um desperdício grande e não ser muito boa. Por outro lado, um padrão levemente pior pode ser aceito se sua freqüência é pequena visto que sua contribuição para o desperdício global será mínimo. Considere por exemplo, um problema de corte de estoque unidimensional com 10 itens cujos tamanhos e demandas estão apresentados na Tabela 1. O tamanho do objeto a ser cortado é Tabela 1: Exemplo numérico m(número de itens) = 10. L(tamanho do objeto) = Nós resolvemos inicialmente este problema utilizando um código de Programação Linear com um Esquema de Arredondamento. O resultado obtido foi:

3 Número total de Objetos = 14. Número total de Padrões distintos = 10. Os padrões e as quantidades correspondentes obtidas são apresentados na tabela 2: Tabela 2: Resultado da Programação linear Freqüência Padrões de Corte dos Padrões A percentagem de desperdício nesta solução é de α = ( )/14000 = 0, O nível de aspiração para a eficiência dos padrões effref = (1-0, )x1000 = 952 unidades de comprimento. Seguindo a heurística proposta, teremos o seguinte: Iteração 1. Os candidatos a fatores são: F i = {18, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1}. Visto que um nível de aspiração que estabelecemos foi que a demanda de dois ou mais itens necessita ser finalizada com um padrão, então o primeiro fator F 1 a ser considerado é o 18. Com este fator, o problema P 1 será composto dos seguintes /18 = /18 = 1 2 e 8), contudo para este caso todos os possíveis padrões gerados possuem eficiência menor que 952 unidades de comprimento. Com isso nenhum padrão é gerado para o fator F 1 = 18. O próximo fator a ser considerado é o fator F 2 = /12 = /12 = /12 = 1 Para este caso a demanda de apenas um item é completada (item 7). Nenhum padrão é gerado para o fator F 2 = 12, pois é necessário que seja completada a demanda de pelos menos dois itens. O próximo fator a ser considerado é o fator F 3 = /11 = /11 = /11 = /11 = /11 = 1 6 e 10), contudo para este caso todos os possíveis padrões gerados possuem eficiência menor que 952 unidades de comprimento. Com isso nenhum padrão é gerado para o fator F 3 = 11. O próximo fator a ser considerado é o fator F 4 = /9 = /9 = /9 = /9 = /9 = 1 2 e 8) e existe pelo menos um padrão com eficiência maior que 952 unidades de comprimento. O seguinte padrão foi gerado: Este padrão é cortado o mesmo número de vezes que o valor do fator F 4 (9 vezes). A demanda do problema original P é reajustada de acordo com o padrão gerado na iteração anterior. O resultado obtido é mostrado na tabela 3. Tabela 3: Demanda do problema P reajustada

4 Iteração 2 Calcular novamente os candidatos a fatores F i = {8, 7, 6, 4, 3, 2, 1} e repetir o procedimento até que o fator F i = 1 seja alcançado e não seja possível a geração de qualquer outro padrão de corte com níveis de aspiração desejados. Se ao final da execução do procedimento heurístico ainda existir itens com demandas não atendidas então resolve-se este problema residual através de um código de Programação Linear com um Esquema de Arredondamento. O resultado final após a execução completa da heurística e do problema residual é mostrado na tabela 4. Tabela 4: Resultado final obtido Freqüência Padrões de Corte dos Padrões Número total de Objetos = 14 Número total de Padrões distintos = 4 ( ) α = = 0, Testes Computacionais Testes computacionais foram realizados para um problema de corte de estoque unidimensional. Escolheuse o problema de corte de estoque unidimensional visto que este caso é mais simples comparado com problemas de corte de estoque de dimensões maiores. Além disso, para este caso, temos os resultados do trabalho de Foerster e Wäscher [2], para comparação. Para estes testes são utilizados 18 classes de problemas (cada classe contendo 100 problemas) definidas segundo Foerster e Wäscher [2]. Os resultados obtidos estão apresentados nas tabelas 5 e 6. Todas as implementações foram feitas em C++. Os testes computacionais foram realizados em um microcomputador Pentium II, 400 MHz com 128MB RAM. Na Tabela 5, na primeira coluna apresenta-se cada classe de problemas testada (m = número de itens, d = demanda média, P, M, G, indicam o tamanho dos pequeno, médio, grande). Na segunda e terceira colunas estão indicados os números médios de objetos cortados dos dados fornecidos pela literatura (NOL) e os obtidos pela heurística proposta (NOH), respectivamente. Na quarta e quinta colunas estão indicados os números médios de padrões distintos fornecidos pela literatura (NPDL) e os obtidos pela heurística (NPDH), respectivamente. Tabela 5: Testes Computacionais CLASSE NOL NOH NPDL NPDH 01 m=10; d=10 - P 11,49 11,56 8,07 4,37 02 m=10; d=100 - P 110,25 110,43 11,86 11,41 03 m=20; d=10 - P 22,13 22,17 15,49 5,74 04 m=20; d=100 - P 215,93 215,98 23,21 14,56 05 m=40; d=10 - P 42,96 42,99 29,22 8,18 06 m=40; d=100 - P 424,71 424,89 44,48 15,06 07 m=10; d=10 - M 50,21 51,69 10,33 8,75 08 m=10; d=100 - M 499,52 502,26 11,67 10,35 09 m=20; d=10 - M 93,67 99,49 19,92 15,53 10 m=20; d=100 - M 932,32 948,41 22,51 19,69 11 m=40; d=10 M 176,97 195,67 38,34 27,91 12 m=40; d=100 - M 1766, ,42 43,22 35,76 13 m=10; d=10 G 63,27 64,20 10,04 9,72 14 m=10; d=100 G 632,12 633,30 10,53 10,73 15 m=20; d=10 G 119,43 123,90 19,71 18,54 16 m=20; d=100 G 1191, ,66 20,57 20,65 17 m=40; d=10 G 224,68 244,02 38,12 33,64 18 m=40; d=100 G 2242,4 2268,30 39,90 39,95 Na Tabela 6, na primeira coluna apresenta-se cada classe de problemas testada (m = número de itens, d = demanda média, P, M, G, indicam o tamanho dos pequeno, médio, grande). Na segunda e terceira colunas estão indicados os números médios de padrões distintos fornecidos pela literatura (NPDK23L) e os obtidos pela heurística (NPDK23H), respectivamente, após aplicação do algoritmo de redução KOMBI23 proposto Foerster and Wäscher [2]. Na quarta e quinta colunas estão indicados os números médios de padrões distintos fornecidos pela literatura (NPDK234L) e os obtidos pela heurística (NPDK234H), respectivamente, após aplicação do algoritmo de redução KOMBI234 proposto por Foerster and Wäscher [2]. Tabela 6: Testes Computacionais CLASSE NPDK23L NPDK23H NPDK234L NPDK234H 01 m=10; d=10 - P 4,36 3,61 3,40 3,31 02 m=10; d=100 - P 9,23 8,24 7,81 6,95 03 m=20; d=10 - P 7,72 5,19 5,89 4,96 04 m=20; d=100 - P 17,00 11,63 14,26 10,32 05 m=40; d=10 - P 14,40 7,82 10,75 7,63 06 m=40; d=100 - P 31,01 13,87 25,44 13,31 07 m=10; d=10 - M 8,44 7,93 7,90 7,66 08 m=10; d=100 - M 10,39 9,83 9,96 9,62 09 m=20; d=10 - M 16,25 14,28 15,03 13,64 10 m=20; d=100 - M 20,19 18,69 19,28 18,21 11 m=40; d=10 M 32,01 25,84 28,74 24,60 12 m=40; d=100 - M 39,11 33,98 37,31 33,23 13 m=10; d=10 G 9,33 9,13 8,97 8,93 14 m=10; d=100 G 10,42 10,56 10,32 10,51 15 m=20; d=10 G 17,74 17,03 16,88 16,28 16 m=20; d=100 G 20,17 20,20 19,91 19,89 17 m=40; d=10 G 33,53 31,11 31,46 29,76 18 m=40; d=100 G 39,12 38,53 38,28 37,90 Nas Tabelas 7 e 8 as colunas têm o mesmo significado que os das tabelas 5 e 6, respectivamente, porém os testes foram realizados apenas nas classes pares que possuem demanda média igual a 100. Para estas classes as

5 demandas médias foram divididas por 10 e a heurística proposta foi aplicada. Com o resultado obtido cada padrão de corte tem sua freqüência multiplicada por 10, chegando assim ao resultado final. Tabela 7: Testes Computacionais LASSE NOL NOH NPDL NPDH 02 m=10; d=100 - P 110,25 115,81 11,86 7,05 04 m=20; d=100 - P 215,93 225,86 23,21 9,07 06 m=40; d=100 - P 424,71 443,53 44,48 12,66 08 m=10; d=100 - M 499,52 529,72 11,67 8,86 10 m=20; d=100 - M 932, ,34 22,51 15,30 12 m=40; d=100 - M 1766, ,63 43,22 27,67 14 m=10; d=100 G 632,12 649,56 10,53 9,95 16 m=20; d=100 G 1191, ,15 20,57 18,25 18 m=40; d=100 G 2242,4 2543,51 39,90 33,25 Tabela 8: Testes Computacionais CLASSE NPDK23L NPDK23H NPDK234L NPDK234H 02 m=10; d=100 - P 9,23 5,31 7,81 4,64 04 m=20; d=100 - P 17 6,90 14,26 6,36 06 m=40; d=100 - P 31,01 9,73 25,44 8,91 08 m=10; d=100 - M 10,39 8,43 9,96 8,30 10 m=20; d=100 - M 20,19 14,69 19,28 14,19 12 m=40; d=100 - M 39,11 26,31 37,31 25,25 14 m=10; d=100 G 10,42 9,76 10,32 9,74 16 m=20; d=100 G 20,17 17,67 19,91 17,21 18 m=40; d=100 G 39,12 31,38 38,28 30,19 Na primeira coluna da Tabela 9 apresenta-se cada classe de problemas testada (m = número de itens, P, M, G, indicam o tamanho dos pequeno, médio, grande). Na segunda e terceira colunas estão indicados os números médios de padrões distintos fornecidos pela heurística com demanda média d (classes ímpares d = 10, classes pares d = 100) e os obtidos também pela heurística com demanda igual a 1, respectivamente. Tabela 9: Limitante Inferior Classe H H_d=1 01 m=10; P 4,37 1,66 02 m=10; P 11,41 1,66 03 m=20; P 5,74 2,55 04 m=20; P 14,56 2,55 05 m=40; P 8,18 4,25 06 m=40; P 15,06 4,25 07 m=10; M 8,75 4,99 08 m=10; M 10,35 4,99 09 m=20; M 15,53 9,24 10 m=20; M 19,69 9,24 11 m=40; M 27,91 16,92 12 m=40; M 35,76 16,92 13 m=10; G 9,72 6,27 14 m=10; G 10,73 6,27 15 m=20; G 18,54 11,76 16 m=20; G 20,65 11,76 17 m=40; G 33,64 21,98 18 m=40; G 39,95 21,98 Com relação aos resultados das tabelas 5 e 6, observase que o número médio de objetos obtidos pela heurística foi maior para todas as classes de problemas rodadas. Em contra partida percebeu-se que para quase todas as classes testadas o número médio de padrões distintos foi menor antes e depois da aplicação dos métodos de redução de padrões propostos na literatura (tabelas 5 e 6). Nas tabelas 7 e 8, observa-se que o número médio de objetos continuou maior para todas as classes pares testadas, mas em contrapartida o número médio de padrões distintos foi menor. O resultado da terceira coluna da Tabela 9 apresenta, tanto para as classes pares como para as ímpares, o mesmo valor para o limitante inferior. Isto ocorre pois o que diferenciava as classes pares das classes ímpares eram as demandas média e no caso do limitante inferior para todas as classes de problemas a demanda é igual a 1. Os tempos computacionais não foram mencionados nas tabelas de resultados, pois os dados para comparação foram adquiridos da literatura e não computados. Além disso, não poderiam ser usados para uma comparação direta, pois as plataformas, em que cada código foi executado, são diferentes. 4. Considerações finais Com a heurística proposta é possível realizar ajustes na escolha dos padrões de modo que o número de objetos permaneça dentro de um limite permitido e o número médio de padrões distintos não aumente de maneira indesejável. Uma análise de tradeoff poderá então ser feita de acordo com a aplicação determinando-se assim qual o acréscimo no número de objetos se tentarmos reduzir o número de padrões distintos (ou vice-versa). 5. Referências Bibliográficas [1] Farley A. A; Richardson K. V., Fixed charge problems with identical fixed charges, European Journal of Operational Research, 1984, 18, [2] Foerster, H.; Wäscher, G., Pattern reduction in onedimensiopnal cutting stock problem, Accepted for publicantion in International Journal of Production Research [3] Gau T. Wäscher G., Heuristics for the Integer Onedimensional Cutting Stock Problem: a computacional study, Or Spektrum, 1996, 16, [4] Haessler, R. W., Controlling Cutting Pattern Changes in One-Dimensional Trim Problems, Operations Research, 1975, 23, [5] Stadtler, H., A One-dimensional Cutting Stock Problem in the Aluminium Industry and its Solution, European Journal of Operational Research, 1990, 44, [6] Vanderbeck F., Exact algorithm for minimising the number of setups in the one-dimensional cutting stock problem, Operations Research, 2000, 48,