Abordagens para o Problema do Carregamento de Contêineres

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1 Abordagens para o Problea do Carregaento de Contêineres Reinaldo Morabito Universidade Federal de São Carlos Departaento de Engenharia de Produção São Carlos, São Paulo e-ail: orabito@power.ufscar.br Marcos N. Arenales Universidade de São Paulo Departaento de Ciências de Coputação e Estatística Instituto de Ciências Mateáticas de São Carlos São Carlos, São Paulo e-ail: arenales@icsc.sc.usp.br Resuo O problea do carregaento de contêineres consiste e arranjar itens (caixas) de diferentes taanhos dentro de objetos aiores (contêineres), de aneira a otiizar ua função objetivo, p.e., axiizar o volue carregado. Neste artigo estaos interessados no caso especial de arranjar o áxio volue de ua carga, coposta de caixas de baixa densidade, dentro de u único contêiner, safistazendo restrições de estabilidade do carregaento. Reveos alguas abordagens conhecidas da literatura, tais coo os procedientos e duas etapas de carregar as caixas e caadas horizontais e e pilhas verticais, a aplicação de técnicas de prograação dinâica e, e particular, étodos de busca baseados na representação do espaço de soluções nu grafo-e/ou. Alguas destas abordagens fora ipleentadas e icroputador para resolver u exeplo real co 784 caixas, e u exeplo pequeno as difícil, co apenas 7 caixas, cuja solução ótia é do tipo não-guilhotinado. Palavras-chave: carregaento de contêineres, probleas de corte e epacotaento, busca e grafo-e/ou, padrões de corte tridiensionais. Abstract The container loading proble consists of arranging ites (boxes) of different sizes inside large objects (containers), in such a way as optiizing an objective function, e.g., axiizing the volue loaded. In this paper we are interested in the special case of arranging the axiu volue of a cargo, coposed of low density boxes, in a single container, satisfying stability constraints for the cargo loading. We review approaches known in the literature, such as the two-phase procedures of loading boxes in either

2 horizontal layers or vertical stacks, the application of dynaic prograing techniques and, in particular, search ethods based on an and/or-graph representation of the solution space. Soe of the were ipleented in a icrocoputer to solve a large real-life exaple of 784 boxes, and a hard sall exaple of only 7 boxes, whose optial solution is known to be of nonguillotine type. Keywords: container loading, cutting and packing probles, and/or-graph search, three-diensional cutting patterns. Introdução O problea do carregaento de contêineres (container loading proble) consiste e carregar caixas de diversos taanhos dentro de contêineres, de aneira a otiizar u certo objetivo, por exeplo, axiizar o aproveitaento do espaço disponível. Alé das restrições geoétricas envolvidas (o carregaento deve caber dentro do contêiner, duas caixas não pode ocupar o eso espaço), outras restrições deve ser eventualente consideradas, coo a estabilidade do carregaento. Ao estudar o problea, Bischoff e Marriott (990) distinguira casos e que ua grande carga deve ser transportada, cobinando-se vários contêineres e função do custo-benefício, e casos e que o áxio possível de ua carga deve ser carregada dentro de u único contêiner. Os autores ainda distinguira casos e que o peso da carga e sua distribuição dentro do contêiner governa as opções de carregaento e casos e que o objetivo é axiizar a utilização do contêiner e teros do volue e do valor da carga carregada. Aspectos de fragilidade e anuseio da carga tabé pode vir a ser considerados. E particular, Gehring et al (990) abordara u caso co restrições de balanceaento e localização das caixas dentro do contêiner. Restrições de peso pode ser até certo ponto copensadas pela possibilidade de escolha das diensões dos contêineres (contêineres enores são escolhidos para cargas ais densas). Ua escolha adequada do taanho do contêiner e função da densidade da carga perite que sua capacidade voluétrica seja elhor utilizada. Haessler e Talbot (990) abordara o problea do carregaento de vagões ferroviários considerando apenas caixas de baixa densidade. E uitos casos, a capacidade voluétrica liita a quantidade de caixas a ser carregada, antes que as restrições de peso seja encontradas (George e Robinson, 980). No presente artigo aditios que a carga te baixa densidade. A figura a ilustra dois contêineres e três caixas de taanhos diferentes. Suponha, por exeplo, que dispoos de apenas u contêiner de cada taanho e de duas caixas do taanho, duas caixas do taanho 2 e ua caixa do taanho 3, e que os dois

3 contêineres juntos seja suficientes para arranjar todas estas cinco caixas. Considere o seguinte problea de otiização cobinatória: Coo carregar todas as caixas dentro dos contêineres, tal que o volue total dos contêineres utilizados seja ínio? () U subconjunto de contêineres deve ser escolhido para carregar todas as caixas. A figura b ilustra ua solução para este siples exeplo, co todas as cinco caixas arranjadas dentro do contêiner enor. Note que se os contêineres fore idênticos, então o problea () consiste e iniizar o núero de contêineres utilizados. Suponha agora que dispoos de cinco caixas do taanho, três caixas do taanho 2 e dez caixas do taanho 3, e assi, os dois contêineres juntos não são ais suficientes para arranjar todas estas 8 caixas. Considere este segundo problea de otiização cobinatória: Coo carregar o áxio volue de caixas dentro dos contêineres disponíveis? (2) U subconjunto de caixas deve ser escolhido e arranjado dentro dos contêineres disponíveis. A figura c ilustra ua possível solução, co parte das 8 caixas carregadas nos dois contêineres. U caso iportante do problea (2) é quando teos u único contêiner disponível. Os probleas () e (2) pode ser vistos coo probleas de corte e epacotaento (PCE) tridiensionais (Dyckhoff, 990). Há décadas uitos autores tê apresentado diferentes abordagens para resolver os PCE; entretanto, poucos autores se preocupara co os casos tridiensionais. Para ua lista de referências, veja os exaes de Dyckhoff e Finke (992), Dowsland e Dowsland (992), Sweeney e Paternoster (992) e Morábito e Arenales (992); veja tabé a edição especial recente dos PCE e EJOR (995). Para ua discussão da relação entre probleas de carregaento de contêineres e de carregaento de paletes do distribuidor, veja p.e. Bischoff e Ratcliff (995) e as referências lá citadas. Neste artigo estaos particularente interessados no problea (2) co u único contêiner disponível. Aditios que a carga tenha baixa densidade e consideraos restrições espaciais (restrições geoétricas das caixas dentro do contêiner) e de estabilidade do carregaento (veja figura 8). Restrições de estabilidade do carregaento são difíceis de sere odeladas (os autores não tê conheciento de qualquer tentativa na literatura)---na prática, elas são verificadas ovientando-se o carregaento produzido. Apesar de ua definição foral de estabilidade do carregaento estar alé do escopo deste trabalho, nas abordagens a sere apresentadas discutireos breveente coo certas regras pode produzir carregaentos co aior chance de estabilidade, pois perite u rearranjo de peças sobrepostas de odo que soluções alternativas pode ser subetidas à prática de ovientação do carregaento.

4 Na seção 2 odelaos (2) coo u subproblea de () (confore Gilore e Goory, 965), distinguindo os casos irrestrito e restrito (veja probleas (3)-(4) e (5)- (7) na seção 2). Tabé apresentaos u prograa linear 0- para estes casos, que é ua extensão do odelo de Beasley (985b) originalente proposto para u PCE bidiensional. Para resolver o problea irrestrito, três étodos aproxiados são apresentados nas seções 3, 4 e 5, respectivaente. Os dois prieiros são generalizações do étodo e duas etapas de Gilore e Goory (965): o prieiro arranja as caixas e caadas e o segundo, e pilhas. Abos os étodos e geral produze carregaentos estáveis. O terceiro é ua generalização das fórulas recursivas de prograação dinâica de Beasley (985a), e não te garantia de estabilidade do carregaento. Para resolver tanto o problea irrestrito quanto o restrito, apresentaos na seção 6 a abordage e grafo-e/ou (Morábito e Arenales, 994), que é u étodo aproxiado que realiza ua busca nu grafo-e/ou para tentar encontrar u bo carregaento estável. No final do artigo (seção 7) apresentaos alguns resultados coputacionais de u exeplo real e de u exeplo construído, coparando as soluções produzidas pelos étodos (exceto prograação dinâica). 2. Modelage do problea Considere u conjunto de caixas agrupadas e tipos. Para cada tipo i, caracterizado pelo copriento, largura e altura (l i, w i, h i ), teos ua quantidade b i de caixas. Considere tabé u conjunto de contêineres agrupados e n tipos. Para cada tipo k, caracterizado pelas diensões (L k, W k, H k ), estão disponíveis B k contêineres. As caixas deve ser carregadas ortogonalente dentro dos contêineres. Por siplicidade e se perda de generalidade, adita que as caixas seja carregadas co ua orientação fixada, isto é, co l i, w i e h i paralelos a L k, W k e H k, respectivaente. Gilore e Goory (963, 965) apresentara u étodo para resolver o problea () baseado no étodo siplex (dado que ele pode ser odelado coo u prograa linear) e nu subproblea que deve ser resolvido e cada iteração do siplex para produzir u padrão de carregaento. Este subproblea é dado por: ax va (3) i= i i s.a.: (a, a 2,..., a ) corresponde a u padrão de carregaento tridiensional (4) onde a i é ua variável inteira representando o núero de caixas do tipo i no padrão, e v i é o ultiplicador siplex (ou ua função dele) associado co ua base particular. Seja z denotando o aior inteiro enor ou igual a z. Este étodo funciona be quando b i é

5 consideravelente aior do que o produto L k / l i W k / w i H k / hi, que corresponde ao núero áxio de caixas do tipo i no contêiner (L k, W k, H k ). Considere agora apenas u contêiner de taanho (L, W, H). Note que se v i e (3) for o volue da caixa do tipo i, então o problea (3)-(4) é o caso particular do problea (2) co u único contêiner disponível. Se a quantidade b i não for suficienteente grande (i.e. b i < L k / l i W / w i H / hi ), então a variável a i deve ser liitada superiorente por b i. Neste caso o problea (3)-(4) é chaado restrito, dado por: ax va i i (5) i= s.a.: (a, a 2,..., a ) corresponde a u padrão de carregaento tridiensional (6) co: a i b i, i=,..., (7) A restrição adicional (7) ipõe consideráveis dificuldades para resolver o problea acia, e relação ao problea (3)-(4), confore será visto. Tanto o problea (3)-(4) quanto o problea (5)-(7) pode ser escritos coo u prograa 0-, estendendo-se para o caso tridiensional o prograa 0- proposto originalente e Beasley (985b) para o caso bidiensional. Cada variável 0- do prograa representa a decisão de colocar ou não ua caixa do tipo i na coordenada (x,y,z) dentro do contêiner. Se perda de generalidade, pode ser ostrado que x, y e z pertence respectivaente aos conjuntos de discretização (veja seção 6.3.): X= x x = αil i, x L l 0, α i 0, inteiro (8) i= Y= y y = βiw i,y W w 0, β i 0, inteiro (9) i= Z= z z = γih i, z H h 0, γ i 0, inteiro (0) i= onde l 0 = in{l i, i =,..., } (siilarente para w 0 e h 0 ). No texto que segue denotaos por A o núero de eleentos do conjunto A. Seja x j o j-ésio eleento do conjunto X, y k o k-ésio eleento do conjunto Y, e z l o l-ésio eleento do conjunto Z (note que x j, y k e z l não são incógnitas, isto é, são deterinados a priori). Se decidiros colocar ua caixa do tipo i, co o canto confore a figura 2 na posição (x j, y k, z l ), então não podeos colocar outra caixa e qualquer

6 posição (x p, y q, z r ) satisfazendo x j x p x j + l i -, y k y q y k + w i - e z l z r z l + h i -, co p =,..., X, q =,..., Y e r =,..., Z (verifique na figura 2). coo: Para evitar a sobreposição de caixas, definios a atriz de incidência g ijklpqr g ijklpqr se xj xp xj + li, yk yq yk + wi, e zl zr zl + hi, = 0 caso contrario. que deve ser coputada a priori para cada caixa do tipo i (i =,..., ), para cada posição (x j, y k, z l ) (j =,..., X, k =,..., Y e l =,..., Z ), e para cada posição (x p, y q, z r ) (p =,..., X, q=,..., Y e r=,..., Z ). Seja J(i) = arg ax j=,..., X {x j x j L - l i }, K(i) = arg ax k=,..., Y { y k y k W - w i } e L(i) = arg ax l=,..., Z {z l z l H - h i }, e as variáveis de decisão a ijkl definidas coo: a ijkl = 0 se ua caixa do tipo caso contrario. i e' colocada na posicao ( x,y,z ) j k l Note que, necessariaente, a ijkl = 0 para todo j>j(i), ou k>k(i), ou l>l(i).. O problea pode ser forulado coo: J(i) K(i) L(i) ax v i a ijkl () i= j= k= l= J(i) K(i) L(i) sa..: gijklpqraijkl, p =,..., X, q =,..., Y, r =,..., Z (2) J(i) i= K(i) j= L(i) k= l= aijkl b i, i =,..., (3) j= k= l= co: a ijkl {0, }, i=,...,, j=,..., J(i), k=,..., K(i), l=,..., L(i) (4) O odelo ()-(4) conté O( X Y Z ) variáveis e O( X Y Z ) restrições. Se ua orientação não for fixada para carregar as caixas dentro do contêiner, o odelo acia pode ser estendido poré co u núero ainda aior de variáveis e restrições. Nos casos práticos estes núeros chega facilente a orde de ilhões, o que desestiula o eprego das técnicas usuais de prograação linear inteira. Alé disso, a solução do odelo ()-(4) não te garantia de produzir u carregaento estável.

7 Outro odelo 0- para os probleas (3)-(4) e (5)-(7) pode ser encontrado e Tsai et al (993), poré, co núero de variáveis e restrições que cresce exponencialente co o núero de caixas a sere carregadas e tabé se garantia de produzir u carregaento estável. Estas dificuldades e parte justifica a coleção de étodos heurísticos encontrados na literatura, coo por exeplo e George e Robinson (980), Han et al (989), Correia et al (992), Mohanty et al (994), Morabito e Arenales (994) e Bischoff et al (995). Algoritos de aproxiação co liite de desepenho assintótico tabé são encontrados; veja p.e. Miyazawa (997) e as referências nele citadas. Os étodos das próxias três seções trata apenas o problea (3)-(4), enquanto que o étodo da seção 6 trata abos os probleas (3)-(4) e (5)-(7). Todos os étodos são heurísticos. 3. Carregaento e caadas A seguir apresentaos u procediento e duas etapas para se obter padrões de carregaento tridiensional e geral estáveis. Na prieira etapa, caadas horizontais são foradas arranjando-se caixas de esa altura (i.e. no áxio probleas bidiensionais são resolvidos) e na segunda etapa, estas caadas são escolhidas para sere epilhadas ao longo da altura do contêiner (i.e. u problea da ochila unidiensional é resolvido). 3.. Etapa Na prieira etapa, caixas co altura h j são escolhidas e arranjadas para forar caadas de diensões (L, W, h j ) (veja figura 3a). Seja λ ij o núero de caixas do tipo i na caada j (i.e. ua caada co diensões (L, W, h j )) e: H j = { i h i = h j, i =,..., } coo: Se h k = h j, k j, então a caada k pode ser desconsiderada. Seja V j definido V = ax vλ (5) j i ij i H j s.a.: ( λ λ,..., λ ) corresponde a u padrão de carregaento bidiensional, onde j, 2j j retângulos (l i, w i ), i H j são escolhidos e arranjados e (L, W) (6)

8 3.2. Etapa 2 Na segunda etapa, caadas j co valor V j são escolhidas e epilhadas ao longo da altura H do contêiner (figura 3b). Seja µ j o núero de vezes que a caada j é utilizada. O seguinte problea da ochila deve ser resolvido: ax V j µ j (7) j= sa..: hjµ j H (8) j= co: µ j 0 e int eiro, j =,..., (9) O valor da variável a i e (3)-(4) é finalente obtido por: a = λ µ, i =,..., i ij j j= Este procediento generaliza o étodo de Gilore e Goory (965) proposto para probleas bidiensionais co padrões de corte e 2-estágios. Cada problea bidiensional (5)-(6) da prieira etapa ainda pode ser resolvido heuristicaente por eio da solução de u conjunto de probleas da ochila (Gilore e Goory, 965), e assi, as duas etapas envolve apenas probleas unidiensionais. Na seção a seguir apresentaos ua outra aneira de generalizar o étodo de Gilore e Goory. 4. Carregaento e pilhas Outro procediento e duas etapas, siilar ao procediento da seção 3, pode ser definido para resolver (3)-(4). Na prieira etapa, pilhas co altura áxia H do contêiner são foradas epilhando-se caixas, ua sobre a outra (i.e. vários probleas da ochila unidiensionais são resolvidos) e na segunda etapa, estas pilhas são escolhidas para sere arranjadas sobre a base (L,W) do contêiner (i.e. u problea de carregaento bidiensional é resolvido). Os padrões de carregaento obtidos e geral são estáveis. 4.. Etapa Adita se perda de generalidade que l l 2... l. Na prieira etapa, pilhas de diensões (l j, w k,, H) são foradas co caixas (l i, w i, h i ), i LW jk, epilhadas ua sobre a outra, onde: LW jk = { i l i l j e w i w k, i =,..., }, j =,...,, k =,..., j (20)

9 Note e (20) que não precisaos considerar LW jk, k>j, ua vez que: (a) as caixas do tipo i, i>j, não cabe na pilha (l j, w k,, H) quando l i > l j, e (b) tal pilha não deixa de ser considerada e (20) quando l i = l j. No caso de resultare pilhas co esas diensões, apenas ua pilha é considerada. Por exeplo, se w k = w j, k < j, então a pilha (l j, w k, H) pode ser desconsiderada, ua vez que ela é igual à pilha (l j, w j, H). Se o núero de pilhas ainda for uito grande, podeos reduzí-lo, sob pena de perder soluções elhores, ao considerar apenas as pilhas (l j, w j, H), j =,..., (confore figura 4a). Seja λ ijk o núero de caixas do tipo i na pilha jk (i.e. ua pilha co diensões (l j, w k, H)). Definios V jk coo: V = ax vλ (2) jk i ijk i LW jk 4.2. Etapa 2 sa..: hiλ ijk H (22) i LW jk co: λ ijk 0 e int eiro, i =,..., (23) Na segunda etapa, pilhas jk co valor V jk são escolhidas e arranjadas sobre a base (L,W) do contêiner (figura 4b). Seja µ jk denotando o núero de vezes que a pilha jk é utilizada neste arranjo. O seguinte problea bidiensional deve ser resolvido: j ax V jk µ jk (24) j= k= s.a.: ( µ jk, j=,...,, k=,..., j) corresponde a u padrão de carregaento bidiensional, onde os retângulos (l j, w k ), j=,...,, k=,..., j são escolhidos e arranjados e (L, W) (25) O valor da variável a i e (3)-(4) é finalente obtido por: j a i = λ ijkµ jk, i =,..., j= k= Note que tanto o carregaento e caadas (5)-(9) quanto o carregaento e pilhas (2)-(25) são étodos heurísticos para o problea irrestrito (3)-(4), e que abos envolve resolver probleas unidiensionais e bidiensionais. Se os probleas

10 bidiensionais fore aproxiados por u conjunto de probleas unidiensionais (Gilore e Goory, 965), então os dois étodos envolve resolver apenas probleas da ochila. Convé salientar que, para estender o carregaento e pilhas para resolver o problea restrito (5)-(7), precisaos incorporar no odelo (2)-(25) as restrições nãolineares: j λ ijkµ jk b i, i =,..., (26) j= k= e isto dificulta significativaente a aplicação do procediento e duas etapas (siilarente para o carregaento e caadas (5)-(9)). 5. Prograação dinâica Beasley (985a) propôs ua fórula recursiva de prograação dinâica para o problea bidiensional co cortes guilhotinados (u corte é guilhotinado se, ao ser realizado sobre u retângulo, produz dois retângulos). Esta fórula pode ser estendida para resolver o problea (3)-(4) ao iporos artificialente a restrição de cortes guilhotinados (ao ser produzido sobre o paralelepípedo, o corte guilhotinado produz dois paralelepípedos). A solução obtida não te garantia de estabilidade (veja p.e. as figuras 8a e 8b). Note tabé que, eso que a solução seja estável, ela não te garantia de otialidade, ua vez que o carregaento ótio para o problea (3)-(4) pode ser não guilhotinado. Seja F(x,y,z) o valor do elhor carregaento tridiensional (guilhotinado) para u paralelepípedo de diensões (x,y,z), dado por (para aiores detalhes veja Beasley, 985a): F(x,y,z) = ax{h(x,y,z); (27) F(x,y,z) + F( x x X, 0 < x x x-; (28) F(x,y,z) + F(x, y y, z), y y Y, 0 < y y-; (29) F(x,y,z ) + F(x,y, z z z, y, z), z Z, 0 < z z-} (30) x X {L}, y Y {W}, z Z {H} (3) onde H(x,y,z) ax v x y z = i i,..., li w i h (32) = i x = ax{x x x, x X } (33) x

11 y = ax{y y y, y Y } (34) y z = ax{z z z, z Z } (35) z e X, Y e Z são definidos confore (8)-(0) na seção 2. Note que F(L,W,H) requer eória coputacional de O( X Y Z ), o que nos casos práticos dificulta sua coputação. Ua aneira de reduzir o esforço da coputação de F(L,W,H) sob pena de perder a otialidade é utilizar a heurística H4 descrita na seção 6.4.3, que reduz os conjuntos X, Y e Z. Esta abordage, no entanto, possui ua deficiência e relação à abordage da próxia seção, confore ostrado e Morábito e Arenales (995). A fórula recursiva (27)-(3) pode ser estendida para tratar o problea restrito (5)-(7) definindo-se F(x,y,z,c) de aneira siilar à F(x,y,z), onde c denota qualquer eleento do conjunto C = {(c, c 2,..., c ) 0 c i b i e inteiro, i =,..., } que perita produzir u padrão factível para o paralelepípedo (x,y,z) (veja Christofides e Hadjiconstantinou, 995). Entretanto, devido ao núero exponencial de eleentos deste conjunto, o cálculo de F(L,W,H, C) torna-se inviável coputacionalente. A heurística H3 (seção 6.4.3) reduz a busca a u pequeno subconjunto de C. 6. Abordage e grafo-e/ou U grafo G = (V, E) consiste de u conjunto finito e não vazio V = {, 2,..., r } e u conjunto E = {e, e 2,..., e s } cujos eleentos são subconjuntos de V de taanho 2, isto é, e u = (i, j), onde i, j V. Os eleentos de V são chaados vértices (ou nós), e os eleentos de E são chaados arestas (ou arcos). Ua aneira de generalizar u grafo é peritir arcos e E de qualquer taanho; por exeplo, u arco e u = (i, j, k) onde i, j, k V. Para esta generalização, G = (V, E) é chaado hipergrafo. Ua outra aneira de generalizar u grafo é definir os arcos coo pares e u = (i, V u ), onde i V e V u V; por exeplo, u arco e u = (i, {j, k}) onde i V e {j, k} V. Se V u te cardinalidade aior do que, então e u é chaado de arco-e e G de grafo-e/ou (caso especial de u hipergrafo orientado). Note que u arco de u grafo define ua relação entre dois nós, u arco de u hipergrafo define ua relação entre u subconjunto de nós, e u arco de u grafo-e/ou define ua relação entre u nó e u subconjunto de nós. Para aiores detalhes de grafos, hipergrafos, e grafos-e/ou, veja por exeplo Berge (973) e Pearl (984). A seguir definios u grafo-e/ou particular para representar todos os possíveis padrões de carregaento tridiensional guilhotinados. Abos os casos irrestrito e restrito (seção 2) são abordados.

12 6.. Padrão guilhotinado irrestrito A figura 5a esqueatiza ua sequência de cortes guilhotinados feitos sobre o contêiner (L,W,H) (A na figura), para produzir o padrão de carregaento guilhotinado da figura 5b. Prieiro, u corte é feito no copriento L do contêiner (corte da figura), produzindo duas caixas interediárias B e C, chaadas sucessoras de A. E seguida, abas B e C são cortadas independenteente. A caixa B é cortada na sua altura H (corte 2), produzindo D e E. A caixa C é cortada na sua largura W (corte 3), produzindo F e G. Note neste exeplo que as caixas B e C são caixas interediárias e não aparece na figura, enquanto que as D, E, F e G são supostas caixas (l i, w i, h i ), i=,...,, ou caixas que corresponde a espaço não utilizado no padrão. Definios o 0-corte coo a opção de não cortar ua caixa, ou seja, ao ser aplicado sobre a caixa, deixa-a intacta. Obviaente, outros cortes alternativos poderia ter sido feitos sobre cada caixa da figura 5, gerando diferentes padrões de carregaento. Se todas estas alternativas de corte fosse consideradas, incluindo o 0-corte, poderíaos ter gerado todos os padrões guilhotinados irrestritos (note que nenhua consideração foi feita co respeito às quantidades disponíveis b i, i =,..., ). Para cada caixa sucessora, u subproblea siilar ao original é obtido (as co taanho enor). As caixas e os cortes ilustrados na figura 5a pode ser representados respectivaente coo nós e arcos nu grafo-e/ou orientado (i.e. ua árvore-e/ou neste exeplo particular). A caixa (L,W,H) corresponde ao nó inicial e as caixas após o 0-corte, aos nós finais. Cada corte guilhotinado feito sobre u nó não final corresponde a u arco-e ligando o nó aos seus dois sucessores. Alé disto, cada 0-corte aplicado sobre u nó não final corresponde a u arco ligando o nó e ua réplica de si eso. Note que u nó não final (l,w,h) tal que l < l 0 ou w < w 0 ou h < h 0 aceita apenas o 0-corte --- tal nó representa o espaço vazio no padrão de carregaento, onde l 0 = in{l i, i =,..., } (siilarente para w 0 e h 0 ). Considere agora a seguinte sequência de arcos (ou cortes): A partir do nó inicial, escolheos u arco-e (corte guilhotinado) ou o 0-corte e, a partir de cada nó sucessor, escolheos u arco-e ou o 0-corte, e assi por diante, até que todos os nós seja finais. Esta sequência é chaada cainho copleto no grafo-e/ou (note que todos os nós finais do cainho copleto são obtidos por 0-cortes). Para cada padrão de carregaento existe pelo enos u cainho copleto no grafo-e/ou cuja sequência de arcos (cortes) resulta no padrão de carregaento. Se o nó final corresponde a ua caixa do tipo i (i.e. o nó corresponde a (l i, w i, h i )), então o seu valor é v i ; caso contrário é nulo. O valor do cainho copleto é definido coo a soa dos valores dos seus nós finais. Portanto, o elhor padrão guilhotinado irrestrito corresponde ao cainho copleto ais valioso do grafo-e/ou descrito.

13 6.2. Padrão guilhotinado restrito Se existe u liite b i para o núero de caixas do tipo i no padrão e bi < L/ l i W / w i H / hi, então o problea é restrito (seção 2). Considere u nó N do grafo. Note agora que a decisão de produzir caixas do tipo i a partir de N não é ais independente da decisão de produzir outras caixas do tipo i a partir de outros nós que pertence ao eso cainho que inclue N. Seja b(n) i o áxio núero de caixas do tipo i que pode ser produzidas a partir de N. Se N for u nó inicial, então b i (N) = b i, i=,...,. Seja (N, N 2 ) u par de sucessores de N, obtidos por u corte guilhotinado. O seguinte problea deve ser resolvido: ax vi ( a i + a 2 i ) (37) i= 2 s.a.: ( a, a 2,..., a) é u padrão guilhotinado para N (38) 2 2 ( a, a 2,..., a) é u padrão guilhotinado para N 2 (39) 2 ( a + a b ( N ), i =,..., ) (40) i i i Não é ua tarefa trivial resolver este problea. Note que se b i (N), i =,...,, for grande o suficiente, a restrição (40) será redundante e o problea (37)-(39) pode ser decoposto e dois probleas independentes para N e N 2, e voltaos ao caso anterior do problea irrestrito. Ua estratégia de busca é ua aneira particular de percorrer o grafo-e/ou (ou enuerar seus nós). Nos casos práticos a enueração copleta dos nós é, e geral, coputacionalente infactível. Ua aneira de reduzir a busca é evitar os padrões equivalentes, isto é, padrões diferentes que resulta no eso núero de peças do tipo i, i=,..., (figura 6). Na seção 6.3 descreveos alguas regras para evitá-los e incluíos regras para garantir a estabilidade do carregaento. A busca tabé pode ser reduzida utilizando liitantes para evitar cainhos ruins ou pouco proissores (étodo branch-and-bound). Entretanto, eso utilizando regras e liitantes, a busca ainda assi pode ser inviável, e heurísticas precisa ser definidas para reduzí-la. Na seção 6.4 apresentaos liitantes, heurísticas e ua estratégia de busca que, cobinados, nos perite encontrar soluções boas e coputacionalente factíveis para os probleas guilhotinados irrestrito e restrito.

14 6.3. Regras para evitar padrões equivalentes e tentar produzir padrões estáveis Nesta seção apresentaos resuidaente alguas regras para evitar os padrões equivalentes. Para aiores detalhes, veja Herz (972), Christofides e Whitlock (977) e Morabito e Arenales (994). No final da seção incluíos regras para tentar garantir que os padrões seja estáveis Padrões norais Herz (972) e depois Christofides e Whitlock (977) ostrara que, se perda de generalidade, os cortes guilhotinados pode ser reduzidos às cobinações lineares não negativas e inteiras dos taanhos das caixas. Isto é, podeos reduzir os cortes ao longo do copriento L, da largura W e da altura H do contêiner pelos eleentos contidos nos conjuntos de discretização X, Y e Z e (8)-(0). Os padrões obtidos por cortes contidos nestes conjuntos são chaados padrões norais Exclusão Christofides e Whitlock (977) tabé ostrara que, se perda de generalidade, o conjunto X pode ser reduzido definindo para cada nó N o conjunto X(N), considerando os efeitos de exclusão. Adita que N representa ua caixa de taanho (x, y, z). Note que se ua caixa (l i, w i, h i ) é tal que w i > y ou h i > z, então seu copriento l i pode ser desconsiderado ao gerar X(N) (veja na figura 7 u exeplo co h i > z). O conjunto X(N) é definido por: X(N) = { x x = αil i e ( se wi > y ou hi > z αi = 0 ), i= x x l, 0 α b 0 i i e int eiro } (4) (siilarente para Y(N) e Z(N)). A fórula proposta por Christofides e Whitlock (977) para o problea bidiensional pode ser aqui estendida para gerar os conjuntos X(N), Y(N) e Z(N). Prieiro, os conjuntos são deterinados para o nó inicial e depois, são facilente deterinados para cada nó N. Adita que l l 2... l. Para cada cobinação dos coprientos que soa x, considere a áxia largura. Seja F i (x ) a enor entre as

15 áxias larguras das caixas, 2,..., i cujos coprientos cobinados soa x. Assi, F i (x )= in{f i- (x ); ax{w i ; inρ {F i- (x -ρ l i ), ρ in F i (x )= F i- (x ), x < l i l i x L - l 0 x li, bi e ρ inteiro}}}, onde F 0 (x ) =, x =, 2,..., L - l 0, e F i (0) = 0, i = 0,,..., (siilarente, seja G i (x ) a enor das áxias alturas das caixas, 2,..., i cujos coprientos cobinados soa x ). i Se F i (x ) < e G i (x ) <, então x = αil, j 0 α j j b = j e inteiro; consequenteente, x X(N). Ua vez que F i (x ) é independente do nó, ela pode ser gerada antes do início da busca. Depois disso, o conjunto X(N) pode ser facilente obtido usando F (x ) e G (x ): Se F (x ) y e G (x ) z, então x X(N). Podeos reescrever X(N) e (4) coo: X(N) = {x F (x ) y e G (x ) z, x x - l 0 } (42) (siilarente para Y(N) e Z(N)) Sietria e ordenação de cortes Considere novaente o nó N representando ua caixa de taanho (x,y,z). Note que para cada corte x X(N), se (x-x ) X(N) então u deles pode ser desconsiderado, ua vez que abos, ao sere aplicados sobre (x, y, z), produze as esas caixas (x, y, z) e (x-x, y, z). Isto pode ser feito siplesente substituindo x x - l 0 por x x 2 e X(N) (42). Considere que a caixa (x, y, z) seja cortada e x X(N), produzindo (x,y,z) e (xx,y,z). Depois disto, considere que (x-x, y,z) seja cortado e x 2 X(N), produzindo (x 2, y, z) e (x-x -x 2, y, z). Note que estes três nós tabé poderia ter sido produzidos cortando (x,y,z) e x 2 e depois disto, cortando (x-x 2, x, z) e x. Christofides e Whitlock (977) observara que, se perda de generalidade, esta duplicação pode ser evitada siplesente introduzindo ua orde (arbitrária) na sequência dos cortes ao longo de x (siilarente nos cortes ao longo de y e z). Se o problea for irrestrito confore (3)-(4), então as regras de sietria e ordenação de cortes pode ser aplicadas se perda de generalidade. Se o problea for

16 restrito confore (5)-(7), então estas regras torna-se heurísticas quando cobinadas co a heurística gulosa H3, apresentada na seção para resolver o problea (37)- (40) Estabilidade do carregaento Tabé é necessário considerar a estabilidade das caixas que são epilhadas. A figura 8a ilustra u carregaento instável devido ao espaço vazio debaixo da caixa 3. Note que os étodos apresentados nas seções 3 e 4 e geral produze carregaentos estáveis, por outro lado, o étodo na seção 5 pode produzir u carregaento coo o da figura 8a. Ua regra heurística adicional pode ser iposta no processo de busca para tentar evitar carregaentos instáveis: (i) Após u corte ao longo da altura, todas as caixas sucessoras só pode ser cortadas ao longo de suas alturas, para garantir que tenhaos caadas (caixas interediárias) copostas apenas de ua ou várias caixas iguais (veja padrão hoogêneo descrito na seção 6.4.). (ii) Se o carregaento não for estável, perutar estas caadas entre si na tentativa de obter u carregaento estável. A parte (i) da regra acia evita o carregaento instável da figura 8a, ua vez que após o corte zz', a caixa interediária que resulta abaixo de zz' não pode sofrer o corte xx' (note na figura que esta caixa corresponde à caada coposta de caixas diferentes e 2). Por outro lado, apenas a parte (i) da regra não evita o carregaento instável da figura 8b (note o espaço vazio debaixo da caada z 2, coposta de duas caixas iguais). Ao aplicar a parte (ii), as caadas z, z 2 e z 3 são perutadas e obteos u carregaento equivalente estável (figura 8c). Notaos, entretanto, que apesar da regra proposta acina, carregaentos instáveis pode ainda ocorrer, be coo no étodo de carregaento e pilhas (seção 4) Liitantes, heurísticas e estratégia de busca Considere o nó N representando ua caixa (x, y, z) e seja M(N) = { i l i x, w i y, h i z, i =,..., } o conjunto de tipos de caixas que pode ser carregados na caixa do nó N Liitantes inferior e superior U siples liitante inferior para o nó N pode ser definido a partir de padrões triviais que utiliza apenas u tipo de caixa (padrões hoogêneos):

17 x y z L(N) = ax v i in, b i (N) i M(N) li wi hi x y z = v j in, b j (N) l j w j hj (43) onde b(n) j é definido confore apresentado na seção 6.2. Note, entretanto, que se b j (N) é uito enor do que o produto x y z, o padrão hoogêneo conterá uito lj wj hj espaço vazio. Neste caso outros liitantes inferiores, cobinando padrões hoogêneos, pode ser descritos (veja Morábito e Arenales, 994, 996). U siples liitante superior para o nó N usado por outros autores (p.e. Beasley, 985a) tabé pode ser aqui utilizado. Considere a relaxação do problea (5)-(7) levando e conta apenas a restrição de volue. Teos o seguinte liitante superior: U(N) = ax v i a i (44) i M(N) sa..: (liwih i )a i xyz (45) i M(N) co: 0 a b (N) e int eiro, i M (N) (46) i i Relaxando as condições a i b i (N) e inteiro e (46), obteos u liitante superior fácil de ser coputado: x y z U(N) = ax v M l w h, i (N) i i i i Apesar de sere siples, os liitantes L(N) e U(N) são efetivos, confore resultados coputacionais e Morabito e Arenales (994) Método branch-and-bound Os liitantes inferior e superior da seção anterior pode ser usados para enuerar iplicitaente os nós do grafo. Seja V(N) o elhor valor atual obtido para o nó N. V(N) é dado por u liitante inferior ou por algu cainho copleto conhecido a partir do nó N, e é atualizado assi que ua solução elhor for obtida por eio dos sucessores de N. Por exeplo, se V(N) < L(N ) + L(N 2 ), onde (N, N 2 ) é u par de sucessores de N, então V(N) é atualizado para L(N ) + L(N 2 ). Alé disso, se V(N) U(N ) + U(N 2 ), então N e N 2 não precisa ser explicitaente considerados. Note que se V(N) = U(N), então V(N) fornece o elhor

18 valor para o nó N. Estas observações caracteriza u étodo branch-and-bound onde a raificação foi definida nas seções Existe várias estratégias para percorrer o grafo-e/ou, isto é, diferentes aneiras para escolher u nó a ser raificado. Antes de descrever ua estratégia de busca, discutios outras heurísticas para descartar cainhos não proissores durante a busca Heurísticas Três heurísticas apresentadas e Morábito e Arenales (994), alé de ua heurística devida a Beasley (985a), pode ser utilizadas para reduzir o espaço de busca. Heurística H Considere o nó N e u par de sucessores (N, N 2 ), e seja λ ua fração previaente definida. A heurística H pode ser definida coo: Se ( + λ ) V(N) U(N ) + U(N 2 ) Então: Abandone a raificação que leva a N e N 2. Note que se λ = 0, o procediento acia deixa de ser heurístico. Heurística H 2 Seja λ 2 ua outra fração previaente definida. A heurística H2 é definida coo: Se λ 2 L(N) L(N ) + L(N 2 ) Então: Abandone a raificação que leva a N e N 2. Note que se λ 2 = 0, o procediento acia deixa de ser heurístico. Heurística H 3 Esta é ua heurística gulosa para tratar o problea (37)-(40). Inicialente consideraos o nó N co o liite b i (N), i=,..., e, após deterinar u padrão de carregaento para a caixa representada por N, consideraos o nó N 2 co o liite b i (N) - a, i i =,...,, onde a i é a quantidade de caixas do tipo i utilizadas e N. Observe que as regras de sietria e ordenação de cortes (seção 6.3.3), e conjunto co H3, torna-se ua nova heurística, dado que a orde e que os nós são percorridos agora é relevante para se obter ua solução.

19 Heurística H 4 Seja M u liite para o núero de eleentos a ser considerado do conjunto X e (8). Beasley (985a) propôs u siples procediento para garantir que esse núero seja enor ou igual a M (siilarente para Y e Z). Este procediento tabé pode ser aplicado para o problea restrito deterinando X confore (42) Estratégia de busca Ua estratégia de busca híbrida pode ser utilizada para percorrer o grafo-e/ou, que cobina duas estratégias básicas: back-tracking (BT) e hill-clibing (HC) (Morábito et al, 992; Morábito e Arenales, 994). Seja DB u inteiro positivo denotando o liite de profundidade para a estratégia BT. Por siplicidade, o algorito descrito a seguir foi ipleentado coo ua busca e árvore-e/ou: Algorito BT-HC. Defina DB para cada árvore-e/ou a ser gerada. Seja RAIZ ua lista que inicialente conté apenas o nó inicial. 2. Enquanto RAIZ não for vazia, faça: 3. Seja s o prieiro nó de RAIZ. Gere ua árvore-e/ou a partir do nó raiz s, utilizando a estratégia BT. Retire s de RAIZ. 4. Escolha o cainho ais valioso a partir de s e descarte os deais (estratégia HC). Se houvere nós neste cainho que não seja finais e cuja profundidade seja DB, então inclua-os e RAIZ. No passo 3 a geração dos sucessores de s deve considerar as regras discutidas na seção 6.3, o étodo branch-and-bound da seção e eventualente as heurísticas discutidas na seção No passo 4 cada cainho escolhido a partir de s corresponde a u trecho (co profundidade no áxio igual a DB) do cainho copleto desde o nó inicial até os nós finais. Observe que a estratégia HC, baseada e otiização local e cada trecho, não garante encontrar o cainho ais valioso (i.e. o padrão de carregaento ótio para os probleas (3)-(4) ou (5)-(7)). Note que o algorito BT-HC não requer grande quantidade de eória coputacional, dado que ele arazena apenas o elhor cainho percorrido até então. Por outro lado, abordagens baseadas e prograação dinâica, coo a da seção 5, requere eória coputacional de O( X Y Z ) (veja tabé Gilore e Goory, 965).

20 7. Resultados coputacionais Os três étodos descritos nas seções 3 (carregaento e caadas), 4 (carregaento e pilhas) e 6 (abordage e grafo-e/ou) fora ipleentados e linguage Pascal (copilador Turbo-Pascal v5.5) nu icrocoputador PC-486DX2 (relógio de 66 Mherz, 640 Kbytes RAM, DOS 5.0). Para resolver os probleas unidiensionais (probleas da ochila) e bidiensionais envolvidos nos dois prieiros étodos, utilizaos respectivaente o algorito de busca e profundidade prieiro proposto e Gilore e Goory (963) e o algorito BT-HC confore Morábito et al (992). Outros algoritos poderia ter sido escolhidos. A título de ilustração, escolheos u exeplo real introduzido por George e Robinson (980) referente ao carregaento de u contêiner nua copanhia da Nova Zelândia. A tabela apresenta os dados da carga coposta de 784 caixas (co volue 26,325 3 ) de =8 taanhos diferentes, que deve ser carregada nu contêiner de taanho (L,W,H) = (5793, 2236, 226) ilíetros (co volue 29,287 3 ). Por conveniência, consideraos que cada caixa do tipo i, i =,...,, te valor v i = (l i w i h i )/(L W H). O carregaento deve ser estável e cada caixa pode ser arranjada sobre qualquer ua de suas seis faces dentro do contêiner (i.e. nenhua orientação é fixada). i l i w i h i b i caixas Tabela - Dados do exeplo de George e Robinson (980) A elhor solução obtida pela heurística proposta por George e Robinson (980) carregou 783 caixas (co valor 0,8974 e volue 26,283 3 ), deixando apenas ua caixa do tipo 7 para fora do contêiner (i.e. 0, ). Ao relaxaros as quantidades disponíveis b i da tabela, obteos u problea irrestrito. Resolvendo-se este problea por eio dos étodos de carregaento e caadas ou carregaento e pilhas, as soluções obtidas não satisfaze as restrições a i b i, i =,...,, e portanto, são infactíveis para o problea original. Por exeplo, ao fixaros ua orientação para as caixas, o valor da solução do odelo (5)-(9) (carregaento e caadas) é 0,9597 (obtido e enos de segundo), e do odelo (2)- (25) (carregaento e pilhas) é 0,9655 (obtido e 96 segundos). Entretanto, estas

21 soluções são infactíveis pois, envolve ais de 40 caixas do tipo 8 (e portanto viola as restrições (26)). Fixando ua orientação para carregar as caixas Meso fixando ua orientação para as caixas, os conjuntos de discretização X, Y e Z e (8)-(0) resulta extreaente grandes (i.e., X = 2655, Y = 36 e Z = 28, incluindo o eleento 0). Isto desencoraja qualquer tentativa de resolver otiaente o odelo ()-(4), co orde de bilhões de variáveis. Ua alternativa então é utilizar a abordage e grafo-e/ou para o caso restrito (algorito BT-HC da seção 6), co a regra de estabilidade do carregaento da seção A tabela 2 apresenta as soluções obtidas para diferentes valores de M (heurística H4) e do liite de profundidade DB (veja algorito BT-HC). Confore indica as colunas da tabela 2, estas soluções fora obtidas aplicando-se a heurística gulosa H3, poré desconsiderando as heurísticas H (i.e., λ = 0), H2 ( λ 2 =0), e as regras de sietria e ordenação de cortes (seção 6.3.3). M DB Heur. H3 λ λ 2 Sietria e ordenação Valor da Solução Núero de caixas Tepo (seg) Núero de nós 0 3 Si 0 0 Não 0, Si 0 0 Não 0, Si 0 0 Não 0, Si 0 0 Não 0, Si 0 0 Não 0, Tabela 2 - Soluções do exeplo de George e Robinson (980) co orientação fixada Note que ao fixaros a orientação das caixas, nenhua solução foi superior à solução obtida por George e Robinson (980). Note tabé que, a edida que auentaos os valores de M e DB, esperaos encontrar ua solução elhor. No entanto, devido à presença das outras heurísticas envolvidas, não teos garantia de que esta solução será de fato elhor (copare p.e. a segunda e terceira linhas da tabela 2, co M=20 e M=50, respectivaente). Carregando as caixas sobre qualquer ua de suas faces Ao consideraros o problea se nenhua orientação para carregar as caixas, deveos fazer alguas adaptações nas regras e expressões descritas nas seções anteriores, coo por exeplo redefinir os conjuntos X, Y e Z da seção e os liitantes inferior e superior da seção A tabela 3 apresenta as soluções obtidas co a abordage e grafo-e/ou ao carregaros as caixas sobre qualquer ua de suas faces dentro do contêiner.

22 M DB Heur H3 λ λ 2 Sietria e ordenação Valor da Solução Núero de caixas Tepo (seg) Núero de nós 0 3 Si 0 0 Não 0, Si 0 0 Não 0,8989* Si 0 0 Não 0,8989* Si 0 0 Não 0, Si 0 0 Não 0, Si 0,0 0,95 Não 0,8989* Si 0,0 0,95 Si 0, Tabela 3 - Soluções do exeplo de George e Robinson (980) se orientação fixada Note que a abordage e grafo-e/ou encontra a solução ótia do exeplo de George e Robinson (co valor 0,8989 e volue 26,325 3 ), ua vez que todas as 784 caixas fora carregadas no contêiner (veja segunda, terceira e penúltia linhas da tabela 3). Alé disso, a abordage e grafo-e/ou é capaz de encontrar soluções subótias ainda elhores do que a solução obtida por George e Robinson (980), nu tepo relativaente pequeno. Veja, por exeplo, a solução co valor 0,8975 e volue 26,286 3 na últia linha da tabela, que deixa de fora apenas ua caixa do tipo 4 (i.e., 0, ). A escolha dos valores dos parâetros DB, λ e λ 2 baseia-se e trabalhos anteriores (Morábito et al, 992, e Morábito e Arenales, 994, 996). Estes resultados são copatíveis co os publicados e Morábito e Arenales (994). Mais recenteente, Bischoff e Ratcliff (995) propusera u algorito heurístico que tabé foi capaz de encontrar ua solução ótia do exeplo de George e Robinson, carregando todas as 784 caixas. Nossa experiência co a aplicação da abordage e grafo-e/ou neste e e diversos outros exeplos sugere que ela é capaz de produzir boas soluções. Apesar disto, não é difícil construir u exeplo pequeno cuja solução ótia não possa ser encontrada. Considere o exeplo da tabela 4 co 7 caixas de apenas =3 tipos diferentes, que deve ser carregadas nu contêiner de taanho (L,W,H)= (75,75,75) (note que o volue das caixas é igual ao volue do contêiner). Por siplicidade, aditios que v i =(l i w i h i )/(LWH). O carregaento deve ser estável e cada caixa pode ser arranjada dentro do contêiner sobre qualquer ua de suas seis faces. i l i w i h i b i caixas Tabela 4 - Exeplo co padrão ótio não-guilhotinado

23 Note que ao relaxaros as quantidades b i (problea irrestrito), a solução ótia co valor é trivial (carregar 25 caixas do tipo 3) e é obtida e enos de segundo por qualquer ua das abordagens de carregaento e caadas ou e pilhas. Para obter a solução ótia do problea restrito, estendeos o odelo ()-(4) da seção 2 para o caso ais geral de nenhua orientação das caixas ser fixada, e o ipleentaos na linguage de odelage GAMS (versão 2.25), utilizando o solver GAMS/OSL (Brooke et al, 992). Note que, apesar deste exeplo ser relativaente pequeno (X = Y = Z = {0, 30, 5, 45, 60}), o prograa 0- resultante envolve ais de 2000 variáveis 0- e quase 400 restrições. A solução ótia, obtida e alguns inutos, carrega todas as 7 caixas dentro do contêiner; entretanto, o padrão de carregaento correspondente é não-guilhotinado. Ao aplicaros a abordage e grafo-e/ou co os parâetros M =, λ = 0 e λ 2 = 0, a elhor solução encontrada coloca apenas 6 caixas (lebre-se que ela é capaz de gerar apenas padrões guilhotinados). Os resultados coputacionais co e se orientação fixada e para diferentes valores de DB estão apresentados na tabela 5. Alguas idéias para estender a abordage e grafo-e/ou para gerar padrões tridiensionais nãoguilhotinados fora esboçadas e Arenales e Morábito (995) - estas idéias estão na nossa agenda de pesquisa e deverão ser exploradas nu trabalho futuro. Orientação fixada DB Heur. H3 Sietria e ordenação Valor da solução Núero de caixas Tepo (seg) Núero de nós Si 3 Si Não 0, Si 6 Si Não 0, Não 3 Si Não 0, Não 6 Si Não 0, Não 9 Si Não 0, Tabela 5 - Soluções do exeplo co padrão ótio não-guilhotinado Agradecientos Os autores agradece aos dois árbitros anônios da revista pelos seus coentários pertinentes e úteis. Esta pesquisa contou co o apoio do CNPq (processos /95-7 e /95-6) e FAPESP (processo 995/9522-0). Referências () Arenales, M. e R. Morabito (995). An AND/OR-graph approach to the solution of two-diensional non-guillotine cutting probles. Eur.J.Oper.Res. 84, (2) Beasley, J. (985a). Algoriths for unconstrained two-diensional guillotine cutting. J.Oper.Res.Soc. 36,

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