Inteligência Artificial Prof. Marcos Quinet Pólo Universitário de Rio das Ostras PURO Universidade Federal Fluminense UFF

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1 Inteligência Artificial Prof. Marcos Quinet Pólo Universitário de Rio das Ostras PURO Universidade Federal Fluminense UFF

2 No capítulo anterior... Estratégias de busca auxiliadas por heurísticas (A*, BRPM) Subida de encosta; Algoritmos genéticos; Agentes on-line em ambientes desconhecidos. 2

3 Capítulo 6 Problemas de satisfação de restrições

4 Satisfação de restrições Em certos problemas, os estados e teste de objetivo obedecem a uma representação padrão, estruturada e simples. Nestas situações, podem ser definidos algoritmos de busca que, utilizando a estrutura de estados, utilizam heurísticas generalistas, ao invés de heurísticas específicas para cada problema. A representação padrão do teste de objetivo revela a estrutura do próprio problema, o que nos leva a métodos de decomposição do mesmo. 4

5 Problema de satisfação de restrições Um problema de satisfação de restrições (PSR) é definido por: Um conjunto de variáveis: X1, X2,..., Xn; Um conjunto de restrições: C1, C2,... Cn; Cada variável Xi tem um domínio Di, não-vazio, de valores possíveis; Cada restrição Ci envolve algum subconjunto das variáveis e especifica as combinações de valores permitidas para aquele subconjunto.; 5

6 Problema de satisfação de restrições Um estado do problema é definido por uma atribuição de valores a alguma ou a todas as variáveis {Xi = vi, Xj = vj,...}; Uma atribuição que não viola nenhuma restrição é chamada de atribuição consistente ou válida; Atribuição completa é aquela em que toda variável é mencionada; Finalmente, uma solução para um PSR é uma solução completa que satisfaz todas as restrições. Em alguns casos, um PSR também exige uma solução que maximize uma função objetivo. 6

7 Exemplo PSR Neste capítulo, vamos usar o mapa da Austrália, dividido por seus principais territórios e estados. Em vários PSRs, utilizaremos uma visualização como um grafo de restrições. 7

8 Exemplo PSR O problema consiste em colorir o mapa com as cores vermelho, verde ou azul, de forma que nenhuma região vizinha tenha a mesma cor A representação como um PSR é da seguinte forma: Variáveis : uma para cada região: WA, NT, SA, NSW, V, Q e T Domínio das variáveis: vermelho, verde, azul Restrições: regiões vizinhas tenham cores distintas Na representação por grafo de restrições, os nós correspondem a variáveis e os arcos correspondem a restrições 8

9 Exemplo PSR Esta é a representação de uma possível solução do problema, mas certas dúvidas de como obtivemos esta solução permanecem: 9

10 Exemplo PSR Se uma variável é atribuída a cada passo, o quão profunda é a busca? Qual o número de possíveis atribuições, incluindo as que violam restrições? Qual o tamanho total do espaço de estados? Quais seriam os estados sucessores inválidos da atribuição {WA = vermelho}? Quais seriam os estados sucessores válidos da atribuição {WA = vermelho}? 10

11 Representação PSR A representação PSR segue o mesmo padrão visto anteriormente para a construção de um espaço de estados: Estado inicial: atribuição vazia { }, na qual todas as variáveis são não-atribuídas; Função sucessor: um valor pode ser atribuído a qualquer variável não-atribuída, desde que ela não entre em conflito com variáveis atribuídas anteriormente Teste deobjetivo: A atribuição corrente é completa Custo de caminho: Um custo constante (p. ex., 1) para todo passo 11

12 Representação PSR Toda solução deve ter uma atribuição completa, logo, aparece na profundidade n se existem n variáveis, estabelecendo uma profundidade máxima para a árvore de busca Esta característica torna o algoritmo de busca em profundidade popular para ospsrs Os problemas mais simples de PSR envolvem variáveis discretas e que têm domínios finitos, como a coloração de mapas e o problema das rainhas (as variáveis são as posições de cada rainha nas colunas domínio de 1 a 8) 12

13 Representação PSR Em PSRs de domínios finitos estão os PSRs booleanos Variáveis discretas podem ter domínios infinitos, como o conjunto de inteiros as restrições não podem ser enumeradas através de todas as combinações possíveis, deve ser especificada uma linguagem de restrições Por exemplo, se uma atividade1 demora 5 dias, e deve preceder uma atividade3, deve haver uma regra do tipo atividade1 + 5 atividade3 13

14 Representação PSR Os problemas de restrições com domínios contínuos são muito comuns em aplicações práticas e são estudados no campo da pesquisa operacional A categoria de PSRs de domínios contínuos são os problemas de programação linear 14

15 Restrições PSR As restrições podem ser classificadas como: Unárias: restringe o valor de uma única variável (por exemplo, Queensland pode só aceitar a cor azul), ó que é resolvido fazendo o pré-processamento do domínio da variável, removendo qualquer valor que viole a restrição Binárias: relacionam duas variáveis; por exemplo, cor (Queensland) cor(south Australia) De alta ordem: quando envolvem três ou mais variáveis, por exemplo, problemas criptoaritméticos De preferência: quando certas atribuições têm prioridade sobre outras; p. ex., podemos dizer que vermelho é melhor do que verde no problema de coloração de mapas 15

16 Exemplo restrições PSR Em muitas situações, o uso de variáveis auxiliares pode auxiliar na resolução do problema Em quebra-cabeças criptoaritméticos, cada letra representa um dígito diferente Exemplo: T W O + T W O F O U R Restrições: seis variáveis diferentes (F, T, O, W, U, R) Restrições de adição: O + O = R + 10 * X1 X1 + W + W = U + 10 * X2 X2 + T + T = O + 10 * X3 X3 = F 16

17 Exemplo restrições PSR X1, X2 e X3: variáveis auxiliares, representando o dígito transportado para a coluna seguinte Restrições de alta ordem podem ser representadas através de um hipergrafo de restrições 17

18 Exemplo restrições PSR Uma possível solução: F = 1, pois é o único dígito de dezena possível da soma de dois dígitos Quanto aos outros valores: T = 7; O = 4; R = 8; W = 3; U = 6. Este é um quebra-cabeça criptoaritmético fracamente definido, pois dadas às restrições permite múltiplas respostas. Outros, como S E N D + M O R E = M O N E Y é fortemente definido, com somente uma resposta válida (para casa) 18

19 Busca com retrocesso (backtracking) para PSRs Com a definição apresentada, um PSR pode ser resolvido como um problema de busca, usando-se qualquer dos algoritmos dos capítulos anteriores Suponhamos que seja usada a busca em largura; para um problema de n variáveis com domínio máximo de d (isto é, os valores que cada variável pode assumir), o fator de ramificação é de n*d; no próximo nível será de (n-1)*d, e assim sucessivamente, até gerar uma árvore com n!*d n folhas, sendo que seriam possíveis somente d n atribuições completas!!! 19

20 Busca com retrocesso para PSRs Nossa formulação até agora ignorou um fator importante, comum a todos os PSRs: a comutatividade Dizemos que o problema é comutativo se a ordem de aplicação de qualquer conjunto de ações dado não tem nenhum efeito sobre o resultado Portanto, os algoritmos de busca de PSRs geram sucessores considerando atribuições possíveis apenas para uma única variável em cada nó da árvore de busca Como um exemplo simples, na coloração do mapa da Austrália, poderíamos começar com uma escolha entre WA = vermelho, WA = azul e WA = verde, mas não entre WA = verde e SA = azul 20

21 Busca com retrocesso para PSRs A expressão busca com retrocesso é utilizada para indicar uma busca em profundidade que escolhe valores para uma variável de cada vez e que efetua o retrocesso quando uma variável não tem valores válidos restantes a serem atribuídos O algoritmo, além de usar o método de geração de um sucessor incremental de cada vez, ele estende a atribuição corrente para gerar um sucessor, ao invés de copiá-lo 21

22 Algoritmo simples com retrocesso para o PSR função PESQUISA-COM-RETROCESSO(psr) retorna uma solução ou falha retornar RETROCESSO-RECURSIVO({ }, psr); função RETROCESSO-RECURSIVO(atribuiçao, psr) retorna uma solução ou falha se atribuição é completa então retornar atribuição var SELECIONAR-VARIÁVEL-NÃO-ATRIBUÍDA(VARIÁVEIS[psr], atribuição, psr) para cada valor em VALORES-DE-ORDEM-NO-DOMÍNIO(var, atribuição, psr) faça se valor é consistente com a atribuição de acordo com RESTRIÇÕES[psr] então adicionar {var = valor} a atribuição resultado RETROCESSO-RECURSIVO(atribuição, psr) seresultado falha então retornar resultado remover { var = valor} da atribuição retornar falha 22

23 Exemplo de retrocesso 23

24 Exemplo de retrocesso Neste ponto, o algoritmo retrocede até um nó com estados inexplorados 24

25 Busca com retrocesso para PSRs - A ordem de nomeação é fixa (ordem de colorização entre cidades e a ordem de aplicação das cores); - Verifica a violação de restrições antes de expandir um estado 25

26 Busca com retrocesso para PSRs Em capítulos anteriores, utilizamos heurísticas específicas de cada domínio, derivadas de nosso conhecimento do problema, para corrigir o fraco desempenho de algoritmos de busca sem informação Busca com retrocesso é o método sem informação adicional básico para resolver PSRs, pode resolver o problema das n-rainhas para n 15 Em PSRs, podemos resolver problemas de maneira eficiente sem tal conhecimento específico, utilizando métodos generalistas para resolver as questões a seguir: 26

27 Busca com retrocesso para PSRs 1. Que variável deve ser atribuída em seguida, e em que ordem seus valores devem ser experimentados? 2. Quais são as implicações das atribuições de variáveis atuais para as outras variáveis não-atribuídas 3. Quando um caminho falha (é alcançado um estado em que uma variável não tem nenhum valor válido), a busca pode evitar repetir esta falha em caminhos subsequentes? 27

28 Ordenação de variáveis e valores Se não usado um método que estabeleça um critério para a ordem de seleção de variáveis não-atribuídas, raramente o resultado será o mais eficiente Por exemplo, se o mapa da Austrália começar a ser colorido com WA = vermelho, e em seguida NT = verde, obrigatoriamente SA será azul. Depois disso, as escolhas para Q, NSW e V são todas forçadas Esta idéia de escolher a variável com o menor número de valores válidos é chamada heurística de valores restantes mínimos (VRM) 28

29 Ordenação de variáveis e valores Este método também é conhecido como heurística de variável mais restrita ou de primeira falha, pois ele escolhe uma variável que tem a maior probabilidade de provocar uma falha em breve, podando assim a árvore de busca Se houver uma variável X com zero valores válidos restantes, a heurística VRM selecionará X e a falha será detectada de imediato, evitando buscas inúteis por outras variáveis que sempre retornarão falhas quando X for finalmente selecionada 29

30 Ordenação de variáveis e valores A heurística VRM não auxilia na escolha da primeira região a colorir a Austrália, porque inicialmente toda região tem três cores válidas Em uma situação como esta, a heurística de grau se mostra mais indicada. Ela tenta reduzir o número de ramificações em escolhas futuras selecionando a variável envolvida no maior número de restrições sobre outras variáveis não-atribuídas A heurística VRM normalmente é um guia mais poderoso, mas a heurística de grau é mais útil como critério de desempate 30

31 Ordenação de variáveis e valores SA é a variável com grau mais alto, 5. As demais variáveis tem grau 2 ou 3, com exceção de T, que tem grau Uma vez escolhida SA, a aplicação da heurística de grau resolve o problema sem quaisquer etapas desnecessárias, podendo chegar a uma solução sem retrocesso 31

32 Ordenação de variáveis e valores Uma vez que uma variável foi selecionada, o algoritmo deve decidir que ordem seu valores devem ser examinados A heurística VMR prefere o valor que elimina o menor número possível de escolhas para as variáveis vizinhas no grafo de restrições Por exemplo, suponha que já tenha sido feito a atribuição parcial WA = vermelho e NT = verde, e que a próxima escolha seja a de Q Azul seria uma má escolha, pois elimina o último valor válido para SA, vizinho de Q. De forma geral, a heurística tenta deixar a máxima flexibilidade para atribuições de variáveis subsequentes 32

33 Propagando informações por meio de restrições Uma maneira de utilizar melhor as restrições durante a busca é chamada de verificação prévia Sempre que uma variável X é atribuída, o processo de verificação prévia examina cada variável não-atribuída Y que está conectada por uma restrição a X e exclui do domínio de Y qualquer valor que esteja inconsistente com o valor escolhido para X O exemplo a seguir mostra a coloração do mapa da Austrália com verificação prévia 33

34 Propagando informações por meio de restrições Observe que após atribuir WA = vermelho e Q = verde, os domínios NT e SA são reduzidos a um único valor. Foram eliminada por completo as ramificações nestas variáveis pela propagação de informações a partir de WA e Q E depois que V = azul, o domínio de SA ficou vazio. O Algoritmo de verificação prévia detectou que a atribuição parcial é inconsistente com as restrições do problema, e o algoritmo regressará imediatamente 34

35 Propagação de restrições A verificação prévia auxilia na detecção de inconsistências, mas não garante a detecção de todas as possíveis ocorrências, pois não realiza o exame a uma distância suficientemente longa à frente A propagação de restrições garante que ocorra a propagação das implicações de uma restrição sobre uma variável para outras variáveis No exemplo anterior, é preciso fazer a propagação a partir de WA e Q sobre NT e SA, seguido da restrição entre os dois últimos para detectar inconsistências 35

36 Propagação de restrições Propagando WA = vermelho e Q = verde, restringe NT e SA ao azul, o que não é válido, pois NT e SA são adjacentes 36

37 Propagação de restrições A propagação de restrições pode ser feita através da idéia de consistência do arco Arco é um arco orientado no grafo de restrições, por exemplo, entre SA e NSW. Dados os domínios atuais, o arco é consistente se, valor x de SA, algum valor y de NWS consistente com x 37

38 Propagação de restrições Na terceira linha do exemplo anterior, os domínios de SA e NSW são {azul} e {vermelho, azul}, respectivamente No caso de SA = azul, existe uma atribuição consistente para NSW, que é NSW = vermelho, logo o arco de SA ate NSW é consistente Observe que o arco em sentido contrário não é consistente, pois para a atribuição NSW = azul, não existe nenhuma outra atribuição consistente para SA 38

39 Propagação de restrições O arco de NSW a SA não está consistente porque NSW (azul) não permite SA (azul) Pode-se tornar o arco consistente eliminando-se o valor azul do domínio de NWS 39

40 Propagação de restrições Observe que também podemos aplicar a consistência de arco de SA até NT, na mesma fase do processo de busca O resultado é que azul deve ser eliminado do domínio de SA, o que deixa o domínio vazio; a consistência de arco detectou uma inconsistência não detectada por verificação prévia 40

41 Propagação de restrições Sempre que um domínio perde um valor, seus vizinhos devem ser checados por possíveis inconsistências No exemplo, SA ficou sem elementos do seu domínio, forçando o algoritmo a um retrocesso A verificação de consistência de arcos pode ser aplicada como uma etapa de pré-processamento antes do início do processo de busca, ou como uma etapa de propagação depois de cada atribuição Em qualquer caso, o processo deve ser aplicado repetidamente até não restar mais nenhuma inconsistência, pois sempre que um valor é excluído, pode surgir uma nova inconsistência em arcos que apontam para esta variável 41

42 Propagação de restrições Para verificação de consistência de arcos, é utilizado o algoritmo CA-3, que utiliza uma fila para controlar os arcos cuja consistência precisa ser verificada A fila contém inicialmente todos os pares de arcos entre cada variável e seus vizinhos; Cada arco (Xi, Xj) é retirado da fila e verificado; Se houverem valores a serem eliminados do domínio de Xi, todo arco (Xk, Xi) que apontar para Xi é reinserido na fila para verificação; Cada arco pode ser reinserido na fila d vezes, pois Xi tem no máximo d valores a serem excluídos; a verificação da consistência de um arco é O(n 2 ) 42

43 Algoritmo CA-3 função CA-3(psr) retorna o PSR, possivelmente com domínios reduzidos entradas: psr, um PSR binário com variáveis {X1, X2,..., Xn} variáveis locais: fila, uma fila de arcos, inicialmente com todos os arcos do psr enquanto fila é não-vazia faça (Xi, Xj) REMOVE-PRIMEIRO(fila) se REMOVER-VALORES-INCONSISTENTES (Xi, Xj) então para cada Xk em vizinhos[xi] faça adicionar(xk, Xi) a fila 43

44 Algoritmo CA-3 função REMOVER-VALORES-INCONSISTENTES(Xi, Xj) retorna verdadeiro se removermos um valor removido falso para cada x em DOMÍNIO[Xi] faça se nenhum valor y em DOMÍNIO[Xj] permitir que (x, y) satisfaça à restrição entre Xi e Xj então eliminar x de DOMÍNIO[Xi]; removido verdadeiro retornar removido 44

45 Busca local para problemas de satisfação de restrições Algoritmos de busca local se mostram eficientes para PSRs. Utilizam uma formulação de estados completos: o estado inicial atribui um valor a cada variável e a função sucessor funciona alterando o valor de uma variável de cada vez Na escolha de um novo valor para uma variável, a heurística mais óbvia é selecionar o valor que resulta no menor número de conflitos com outras variáveis heurística de conflitos mínimos 45

46 Busca local para problemas de satisfação de restrições função CONFLITOS-MÍNIMOS (psr, max_etapas) retorna uma solução ou falha entradas: psr, um problema de satisfação de restrições max_etapas, o número de etapas permitidas antes de desistir corrente uma atribuição inicial completa para psr para i = 1 até max_etapas faça se corrente é uma solução para psr então retornar corrente var uma variável em conflito escolhida ao acaso a partir de VARIÁVEIS[psr] valor o valor v para var que minimiza CONFLITOS(var, v, corrente, psr) definir var = valor em corrente retornar falha 46

47 Busca local para problemas de satisfação de restrições A heurística de conflitos mínimos é bastante eficiente, em especial quando recebe um estado inicial razoável. para o problema das n rainhas, se não for levado em conta o posicionamento inicial das peças, o tempo de execução de conflitos mínimos é, aproximadamente, independente do tamanho do problema. Mesmo com milhares de rainhas, o problema é resolvido, em média, em até 50 etapas. Isto ocorre devido a natureza do problema, considerado fácil para a busca local, porque as soluções estão densamente distribuídas ao longo do espaço de estados 47

48 Resolução do 8 rainhas usando conflitos mínimos Em caso de empate, a escolha é feita aleatoriamente 48

49 Busca local para problemas de satisfação de restrições Em uma aplicação prática complexa, o tempo de programação do telescópio Hubble para uma semana de observação, foi reduzido de três semanas para cerca de 10 minutos! Outra vantagem da busca local é a possibilidade de utilizá-la em uma configuração on-line quando o problema se altera, como a atribuição de escalas de dezenas de milhares de pessoas para a tripulação de bordo de milhares de vôos 49

50 Estrutura de problemas Muitos problemas podem ser resolvidos com maior facilidade se forem decompostos em subproblemas, mais fáceis de resolver. Por exemplo, no mapa da Austrália, a Tasmânia não está ligada ao continente, logo, escolher sua coloração e a coloração dos demais estados do continente são subproblemas independentes A independência pode ser verificada simplesmente procurando por componentes conectados do grafo de restrições, e cada componente corresponde a um subproblema PSRi (PSR independente) 50

51 Estrutura de problemas Na maior parte dos casos, os subproblemas de um PSR estão conectados. Nos casos mais simples, o grafo de restrições forma uma árvore, onde duas variáveis quaisquer estão conectadas por, no máximo, um caminho Lema: qualquer PRS estruturado em árvore pode ser resolvido em tempo linear em relação ao número de variáveis 51

52 Estrutura de problemas Um grafo de restrições (esq.) e sua representação como uma ordenação linear, sendo A a raiz (dir.) 52

53 Estrutura de problemas Etapas do algoritmo: 1 - escolha qualquer variável como a raiz da árvores e ordene as variáveis da raiz até as folhas de modo que o pai de todo nó na árvore o anteceda na ordenação. Identifique as variáveis X1,... Xn em ordem. Agora, toda variável com exceção da raiz tem exatamente uma variável pai 2 - para j de n até 2, aplique a consistência de arco ao arco (Xi, Xj), onde Xi é o pai de Xj, removendo valores de DOMÍNIO[Xi] conforme necessário 3 - para j de 1 até n, atribua qualquer valor a Xj consistente com o valor atribuído a Xi, onde Xi é o pai de Xj. 53

54 Estrutura de problemas Como este algoritmo é eficiente para árvores, é necessário considerar se grafos de restrições mais gerais podem ser reduzidos a árvores de alguma forma. As alternativas são: remoção de nós condensação de nós 54

55 Estrutura de problemas Na remoção de nós, é necessária a atribuição de valores a algumas variáveis, de modo que as variáveis restantes, sem valores, formem uma árvore. No nosso exemplo, isto pode ser feito removendo SA do grafo (isto é, atribuindo uma cor ao nó e excluindo dos domínios das outras variáveis quaisquer cores inconsistentes com a atribuído para SA), tornando-o uma árvore. Depois disso, qualquer solução para o PSR depois que SA e suas restrições forem removidas será consistente com o valor escolhido para SA, e podemos resolver a árvore restante com o algoritmo apresentado anteriormente. 55

56 Estrutura de problemas O grafo original e a árvore gerada após a remoção de SA 56

57 Estrutura de problemas O que pode ocorrer, tanto para o problema de coloração de mapas quanto para outros problemas que se encaixem no caso geral, é que o valor escolhido para SA esteja errado, isto é, não permita a atribuição de um conjunto de valores para as variáveis que leve a uma solução para o problema. Neste caso, é necessário tentar cada um dos valores possíveis, e o algoritmo fica da seguinte forma: 57

58 Estrutura de problemas 1 - escolha um subconjunto S de VARIÁVEIS[psr] tal que o grafo de restrições se torne uma árvore depois da remoção de S. S é chamado conjunto de corte de ciclo 2 - para cada atribuição possível às variáveis de S que satisfaça todas as restrições sobre S: remova dos domínios das variáveis restantes quaisquer valores que sejam inconsistentes com a atribuição para S se o PSR restante tiver uma solução, retorne-a juntamente com a atribuição para S. 58

59 Estrutura de problemas Encontrar o menor conjunto de corte de ciclo é um problema NP-difícil; para contornar esta dificuldade, são utilizados algoritmos de aproximação, como o de decomposição em árvore Pertencente a categoria dos algoritmos baseados em dividir para conquistar, uma decomposição em árvore deve satisfazer os seguintes requisitos: 59

60 Decomposição em árvore - toda variável no problema original aparece em pelo menos um dos subproblemas; - se duas variáveis estiverem conectadas por uma restrição no problema original, elas deverão aparecer juntas (e juntamente com a restrição) em pelo menos um dos subproblemas - se uma variável aparecer em dois subproblemas na árvore, ela deverá aparecer em todo subproblema ao longo do caminho que conecta estes dois subproblemas 60

61 Decomposição em árvore As duas primeiras condições garantem que todas as variáveis e restrições estarão representadas nas decomposição A terceira condição serve para garantir que qualquer variável deve ter o mesmo valor em todo subproblema em que aparece Na coloração do mapa da Austrália, SA aparece em todos os quatro subproblemas conectados apresentados a seguir: 61

62 Decomposição de grafo de restrições em árvore Cada subproblema é resolvido independentemente; se qualquer um não tiver solução, saberemos que o problema inteiro não tem solução 62

63 Decomposição de grafo de restrições em árvore Se for possível resolver todos os subproblemas, tenta-se construir uma solução global. Para isso, cada subproblema é visto como uma "megavariável", cujo domínio é o conjunto de todas as soluções para o subproblema Por exemplo, o subproblema com NT, SA e WA tem seis soluções possíveis. Em seguida, são resolvidas as restrições que conectam os subproblemas com a utilização do algoritmo eficiente para árvores visto anteriormente - as restrições entre subproblemas exigem que as soluções de subproblemas concordem sobre suas variáveis compartilhadas 63

64 Decomposição de grafo de restrições em árvore Por exemplo, para a solução {WA=vermelho, SA=azul, NT=verde}, a única solução válida para o próximo subproblema é {SA=Azul, NT=verde, Q=vermelho} 64