AVALIAÇÃO DE MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA O PROBLEMA NO-WAIT FLOWSHOP COM O CRITÉRIO DE MINIMIZAÇÃO DA DURAÇÃO TOTAL DA PROGRAMAÇÃO

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1 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento AVALIAÇÃO DE MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA O PROBLEMA NO-WAIT FLOWSHOP COM O CRITÉRIO DE MINIMIZAÇÃO DA DURAÇÃO TOTAL DA PROGRAMAÇÃO Evaluaton heurstcs ethods for no-wat flowshop wth akespan nzaton Fábo José Ceron Branco Escola de Engenhara de São Carlos USP Departaento de Engenhara de Produção Caxa Postal 359 São Carlos-SP E-al: fbranco@hotal.co Marcelo Sedo Nagano Escola de Engenhara de São Carlos USP Departaento de Engenhara de Produção Caxa Postal 359 São Carlos-SP E-al: drnagano@usp.br João Vtor Moccelln Escola de Engenhara de São Carlos USP Departaento de Engenhara de Produção Caxa Postal 359 São Carlos-SP E-al: voccel@sc.usp.br RESUMO Este artgo trata do problea de prograação da produção e ssteas No-Wat Flow Shop co o crtéro de nzação do akespan. Através de ua nvestgação das característcas do problea, ua propredade é aplcada. U novo étodo heurístco construtvo é proposto, baseado nesta propredade, e coparado co outros étodos de destaque da lteratura. Os resultados experentas ostra a superordade do novo étodo para o conunto de probleas tratados. PALAVRAS CHAVES: Prograação da produção. No-wat Flow Shop. Métodos heurístcos. Área de classfcação prncpal: Adnstração e Gestão da Produção. ABSTRACT Ths paper addresses the -achne no-wat flow shop schedulng proble to nze akespan. Followng an nvestgaton of the proble characterstcs, a property of ths schedulng proble s appled. Based on ths property, a new constructve heurstc s proposed. The new ethod s copared wth other proveent strateges reported n the lterature. Experental results show that the new heurstc provdes better solutons regardng both the soluton qualty and coputatonal effort. KEYWORDS: Producton schedulng. No-wat Flow Shop. Heurstcs. [ 71 ]

2 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento 1. Introdução O problea tradconal de Prograação Flow Shop é u problea de produção onde u conunto de n tarefas deve ser processado, na esa seqüênca, por u conunto de áqunas. Quando a orde de processaento e todas as áqunas for a esa, te-se o abente de produção Flow Shop Perutaconal, onde o núero de possíves prograações para n tarefas é n!. Ua stuação específca para este problea, as uto freqüente é a prograação da produção e sstea flow shop se nterrupção na execução das tarefas, que geralente ocorre e u abente caracterzado pela tecnologa do processo,.e., quando, por exeplo, ua varação de teperatura pode nfluencar na degeneração do ateral, ou pela falta de capacdade de arazenaento entre as áqunas. Este problea tabé pode ser chaado de flow shop se espera ou No-Wat Flow Shop (NWFS) confore apresentado na fgura 1. Fgura 1 - No-Wat Flow Shop co áqunas e n tarefas A fgura 1 apresenta a prograação de u conunto de n tarefas ( J = { J1,J 2,...,J,..., J n} ) que deve ser processadas, na esa seqüênca, por u conunto de áqunas dstntas, onde o tepo de processaento da tarefa J na áquna k é p k ( = 1,2,...,n; k = 1,2,..., ). A prncpal característca do NWFS é a necessdade de que a operação g + 1 de ua deternada tarefa J te que ser processada logo após o térno da operação g ( 1 g 1), não pertndo que ocorra tepo de espera no processaento de ua tarefa de ua áquna para a outra ( no wat ). O únco tepo de espera pertdo é no níco do processaento da tarefa que ocupa a prera posção na seqüênca na prera áquna. Devdo a sua natureza, o problea NWFS é consderado coo NP Hard para o caso de três ou as áqunas (Papadtrou et al., 1980). O obetvo deste trabalho é avalar étodos heurístcos para o problea de prograação de operações e abentes NWFS co o crtéro de nzação da duração total da prograação ( akespan ). Ua extensa experentação coputaconal é realzada de fora a obter u novo étodo heurístco cobnando procedentos de ordenação ncal das tarefas e procedentos de re-seqüencaento das tarefas. O étodo desenvolvdo é coparado co o elhor étodo exstente na lteratura verfcando o seu desepenho, alé de resgatar as característcas essencas de u étodo heurístco, adequando equlíbro entre a qualdade da solução e efcênca coputaconal, splcdade e facldade de pleentação. 2. Prograação de operações e ssteas de produção NWFS Os preros trabalhos para nzação do akespan para o problea NWFS [ 72 ]

3 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento coeçara a partr de Bonney e Gundry (1976), que utlzara relações geoétrcas e extensões de algortos crados para probleas de áquna únca. Kng e Spachs (1980) apresentara e ua pesqusa foras dferencadas de ordenações de tarefas, coparando e avalando os resultados quanto ao porte dos probleas gerados. Gangadharan e Raendran (1993) desenvolvera dos étodos heurístcos, que coprovara sere elhores que as heurístcas desenvolvdas anterorente. Os étodos era copostos de duas fases: ua prera fase de obtenção de ua seqüênca ncal, e ua segunda fase de construção da seqüênca fnal. Raendran (1994) apresentou u étodo heurístco consderado o elhor até o presente oento para o problea. Raendran consderou esse étodo coo ua evolução de Bonney e Gundry (1976) e o de Kng e Spachs (1980), e seelhante aos étodos de Gangadharan e Raendran (1993) para probleas de NWFS co crtéro de nzação do akespan. O étodo é coposto por duas fases onde na prera fase é realzada ua ndexação das tarefas a sere seqüencadas e na segunda fase u procedento de construção da seqüênca fnal é utlzado. Nas últas três décadas, u extenso esforço de pesqusa te sdo dedcado para o problea, e alguns étodos propostos tê-se baseado e étodos á exstentes coo, por exeplo, o étodo heurístco NEH (Nawaz et al., 1983). Devdo a sua efcênca e efcáca (qualdade da solução e tepo de coputação), város pesqusadores tê-se utlzado da estrutura do étodo NEH para o desenvolvento de novos étodos e stuações específcas do problea (Franan et al., 2003). Outros pesqusadores tê dreconado seus esforços para a solução do problea utlzando-se de técncas denonadas etaheurístcas (Algortos Genétcos, Busca Tabu, Sulated Annealng, Ant Colony), por exeplo, a pesqusa apresentada por Aldowasan e Allahverd (2003) que desenvolvera três heurístcas denonadas SA, SA-1 e SA-2, baseadas no étodo Sulated Annealng e outras três denonadas GA, GA-1 e GA-2 baseadas no étodo Algorto Genétco. O trabalho apresentou ua análse de coo procedentos etaheurístcos fora aplcados, dentfcando os parâetros utlzados e cada caso, e conclundo que o sples auento das terações a u valor alto não resultará e efeto sgnfcatvo no resultado fnal do procedento utlzado. 3. Métodos heurístcos Os étodos heurístcos a sere avalados nesta pesqusa possue duas fases, seelhante ao elhor étodo heurístco construtvo proposto por Raendran (1994) para o problea de NWFS. Coo dscutdo anterorente, ua extensa experentação coputaconal é realzada de fora a obter u novo étodo pela cobnação do procedento de ordenação das tarefas e o procedento de re-seqüencaento das tarefas. Co esse obetvo são analsados os prncpas algortos desenvolvdos para o problea de flow shop observando as estruturas de coposção dos étodos exstentes confore a pesqusa realzada por Franan et al. (2003). Neste trabalho são destacados oto étodos de ordenação ncal e 5 étodos de reseqüencaento confore apresentado a segur: 3.1. Ordenações Incas NEH: Este étodo de ordenação é seelhante ao étodo NEH (Nawaz et al., 1983) para nzação do akespan e probleas flow shop tradconas. RAJ: Ordenação gual ao étodo proposto Raendran (1994). ALEAT: Ordenação obtda por ua seqüênca gerada aleatoraente. [ 73 ]

4 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento BN1: Esta proposta de ordenação está baseada na expressão que fornece o tepo total da prograação de pares de tarefas adacentes, e quasquer posções na seqüênca, e condção de no-wat, confore Lawler et al. (1993). No caso de áqunas, obtê-se a expressão recursva apresentada abaxo, onde para todos os pares de tarefas J e J é possível obter a duração total da prograação através da expressão: C J, J ) = p + R ( J, J ) (1) ax ( 1 para = 1,2,...,n e = 1,2,..., n Onde: R 0 ( J, J ) = 0 R ( J, J ) = p + ax( R 1 ( J, J ); pk ) k = 2 Sea J u conunto de n tarefas ( J = { J1,J 2,..., J n} ) a sere prograadas, S o conunto das tarefas anda não prograadas, S [ k ] a tarefa que ocupa a k-ésa posção de S : Passo 1 (Incalzação) J = { J 1,J 2,J 3,...,J,..., J n }; S = Ø ; Selecone o aor eleento ax ( J, J ) S { J, J }; J J {, }; u ; S 2 [ ] k = 3; Passo 2 J J C ; Selecone o enor eleento ( J, J ) C ax u v tal que v J J ; Exane todas as possbldades de nserr a tarefa J v na seqüênca parcal ( S ), e adote aquela que leva a enor duração total da prograação; S S { S[ v ]} J J ; { } J v Passo 3 u S[ k ]; k k + 1; Se J Ø, volte para o Passo 2. Caso contráro, a ordenação ncal das tarefas está concluída. As ordenações RESD1, RESD2 e RESD3 são seelhantes ao procedento anteror, dferencando soente na utlzação das expressões apresentadas por Stnson e Sth (1982). Nesse caso as expressões 4, 5 e 6 fornece ua atrz de dstânca, onde tal problea transforado é análogo ao problea do Caxero-Vaante ( TSP Travelng Selesan Proble ). RESD1: ( J,J ) = ax( r,0) + 2 n( r,0) C (2) Onde: k, k= 2 r k, = pk p( k 1) k, [ 74 ]

5 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento RESD2: RESD3: ( J,J ) = ( r* ) k= 2 k, 2 C (3) Onde: r* = p p n( r,0) k, ( J,J ) = k= 2 k k, ( k 1 ) + ( k 1 ), C r* (4) Onde: r* = p p n( r,0) k, k ( k 1 ) + ( k 1 ), BN2: Este étodo utlza a expressão 1, poré o algorto de ordenação é dferente exgndo aor esforço coputaconal. O étodo apresenta os seguntes passos: Passo 1 (Incalzação) J = { J 1,J 2,J 3,...,J,..., J n }; S = Ø ; Selecone o aor eleento ax ( J, J ) S { J, J }; J J { J, }; u S[ 2 ]; k = 3; Passo 2 J C ; Selecone o enor eleento ( J, J ) C ax u v tal que J v J ; Exane todas as possbldades de nserr a tarefa J v na seqüênca parcal ( S ), e adote aquela que leva a enor duração total da prograação; S S { S[ v ]} J J { J v }; Passo 3 Consderando a Vznhança de Inserção exane todas as seqüêncas vznhas obtdas co a tarefa J v, e atualze a seqüênca S co aquela que leva a enor duração total da prograação; Passo 4 Consderando toda a Vznhança de Inserção da seqüênca parcal co k tarefas, consttuídas de ( k 1) 2 seqüêncas, deterne a seqüênca S ' assocada a enor duração total da prograação. Dada ua seqüênca de tarefas, ua outra seqüênca pertencente à sua vznhança de nserção é obtda escolhendo-se ua das tarefas e ua das posções, nserdo nessa posção a tarefa escolhda; Consderando toda a Vznhança de Perutação da seqüênca parcal S ' co k tarefas, consttuída de k ( k 1) 2 seqüêncas, deterne a seqüênca S '' assocada a enor duração total da prograação. Dada ua seqüênca de tarefas, ua outra seqüênca pertencente à sua vznhança de perutação é obtda trocando-se as posções de duas tarefas quasquer; Atualze, co a seqüênca S '', as k preras posções da seqüênca de S ' ; u S[ k ]; k k + 1; Se J Ø, volte para o Passo 2. Caso contráro, a ordenação ncal das tarefas está concluída. [ 75 ]

6 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento 3.2. Métodos de re-seqüencaento Para a obtenção da seqüênca fnal os étodos de re-seqüencaento utlzados são os seguntes: NEH: Este étodo de re-seqüencaento proposto por Nawaz et al. (1983). RAJ: Este étodo de re-seqüencaento proposto por Raendran (1994). FL: Este étodo de re-seqüencaento proposto por Franan e Lesten (2003). BN: Este étodo é ua odfcação do étodo proposto por Franan e Lesten (2003). A dferença fundaental está na fora de busca de seqüêncas vznhas onde, no étodo FL, é utlzada a vznhança de perutação de pares de tarefas. Para o étodo apresentado será utlzada a vznhança de nserção de tarefa. A troca de u étodo de busca na vznhança por u outro pode auentar o núero de seqüêncas avaladas, pertndo desse odo ua aor possbldade de soluções. A segur é apresentado o étodo de re-seqüencaento proposto: Para k = 3 a n Selecone as k 1 preras tarefas da seqüênca ncal S. Exane todas as possbldades de nserr a tarefa S [ k ] na seqüênca parcal até então obtda, e adote aquela que leva a enor duração total da prograação; Consderando toda a Vznhança de Inserção da seqüênca parcal co k tarefas, consttuídas de ( k 1) 2 seqüêncas, deterne a seqüênca assocada a enor duração total da prograação. NM: Este étodo te por base a heurístca apresentada por Nagano e Moccelln (2005) para nzação do tepo édo de fluxo e probleas flow shop perutaconal. O étodo consste de u procedento de ntensfcação da busca de ua elhor seqüênca vznha através da cobnação de duas vznhanças (perutação e nserção). 4. Experentação coputaconal e análse dos resultados Na coparação dos étodos fo utlzada ua aostra consttuída de 7200 probleasteste, referente ao trabalho de Nagano et al. (2005). Nessa aostra, o núero de tarefas n { 5,6,7, 8, 9,10, 20, 30, 40, 50,60,70, 80, 90,100,110,120,130}, o núero de áqunas { 5,10,15, 20}, co 100 probleas para cada cobnação ( n). Os probleas fora agrupados do segunte odo: porte: 2400 probleas - tarefas: 5, 6, 7, 8, 9 e 10 - áqunas: 5, 10, 15 e 20 porte: 2800 probleas - tarefa: 20, 30, 40, 50, 60, 70 e 80 - áqunas: 5, 10, 15 e 20 porte: 2000 probleas - tarefa: 90, 100, 110, 120 e áqunas: 5, 10, 15 e 20 Os étodos heurístcos coparados fora codfcados pelos autores e lnguage Delph e processados conuntaente e u eso crocoputador Pentu IV 3.00 GHz. Os tepos de processaento das tarefas fora gerados aleatoraente varando no ntervalo de 1 a 99, co dstrbução unfore. [ 76 ]

7 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento As estatístcas usadas para avalar o desepenho dos étodos fora a Porcentage de Sucesso, o Desvo Relatvo e o Tepo de Coputação. A prera é defnda pelo quocente entre o núero de probleas para os quas o étodo obteve a elhor solução ( akespan ) e o núero total de prograas resolvdos. Obvaente, quando os étodos obtê a elhor solução para u eso problea, suas Porcentagens de Sucesso são sultaneaente elhoradas. O Desvo Relatvo ( DR h ) quantfca o desvo que o étodo h obté e relação ao elhor akespan obtdo para o eso problea, sendo calculado confore segue: Dh D * DRh (%) = 100 (5) D * onde, D é a duração total da prograação ( akespan ) obtdo pelo étodo h ; h D é o elhor akespan obtdo pelos étodos, para u deternado problea. O Tepo de Coputação de u étodo é calculado pela soa dos tepos de coputação de cada problea dvdda pelo núero total de probleas resolvdos (éda artétca dos tepos de coputação). Na experentação coputaconal, o tepo édo de coputação por problea fo eddo e lssegundo ( s ) Avalação das ordenações ncas Preraente é apresentada a análse das oto ordenações ncas, agrupando os dados por núero de áqunas e separando por probleas de pequeno, édo e grande porte. A tabela 1 apresentada os resultados obtdos. Tabela 1 - Experentação das Ordenações Incas NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 0,21* 7,33 47,29 0,17 28,75 28,08 28,00 79,67 16,459** 7,490 1,137 25,453 2,663 2,701 2,721 0,303 1,00*** 0,91 1,06 0,98 1,06 1,01 0,97 1,02 0,00 0,00 3,61 0,00 3,79 3,18 3,93 86,18 28,439 22,909 2,441 49,170 2,511 2,557 2,558 0,112 1,56 1,47 1,95 1,42 2,63 2,18 2,11 16,78 0,00 0,00 0,25 0,00 0,65 0,40 0,45 98,30 33,551 30,240 2,861 57,179 2,635 2,598 2,571 0,005 2,83 3,09 4,59 2,87 7,98 6,19 6,23 184,62 0,07 2,44 17,24 0,06 11,24 10,71 10,99 87,38 25,866 19,806 2,123 43,489 2,596 2,617 2,616 0,146 1,73 1,73 2,39 1,68 3,59 2,91 2,87 58,14 * Porcentage de Sucesso (%) ** Desvo Relatvo (%) *** Tepo Coputaconal (lsegundo) A tabela 1 apresenta claraente a superordade do étodo de ordenação BN2 coparado aos deas étodos. À edda que auenta o núero de tarefas, auenta a porcentage de sucesso do algorto BN2 e relação aos seus concorrentes. No total verfcouse que BN2 apresenta elhor solução e 6291 probleas, ou sea, e 87,38% dos probleas. O desvo édo relatvo tende a verfcar os resultados anterores. É convenente lebrar que, quanto enor o valor do desvo édo relatvo, aor é a qualdade da solução obtda pelo étodo consderado. Coo era esperado pela análse da porcentage de sucesso, o algorto BN2 tabé deonstrou sua superordade chegando uto próxo de desvo édo relatvo zero e todas as faxas de probleas, prncpalente para probleas de édo e grande porte. [ 77 ]

8 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento Pode-se observar tabé na tabela 1 que o étodo BN2 apresenta, e teros geras, u desvo édo relatvo uto enor que os deas étodos de ordenação ncal nvestgados. BN2 teve, na éda dos 7200 probleas, u desvo édo relatvo de 0,146%; o segundo enor desvo fo de 2,123% da ordenação BN1, aproxadaente 15 vezes aor. Quanto ao tepo de coputação, BN2 apresentou-se as elevado, devdo ao étodo de ordenação ser as ntensvo. Contudo, o tepo édo coputaconal não ultrapassa 0,2 segundo para probleas de grande porte, sendo ass acetável e não relevante para fns de coparação Avalação das ordenações ncas cobnadas co os étodos de reseqüencaento Para a avalação dos étodos de re-seqüencaento, todos os étodos de ordenação apresentados fora cobnados co os étodos de re-seqüencaento. A tabela 2 apresenta os resultados obtdos e relação a porcentage de sucesso, desvo édo relatvo e tepo édo de coputação. Confore apresentado na tabela 2, e todos os casos, a cobnação que leva a ordenação BN2 fo a que teve a aor porcentage de sucesso e enor desvo édo relatvo. Os tepos édos de coputação não ultrapassara, na éda, eo segundo e, portanto, nenhu algorto apresentou-se nvável por este crtéro. Ass, pode-se destacar os 5 elhores étodos de duas fases,.e., o elhor para cada étodo de re-seqüencaento. Analsando-se anda a tabela 2 pode-se verfcar que BN2+NEH, BN2+RAJ, BN2+FL, BN2+BN e BN2+NM fora os prncpas. Os resultados da próxa experentação terão coo obetvo deternar o elhor étodo de duas fases entre os 5 que as se destacara. Re-seqüencaentos NEH Tabela 2 - Experentação dos algortos de duas fases Ordenações Incas NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 36,21 35,46 55,75 36,17 47,46 48,38 48,21 75,33 1,516 1,628 0,703 1,591 0,992 0,978 1,010 0,332 1,11 0,95 1,06 1,05 1,10 1,00 1,06 1,15 2,18 3,18 4,96 3,07 5,75 5,21 6,25 70,86 2,535 2,556 1,822 2,306 1,833 1,817 1,786 0,223 2,19 2,15 2,53 2,13 3,30 2,81 2,91 17,03 0,35 0,30 0,80 0,50 1,45 1,30 1,80 93,55 2,715 2,874 2,227 2,576 2,086 2,052 2,022 0,021 7,25 7,94 9,80 7,16 12,85 11,52 10,90 188,58 13,01 13,14 20,74 13,39 18,46 18,51 19,00 78,65 2,245 2,335 1,562 2,143 1,623 1,603 1,593 0,203 3,24 3,36 4,06 3,17 5,22 4,63 4,51 59,39 [ 78 ]

9 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento Re-seqüencaentos RAJ FL BN NM Tabela 2 - Experentação dos algortos de duas fases NEH RAJ BN1 ALEAT RESD1 RESD2 RESD3 BN2 5,83 26,75 55,54 14,04 36,21 36,13 35,33 78,17 7,282 2,342 0,783 5,325 2,010 2,123 2,124 0,305 1,14 0,98 0,91 1,02 1,07 1,07 1,00 1,05 0,00 0,93 4,11 0,00 4,39 3,54 4,43 83,43 7,627 4,406 2,135 10,162 2,275 2,344 2,335 0,130 2,44 2,12 2,12 1,73 3,00 2,62 2,89 17,20 0,00 0,00 0,35 0,00 0,75 0,45 0,55 97,95 6,350 5,426 2,740 9,757 2,551 2,522 2,497 0,007 6,50 6,90 9,32 4,49 13,02 10,60 10,72 188,21 1,94 9,28 20,21 4,68 13,99 13,54 13,65 85,71 7,157 4,001 1,852 8,437 2,263 2,320 2,310 0,154 3,13 3,07 3,72 2,26 5,14 4,32 4,44 59,32 54,83 49,79 63,83 52,63 58,13 60,42 58,79 77,08 0,764 0,959 0,486 0,869 0,644 0,623 0,644 0,262 0,94 0,95 0,99 1,00 1,03 1,04 1,06 1,04 6,86 7,11 7,96 7,89 9,25 8,86 9,86 45,32 1,458 1,552 1,319 1,426 1,318 1,312 1,292 0,434 8,95 8,96 9,82 8,97 10,51 10,56 9,75 26,57 4,75 2,90 5,15 4,05 5,65 5,40 4,60 68,10 1,211 1,373 1,211 1,334 1,171 1,160 1,164 0,143 93,65 93,90 99,14 96,11 100,42 101,45 97,71 293,90 22,26 20,17 25,81 21,74 24,54 25,08 24,71 62,24 1,158 1,305 1,011 1,215 1,053 1,040 1,040 0,295 29,81 29,88 31,69 30,52 32,32 32,63 31,29 92,32 58,29 48,42 62,83 52,00 58,25 59,38 58,38 77,50 0,733 1,136 0,554 0,960 0,699 0,682 0,710 0,286 2,58 1,59 1,59 1,66 1,57 1,58 2,60 1,08 10,75 6,18 9,93 9,71 9,29 9,64 10,82 37,07 1,212 1,555 1,289 1,323 1,261 1,258 1,238 0,537 13,23 10,79 11,30 11,07 12,27 11,86 13,64 27,35 10,25 3,70 7,25 6,65 6,70 8,10 9,00 49,40 0,990 1,342 1,115 1,161 1,082 1,030 1,039 0, ,18 104,91 107,81 105,26 110,71 111,62 112,57 306,33 26,46 19,57 26,82 22,96 24,89 25,79 26,17 53,97 0,991 1,356 0,996 1,157 1,024 1,003 1,007 0,378 36,33 33,87 34,87 34,10 36,05 36,15 37,44 96,09 57,75 49,83 63,54 54,42 59,88 60,75 60,08 76,71 0,717 1,057 0,499 0,858 0,640 0,629 0,638 0,266 1,02 0,94 1,05 0,97 1,00 1,04 1,08 1,08 4,82 4,32 6,00 5,11 7,89 7,29 7,71 59,00 1,914 2,041 1,575 1,804 1,549 1,522 1,511 0,318 17,53 17,31 17,85 17,86 19,04 18,31 18,41 35,27 0,85 1,05 1,90 1,35 2,70 2,45 2,40 87,70 2,294 2,478 1,951 2,195 1,837 1,802 1,781 0, ,01 197,77 195,02 192,08 198,79 195,50 197,20 404,06 21,36 18,58 24,04 20,50 23,78 23,76 23,69 72,88 1,621 1,834 1,321 1,597 1,326 1,302 1,295 0,225 60,49 61,98 61,46 60,62 62,96 61,77 62,30 126,31 [ 79 ]

10 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento A tabela 2 ostra que o prncpal étodo da lteratura, de Raendran (1994), fo superado pelo algorto coposto pela ordenação ncal BN2. Desta fora, a avalação dos elhores algortos de duas fases feta no próxo te á consdera que o étodo proposto neste trabalho é elhor que o algorto de Raendran (1994) Avalação entre os elhores algortos de duas fases A tabela 3 apresenta os resultados de porcentage de sucesso, desvo édo relatvo e tepo édo de coputação para os 5 elhores étodos do te anteror. Ordenação Incal Tabela 3 - Experentação dos elhores algortos de duas fases Re-seqüencaentos NEH RAJ FL BN NM 84,50 80,21 92,21 91,79 91,83 BN2 0,202 0,296 0,100 0,109 0,083 1,15 1,05 1,04 1,08 1,08 52,93 52,64 67,82 78,82 59,46 0,370 0,429 0,215 0,123 0,283 17,03 17,20 26,57 27,35 35,27 62,55 62,55 71,10 90,10 64,05 0,198 0,205 0,137 0,032 0, ,58 188,21 293,90 306,33 404,06 66,13 64,58 76,86 86,28 71,53 0,266 0,323 0,155 0,093 0,190 59,39 59,32 92,32 96,09 126,31 Para o problea de pequeno porte, pode-se perceber que são três os prncpas étodos co a aor porcentage de sucesso: BN2+BN, BN2+NM e BN2+FL. À edda que auenta o núero de tarefas, BN2+BN coeça a se destacar, dstancando-se dos outros, a partr dos probleas de édo porte. Os étodos BN2+NEH e BN2+RAJ apresentara pratcaente o eso resultado, evdencando que os re-seqüencaentos NEH e RAJ não são deternantes para ua elhora sgnfcatva das soluções. Para o problea de grande porte, o coportaento é seelhante ao édo porte, onde se destaca BN2+BN. De fora geral o elhor desepenho fo do algorto BN2+BN para os 7200 probleas analsados, o núero de sucessos fo de 6212 probleas, ou 86,28%. A tabela 3 ve coprovar a qualdade da solução do étodo BN2+BN coo o elhor étodo através do desvo édo relatvo. BN2+BN teve u desvo édo relatvo de 0,093% e 7200 probleas, cerca de 40% enor que o desvo do segundo elhor algorto, BN2+FL. 5. Consderações fnas Neste trabalho fo apresentado e avalado u novo étodo heurístco construtvo, denonado BN2+BN, para o problea NWFS co o obetvo de nzar a duração total da prograação ( akespan ). Prelnarente, ressalta-se que para fns prátcos, as soluções obtdas pelos étodos heurístcos de duas fases á exstentes, para o problea NWFS, são sufcentes, ou sea, tal problea pode ser consderado coo á resolvdo. Poré, tendo e vsta a coplexdade do problea e questão, a busca por novos étodos que contê adequado equlíbro entre a qualdade da solução e a efcênca coputaconal, splcdade e facldade de pleentação, anda contnua coo ua dreção para novas pesqusas. O prncpal aspecto a ser destacado neste artgo refere-se ao fato de que os resultados [ 80 ]

11 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Abente e Desenvolvento experentas ostrara que o étodo heurístco proposto BN2+BN possu u desepenho superor aos deas, para solução do problea e questão. Dessa fora, este trabalho apresentou ua contrbução que procura evdencar que apesar dos algortos exstentes proporconare boas soluções, é possível, por eo da propredade á exstente e apresentada por Lawler (1993), crar novos étodos de soluções para o problea. 6. Referêncas Aldowasan, T. e Allahverd, A. (2003). New heurstcs for no-wat flowshops to nze akespan. Coputers and Operatons Research, 30, Bonney, M.C. e Gundry S.W. (1976). Solutons to the constraned flowshop sequencng proble. Operatons Research Quarterly, 24, Franan, J.M. e Lesten R. (2003). An effcent constructve heurstc for flowte nsaton n perutaton flow shops. Oega - The Internatonal Journal of Manageent Scence, 31, 4, Franan, J.M., Lesten, R. e Raendran, C. (2003). Dfferent ntal sequences for the heurstc of Nawaz, Enscore and Ha to nze akespan, dlete or flowte n the statc perutaton flowshop sequencng proble. Internatonal Journal of Producton Research, 41, 1, Gangadharan, R. e Raendran, C. (1993). Heurstc algorths for schedulng n the no-wat flowshop. Internatonal Journal of Producton Econocs, 32, Kng, R. e Spachs, A.S. (1980). Heurstcs for Flow Shop Schedulng. Internatonal Journal of Producton Research, 18, Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rnnooy Kan, A.H.G. e Shoys, D.B. (1993). Sequencng and Schedulng: algorths and coplexty. In: Graves, S.C. e Rnnooy Nagano, M.S. e Moccelln, J.V. (2005). Redução do estoque e processaento e ssteas de produção flowshop. In: XXXVII Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal, Graado-RS. Anas do XXXVII SBPO. 37, CD-ROM. Nagano, M.S., Moccelln, J.V. e Lorena, L.A.N. (2005). Redução do estoque e processaento e ssteas de produção flow shop perutaconal. Revsta produção on lne, Floranópols - SC, 5,. 3, Nawaz, M.; Enscore Jr., E.E. e Ha, I. (1983). A heurstc algorth for the -achne, n-ob flow-shop sequencng proble. Oega - The Internatonal Journal of Manageent Scence, 11, 1, Papadtrou, C. e Kanellaks, P.C. (1980) Flowshop schedulng wth lted teporary storage. Journal of the Assocaton for Coputng Machnery, 27, Raendran, C. (1994). A no-wat flowshop schedulng heurstc to nze akespan. Journal of the Operatonal Research Socety, 45, 4, Stnson, J.P. e Sth, W. (1982). A heurstc prograng procedure for sequencng the statc flowshop. Internatonal Journal of Producton Research, 20, [ 81 ]