ABORDAGENS DE GERAÇÃO DE COLUNAS PARA UM PROBLEMA DE P-MEDIANAS CAPACITADO

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1 ABORDAGENS DE GERAÇÃO DE COLUNAS PARA UM PROBLEMA DE P-MEDIANAS CAPACITADO Luz Antono Noguera Lorena LAC/INPE Caxa Postal São José dos Capos SP Edson Luz França Senne FEG/UNESP Caxa Postal Guaratnguetá SP Resuo: O problea de p-edanas capactado (PPMC) consdera decsões ótas sobre a localzação de p facldades levando-se e conta dstâncas e capacdades de servços. Apresentaos neste trabalho abordagens de geração de colunas para o PPMC. Os probleas estres restrtos consdera colunas foradas de clusters que satsfaze as restrções de capacdades, para os quas fora resolvdos probleas de -edana. Os subprobleas geradores de novas colunas são então do tpo ochla. A relaxação Lagrangeana/surrogate é usada para gerar novas colunas através de u problea da ochla odfcado, e tabé para fornecer bons ltantes ao processo. O processo de geração de colunas é acelerado eso no caso e que últplas colunas são seleconadas para entrar no problea estre restrto. Resultados coputaconas são apresentados para nstancas geradas a partr de dados da cdade de São José dos Capos, SP. Palavras-chave: Probleas de localzação, Problea de p-edanas capactado, Geração de colunas, Relaxação Lagrangeana/surrogate. Abstract: The Capactated p-edan proble (CPMP) objectves the optal locaton of p facltes, consderng dstances and capactes for the servce to be gven by each edan. We present colun generaton approaches to CPMP. The dentfed restrcted aster probles optze the coverng of - edan clusters satsfyng the capacty constrants, and new coluns are generated consderng napsac subprobles. The Lagrangean/surrogate relaxaton has been used recently to accelerate subgradent le ethods. In ths wor the Lagrangean/surrogate relaxaton s drectly dentfed fro the aster proble dual and provdes new bounds and new productve coluns through a odfed napsac subproble. The overall colun generaton process s accelerated, even when ultple prcng s observed. Coputatonal tests are presented runnng nstances taen fro real data of São José dos Capos cty. Keywords: Locaton probles, Capactated p-edan probles, Colun generaton, Lagrangean/surrogate relaxaton.

2 . Introdução O problea de p-edanas capactado (PPMC) consdera decsões ótas sobre a localzação de p facldades levando-se e conta dstâncas e capacdades de servços. Aparenteente o PPMC não fo estudado tão ntensvaente coo o problea clássco de p-edanas. Probleas relaconados fora tratados e Brael and Sch-Lev [3], Klen and Aronson [8], Mulvey and Bec [28] e Osan and Chrstofdes [3]. U apla revsão bblográfca e tabé u conjunto de probleas testes são apresentados e [3]. O PPMC é reconhecdaente NP-dfícl e alguas abordagens anterores aplca heurístcas Lagrangeanas, tas coo e Kososds and Powell [9] e e [29]. Abordagens recentes explora o uso de eta-heurístcas, tas coo sulated annealng e busca tabu (coo e França et al. [3] e e [3]), e algortos genétcos (Manezzo et al. [24]). Bons resultados fora apresentados para u conjunto padrão de nstâncas ( [2]). A técnca de geração de colunas pode ser aplcada a probleas lneares de grandes densões, no caso de não se dspor de todas a colunas a pror, ou quando se pretende resolver u problea utlzando a decoposção de Dantzg-Wolfe, onde as colunas corresponde aos pontos extreos do conjunto convexo de soluções factíves do problea. Neste caso, o algorto para resolução alterna entre u subproblea e u problea estre restrto. A partr de u conjunto ncal de colunas, resolve-se o problea estre, obtendo-se as varáves duas que serão utlzadas pelo subproblea para deternar novas colunas a sere consderadas no problea estre. Baseado no trabalho de Dantzg e Wolfe [6], a prera aplcação prátca desta técnca fo na deternação de padrões de corte undensonas (Glore and Goory [4, 5]) e, desde então, seu uso dfundu-se de fora ntensa [, 4, 7, 8, 9, 30, 33, 34]. Abordagens baseadas na técnca de geração de colunas tê aparecdo e u grande núero de trabalhos recentes coo alternatva aos étodos não lneares baseados e relaxação Lagrangeana (étodos de subgradentes e étodos bundle) para resolver probleas nteros de grande porte []. Sabe-se, entretanto, que a aplcação dreta do étodo de geração de colunas freqüenteente produz u núero uto grande de colunas que não são relevantes para a solução fnal, coproetendo ass a convergênca para a solução do problea. Nestes casos, observa-se que as varáves duas oscla e torno da solução dual óta. Logo, étodos que prevna tal coportaento pode acelerar a resolução do problea. Dentre estes erece destaque: Método Boxstep [25], que restrnge o espaço de busca de soluções duas a ua regão ltada tendo a solução dual atual coo centro; Método Analytc Centre Cuttng Plane [0, ], que usa o centro analítco de ua regão da função dual coo solução, no lugar da solução óta, não pertndo ass udanças uto drástcas entre as soluções duas de duas terações consecutvas; Métodos Bundle [30], que cobna regões de confança e penalzações para que as soluções duas não vare uto de ua teração para outra. Outros étodos estão descrtos e Neae [30]. Neste trabalho explora-se a equvalênca entre o étodo de geração de colunas, resultante da decoposção de Dantzg-Wolfe do problea orgnal, e o étodo de Planos de Corte (Kelley [7]) para resolver o problea Lagrangeano assocado, através do uso da relaxação Lagrangeana/surrogate descrta e Narcso e Lorena [29]. Esta abordage pode ser vsta coo ua alternatva de establzação do processo de geração de colunas, obtendo soluções duas e colunas de elhor qualdade, e acelerando a resolução do problea orgnal. O trabalho está organzado da segunte fora. Na Seção 2 apresenta-se as forulações ateátcas dos probleas PPMC que são usadas neste trabalho. A próxa seção apresenta as abordagens de geração de colunas e a fora pela qual a relaxação Lagrangean/surrogate é usada para gerar as novas colunas do problea estre restrto. Na seção 4 apresenta-se os algortos e na seção segunte os resultados dos experentos coputaconas.

3 2. Forulações do PPMC O PPMC consderado neste trabalho é odelado de duas aneras. A prera consdera o segunte problea de prograação lnear ntera 0-: (P) v ( P) = Mn d j x j () sujeto a j N j N j N x = ; N (2) x j jj = p q xj Qx jj (3) ; j N (4) x j {0,}; N, j N (5) onde: N = {,...,n} é o conjunto dos índces das entdades a sere alocadas e tabé o conjunto das possíves edanas, das quas p edanas deve ser localzadas; q é a deanda de cada entdade e Q a capacdade de cada possível edana; [d j ] n n é a atrz de dstâncas; [x j ] n n é a atrz de alocações, co x j = se a entdade é alocada à edana j, e x j =0, caso contráro; x jj = se a edana j é seleconada e x jj = 0, caso contráro. As restrções (2) e (3) assegura que cada entdade é alocada a apenas ua edana. A restrção (4) assegura que o total de capacdades das edanas deve ser respetado, e as restrções (5) apresenta condções de ntegraldades. São assudas capacdades guas para as edanas no ntuto de splfcar a forulação de partconaento de conjuntos que está defnda a segur. O PPMC tabé pode ser forulado coo o segunte problea de partconaento de conjuntos: (PC) v( PC) = Mn = c x sujeto a A = (6) = = x x = p x {0,}, onde: S = S, S,..., S }, é u conjunto de subconjuntos de N; { 2 A = [a ] nx, é ua atrz co e c = Mn d S j S j a, consderando =, 0, se S, satsfazendo qa Q ; caso contráro S = { S a = }. (7)

4 Esta é a forulação apresentada e Mnoux [27]. A esa forulação pode ser obtda do problea (P) aplcando a decoposção de Dantzg-Wolfe. Para cada subconjunto S, as edanas abertas são decddas quando o custo da coluna c é calculado, e portanto as colunas de (PC) consdera plctaente as restrções (4) de (P). As restrções () e (2) são conservadas e atualzadas respectvaente e (6) e (7), de acordo co o processo de decoposção de Dantzg-Wolfe. Se S é o conjunto de todos os subconjuntos de N, a forulação apresentada pode levar à solução óta de PPMC. Mas, coo o núero de subconjuntos pode ser uto grande, u conjunto parcal de colunas geralente é consderado, levando o problea (PC) a ser chaado de problea estre restrto dentro do contexto de geração de colunas []. 3. A relaxação Lagrangeana/surrogate e o processo de geração de colunas É be conhecda a equvalênca entre a decoposção de Dantzg-Wolfe, geração de colunas e a otzação da relaxação Lagrangeana. Resolver u prograa lnear através da decoposção de Dantzg-Wolfe resulta ser o eso que resolver o Lagrangeano pelo étodo de planos de corte de Kelley [7]. Entretanto e utos casos a aplcação dreta do étodo de geração de colunas pode resultar e convergênca lenta. A relaxação Lagrangeana/surrogate será usada e conjunto co o étodo de geração de colunas dentfcando os probleas de otzação que são couns na solução do Lagrangeano/surrogate e no subproblea de custo reduzdo. Desta fora alé de proporconar ltantes nferores de boa qualdade, a relaxação Lagrangeana/surrogate estará gerando tabé colunas de qualdade para o processo de geração de colunas. Mas nforações sobre a relaxação Lagrangeana/surrogate pode ser obtdas nos trabalhos de Lorena e Lopes [20], Lorena e Narcso [2], Lorena e Senne [22], Narcso e Lorena [29] e Senne e Lorena [32]. Para u dado vetor λ n R + e t 0 a relaxação Lagrangeana/surrogate de PPMC é dada por: (L t Pλ) v(l t Pλ) = Mn ( dj tλ ) xj + t j N sujeto a (3), (4), e (5). O problea (L t Pλ) pode ser resolvdo consderando a restrção (3) de fora plícta e decopondo (no índce j) o problea nos seguntes n sub-probleas da ochla 0-: tλ v ( nap ) j λ = Mn ( d j tλ ) x (8) j sujeto a (4) e (5). Cada sub-problea pode ser resolvdo pelo algorto exato de Horowtz and Sahn (veja Martello e tλ Toth [26]). Seja J o conjunto dos índces correspondentes aos p enores v ( nap ), j N (a restrção (3) está sendo consderada neste oento). O valor da relaxação Lagrangeana/surrogate é então dado por: t v(l t Pλ) = v( nap λ ) j + t λ (9) j J A característca que torna nteressante a relaxação (L t Pλ) é que no caso partcular e que t =, a expressão (9) dá o valor da relaxação Lagrangeana usual consderando o eso ultplcador λ. j

5 Dos duas são então dentfcados: u dual externo que consdera a varável ultdensonal λ, usualente otzado por étodos do tpo subgradentes, e, consderando o ultplcador λ fxo, o elhor valor para a varável undensonal t pode ser encontrado otzando o dual Lagrangeano nterno v( D ) = Max v(l t Pλ). O elhor valor da relaxação Lagrangeana/surrogate é elhor que o da λ t t 0 relaxação Lagrangeana. Ua fora aproxada de encontrar o elhor valor de t é resolver o dual nterno por busca dcotôca (veja o algorto SH usado no trabalho [32]). O problea a ser resolvdo por geração de colunas é a versão de prograação lnear do problea de cobertura de conjuntos de (PC): (CC) v( CC) = Mn = c x sujeto a A x = = x = p x [0,]. Depos de defndo u subconjunto ncal de colunas, o problea (CC) é resolvdo e os custos duas fnas π, =,...,n e µ são usados no segunte subproblea para a geração de novas colunas (onde para splfcar a notação estaos usando para cada j, x j = z ): π (Sub π P) v Sub P) = Mn{ v( nap ) } ( π j j N O subproblea (Sub π P) é resolvdo decopondo no índce j e obtendo n probleas da ochla e z varáves 0- descrtos na expressão (8). A coluna é adconada ao problea (CC) se v(subπp) < µ. Na prátca, para j =,..., n, todas as colunas encontradas no processo de solução do subproblea que satsfaça: q z Q e ( ) j d π z < µ (0) poderão ser adconadas ao conjunto de colunas, acelerando o processo de geração de colunas. Consderando o uso das varáves duas π, =,...,n, no problea (L P π ) (para o caso Lagrangeano, onde t = ), as esas colunas dentfcadas e (Sub π P) estarão sendo dentfcadas. Portanto o problea Lagrangeano pode ser usado para gerar novas colunas e proporconar u ltante nferor ao PPMC. A relaxação Lagrangeana/surrogate é ntegrada ao processo de geração de colunas transferndo os ultplcadores π ( =,...,n) do problea (CC) ao problea Max v(l t P π ), e retornando as respectvas colunas. Se as novas colunas satsfaze a expressão (0), então pode ser adconadas ao conjunto de colunas de (CC). O efeto resultante é ua aceleração da convergênca do processo de geração de colunas, eso no caso e que últplas colunas são adconadas e cada teração do processo. t 0

6 A relaxação Lagrangeana/surrogate é u ltante váldo para o processo de geração de colunas. E partcular é elhor que o ltante Lagrangeano usual (caso e que t = ) e pode ser útl para defnr parâetros de convergênca no problea estre restrto. A Fgura ostra u coportaento típco de ltantes duas ntegrados ao processo de geração de colunas Lagrangeano Lagrangeano/surrogate Fgura. Coportaento típco dos ltantes duas 4. Algortos de geração de colunas Os algortos de geração de colunas pode ser apresentados coo: CG (t) () Defna u conjunto ncal de colunas para (CC); () Resolva (CC) usando o software CPLEX [6] e retorne os ultplcadores duas π j (j = (),...,n) e µ; Resolva aproxadaente (por busca dcotôca) o dual Lagrangeano/surrogate π Max v( L P ), retornando as colunas dentfcadas; t 0 t (v) Adcone e (CC) as colunas que satsfaze a expressão (0); (v) (v) z Se não fore encontradas novas colunas no passo (v) então pare; Faça os testes para reover colunas e volte para o passo (). Os passos () e (v) estão descrtos a segur. O algorto CG() reproduz o processo tradconal de π geração de colunas, ou seja, no passo () calcula o lte Lagrangeano v ( L P ). E qualquer caso tπ os ltes v(cc) e v( L t P ) são calculados a cada teração. O segunte algorto é usado no passo (): Seja nc = 0. Enquanto nc < NCOLS fazer: dtotal = 0;

7 S = {,..., n }; Enquanto Q dtotal fazer: Seja u valor escolhdo aleatoraente de S; C = C { } S = S { } dtotal = dtotal + q F enquanto; Deternar a elhor edana do cluster C; Acrescentar ao problea ua coluna referente ao cluster C; nc = nc + ; F enquanto. Nos testes coputaconas descrtos a segur utlzou-se NCOLS = 000. Para garantr a vabldade do problea ncal consderou-se anda u cluster adconal contendo todos os nós e co custo be alto. Para o processo de reoção de colunas usado no passo (v) do algorto fora consderadas e cada teração soente as 3000 colunas de enor custo reduzdo. 5. Experentos coputaconas Os algortos descrtos neste trabalho fora pleentados na lnguage C e testes coputaconas fora realzados e ua estação de trabalho Sun Ultra30. O conjunto de nstâncas é coposto de dados reas coletados co o auxílo do Sstea de Inforações Geográfcas ArcVew (ESRI [2]), e representa a área central da cdade de São José dos Capos. Ses ntancas (00 0), (200 5), (300 25), (300 30), (402 30) e (402 40) fora cradas. Cada ponto é localzado e u quarterão que apresenta ua deanda e tabé é u local possível de localzação de edanas. A deanda fo estada consderando o núero de casas (apartaentos) e cada quarterão. U quarterão vazo recebeu o valor deanda gual a. As deandas capacdades são então estadas coo C =, onde α é 0.9 ou 0.8. Estas núero de edanas α nstancas estão dsponíves e Nos experentos coputaconas realzados utlzou-se u lte áxo de 300 terações. As tabelas e 2 ostra os resultados coputaconas obtdos pelos algortos CG(t) e CG() consderando estas nstâncas. As tabelas apresenta coo colunas: Instânca a dentfcação da nstânca; n núero de nós da rede; p núero de edanas a sere localzadas; Pral o elhor valor obtdo para (CC); Dual o elhor valor obtdo no dual Lagrangeano/surrogate; Gap = 00 * Pral Dual / Pral; Col.G núero de colunas geradas; Tepo Tepo coputaconal total (e segundos).

8 Tabela Resultados obtdos por CG(t) Instânca n p Pral Dual Gap Col.G Tepo sjc sjc sjc3a sjc3b sjc4a sjc4b Tabela 2 Resultados obtdos por CG() Instânca n p Pral Dual Gap Col.G Tepo sjc sjc sjc3a sjc3b sjc4a sjc4b Para efeto de coparação, a Tabela 3 apresenta os resultados obtdos co a heurístca LSLSH(t), descrta e [23], aplcada sobre as esas nstâncas. A heurístca LSLSH(t) usa a relaxação Lagrangeana/surrogate co otzação do dual externo epregando u étodo de subgradentes, e tabé a vablzação de soluções duas que eprega heurístcas de localzação-alocação (propostas e Cooper [5]). Esta tabela conté coo colunas: P-lte o elhor lte superor (pral) obtdo para (PPMC); D-lte o elhor lte nferor (dual) obtdo para (PPMC); Gap = 00 * P-lte D-lte / P-lte; Instancas, n, p e Tepo co as esas defnções de colunas das Tabelas e 2. Tabela 3 Resultados obtdos pelo algorto LSLSH(t) Instânca n p P-lte D-lte Gap Tepo sjc sjc sjc3a sjc3b sjc4a sjc4b Das tabelas e 2 nota-se que o algorto CG(t) é as rápdo e capaz de obter bons resultados gerando u núero enor de colunas do que a abordage tradconal dada pelo algorto CG(). Abos são anda uto as rápdos que a abordage Lagrangeana/surrogate otzada por u étodo de subgradentes (Tabela 3). A capacdade do algorto CG(t) e obter bons resultados gerando poucas colunas torna-se anda as evdente quando o núero de colunas útes é ltado, confore ostra os resultados da tabela a segur. A Tabela 4 reporta os resultados obtdos pelos algortos CG(t) e CG() (valores entre parênteses) para a nstânca (402 30) e conté:

9 NºCols núero de colunas de enor custo reduzdo antdas a cada teração do algorto; ter núero de terações; Pral o elhor valor obtdo para (CC); Dual o elhor valor obtdo no dual Lagrangeano/surrogate; Gap = 00 * Pral Dual / Pral; Col.G núero de colunas geradas; Tepo Tepo coputaconal total (e segundos). Tabela 4 Coportaentos de CG(t) e CG() co ltação do núero de colunas NºCols ter Pral Dual Gap Col.G Tepo (20) ( ) ( ) ( ) (39334) (672.67) (26) (6844.4) ( ) ( ) (38273) (578.46) (34) (6667.6) (6667.6) ( ) (40982) (638.28) (9) (686.25) (685.36) ( ) (37240) (525.35) (300) ( ) ( ) (.942) (82790) (855.60) (300) ( ) ( ) (28.936) (90360) (832.64) 6. Conclusões Este trabalho apresentou abordagens de geração de colunas para o PPMC. Estas abordagens consdera o processo tradconal de geração de colunas ntegrado ao contexto da relaxação Lagrangeana/surrogate, onde novas colunas e ltes de qualdade são dentfcados, acelerando o processo coputaconal. Os resultados coputaconas ostrara que a aplcação da relaxação Lagrangeana/surrogate gera u núero enor de colunas quando coparado ao processo tradconal de solução e que tabé o problea estre restrto contnua operante eso co u núero pequeno de colunas. Os ltes Lagrangeano/surrogate pode ser útes e árvores de busca branch-and-prce e estão sendo objeto de pesqusa. Agradecentos: Os autores agradece a FAPESP - Fundação de Aparo à Pesqusa do Estado de São Paulo (proc. 99/ ) e CNPq - Conselho Naconal de Desenvolvento Centífco e Tecnológco (processos /88-6 e /89-5) pelo apoo.

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