ESTUDO ANALÍTICO E NUMÉRICO DOS ESPALHAMENTO ACÚSTICO

Transcrição

1 VI COGRSSO ACIOAL D GHARIA MCÂICA VI ATIOAL COGRSS OF MCHAICAL GIRIG 8 a de agosto de Capna Grande Paraíba - Brasl August 8, Capna Grande Paraíba Brazl STUDO AALÍTICO UMÉRICO DOS SPALHAMTO ACÚSTICO Márco ustáquo Mara - professorarcnho@yahoo.co.br ster aves Machado Borges - ester@des.cefetg.br Márco Matas Afonso - arcoatas@des.cefetg.br Centro Federal de ducação Tecnológca de Mnas Geras, Av. Aazonas, 7675, 3.5- Belo Horzonte, MG, Brasl Centro Federal de ducação Tecnológca de Mnas Geras, Av. Aazonas, 7675, 3.5- Belo Horzonte, MG, Brasl Resuo: A preocupação co o ruído nas coundades urbanas cresceu nas últas décadas co o auento do núero de veículos e a atvdade ndustral. Sabe-se que a exposção huana a níves sonoros elevados causa dversos probleas de saúde, tas coo estresse e probleas de audção. Por sso, o estudo de fenôenos coo radação, propagação, transssão e espalhaento sonoro é de grande nteresse socal e econôco. O espalhaento acústco ocorre sepre que os coprentos de onda acústca envolvdos são coparáves co as densões dos objetos presentes ao nosso redor. sse trabalho estuda o espalhaento de ua onda plana por ua superfíce clíndrca bdensonal stuada e u espaço aberto. As soluções analítca e nuérca da equação de Helholtz são obtdas e pleentadas. O étodo nuérco utlzado é o étodo de eleentos de contorno que apresenta alguas vantagens na solução de probleas de doíno exteror quando coparado co outros, coo o étodo de eleentos de fntos, ua vez que, ele exge a dscretzação soente da superfíce do doíno. Os resultados obtdos utlzando a solução analítca e solução nuérca fora coparados e ostra-se be próxos. Palavras-chave: spalhaento, Redução de ruídos, Método de eleentos de contorno.. ITRODUÇÃO A polução sonora é u dos probleas da socedade atual. Devdo ao crescento urbano desordenado, a população vve constanteente exposta a ruídos provocados pelo tráfego ntenso de veículos e de avões, realzação de obras públcas e prvadas, dentre outros. studos realzados ostra que a exposção constante do hoe ao ruído pode ocasonar dversos probleas para o organso huano. O estudo de fenôenos tas coo geração, transssão e espalhaento torna-se necessáro para controlar o ruído de fora preventva. A análse do espalhaento acústco utlzando a forulação analítca é ltada pela geoetra do objeto. Por sso, torna-se necessáro desenvolver técncas nuércas que supere essa dfculdade. este trabalho, a solução analítca do espalhaento de ua onda sonora plana ncdente e u clndro nfnto rígdo é feta e coparada co a solução obtda por ua técnca nuérca, o étodo de eleentos de contorno.. O SPALHAMTO ACÚSTICO Consdere ua regão clíndrca bdensonal atngda por ua onda plana que se propaga no sentdo negatvo do Ω e o contorno, S. O exo exo x, coo ostrado na Fg. A regão nteror do clndro é chaada Ω, a exteror, do clndro rígdo passa pela orge o do sstea de coordenadas polares. A varável r é a dstânca entre o exo do clndro e o ponto de observação p ( r,θ ) e varável θ, denonada ângulo polar, é o ângulo entre o exo horzontal X p r,θ, coo defndo anterorente. Tal ângulo é eddo no sentdo e o segento de reta que une a orge ao ponto ( ) ant-horáro a partr do exo X. As regões do plano entre os ângulos θ e < θ π a serão, denonadas, respectvaente, regão anteror e regão posteror do clndro. π π

2 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a Fgura. Onda ncdente atnge u clndro bdensonal. Consdere tabé que o coprento de onda da onda ncdente é da orde da densão radal do clndro. esse caso, a ncdênca da onda plana na superfíce clíndrca produz ondas que são desvadas e todas as dreções, afastando-se do contorno S e propagando-se para o nfnto pela regão exteror Ω, coo ostra a Fg. Fgura. spalhaento da onda sonora. stas ondas são denonadas ondas espalhadas e obedece o prncípo de Huygens. Ass, cada ponto do clndro rígdo bdensonal, ao ser atngdo pela onda plana ncdente, se torna ua fonte pontual ondas esfércas que se propaga e dferentes dreções. este trabalho, o eo é consderado hoogêneo, não vscoso e se perdas e a velocdade das partículas do fludo pode ser expressa coo o gradente de ua função escalar, denonada I potencal de velocdade. A onda plana ncdente, cujo potencal de velocdade é sofre nterferênca da espalhada, cujo potencal de velocdade p localzados no contorno S e na regão exteror Ω. Dessa fora, produz-se ua onda total dstorcda cujo potencal de velocdade é dado pela soa do potencal de velocdade espalhado co o potencal de velocdade ncdente. sse fenôeno é chaado espalhaento acústco. O potencal de velocdade espalhado ( p) da onda que se afasta do clndro, propagando-se nu eo nfnto, hoogêneo e não vscoso é descrta pela equação lnear que se segue:, nos pontos ( r,θ ) r + r r + r θ + k = f ( p) () a equação (), k, λ são, respectvaente, o núero de onda, o coprento de onda no eo de propagação e ângulo θ é o ângulo polar. O potencal de velocdade espalhado ( p) satsfaz a condção de contorno de euann, (Perce 989), ua vez que a parede do clndro é consderada rígda: I + = ()

3 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a A solução analítca do potencal de velocdade espalhado ( r,θ ), nu ponto de observação p ( r,θ ) localzado no contorno S ou na regão exteror Ω do clndro é dada pela expressão a segur: ( r, θ ) A [ J ( kr) + ( kr) ] + A cos( θ )[ J ( kr) + ( kr) ] = = (3) a equação (3), J ( kr) e ( kr) são, respectvaente, as funções de Bessel e euann de orde e tpo. O tero kr é a freqüênca noralzada, sendo que k o núero de onda no eo de propagação e r é a dstânca radal entre o centro do clndro rígdo e u ponto de observação. Os coefcentes A e A são dados, respectvaente, por: ( ) + γ A = ε e sen γ (4) A ( ) = ε e γ sen γ (5) Os valores dos coefcentes ε e que defne tan tan γ e γ : J ( kr) J + ( kr) ( kr) ( kr) ε são, respectvaente, e. as equações (6) e (7) são ostradas as expressões γ = (6) + J = ( kr) ( kr) γ (7) 3. FORMULAÇÃO ITGRAL DO SPALHAMTO ACÚSTICO Consdere u corpo bdensonal rígdo, co ua fora geoétrca qualquer, erso nu doíno nfnto, atngdo por ua onda plana que se propaga no sentdo negatvo no exo x, coo ostrado na Fg 3. O contorno do obstáculo é chaado S, a regão nteror Ω e a exteror, Ω. O vetor untáro nˆ é drgdo para fora do contorno e a q x, y localzados no contorno S função ( p) f fornece a dstrbução das fontes pontuas para pontos ( ) Fgura 3. Varação Obstáculo rígdo bdensonal. O potencal de velocdade espalhado ( p) nu ponto ( x y) ou na regão exteror Ω satsfaz a equação dferencal de Helholtz, (Zoek 995): p, qualquer localzado no contorno S do obstáculo

4 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a ( p) + k ( p) = f ( p) (8) e a condção de euann, (Perce 989): ( p) = (9) O potencal de velocdade satsfaz, para ondas que se propaga para o nfnto, a condção de Soerfeld dada pela expressão a segur: ( p) l r r k = r ( p) () ssa condção garante a uncdade da solução da q.(8) para pontos no nfnto, (Dettan 969). O potencal de velocdade espalhado ( p) nu ponto p ( x, y) qualquer localzado na regão exteror Ω ou no contorno S do objeto pode ser descrto pela equação ntegral que se segue, (Mara et al ): c ( p) ( p) ( p) ( p, q) G + ds = G, S S ( p q) ( p) ds I + ( p) () a equação (), a função de Green G ( p, q) representa o capo nu ponto de observação ( x y) presença de ua fonte de apltude untára localzada nu ponto ( x y) fundaental da equação de Helholtz. A função c ( p) assue os valores ou p, devdo à q,. Tal função é denonada solução, quando o ponto p se localzar, respectvaente, na regão exteror Ω ou no contorno S do obstáculo. A q () será resolvda nuercaente pelo Método de leentos de Contorno. 4. APLICAÇÃO DO MÉTODO D LMTOS D COTORO AO PROBLMA DO SPALHAMTO ACÚSTICO O Método de eleentos de Contorno dscretza o contorno S do obstáculo bdensonal Ω ostrado na Fg 3 utlzando ua alha contendo segentos de reta S denonados eleentos, que são ostrados na Fg 4. n noral Fgura 4. Dscretzação do contorno do obstáculo. este trabalho, consdera-se que os valores desconhecdos do potencal espalhado j ( q) e de sua dervada j ( q) são constantes ao longo de cada eleento da alha. Dessa fora, o potencal de velocdade ( p) nu ponto de observação p no centro de u dado eleento S é dado pela expressão:

5 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a + j j j + j I ( p) H = G ( p) j= j= () O ponto de observação p é colocado sucessvaente nos eleentos S, S... S n, sendo aplcada e cada u deles a q(). Ass obte-se o sstea de equações: Hu = q (3) a equação (3), H é ua atrz de orde x, não esparsa e não sétrca e u q x. O vetor u conté os valores desconhecdos de ( ) j e q são vetores de orde, o vetor q conté os valores conhecdos dos potencas de velocdade ncdentes nos pontos centras dos eleentos e a atrz H é coposta pelas expressões ntegras das dervadas noras da função de Green no ponto central de cada eleento. Pré-ultplcando a q (3) pela atrz para todos os pontos do contorno do clndro: H, obté-se os valores de ( p) j u = H q (4) Ua vez deternados os eleentos do vetor q que são os potencas, estes são utlzados para se obter o potencal ( p) e qualquer ponto p exteror ao contorno, coo ostrado na Fg 4. Para sso, é utlzada a q (), que pode ser escrta na fora dscretzada dada pela segunte expressão: = j= I ( p) H ( p) + j j (5) 5. RSULTADOS AALÍTICOS UMÉRICOS 5.. Valdação do Método de leentos de Contorno O étodo de eleentos de Contorno fo valdado coo técnca de análse do espalhaento da onda sonora devdo à proxdade dos resultados obtdos na coparação da solução analítca co a solução nuérca. A solução analítca defnda pela q () fo representada por 5 teros para garantr a convergênca da sére e todas as freqüêncas noralzadas. O contorno do clndro fo dscretzado por ua alha contendo 5 eleentos constantes para assegurar u erro satsfatóro. Devdo à setra do clndro, o potencal de velocdade espalhado pode ser expresso e função do ângulo polar θ já defndo. O exo das abcssas e o exo das ordenadas serão respectvaente denonados, X e Y, sendo estes defndos, pelas expressões que se segue: X Y = cos (6) P ( θ ) = sen ( θ ) (7) P as equações (6) e (7), P é a apltude da onda ncdente. O erro relatvo percentual fo calculado para cada ponto de observação no contorno do clndro e utlzando-se esses erros, calculou-se e o erro relatvo percentual édo. Abos os erros são, respectvaente, defndos por: e r A A A = (8)

6 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a e n e rk k= = (9) n Posterorente, o erro relatvo percentual para cada ponto no contorno do clndro fo coparado co erro relatvo percentual édo. Os valores dos erros relatvos fora dados e função dos valores da varável X defnda pela q (7). A fora de varação do erro relatvo percentual e relação ao erro relatvo édo é ostrada na Fg rro nos pontos rro édo rro relatvo (%) X Fgura 5. Varação do erro para a alha co 5 eleentos. A utlzação desta alha assegurou u erro édo nferor a % e u erro áxo nferor a 5%. O erro relatvo percentual cresce à edda e que X se aproxa de zero, pos o potencal de velocdade analítco nessa regão é uto pequeno. O erro relatvo é nferor ao erro relatvo édo para 68% dos pontos que copõe a alha. Ua vez deonstrada a valdade do Método de eleento de Contorno, eprega-se essa técnca nuérca para analsar o espalhaento acústco. A sulação do potencal de velocdade fo realzada para pontos de observação no contorno S do clndro de rao untáro e para pontos de observação fora dele, dspostos nu clndro externo concêntrco ao clndro rígdo, cujo rao é 5 etros. abos os casos, a onda ncdente propaga-se no sentdo negatvo do exo x coo ostrado na fgura. As freqüêncas noralzadas epregadas nas sulações corresponde a coprentos de onda coparáves à densão radal do clndro. Tas freqüêncas noralzadas são ka =, 5,, 5, 5. Os resultados dessas sulações são coparados e apresentados na esa fgura para estabelecer a nfluenca da varação da freqüênca noralzada no potencal de velocdade espalhado. 5.. Influênca da varação da frequênca noralzada no espalhaento acústco para pontos no contorno Os pontos de observação fora colocados ncalente no contorno S do clndro de rao untáro e o potencal de velocdade fo sulado para eles. A fgura 6 ostra a varação do potencal de velocdade espalhado para as freqüêncas noralzadas ka,5,,5, 5 que, respectvaente, estão representados pelas cores preto, azul, verelho, verde e rosa.

7 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a.9 uérco Analítco Y X Fgura 6. Potencal de velocdade para toda a faxa de frequêncas consderada. A análse da fgura 6 ostra que o crescento da freqüênca noralzada ka produz u auento no ódulo potencal de velocdade espalhado, nas regões anteror e posteror do clndro. ota-se que a dferença entre os valores dos potencas nas frequêncas analsadas reduz-se co o auento da freqüênca noralzada ka na regão anteror do clndro as peranece acentuada na regão posteror Influênca da varação da frequênca noralzada no espalhaento acústco para pontos externos ua segunda análse, os pontos de observação do potencal de velocdade fora colocados na regão exteror do clndro. sses pontos fora dspostos e u clndro de rao R = 5 e os potencas de velocdade fora calculados para esses pontos. A fgura 7 ostra os potencas de velocdade espalhado para as frequêncas noralzadas ka =, 5, e 5, que são, respectvaente, representados pelas cores preto, azul, verelho e verde uérco Analítco.5. Y X Fgura 7. Potencal de velocdade para a faxa de frequêncas consderada.

8 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a A análse da fgura 7 ostra que o crescento da frequênca noralzada ka produz u auento na osclação do valor do potencal de velocdade espalhado nas regões anteror e posteror do clndro. O potencal de velocdade sofre atenuação consderável na regão posteror da superfíce clíndrca. a regão anteror do clndro, o potencal de velocdade sofre u auento oderado Influênca da dstânca no espalhaento acústco O étodo de eleentos de contorno fo utlzado para analsar o potencal de velocdade para pontos localzados fora do contorno do clndro. A sulação do potencal de velocdade espalhado fo realzada consderando-se a freqüênca noralzada ka = 5. O valor do potencal de velocdade espalhado áxo fo calculado, e cada teste, para analsar coo a varação da dstânca R entre o ponto de observação p ( r,θ ) e o exo do clndro nfluenca na atenuação do potencal de velocdade da onda espalhada. Tas pontos fora dstrbuídos e círculos concêntrcos ao clndro rígdo cujos raos são 5,, 5,, 5 e 5. As cores dos gráfcos para essas respectvas dstâncas são preto, azul, verelho, rosa, verde e aarelo. sses resultados fora coparados e dspostos na fgura uerco Analtco.5. Y X Fgura 8. Varação do potencal de velocdade e função da dstânca entre o ponto de observação e o exo do clndro. A análse da fgura 8 ostra que a varação da dstânca R entre o ponto de observação e o exo do clndro não nfluenca na fora de espalhaento da onda e torno do clndro, sto é, o gráfco do potencal de velocdade espalhado te a esa fora para todas as dstâncas avaladas. A fgura ostra que o potencal de velocdade sofre atenuação nas regões anteror e posteror do clndro rígdo. O valor áxo do potencal de velocdade fo calculado, nos pontos de observação no contorno do clndro rígdo e na regão exteror, para analsar coo a varação da dstânca nfluenca na atenuação do potencal de velocdade espalhado. Tas resultados estão dspostos na Tab. (). Tabela. Varação do potencal de velocdade espalhado co a dstânca entre o ponto de observação e o exo do clndro rígdo. Dstânca R entre o ponto de observação e o exo do clndro R [ ] Potencal de velocdade espalhado áxo s

9 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a A tendênca da atenuação do potencal de velocdade co o auento da dstânca entre o exo do clndro e o ponto de observação é descrta pelo gráfco ostrado na fgura 8:.7 Potencal de velocdade espalhado áxo(/s) Dstânca entre os pontos de observação e o exo do clndro (etros) Fgura 8. Varação do potencal de velocdade espalhado áxo co a dstânca. Tal fora de atenuação do potencal de velocdade ostrada na fgura decorre da solução fundaental da equação dferencal parcal de Helholtz. este trabalho, escolheu-se o tero wt e equação de onda. Dessa fora, segundo Zoek (995), a função de Hankel coo fator teporal da solução φ para a H n de orde n e tpo, representa ua onda dvergente que se afasta do clndro. Segundo butkov (988), ua onda dvergente que se afasta do clndro deca à razão r. 6. COCLUSÕS As sulações coputaconas ostra que, dependendo da localzação dos pontos de observação, a varação da freqüênca noralzada produz resultados dferentes no valor do potencal de velocdade espalhado. Para pontos que se localza no contorno do clndro, o auento da freqüênca noralzada produz a aplação do potencal de velocdade. A dferença entre os potencas para a faxa de freqüêncas analsadas reduz-se na regão anteror do clndro peranecendo, no entanto, acentuada na regão posteror do clndro. Para pontos que se localza na regão exteror do clndro, o auento da freqüênca noralzada auenta a osclação do potencal de velocdade. ota-se que o potencal de velocdade espalhado é as ntenso na regão anteror da superfíce clíndrca. Após u auento ncal, o potencal de velocdade se anté pratcaente constante nessa regão. Contraraente, o potencal de velocdade sofre atenuação consderável na regão posteror da superfíce clíndrca. As sulações coputaconas tabé ostra que a varação da dstânca R entre o ponto de observação p ( r,θ ) e o exo do clndro não nfluenca na fora do espalhaento da onda e torno do clndro. Pode-se notar, pelos resultados obtdos que a varação da dstânca produz a atenuação do potencal de velocdade espalhado. A precsão dos resultados obtdos e o curto tepo de execução do códgo coputaconal nessas sulações, que fcou e torno de 45 s, ostra que o étodo de eleentos de contorno é ua técnca nuérca efcente para estudar o espalhaento da onda sonora. Ass, tal técnca nuérca pode ser epregada para analsar o espalhaento da onda sonora por objetos co fora geoétrca coplexa e condções de contorno arbtráras. 7. AGRADCIMTOS Os autores agradece ao CFTMG pela oportundade de realzar esse trabalho. 8. RFRÊCIAS

10 V I C o n g r e s s o a c o n a l d e n g e n h a r a M e c â n c a, 8 a d e A g o s t o, C a p n a G r a n d e - P a r a í b a Butkov,., 988, Fsca ateátca. d. LTC, Ro de Janero, Brasl, 75p. Dettan, J.w., Matheatcal ethods n physcs and engneerng. d. McGraw-Hll, ew York, stados Undos da Aérca, 48p. Mara, M..,, studo analítco e nuérco do spalhaento Acústco, Dssertação de estrado, Centro Federal de ducação Tecnológca de Mnas Geras, Brasl. Perce, A.D., 989, Acoustcs, An ntroducton to ts physcal prncples and applcatons. d. Acoustcal Socety of Aerca Lbrary, ew York, stados Undos da Aerca. Zoek, L.J., 995, Fundaentals of acoustc feld theory and space-te sgnal processng, d.boca Raton CRC, 69p. 9. DIRITOS AUTORAIS Márco ustáquo Mara, ster aves Machado Borges orentadora, Márco Matas Afonso Co-orentador Centro Federal de ducação Tecnológca de Mnas Geras, Av. Aazonas, 7675, 3.5- BH, MG, Brasl Analytcal and nuercal study of the acoustcal scatterng Abstract: Concerns about nose n the county grew up n the last decades due to the ncrease of vehcles traffc, ndustral and all other actvtes that generate nose. It s well known that the huan exposton to hgh sound levels can cause several dseases, as audton probles and stress. So the study of sound phenoena lke radaton, propagaton, transsson and scatterng are of great socal and econoc nterest. Ths works studes acoustcal scatterng that s present n our daly lves, snce t occurs when the wavelength of the nvolved acoustc waves have approxately the sae densons of the objects placed near us. Ths work studes the scatterng of a plane wave by a surface of rgd cylndrcal geoetry placed n open space. Both analytcal and nuercal solutons of the Helholtz equaton are obtaned and pleented nuercally. The nuercal ethod used s the boundary eleent ethod, snce t requres the dscretzaton only of the contour of the doan. The results obtaned wth the analytcal ethod are copared to those obtaned usng the BM and they show a good agreeent. key-words: Acoustcal scatterng, ose reducton, Boundary eleent ethod. Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo do ateral presso ncluído nesse trabalho.