INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE REDUÇÃO DE MODELOS ADAPTADOS A SISTEMAS MECÂNICOS COM CARACTERÍSTICAS NÃO LINEARES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS REGIONAL CATALÃO UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO DANIEL FERREIRA GONÇALVES INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE REDUÇÃO DE MODELOS ADAPTADOS A SISTEMAS MECÂNICOS COM CARACTERÍSTICAS NÃO LINEARES DISSERTAÇÃO DE MESTRADO CATALÃO GO, 016

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3 DANIEL FERREIRA GONÇALVES INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE REDUÇÃO DE MODELOS ADAPTADOS A SISTEMAS MECÂNICOS COM CARACTERÍSTICAS NÃO LINEARES Dssertação apresentada coo requsto parcal para a obtenção do título de Mestre e Modelage e Otzação pela Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão. Orentador: Roes Antono Borges Coorentador: Antôno Marcos Gonçalves de La CATALÃO-GO, 016

4 GONÇALVES, Danel Ferrera Introdução aos Métodos de Redução de Modelos Adaptados a Ssteas Mecâncos co Característcas Não Lneares [anuscrto] / Danel Ferrera Gonçalves xl, 8 f. Orentador: Prof. Dr. Roes Antono Borges; co-orentador Dr. Antôno Marcos Gonçalves de La. Dssertação (Mestrado) - Unversdade Federal de Goás, Regonal Catalão, Catalão, Prograa de Pós-Graduação e Modelage e Otzação, Catalão, 016. Bblografa. Inclu gráfcos, tabelas, fguras. 1. Ssteas Mecâncos.. Eleentos Fntos. 3. Não Lneardade 4. Método de Redução de Modelos. I. Borges, Roes Antono, orent. II. De La, Antôno Marcos Gonçalves, coorent. III. Introdução aos Métodos de Redução de Modelos Adaptados a Ssteas Mecâncos co Característcas Não Lneares.

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7 A Deus, por ter e conceddo força e perseverança nesta árdua jornada, Aos eus pas, Delcone e Mara Abada, à nha esposa Isadora e a nha flha Íss Gabrele.

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9 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por estar presente e nha vda, pela força e vontade para superar todos os obstáculos e alcançar eus objetvos. Aos eus pas, Delcone Gonçalves e Mara Abada Ferrera Gond Gonçalves, pelo exeplo de vda e ncondconal apoo e ncentvo. À nha esposa, Isadora, pelo aor, copanherso, copreensão e ncentvo. À nha flha, Íss Gabrele, por oentos úncos de nspração, de aor e paz. Ao eu orentador, Prof. Dr. Roes Antono Borges, que será e nha vda u exeplo a ser segudo tanto pessoal quanto profssonal, pela azade, pelas oportundades, pacênca, confança e conhecento ceddos a. Gostara de agradecê-lo tabé pela dsposção e e ajudar e pelo ncentvo. Ao Prof. Dr. Antôno Marcos Gonçalves de La, pela colaboração na realzação deste trabalho. A todos eus colegas do estrado, Lázaro Antôno, José Salvano, Luz Fernando, Alcone e Tatane pela azade, copanherso, oentos de alegras e aprendzado ípares para o trabalho. Verdaderas azades são para toda a vda. À Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão e ao Prograa de Pós-Graduação e Modelage e Otzação e aos professores pela oportundade e confança para realzação desse trabalho. A CAPES pelo apoo fnancero que possbltou ao autor a realzação desse trabalho.

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11 RESUMO GONÇALVES, D. F. Introdução aos Métodos de Redução de Modelos Adaptados a Ssteas Mecâncos co Característcas Não Lneares f. Dssertação (Mestrado e Modelage e Otzação) Undade Acadêca Especal de Mateátca e Tecnologa, Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão, Catalão GO. Estudos voltados à odelage e prevsão do coportaento de ssteas ecâncos são relevantes na cobção de deflexões excessvas e falhas estruturas. A aora destes ssteas são dscretzados por eleentos fntos cujos odelos são consttuídos por elevado núero de graus de lberdade tornando-se bastante oneroso coputaconalente. Neste contexto, a aplcação de étodos de redução de odelos ganha destaque especal pos proporcona aor econoa de tepo, antendo a qualdade de solução. Este trabalho te por objetvo o estudo de étodos de redução de odelos aplcados a ssteas dnâcos não lneares. Dentre os étodos voltados à redução de odelos, destaca-se o étodo de Guyan, Iproved Reducton Syste (IRS), Iteratve Iproved Reducton Syste (IIRS), Syste Equvalent Reducton Expanson Process (SEREP), Coponent Mode Synthess (CMS) e étodo da Base Modal. Co o objetvo de verfcar a efcênca dos étodos de redução de odelos quando aplcados e ssteas não lneares, é apresentado neste trabalho u estudo onde são analsadas as respostas do sstea, verfcando o custo coputaconal e a qualdade da solução do problea reduzdo para cada u dos étodos ctados. Palavras-chaves: Ssteas Mecâncos, Eleentos Fntos, Não Lneardades, Métodos de Redução de Modelos.

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13 ABSTRACT GONÇALVES, D. F. Introducton to Model Reducton Methods Adapted to Mechancal Systes wth Nonlnear characterstcs f. Master Thess n Modellng and Optzaton Undade Acadêca Especal de Mateátca e Tecnologa, Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão, Catalão GO. Studes focused on odelng and echancal syste behavor predcton are relevant to the avodance of excessve deflectons and structural falures. Most of these systes are dscretzed by fnte eleent odels whch are consttuted by a large nuber of degrees of freedo, akng t qute expensve coputatonally. In ths context, the applcaton of odels reducton ethods becoes partcularly pronent because t provdes a greater savng n te, keepng the soluton qualty. Ths work as to study ethods of reducng odels appled to nonlnear dynacal systes. Aong the ethods aed at reducng odels, there s the Guyan ethod, Iproved Reducton Syste (IRS), Iteratve Iproved Reducton Syste (IIRS) Syste Equvalent Reducton Expanson Process (SEREP), Coponent Mode Synthess (CMS) and ethod of odal projecton. In order to verfy the effcency of the odels reducton ethods when appled to nonlnear systes s presented n ths paper a study where the syste responses are analyzed by checkng the coputatonal cost and qualty of the reduced soluton of the proble for each of the entoned ethods. Keywords: Mechancal systes, Fnte eleents, Nonlneartes, Models reducton ethods.

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15 LISTA DE FIGURAS Fgura. 1. Osclador de Duffng Fgura.. Eleento fnto de vga de Euler - Bernoull Fgura Vga de Euler - Bernoull engastada - lvre Fgura 4.. FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por Guyan e IRS para o caso Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BM para o caso Fgura Respostas no doíno do tepo para o odelo copleto e dos odelos reduzdos para o caso Fgura Tepo coputaconal estado para o caso Fgura Vga b engastada de Euler Bernoull co ola lnear e aortecento vscoso Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BM para o caso Fgura Respostas no dono do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos para o caso Fgura Tepo Coputaconal estado para o caso Fgura Vga de Euler - Bernoull co olas co característcas não lneares Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos reduzdos por CMS e BME para o caso Fgura Tepo coputaconal estado para o caso Fgura Vga de Euler - Bernoull co ola co característca não lnear e aortecento vscoso Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BME para o caso Fgura Tepo coputaconal estado para o caso

16 Fgura Vgas de Euler - Bernoull conectadas por ola co característca não lnear e aortecento vscoso Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso Fgura 4.. Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BME para o caso Fgura Tepo Coputaconal estado para o caso

17 LISTA DE TABELAS Tabela Propredades Físcas e Geoétrcas da vga Tabela 4.. Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de Guyan e IRS. (rad/s) Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de IIRS e SEREP. (rad/s) Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de CMS e BM. (rad/s) Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de IIRS e SEREP. (rad/s) Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de CMS e BM. (rad/s)

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19 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 1 MODELAGEM DE ESTRUTURAS MECÂNICAS LINEARES E NÃO LINEARES INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS NÃO LINEARES Não lneardade geoétrca Não lneardades globas Não lneardades locas Outras não lneardades: de ateral e de contato MODELAGEM VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF aplcado a estruturas do tpo vgas MODELAGEM DE UMA ESTRUTURA COM NÃO LINEARIDADE LOCALIZADA MÉTODOS DE RESOLUÇÃO Método de ntegração nuérca de Newark MÉTODOS DE REDUÇÃO DE MODELOS INTRODUÇÃO À METODOLOGIA DE REDUÇÃO DE ORDEM CRITÉRIOS PARA SELEÇÃO DOS GRAUS DE LIBERDADE MESTRES E ESCRAVOS MÉTODOS DE REDUÇÃO DE MODELOS Método da Condensação Estátca ou Método de Guyan Iproved Reducton Syste IRS Iteratve Iproved Reducton Syste IIRS Syste Equvalent Reducton Expanson Process SEREP Síntese Modal de Coponentes CMS Método da Base Modal e Enrquecento SIMULAÇÕES NUMÉRICAS CASO 1: VIGA DE EULER-BERNOULLI ENGASTADA-LIVRE CASO : VIGA DE EULER-BERNOULLI ENGASTADA COM MOLA LINEAR E AMORTECIMENTO VISCOSO CASO 3: VIGA DE EULER-BERNOULLI ENGASTADA LIVRE COM NÃO LINEARIDADE LOCALIZADA... 65

20 4.4 CASO 4: VIGA DE EULER-BERNOULLI ENGASTADA COM MOLA NÃO LINEAR E AMORTECEDOR VISCOSO CASO 5: VIGAS DE EULER BERNOULLI CONECTADAS POR MOLA NÃO LINEAR E AMORTECEDOR VISCOSO CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS TRABALHOS COMPLEMENTARES Publcações e apresentações e congresso nternaconal e naconas REFERÊNCIAS... 77

21 1 Capítulo 1 INTRODUÇÃO Atualente, projetos odernos de engenhara estão relaconados e são otvados por nvestgações voltadas ao estudo e atenuação de vbrações e ruído e estruturas autooblístcas, aeroespacas, áqunas rotatvas, otores e turbnas, etc. Na cobção de deflexões excessvas e falhas ecâncas catastrófcas na estrutura, a prevsão de seu coportaento é u passo essencal na sua concepção e requer tanto o procedento de odelage, coo o de caracterzação dnâca confáves (LIMA et al., 015; GERGES, 013; GUEDRI, BOUHADDI, MAJED, 006). A utlzação de estruturas altaente flexíves, oderadaente fnas ou uto fnas, leves e capazes de sere operadas a altas velocdades, te nstgado dspendosos estudos voltados às não lneardades geoétrcas, físcas ou de contato. Alé dsso, a natureza forteente prevsível de ssteas co característcas não lneares pode potencalzar falhas, resultando, e casos as extreos, no colapso estrutural (BORGES, 008; GERGES, 013). No contexto de vbrações ecâncas não lneares, o Prncípo da Superposção não é váldo e os ssteas possue as de ua posção de equlíbro. Tas característcas evdenca a coplexdade de se trabalhar co odelos não lneares, sendo que probleas reas exbe coportaento não lnear e, para alguns, aproxações lneares são utlzadas para prevsão e controle de seu coportaento dnâco. Contudo, na grande aora dos casos essa lnearzação não fornece ua boa representação e deve ser utlzada apenas coo ua aproxação ncal (BORGES, 008). Soluções analítcas aproxadas e fora fechada são extreaente raras ou até eso possíves para probleas não lneares. Dessa fora, étodos analítcos aproxados e/ou técncas nuércas são necessáros para a descrção do coportaento dnâco não lnear de tas ssteas (GAVASSONI NETO, 01). Coo a grande aora dos ssteas de

22 engenhara possue eleentos elástcos e são representados por u núero nfnto de graus de lberdade (gdl), a utlzação de étodos nuércos de dscretzação possblta aproxações precsas do coportaento ecânco destas estruturas e, por sso tê se destacado (BORGES, 008; RAO, 008; GUEDRI, 006). Estruturas ecâncas de nteresse ndustral usualente são dscretzadas por eleentos fntos. No entanto, odelos de eleentos fntos são consttuídos por u grande núero de gdl, coo por exeplo, odelos veculares e aeroespacas são representados por odelos co alguas centenas de lhares. Devdo ao alto custo coputaconal e teros de tepo de processaento e espaço de arazenaento, na prátca, o uso de tas odelos torna-se nvável. Ass, ferraentas coputaconas tê sdo constanteente exploradas vsando sanconar este problea, destacando-se aplcação de étodos de redução de odelos (LIMA et al., 015; LIMA et al., 010; GERGES, 013; GUEDRI, 006). O coportaento dnâco de u sstea pode ser estado por ua nora de gdl que consttue u odelo reduzdo. Co o núero de gdl reduzdos, o custo coputaconal pode ser nzado, proporconando consderável econoa de tepo. Na lteratura, recorrese a alguas nvestgações de grande relevânca referentes ao estudo e aplcações de étodos de redução de odelos, tas coo, Moore (1981), Qu (004). O étodo de Condensação Estátca ou étodo de Guyan (GUYAN, 1965; IRONS, 1965) é consderado u dos preros étodos de redução e anda é bastante dfunddo na ecânca estrutural. Esse étodo apresenta boas aproxações e probleas rudentares e de natureza estátca. Poré, e probleas dnâcos, a representatvdade é falha, o que otvou o aproraento e desenvolvento de étodos elhores e as robustos. Dentre os étodos de redução que fora desenvolvdos na tentatva de representar satsfatoraente o coportaento dnâco, destaca-se o étodo de Condensação Dnâca de Leung (1978), o étodo Iproved Reducton Syste (IRS) proposto por O Callahan (1989); o étodo Syste Equvalent reducton Expanson Process (SEREP) desenvolvdo por O Callahan, Avtable e Reer (1989) e por Kaer (1987). Abordagens teratvas para o étodo IRS fora sugerdas, preraente por Frswell (1995,1998) e posterorente elhoras fora propostas nos trabalhos de Xa et al. (004). Atualente, étodos de redução coo o Coponent Mode Synthess (CMS) e varantes, ebasados na subdvsão da estrutura e coponentes representados pelos vetores de Rtz, os odos de vbrações noras, de corpo rígdo, os estátcos, de nterface, etc. te desepenhado papel fundaental. Estes étodos são vantajosos e análses de estruturas coplexas, ua vez

23 3 que os coponentes são analsados e pode ser reduzdos ndependenteente (GUEDRI, 006; MASSON et al., 00; CRAIG JR. et al., 1968). A grande aora dos ssteas não lneares estão restrtos a alguns étodos de redução. Para não lneardades locas, a contrbução do tero não lnear é sgnfcatva para a resposta do sstea que é varável dependendo dos níves de exctação (GERGES, 013), fato que nfluenca a efcênca do odelo reduzdo. Já para não lneardades globas, as atrzes consttutvas do sstea são varáves e u odelo reduzdo edante ua base de redução fxa não é capaz de representar o coportaento dnâco do sstea. Metodologas e adaptações para redução de odelos não lneares tê sdo utlzadas para obter u odelo sufcenteente adequado do problea. Contudo, anda não são sufcentes para que análses paraétrcas e cclos de projeto possa ser obtdos de odo efcente (LÜLF, 013; GAVASSONI NETO, 01; PALACIOS, 011; HAPPAWANA et al., 1995). As abordagens nspradas e étodos de reanálse lnear se ostra efcentes na redução de probleas não lneares. Métodos, tas coo, o étodo das Aproxações Cobnadas (CA), desenvolvdo orgnalente para reanálse lnear, te se ostrado efcente e probleas não lneares (GERGES, 013; GUEDRI et al., 010; KIRSCH, et al., 007; KIRSCH, et al., 006a, 006b). Destaca-se, anda, reduções ebasadas na utlzação de vetores de Rtz e enrquecento e análse robusta de odelos estocástcos e otzação estrutural (LIMA et al., 015; LIMA et al., 010; GUEDRI, 006; GUEDRI et al., 010; MASSON et al., 00). Este trabalho objetva o estudo, a adaptação e aplcação de étodos de redução de odelos e ssteas ecâncos lneares e co não lneardades localzadas. Os étodos de redução de Guyan, IRS, IIRS, SEREP, CMS e Projeção Modal, são estudados e aplcados e alguns odelos de eleentos fntos de vga de Euler-Bernoull. Medante análse odal e obtenção do coportaento dnâco destes, verfca-se a aplcação dos étodos de redução coo ua ferraenta que pode desepenhar papel portante nas análses nuércas. Alé deste capítulo ntrodutóro, este trabalho é dvddo e cnco capítulos, organzados da segunte fora: O capítulo é dedcado ao estudo de odelage de ssteas estruturas por procedentos de eleentos fntos. Destaque se dá às fontes de não lneardades típcas da dnâca estrutural. A forulação de u eleento fnto de vga e concordânca co a Teora de vgas de Euler-Bernoull é desenvolvda e, para resolução das equações, sugere-se o étodo de ntegração nuérca de Newark.

24 4 No capítulo 3 é apresentada ua ntrodução à etodologa de redução de odelos aplcada e ssteas estruturas dscretzados por eleentos fntos. Métodos de redução, dos rudentares aos as robustos, presentes na lteratura be coo o processo de deternação da atrz de transforação de coordenadas, são estudados. O capítulo 4 é dedcado às sulações nuércas, realzadas co o objetvo de verfcar as vantagens e desvantagens da utlzação de étodos de redução de odelos e ssteas estruturas lneares e não lneares co foco na representatvdade e na econoa de tepo de cada étodo de redução de odelos. Por f, no capítulo 5, são apresentadas conclusões do estudo e propostas futuras para a contnudade do trabalho.

25 5 Capítulo MODELAGEM DE ESTRUTURAS MECÂNICAS LINEARES E NÃO LINEARES Neste capítulo são estudados os procedentos de odelage va étodos dos eleentos fntos de ssteas estruturas. São apresentadas generaldades sobre a dnâca de ssteas ecâncos, be coo as fontes de não lneardades típcas da dnâca estrutural. Alé dsso, as forulações para estruturas do tpo vgas, segundo a teora de Euler-Bernoull, e técncas nuércas de resolução são ostradas, onde étodos de resolução teporal são caracterzadas por u esquea de ntegração no tepo..1 Introdução aos Ssteas Não Lneares No âbto da ecânca, os ssteas possue assas e/ou nérca que arazena energa cnétca e potencal gravtaconal e eleentos arazenadores de energa potencal elástca, olas, e dsspadores de energa ecânca, os aortecedores. Medante ua exctação, estes exbe u certo coportaento, chaado de resposta. O estudo da relação causa e efeto entre exctação e resposta de u sstea é defndo coo análse dnâca (RAO, 008; DIMAROGONAS, 1996; HARTOG, 1985). De acordo co Rao (008), ua gaa de ssteas prátcos e sples pode ser descrtos utlzando u núero fnto de gdl, denonados ssteas dscretos. No entanto, grande aora dos probleas estruturas de engenhara oderna são ssteas contínuos, envolvendo u núero nfnto de gdl.

26 6 Para u sstea lnear, pode-se obter sua resposta edante algua exctação, segundo o Prncípo da Superposção. As respostas a dferentes exctações pode ser obtdas separadaente e depos cobnadas lnearente, sendo que este é o prncípo fundaental da Teora dos Ssteas Lneares. No entanto, para odelos de ssteas não lneares este prncípo não é váldo e estes odelos são de aor coplexdade e de dfícl trataento (RAO, 008; THOMSON, 1996). A lnearzação de ssteas fo, ao longo dos anos, consderada sufcente para estudos voltados à vbração ecânca de núeras estruturas e projetos de engenhara. No entanto, co a forte tendênca à utlzação de estruturas esbeltas e de geoetras coplexas, o estudo das não lneardades, até então neglgencadas, vera a se tornar sgnfcatvas e probleas prátcos de engenhara (KERSCHEN et al., 008; BORGES, 008; YU; ZHU, 005; THOMSEN, 003). Medante coplexdade de ssteas não lneares, soluções analítcas aproxadas são extreaente raras ou até eso possíves. Métodos analítcos aproxados ou técncas nuércas são utlzados para a descrção do coportaento dnâco não lnear de ssteas estruturas (GAVASSONI, 01), co destaque para o étodo do balanço harônco, os étodos de perturbação e étodos de dscretzação (NAYFEH, 011; NAYFEH, 1977; MEI, 1973). De acordo co Nayfeh (1977) e Langley (1988), o étodo do balanço harônco e os étodos de perturbação pode levar a resultados errôneos e são restrtos a ssteas co poucos gdl. Neste contexto, para o presente trabalho, técncas de dscretzação, tas coo, os étodos de Raylegh-Rtz, o étodo de Galerkn e o étodo dos eleentos fntos são requerdos. As não lneardades presentes e ssteas dnâcos pode ser consderadas de dversas aneras. Os teros não lneares são reconhecdos por funções não lneares das varáves dependentes da equação do ovento (BORGES, 008). As não lneardades são caracterzadas coo locas ou globas, edante coportaento do ateral, da natureza da deforação e das condções de contorno (GERGES, 013; BORGES, 008; WORDEN; TOMLINSON, 001; ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 000).

27 7.1.1 Não lneardade geoétrca Esta fonte de não lneardade relaconada à geoetra do sstea, de fora global ou local, é portante nos casos de grandes deflexões ou rotações (GERGES, 013; BORGES, 008) Não lneardades globas Não lneardades globas são predonantes e estruturas uto fnas, e que, quanto aor o ovento da estrutura, aor o fenôeno não lnear. Para grandes deslocaentos, a deflexão lateral gera oentos fletores adconas, e vrtude da presença de u esforço noral. Os efetos não lneares estão assocados às equações de equlíbro, que consdera a confguração deforada, e as relações deforaçãodeslocaento (BORGES, 008) Não lneardades locas Alguas estruturas são provdas de não lneardades locas. Materas reas obedece a ua relação não lnear entre tensão e deforação que deve ser consderada quando as varações de ntensdade das forças são uto grandes (BORGES, 008). Os fenôenos não lneares são presentes e alguns pontos específcos da estrutura que é o caso do osclador de Duffng apresentado na Fg..1. Nesse sstea, a ola é utlzada para representar a rgdez do ateral não lnear. A equação do ovento pode ser expressa por: 3 t bx t kxt k x t f t x nl (.1)

28 8 onde, b, k e lnear; x t e f k nl t representa os parâetros de assa, aortecento, rgdez e rgdez não são respectvos vetores dos deslocaentos e de força. Fgura. 1. Osclador de Duffng. Fonte: (GERGES, 013). Se k nl 0, a rgdez auenta co o auento da deforação proporconando ua não lneardade de enrjecento (hardenng sprng). Caso contráro, k 0, a rgdez decresce co o auento da deforação e a não lneardade passa a ser de aolecento (softenng sprng). Percebe-se que a resposta do sstea é nerenteente dependente da rgdez não lnear nl k nl que é varável edante os níves de exctação..1. Outras não lneardades: de ateral e de contato Fenôenos não lneares pode ser evdencados quando a le de coportaento do ateral não é lnear, coo o coportaento elástco-plástco, ateras vsco-plástcos, etc. (TRUESDELL et al., 004) e anda e ocorrênca de frenagens, co atrto ou frcção entre duas superfíces (PERRET-LIAUDET et al., 003; RIGAUD et al., 003).

29 9. Modelage va étodo dos eleentos fntos O étodo dos eleentos fntos é ua técnca baseada no processo de dscretzação que vsa e sua essênca transforar u problea nfnto-densonal e u problea fntodensonal. O doíno é subdvddo e váras regões nterconectadas, os chaados eleentos fntos, que possue u certo núero de pontos, denonados de nós. Devdo à pratcdade e a possbldade de ser aplcada e ua gaa de probleas, esta técnca é couente utlzada e ssteas estruturas co geoetra coplexa e regdos por algu tpo de não lneardade (LIMA et al., 015; GERGES, 013; GAVASSONI NETO, 01; GUEDRI et al., 006; QU, 004)...1 MEF aplcado a estruturas do tpo vgas Na lteratura, dferentes teoras de vgas são estudadas. As teoras de vga de Euler Bernoull e de Toshenko são prorzadas. Para a prera, consdera-se que as seções transversas peraneça planas e noras ao exo da barra após a deforação, as deforações provenentes do csalhaento não são consderadas. Para a segunda, as seções transversas se antê planas, no entanto, supõe-se que ua seção noral ao exo da vga não peraneça perpendcular ao exo após a deforação, sendo consderada a deforação csalhante. A odelage de estruturas va o étodo dos eleentos fntos não é objetvo prncpal deste trabalho. Logo, consdera-se a odelage e nível eleentar de u eleento de vga solado. No entanto, deve ser consderado que a vga é dscretzada e város eleentos e as equações do ovento desses eleentos deve ser cobnadas assegurando o equlíbro dnâco e a contnudade dos deslcaentos e rotações nos nós (RADE, 011). Na Fgura. é ostrado u eleento de vga de Euler-Bernoull. Para forulação de u eleento fnto, os parâetros E, I, A e l ndca, respectvaente, o ódulo de elastcdade longtudnal, o oento de nérca, a área da seção transversal e o coprento do eleento de vga. As forças transversas V 1, V, M 1 e M representa as ações ecâncas exercdas entre eleentos.

30 30 Fgura.. Eleento fnto de vga de Euler - Bernoull. Fonte: o autor. O vetor dos gdl e nível eleentar é obtdo co os valores dos deslocaentos transversas e pelas rotações das seções transversas nos nós, e T u t v t t v t t, (.) 1 1 onde os deslocaentos transversas são representados por v 1 e v ; as rotações das seções transversas são representadas por. 1 e Na teora de Euler-Bernoull os efetos de tensões de csalhantes na seção da vga são desprezados, pertndo relaconar as rotações ao capo de deslocaentos transversas da segunte fora: x, t. v x, t (.3) x Coo função nterpoladora para o capo de deslocaentos transversas x t v, adotase u polnôo de tercera orde e, consequenteente, pela eq. (.3), u polnoo quadrátco para as rotações é obtdo: v 3 x, t c t c t x c t x c t x x, t c t c t x 3c t. (.4) x Os coefcentes c 1, c, c 3 e c 4 são descrtos coo funções dos deslocaentos e rotações nodas consderando que as seguntes condções deve ser satsfetas:

31 31. 3, 0,,, 0, l c l c c t l c t v l c l c l c c t l v v c t v (.5) A resolução das equações algébrcas lneares (.5), conduz ao capo de deslocaentos transversas expresso da segunte fora:,, t x H t v x H t x H t v x H t x v (.6) ou anda,,, t u x H t x v e (.7) co:., 3,, l x l l x l x H l x l x x H l x l l x l x x H l x l x x H (.8) As funções H, co 4 1,...,, são as chaadas funções de fora ou de nterpolação (ZIENKIEWICZ, 1989), que perte que tanto o deslocaento quanto a rotação seja contínuos entre os eleentos das extredades. A energa cnétca do eleento pode ser expressa por:., 1 0 dx t t x v x T l (.9) e que x é a densdade lnear do ateral que consttu a vga. Introduzndo a eq. (.8) na eq. (.9) e dferencando t v e relação ao tepo, tê-se:

32 3 T e T e e u t M u t 1, (.10) onde: l e x H x 44 0 T H x dx, M (.11) e que e M 44 segunte fora: é a atrz de nérca do eleento de vga de Euler-Bernoull cujo cálculo é da Para o caso e que x é constante, a eq. (.11) conduz à atrz: 156 l 54 13l M (.1) l s. 4l e l l l l. Para a vga de Euler-Bernoull a energa potencal é expressa coo: l 1 v, x t V. E x I x dx (.13) 0 x x, Introduzndo a eq. (.7) na eq. (.13) e dferencando duas vezes x t conduz à atrz: v, e relação a l e '' T '' K E xi xh x H x dx, 4 4 (.14) 0 e onde 44 K é denonada atrz de rgdez do eleento de vga de Euler-Bernoull. De acordo co Rade (011), dado o carregaento externo x t q,, consderando os trabalhos das forças e oentos externos aplcados, o vetor de esforços generalzados e nível eleentar é dado por:

33 33,, 0 l T e dx t x q x H t Q (.15a) e, ~ 1 1 T e M V M V t Q (.15b) Dado que o ódulo de rgdez à flexão e o carregaento dstrbuído são ndependentes de x no nteror do eleento, t q t x q E I x I x E, ;, as eq. (.14) e eq. (.15) leva à atrz:, e l s l l l l l l l E I K (.16) M V M V l t q l t q l t q l t q t Q e (.17) Pelo Prncípo Varaconal de Halton sabe-se que:, 0 1 t t dt V T (.18) Cobnando as eq. (.10) e eq. (.18), u funconal pode ser dentfcado e as equações de Euler-Lagrange assocadas ao funconal pode ser expressas coo:, 0 e e u L dt d u L (.19)

34 34 sendo L T V o Lagrangeano. A partr da eq. (.19), as equações do ovento e nível eleentar são obtdas: e e e u t [ K ] u t e Q e [ M ] t. (.0).3 Modelage de ua Estrutura co Não Lneardade Localzada Pelo processo de dscretzação da estrutura, a equação de equlíbro da estrutura dnâca e nível global pode ser expressa coo, u t [ C] u t [ K] u t F ( ), [ M] t (.1) e que [M ], [C], [K ], de orde n n proporconal ou anda vscoso, e rgdez; deslocaentos e de força, respectvaente., são as respectvas atrzes de assa, aortecento u t e F, de orde n1, são os vetores de No âbto da ecânca, probleas reas e prátcos são aproxados por estruturas de vgas, placas, etc. edante acoplaento de eleentos de olas. No acoplaento de olas co caracterstcas lneares, reescreve-se a eq. (.1) coo sendo: u t [ C] u t [ K ] u t F ( ), [ M ] 0 t (.) onde [ K 0] [ K] [ K] lnear e [ K] lnear é a atrz de rgdez das olas lneares. Para grande aora dos casos, as varações de ntensdade das forças exercdas são uto grandes, o que evdenca ua relação não lnear entre tensão e deforação ou entre força e deforação. Esse fato nstga a utlzação de olas co característcas não lneares. De acordo co De La et al.(015), edante o acoplaento de olas co característcas lneares e não lneares, a eq. (.) deve ser reescrta da segunte fora:

35 35 onde o tero 3 u t [ C] u t [ K ] u t [ K ] u t F ( ), [ M] naolnear (.3) t 0 t 3 [ K naolnear ] u representa, respectvaente a atrz de rgdez da ola co característcas não lneares e o tpo de não lneardade epregada, nesse caso, não lneardade cúbca..4 Métodos de Resolução E procedentos de eleentos fntos, as equações de ovento acopladas são transforadas e u conjunto de equações desacopladas ndependentes por eo de ua atrz odal e os parâetros odas do sstea pode ser deternados. E consonânca, as respostas dnâcas de estruturas ou ssteas ecâncos são obtdas por étodos de ntegração dreta no doíno do tepo..3.1 Método de ntegração nuérca de Newark Probleas regdos por eq. (.1), (.) e (.3) pode ser resolvdos nuercaente por eo da dscretzação teporal. U dos étodos as utlzados entre os étodos de ntegração dreta no tepo para resolver a eq. (.3) é o étodo de ntegração no tepo de Newark (GERGES, 013; RAO, 008; QU, 004; ZIENKIEWICZ, 1989; HUGHES, 1987; BATHE, 198). De acordo co Zenkewcz (1989) e Bathe (198), o étodo de Newark, e deternado ntervalo de tepo t t n 1 t, utlza os seguntes pressupostos: n u u u u, n1 n 1 n n1 t (.4) 1 n n1, u u u t u u n1 n n t (.5)

36 36 onde e são os parâetros de ntegração nuérca;,,,,, u n u n u n u n1 u n1 u n1 são os respectvos vetores de deslocaento, velocdade e aceleração para t n e t n t. A equação de equlíbro, eq. (.1), juntaente co a eq. (.4) e eq.(.5) é reescrta abaxo, e teros de t n t : M u C u K u F (.6) n1 n1 n1 A solução para o deslocaento no tepo (.7) e (.8) a partr das eq. (.4) e (.5): t n t pode ser obtdo deduzndo as eq. u a u u a u a u, n 1 0 n1 n n 3 n (.7) u u a u a u, (.8) n1 n 6 n 7 n1 onde a a t -1,, a a 5 1, t a t -1), 1, t a 6 a 3 t 1-1, 1-, a t. 7 (.9) Substtundo as eq. (.7) e (.8) na eq. (.6), resulta na segunte equação: a0 M a1c K un 1 F M a 0u n au n a3u n C a u a u a u. 1 n 4 n 5 n... (.30) Posterorente, as velocdades e acelerações são atualzadas usando as eq. (.7) e (.8). O tero a M a C K 1 0 é referencado coo a atrz de rgdez efetva K efetva. Para o caso lnear, a atrz de rgdez efetva é constante. Na dnâca não lnear, a atrz de rgdez efetva é alterada a cada passo de tepo e pode ser obtda coo:

37 37 K T onde efetva K a M a C K. (.31) 0 1 T é denonada de atrz de rgdez tangente. O étodo de aproxação nuérca de Newton Raphson tabé é aplaente utlzado na resolução de probleas não lneares. Para alguns casos, a atrz de rgdez efetva é função da deflexão, o que nduz ao uso do étodo de Newton Raphson juntaente co étodos de ntegração nuérca (GERGES, 013; ZIENKIEWICZ, 1989; BATHE, 198).

38 38

39 39 Capítulo 3 MÉTODOS DE REDUÇÃO DE MODELOS Coo enconado anterorente na Introdução deste trabalho, quanto aor a coplexdade de u sstea dnâco, aor a densão deste e e u problea estrutural prátco, consderando os processos teratvos necessáros, város procedentos coo análses dnâcas, otzação dnâca estrutural, análse de ncertezas, detecção de danos, dentre outros, são pratcáves pos exge grandes esforços coputaconas. A utlzação de técncas de redução de odelos torna-se prescndível. Neste capítulo serão abordados aspectos relevantes sobre étodos de redução de odelos, be coo, a forulação de alguas técncas presentes na lteratura, de grande utldade na análse de estruturas dnâcas. 3.1 Introdução à Metodologa de Redução de Orde E análses estruturas dnâcas, as equações do ovento são descrtas coo u conjunto de equações dferencas lneares de segunda orde: u ( t) [ C] u ( t) [ K] u ( t) F ( ). [ M] t (3.1) e que [M ], [C], [K ], de orde n n rgdez de orde copleta; u t, t, são as respectvas atrzes assa, aortecento e F, de orde n 1 são os respectvos vetores de deslocaentos e de força do sstea; n ndca o núero de gdl do odelo copleto. De acordo co Koutsovasls e Betelschdt (008) e Qu (004), utos procedentos de redução de odelos envolve a obtenção de ua atrz de transforação

40 40 de coordenadas. De odo geral, deterna-se u subespaço, denonado atrz de transforação de coordenadas [T ], de orde n, co n, tal que: onde u R t u ( t) [ T] u ( t), é o vetor dos deslocaentos reduzdos. (3.) R Introduzndo a eq. (3.) na eq. (3.1) e, e seguda, ultplcando as parcelas pela transposta da atrz de transforação, u novo sstea reduzdo, é obtdo: u ( t) [ C ] u ( t) [ K ] u ( t) F ( ), [ M ] t (3.3) R R R e que [M ], [C ], [K ], de orde rgdez de orde reduzda; F (t), de orde, são as respectvas atrzes assa, aortecento e 1 é o vetor de força reduzdo; núero de gdl retdos no odelo reduzdo. Estas atrzes são defndas coo: ndca o T F [ T]. T T T [ M ] [ T] [ M ][ T], [ C ] [ T] [ C][ T], [ K ] [ T] [ K][ T], F (3.4) Ebora a densão do odelo reduzdo seja be enor do que o odelo copleto, dada a atrz de transforação de coordenadas que é partcular e cada étodo de redução, as característcas dnâcas do odelo copleto pode ser preservadas. 3. Crtéros para Seleção dos Graus de Lberdade Mestres e Escravos Grande aora das atrzes de redução de base dos étodos de redução de odelos são obtdas edante a subdvsão das atrzes consttutvas do sstea e gdl estres e escravos. Os gdl estres noralente são relevantes no sstea e por sso são retdos. Já os gdl escravos são de pouca nfluênca na dnâca do sstea, otvo pelo qual pode ser otdos. De acordo co essa teora, as atrzes e os vetores da eq. (3.1) são dvddos e subblocos (KOUTSOVASILIS; BEITELSCHMIDT, 008), sto é,

41 41 [ [ ] T s ] [ [ s ss ] u ] u s [ k [ k ] T s ] [ k [ k s ss ] u ] u s F F s (3.5) onde os subescrtos e s representa os graus de lberdade estres e escravos do sstea e o sobrescrto T representa a atrz transposta. Consderando o sstea atrcal aca, deve-se consderar duas hpóteses. A prera de que a soa dos gdl estres e escravos deve ser gual ao núero total de gdl da estrutura. E segundo lugar, que u gdl não pode coexstr no conjunto de coordenadas estres e escravas. Na lteratura pode-se recorrer a núeros crtéros qualtatvos e quanttatvos específcos para a escolha dos gdl estres e escravos, dentre eles, destaca-se àqueles ctados por Qu (004). No tocante aos crtéros qualtatvos, de acordo co Rasden e Stoker (1969), Qu (004), e Downs (1980) na seleção dos gdl estres deve-se consderar as áreas da estrutura que estão assocados co as aores concentrações de assa e posterorente selecona-se os que tê os aores oventos nos odos de nteresse, ou anda, deve-se consderar apenas os gdl relaconados co os deslocaentos e vez das rotações. E casos de aor coplexdade, os gdl estres seleconados pode ser relaconados segundo o ponto de vsta energétco, ass, os gdl estres deve conservar aores nforações referentes à energa de deforação (POPPLEWELL; BERTELS; ARYA, 1973). A grande aora das abordagens quanttatvas para a seleção dos gdl estres são baseados na relação dos eleentos da dagonal das atrzes de rgdez e de assa (HENSHELL; ONG, 1975; SHAH; RAYMUND, 198; MATTA, 1987; KOUTSOVASILIS; BEITELSCHMIDT, 008), ou seja, faz-se n( b. j ) 1 j b k e posterorente selecona-se Segundo Sngh e Suarez (199), este crtéro é be defndo apenas e estruturas co geoetra e característcas ecâncas relatvaente unfores. Se a dstrbução é rregular, aconselha-se concentrar este crtéro apenas nas regões co assas sgnfcatvas (BOUHADDI; FILLOD, 199). Co base nas energas odas assocadas aos gdl nos odos de vbração de u sstea estrutural, esqueas de seleção autoátca são propostos, denonados Métodos da Energa Modal (KIM; BURTON, 00). Após ua seleção ncal dos gdl, é necessáro avalar a qualdade do conjunto escolhdo, destacando as contrbuções de Alleang e Brown (198), Penny, Frswell e Garvey (199) e Penny, Frswell e Garvey (1994).

42 4 3.3 Métodos de Redução de Modelos A redução de odelos de estruturas ecâncas dscretzadas por procedentos de eleentos fntos é ua tarefa dspendosa. A efcênca de u esquea de étodo de redução de odelos consste na qualdade de representação da dnâca do odelo e o tepo de cálculo envolvdo no processo de obtenção da atrz de transforação de coordenadas e redução das atrzes consttutvas do sstea (KOUTSOVASILIS; BEITELSCHMIDT, 008; QU, 004). Co base no conjunto de coordenadas retdas coo gdl estres, os étodos de redução de orde exstentes se enquadra e três categoras báscas (QU, 004): redução por coordenadas físcas; redução por coordenadas generalzadas e reduções hbrdas. Na redução por coordenadas físcas, os gdl escravos, reovdos do sstea, são ua parte das coordenadas físcas do odelo copleto. A prncpal vantage deste tpo de redução é que, dessa fora, o odelo reduzdo será u subconjunto do odelo copleto. Todas coordenadas que não são físcas são referdas coo coordenadas generalzadas. Para este tpo de redução, utlza-se coordenadas globas, coordenadas de Rtz e coordenadas odas. Exste alguas técncas que são híbrdas, cujas as coordenadas do odelo reduzdo são copostas por ua parte sendo coordenadas físcas e a outra, por coordenadas generalzadas. Na lteratura, revsões sobre técncas de redução de odelos pode ser encontradas nos trabalhos de Qu (004), Koutsovasls e Betelschdt (008), dentre outros. Neste trabalho serão abordados esqueas de redução couente utlzados e ssteas dnâcos, destacando os seguntes étodos e varantes: Condensação Estátca ou Método de Guyan, Iproved Reducton Syste (IRS), Iteratve Iproved Reducton Syste (IIRS), Syste Equvalent Reducton Expanson Process (SEREP), Coponent Mode Synthess (CMS) ou Síntese Modal de Coponentes, Redução por Projeção Modal Base Modal.

43 Método da Condensação Estátca ou Método de Guyan Proposto por Guyan (1965) e Irons (1965), o étodo da condensação estátca é u dos preros étodos de redução de odelos e desde seu desenvolvento é aplaente utlzado e ua varedade de probleas estátcos e dnâcos e dnâca estrutural e vbrações ecâncas. Consderando u sstea se aortecento, eq. (3.5), a abordage algorítca para este étodo é ebasada e duas aproxações. E u prero nstante, consdera-se a não exstênca de forças aplcadas nos graus de lberdade escravos, ou seja, faz-se A segunda aproxação pode ser expressa coo: F s 0. u [ ] u [ ] u [ ] u 0 [ ] (3.6) s s s ss s Nota-se na eq. (3.6) que os teros de nérca [ ], [ s ], [ ] s e [ ] s nerentes do sstea são otdos, o que contrbu à natureza estátca do étodo. Consderando a expansão da segunda parte da eq. (3.5) não aortecda e ntroduzndo a eq. (3.6), conduz a expressão que relacona os vetores de estado escravos e os estres: 1 u [ k ] [ ] u [ ] u [ k ] u s ss, (3.7) s ss s s 1 u [ k ] [ k ] u. s (3.8) ss s Co base na eq. (3.8), o vetor de estado do odelo copleto é expresso e teros do vetor de estado do étodo de redução, [, u [ I ] 1 Guyan u s [ kss ] [ ks] (3.9), u u [ T ] u, e que I ] é a atrz undade e T ] é a atrz transforação de coordenadas para este [ Guyan étodo. O étodo da condensação Estátca é exata e análses estátcas co boa aproxação e ua gaa de frequêncas as baxas do odelo copleto (QU, 004). No entanto, quando altas frequêncas são consderadas, a nfluênca dos teros de nérca é relevante e o étodo te baxa precsão.

44 44 Devdo à coplexdade das estruturas, a necessdade de elhoras na dnâca do étodo de Guyan levou a váras varações desta técnca, coo a Condensação Estátca Generalzada ou apenas Guyan-g (QU, 004). Para esta técnca, recorre-se ao eso procedento para obtenção da atrz de transforação para o étodo de Guyan, dferencando apenas na defnção da atrz de transforação de coordenadas, dada por: u [ I, ] Guyan g u s [ ks ] [ k ] (3.10) u u [ T ] u, onde [ TGuyan g ] é a atrz de transforação de coordenadas [ I, ] é a atrz dentdade. Adota-se [ ks ] [ k ] [ k s ] [ k ] ; [ k ] e o tero [ k ] ss s [ k s ] representa a pseudo-nversa da atrz de rgdez [ k s ], sto é, [ k s T 1 T [ k ] [ k ] [ k ]. ] (3.11) s s A abordage do étodo Guyan-g é consderada, na aora das vezes, as precsa do que o clássco étodo de Guyan e ua faxa de baxas frequêncas. No entanto, a neglgênca dos teros de nérca acarreta e precsões e o cálculo da pseudo-nversa para odelos de alta orde pode ocasonar erros. s 3.3. Iproved Reducton Syste IRS Inúeras abordagens de redução de odelos fora desenvolvdas a f de nclur os efetos dnâcos do odelo na atrz de transforação de coordenadas, tas coo o étodo IRS. O prncípo básco da abordage IRS é o étodo de Guyan, poré nesta abordage a base estátca é perturbada de tal fora a consderar os teros de nérca coo forças pseudoestátcas (O CALLAHAN, 1989). Ass, as equações dnâcas do étodo de redução de Guyan são descrtas da segunte anera: 1 u [ K] u 0 u [ M ] [ K] u, [ M] (3.1)

45 45 Da segunda dferencação da eq. (3.8) obté-se: 1 u [ k ] [ k ] u, s (3.13) ss s Substtundo a eq. (3.1) na (3.13) chega-se e: 1 1 u [ k ] [ k ][ M] [ K] u. (3.14) s ss s A eq. (3.1) e (3.14) é substtuída na eq. (3.7) e ua nova relação entre os gdl escravos e os estres é obtda nclundo os teros de nérca do odelo da segunte fora: u [ k ] [ k ] [ k ] [ S ][ M ] [ K] u, s (3.15) ss s ss 0 onde, [ S 1 ] [ ] [ ][ k ] [ k ]. (3.16) 0 s ss ss s Agora o vetor de estados do odelo copleto é expresso e teros do vetor de estado do odelo reduzdo: u us [ I ] IRS ] [ k ] [ k ] [ S ][ M ] [ K ] (3.17), u u [ T ] u, [ k ss e que [ T IRS ] é a atrz transforação de coordenadas. s ss 0 Reescrevendo a atrz de transforação de coordenadas obtda na eq. (3.17) tê-se: [ T IRS [ I, ] 0 0 [ ] [ s ] [ I, ] 1 ] [ M ] [ K ], [ k ] [ k ] ss s 0 [ kss ] [ s] [ ss ] [ kss ] [ ks] (3.18) ou na fora copactada: [ T IRS ] [ T ] [ S][ M ][ T ][ M ] 1 [ K ]. (3.19) Guyan Guyan E coparação ao étodo de Guyan, o étodo IRS fornece aor precsão devdo à nforação adconal dos teros de nérca. Poré, à edda e que os fatores de nérca se torna sgnfcatvos, abos os étodos não proporcona boa aproxação (KOUTSOVASILIS; BEITELSCHMIDT, 008).

46 Iteratve Iproved Reducton Syste IIRS Varantes do étodo de redução IRS fora desenvolvdas na tentatva de nzação dos erros de aproxação. A abordage teratva IIRS (FRISWELL; GARVEY; PENNY, 1995) proporcona boa representatvdade e ua gaa de probleas de dnâca estrutural. Na lteratura, váras forulações para o esquea teratvo IIRS são sugerdas. Neste trabalho, parte-se do problea de autovalor generalzado de u sstea não aortecdo, na fora subestruturada e teros de gdl estres e escravos, [ k [ k s ] ] [ k [ k s ss ] ] s [ [ s ] ] [ [ s ss ] ] s [ ], (3.0) onde são os autovetores noralzados; é a atrz dagonal contendo os autovalores correspondentes dspostos e orde crescente. A partr do segundo conjunto de equações da eq. (3.0), te-se: [ ks ss s s ss s ][ ] [ k ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ], (3.1) aonde [ s] pode ser expresso coo, [ s ] [ k ] 1 ss [ k s ][ ] [ k ] 1 ss [ ][ ][ ] [ ][ ][ ]. s ss s (3.) Faz-se, [ 0 s] [ T ][ ], (3.3) onde [ T 0 ] é a atrz de transforação entre os autovetores consderados, escrta na fora 1 [ ] [ ][ T ] [ ][ ][ ]. 1 [ T ] [ T ] [ k ] (3.4) 0 Guyan ss s ss 0 coo, E seguda, a transforação entre os gdl estres e os gdl do odelo copleto é escrta [ I, ] [ ] [ ] [ T ] [ ], [ T ] (3.5) s 0

47 47 Substtundo a eq. (3.5) na (3.0) e ultplcando pela transposta da atrz de transforação obtda aca, obté-se u problea de autovalor reduzdo [ K][ ] [ M][ ][ ]. (3.6) A partr da eq. (3.6) te-se, 1 1 [ ][ ][ ] [ M ] [ K]. (3.7) Substtundo a eq. (3.7) na (3.4), obté-se: 1 [ ] [ ][ T ] [ M ] [ ]. 1 [ T ] [ T ] [ k ] (3.8) 0 Guyan ss s ss 0 K Nota-se que [ T 0 ] está plícto na eq. (3.8) e não pode ser defndo dretaente, então propõe-se u esquea teratvo (FRISWELL; GARVEY; PENNY, 1995) dado por: ( k1) ( k1) 1 ( k 1) [ ] [ ][ T] [ M ] [ K ], ( k ) 1 [ T ] [ T ] [ k ] (3.9) Guyan ss s ss ( k ) [ I, ] T ], ( k [ ] (3.30) T [ ) ( k ) ( k ) T ( k ) [ K ] [ T ] [ K][ T], (3.31) onde o índce k denota a k ( k ) ( k ) T ( k ) [ M ] [ T ] [ M ][ T], (3.3) -ésa teração ( k ). (1) Para o esquea teratvo aca, se k 1, [ T] [ ], é a técnca de Guyan; quando T Guyan k, é equvalente a técnca IRS. Autovetores e autovalores são estados resolvendo o problea de autovalor generalzado do sstea reduzdo: [ K] ( k) ( k) ( k) ( ) [ ] [ M] [ ] [ ]. (3.33) ( k) k Na abordage teratva, a atrz de transforação de coordenadas é atualzada repetdas vezes até atngr a precsão requerda. No entanto o processo de convergênca deste étodo pode requerer elevado tepo coputaconal. Alguas elhoras fora apresentadas

48 48 por Xa et al., (004). Nessa abordage, a fórula teratva da atrz de transforação é odfcada de tal fora a elhorar a velocdade de convergênca. As fórulas para o novo esquea teratvo são: [ T] ( k) ( k1) ( k1) 1 [ ] [ ][ T] [ M ] [ K ], 1 [ T ] [ k ] (3.34) Guyan ss s ss d Guyan ( k ) [ I, ] T ], ( k [ ] (3.35) T [ ) ( k1) T ( k 1) [ ] [ ][ T] [ T ] [ ] [ ][ T]. ( k1) [ M ] (3.36) d s Guyan s ss Utlzando a atrz de transforação obtda na eq. (3.35), as eqs.(3.31) e (3.3) são requerdas para estar os autovetores e autovalores assocados. As versões algorítcas do IIRS apresentadas aca são couente utlzadas na redução de odelos por capturare a dnâca dos odelos copletos co aor precsão. No entanto, anda ass, esses esqueas teratvos são dependentes da defnção do subespaço estátco Syste Equvalent Reducton Expanson Process SEREP Devdo certas defcêncas do étodo IRS e suas varantes, o étodo SEREP proposto ncalente por O Callahan, Avtable e Reer (1989) co etodologa slar, e Kaer (1987), é ua abordage aplaente dfundda e núeras nvestgações da ecânca estrutural. De acordo co Frswell e Inan (1999), Frswell, Penny e Garvey (001) e Koutsovasls e Betelschdt (008) esta abordage é provenente da atrz odal da estrutura dscretzada por eleentos fntos, sendo os autovetores dspostos e colunas. Sendo [] ua atrz odal, de orde n q, e que os teros n e q ndca, respectvaente, a densão do odelo copleto e os autovetores retdos, e consderando a eq. (3.5) coo não aortecda e descrta no doíno da frequênca, edante aplcação da transforação de Laplace, pode-se obter a equação que relacona o vetor de estados co o vetor de coordenadas odas p, de orde q 1, segundo:

49 49 u [ ] u [ s, q ] (3.37) s, q u p. Consderando a prera parte da equação aca e aplcando a defnção da pseudonversa, as coordenadas odas pode ser expressas e teros das coordenadas estres da segunte fora: T 1 T p ] u [ ] [ ] [ ] u. [ q, q,, q q, (3.38) Substtundo a eq. (3.38) na eq. (3.37), a atrz de transforação de coordenadas SEREP é obtda: u us [ [ ] ], q u [ ] u [ T ] u. s, q q, SEREP (3.39) A precsão do étodo SEREP está relaconada co a seleção dos autovetores retdos, dferenteente das técncas anterores. No entanto, para a aplcação desse étodo, recorre-se ao cálculo da atrz odal, que e odelos de grande densão é ua tarefa onerosa. Essa dfculdade pode ser superada edante à utlzação de técncas algébrcas (DAVIS, 006; SAAD, 003; GOLUB; LOAN, 1996) e anda consderando apenas os preros autovetores. A efcáca da abordage SEREP anda é dependente da defnção dos gdl estres e do núero de odos seleconados ou odos de nteresse. O núero de gdl estres deve ser aor ou gual ao núero de odos de nteresse. Caso contráro, a atrz de assa do sstea reduzdo pode não ser postva defnda e as característcas dnâcas não serão preservadas (DAS; DUTT, 008; QU, 004; O CALLAHAN; AVITABILE; RIEMER, 1989) Síntese Modal de Coponentes CMS Atualente é crescente a utlzação da Síntese Modal de Coponentes na análse de odelos de eleentos fntos estocástcos e otzação estrutural. Essa técnca perte a dvsão de ua estrutura coplexa e város probleas de densão reduzda, denonados de coponentes que são analsados de fora ndependente. Na aora dos casos e que o processaento é paralelo, onde dversos coputadores trabalha sultaneaente e desepenha funções dferentes, tal técnca de redução oferece ua vantage sgnfcatva

50 50 para u baxo custo coputaconal (GUEDRI, 006; MASSON et al., 006; MASSON et al., 00). Inúeras varantes CMS fora desenvolvdas, onde os coponentes são usualente representados pelos vetores de Rtz, odos de vbrações noras, odos de corpo rígdos, odos estátcos e odos de nterface. Essas varantes são classfcadas e três grupos: os étodos de nterfaces fxas (HURTY, 1965; CRAIG JR.; BAMPTON, 1968); os étodos de nterfaces lvres (GOLDMAN, 1969; HOU, 1969) e os étodos híbrdos (MACNEAL, 1971). Neste trabalho, ênfase é dada no étodo CMS de nterface fxa. A prncpal característca do étodo de redução CMS é de prever o coportaento dnâco da estrutura edante coportaento dnâco de subestruturas enores. A partculardade do algorto CMS está na consderação do vetor u dos gdl nternos ou otdos coo ua sobreposção dos vetores dos gdl escravos de outras técncas de redução, tas coo àqueles gerados de acordo co a redução de Guyan e os odos de Crag Jr. e Bapton. Os odos de Grag Jr. e Bapton são copostos por alguns autovetores dos gdl otdos da estrutura, fazendo u u 0, conduz a: s Fazendo 0 s u [ k ] u F. [ ] ss s ss s s (3.40) F e escrevendo a eq. (3.40) no doíno da frequênca, a atrz odal da parte escrava da estrutura pode ser calculada: [ ] [ ] [ ] 0, k (3.41) ss ss ss ss A equação aca descreve o problea geral de autovalor da parte escrava da estrutura. Consdera-se para os odos Crag Jr. e Bapton (1968) apenas p autovetores (KOUTSOVASILIS; BEITELSCHMIDT, 008), [ us ] CB [ CB], (3.4) ] [ ] [ ]. (3.43) [ ss CB s, p s, s p Calculados os odos de Crag Jr. e Bapton, te-se,

51 51 [ us CB ] [ us ] Guyan [ us ], (3.44) Substtundo a eq. (3.4) e (3.43) na (3.44), obté-se a segunte relação: p 1 u s [ kss ] [ ks] u u [ T ] [ ], CB Guyan u CB u CB 1 (3.45) A partr da equação aca, a atrz de transforação de coordenadas CMS é obtda: u u [ I, ] [0 ] u u u [ ]. [ ] [ ] [ ] [ ] TCMS (3.46) u TGuyan u CB u T s CB Guyan CB u CB u CB Apesar da grande vantage do CMS ctada aca, ass coo as outras técncas abordadas, o procedento algorítco CMS possu deternadas desvantagens. E concordânca co Koutsovasls e Betelschdt (008), a exatdão desse étodo de redução está relaconado co o núero e a posção dos gdl retdos no odelo reduzdo que por sua que afeta dretaente tanto o conjunto dos estátcos quanto os dnâcos. u s Método da Base Modal e Enrquecento O cálculo de todos os odos própros assocados à densão do sstea é ua tarefa dspendosa. No entanto, a grande aora de ssteas de alta coplexdade responde preponderanteente e ua deternada faxa de frequênca be defnda, o que otva a utlzação de apenas as bandas de nteresse para aproxações. Geralente adota-se o dobro da banda de frequênca de nteresse (GERGES, 013). A redução por coordenadas odas é defnda co por truncaento odal. De acordo co Gerges (013), a equação de segunda orde que descreve o equlíbro dnâco do sstea dscreto não aortecdo, a eq. (3.1), adte ua solução partcular co F t 0, da fora: n q t [ ] q ( t), u( t) [ ] (3.47) 1

52 5 onde [] q(t) é o vetor que representa a fora própra do ovento, é u escalar dferente de zero. Ua vez resolvdo o problea de autovalor edante algortos nuércos (CHATELIN,1988), todos estes vetores fora bases odas. Por truncaento odal da eq. (3.47) e p odos, co p n, obté-se: p q ( t) [ T ] q ( t). u( t) [ ] (3.48) 1 Este esquea de redução é utlzado extensvaente e odelos lneares. Para odelos não lneares, o prncípo da sobreposção odal não é váldo e ferraentas coo bancos de dados de Rtz atualzados, os odos não lneares noras (NNM) ou a Decoposção Ortogonal Própra (POD) são utlzadas (LÜLF; TRAN; OHAYON, 013). A redução de base de Rtz, e dnâca não lnear, devdo à natureza teratva das atrzes de rgdez ou de força, exge udanças durante o processo de sulação (GERGES, 013), o que deanda alto custo coputaconal. Tal problea pode ser superado co enrquecento de base estátca e dnâca (LIMA et al., 015; GUEDRI, 006; GUEDRI; BOUHADDI; MAJED, 006; MASSON et al., 006), e uso de étodos de aproxações cobnadas (GERGES, 013; KIRSCH; LIU, 1995; KIRSCH, 00; KIRSCH, 003a; KIRSCH, 003b; KIRSCH; BOGOMOLNI; SHEINMAN, 006a; KIRSCH; BOGOMOLNI; SHEINMAN, 006b; KIRSCH; BOGOMOLNI, 007). E ssteas dotados de não lneardades a atrz de alguns étodos de redução de odelos é nsufcente na representação da dnâca do odelo. Ass, são requerdas estratégas de enrquecento de base, tas coo, os vetores resduas estátcos, que já fora utlzados e ssteas aortecdos por ateras vscoelástcos (LIMA et al., 015). De acordo co de La et al. (015), para enrquecer a base utlza-se de resíduos estátcos baseados nos deslocaentos assocados ao carregaento posto, que pode ser obtdos através da segunte relação: [ R] [ K] 1 F, (3.49) Tal procedento é chaado de correção estátca de prera orde. Desta fora, a nova atrz de transforação de coordenadas enrquecda pode ser expressa coo segue:

53 53 [ Tenrquecd ] [[ T] [ R]]. (3.50) a Para a redução de alguns odelos propostos nesse trabalho, bases de enrquecentos copostas por odos própros retdos são sugerdas, o que perte aor robustez aos odelos reduzdos. Dessa fora, a nova atrz de transforação de coordenadas enrquecda é dada coo: [ Tenrquecd a p ] [[ T] [ ]]. (3.51) e que [T ] é a atrz transforação de coordenadas partcular e cada étodo de redução e [ p ] são autovetores retdos e p odos.

54 54

55 55 Capítulo 4 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Neste capítulo, sulações nuércas e estruturas do tpo vgas são realzadas co o objetvo de verfcar a efcênca dos étodos de redução de odelos apresentados no capítulo anteror. Avala-se o desepenho dos odelos reduzdos coparados ao odelo copleto, co todos os graus de lberdade, be coo a redução do custo coputaconal. Nas sulações nuércas as estruturas são subetdas a stuações dversas, co o ntuto de explctar as vantagens e desvantagens no uso de odelos reduzdos 4.1 Caso 1: Vga de Euler-Bernoull Engastada-Lvre Neste caso consderou-se u exeplar de vga de Euler-Bernoull, cuja odelage fo estudada no capítulo deste trabalho, sendo subetda à força externa coo ndcado na Fgura 4.1. Fgura Vga de Euler - Bernoull engastada - lvre. Fonte: o autor.

56 56 da vga. Na Tabela 4.1 estão dspostos os valores referentes as propredades geoétrcas e físcas Tabela Propredades Físcas e Geoétrcas da vga. Propredades Geoétrcas Propredades Físcas Vga de Aluíno Núero de eleentos 16 Coprento [] 0,5 Largura [] 0,01 Espessura [] 0,003 Densdade voluétrca [kg/ 3 ].710 Módulo de Elastcdade [MPa] Fonte: o autor. A Fgura 4. lustra as Funções Respostas e Frequênca (FRFs) estadas e ua faxa de 0 a 800 Hz do odelo copleto confrontadas co as FRFs obtdas por dos odelos reduzdos dos étodos de redução de Guyan e IRS. E abos os odelos reduzdos, fora consderados 1 gdl retdos. Fgura 4.. FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por Guyan e IRS para o caso 1. Fonte: o autor. A qualdade de resposta dos étodos de Guyan e IRS está restrta às preras frequêncas de ressonâncas. O odelo reduzdo por Guyan ostrou-se efcente nos dos preros odos, copreenddos e ua pequena faxa de frequênca de 0 a 100 Hz, enquanto que o étodo IRS proporconou resultados satsfatóros para os três preros odos copreenddos e ua faxa de 0 a 00 Hz. Tal fato é evdencado na Tab. 4., que representa

57 57 os valores nuércos das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e os odelos reduzdos. Tabela 4.. Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de Guyan e IRS. (rad/s). Modelo Copleto Guyan IRS 1 9,85 9,85 9,85 61,74 6,7 61, ,89 09,69 173, ,8 547,11 34, ,4 1145,73 711,64 Fonte: o autor. A Fgura 4.3 lustra as FRFs estadas e ua faxa de 0 a 800 Hz do odelo copleto e dos odelos reduzdos pelos étodos de redução SEREP e IIRS. Para o prero consderouse apenas 5 gdl retdos, enquanto para o últo consderou-se 1 gdl retdos. Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso 1. Fonte: o autor. A partculardade na obtenção da atrz de transforação de coordenadas para o étodo de redução SEREP, se coparado a outros étodos de redução, perte a utlzação de u núero be enor de gdl retdos se perda sgnfcatva nas aproxações. O odelo reduzdo pelo étodo SEREP proporconou excelentes resultados. Já o étodo IIRS proporconou curvas próxas as do odelo copleto e os valores de frequêncas de ressonâncas apresenta dscrepâncas que vão auentando gradatvaente nos valores posterores, fato percebdo anda na Tab. 4.3.

58 58 Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de IIRS e SEREP. (rad/s). Modelo Copleto IIRS SEREP 1 9,85 9,85 9,85 61,74 6,75 61, ,89 173,55 17, ,8 340,01 338, ,4 567,88 560,4 Fonte: o autor. A Fgura 4.4 lustra as FRFs estadas e ua faxa de 0 a 800 Hz do odelo copleto e dos odelos reduzdos pelos étodos de redução CMS e BM. E abos fora consderouse 1 gdl retdos. Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BM para o caso 1. Fonte: o autor. Observa-se pela Fg.4.4 que os odelos reduzdos pelos étodos CMS e BM proporconara curvas próxas as do odelo copleto. O étodo BM apresentou os 5 preros valores de frequêncas de ressonâncas dêntcos aos do odelo copleto, enquanto que o étodo CMS apresentou pequena dscrepânca e alguns valores, confore apresentado na Tab. 4.4.

59 59 Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de CMS e BM. (rad/s). Modelo Copleto CMS BM 1 9,85 9,85 9,85 61,74 6,74 61, ,89 17,91 17, ,8 338,9 338, ,4 560,38 560,4 Fonte: o autor. Para elhor verfcação da efcênca dos étodos de redução propõe-se a valdação dos odelos reduzdos edante à caracterzação do coportaento dnâco do sstea. Para este caso, optou-se por consderar u aortecento proporconal. A Fgura 4.5 lustra as respostas no doíno do tepo referentes ao gdl exctado co força do tpo F( t) Fsen( t), e que F = 80N é a apltude de exctação e é a frequênca de exctação. Utlzou-se o étodo de ntegração nuérca de Newark co ntervalo de tepo de 0 a s, passo de tepo t s, consstndo na obtenção dos deslocaentos transversas noralzados. Neste trabalho, adotou-se e todos os casos o fator de noralzação: 1 10 u ( t) / L. Fgura Respostas no doíno do tepo para o odelo copleto e dos odelos reduzdos para o caso 1 Fonte: o autor.

60 60 Observa-se que as curvas estadas para a resposta dnâca dos odelos reduzdos fora próxas as do odelo copleto, nclusve para os odelos reduzdos pelos étodos de Guyan e IRS que não obtvera boa aproxação nas FRFs do odelo. Fato que se deve ao curto ntervalo de tepo consderado nas sulações e que a frequênca de exctação consderada é concdente co a prera frequênca natural do odelo que para todos os étodos de redução analsados fo be aproxada. Para verfcar a econoa de tepo proporconada pelos odelos reduzdos e relação ao odelo copleto, estou-se o tepo gasto na dscretzação da estrutura, ontage das atrzes globas, deternação da atrz de transforação de coordenadas e redução das atrzes globas do odelo, cálculo das FRFs e respostas dnâcas. A Fg. 4.6 representa a econoa de tepo de cada étodo de redução de odelos utlzados. Fgura Tepo coputaconal estado para o caso 1. Fonte: o autor. Durante o processo de análses nuércas, todos os odelos reduzdos obtvera tepo de execução nferor a 35% se coparados ao odelo copleto. O étodo de redução SEREP, e coparação co outros étodos abordados, fo o de elhor efcênca. O odelo reduzdo por esse étodo proporconou excelente qualdade de resposta e anda consderável econoa de tepo de aproxadaente 80%. E aplcações posterores, optou-se pela não utlzação dos étodos de Guyan e IRS por não oferecere boa aproxação

61 61 4. Caso : Vga de Euler-Bernoull Engastada co Mola Lnear e Aortecento Vscoso Nesta aplcação consderou-se ua vga engastada pelas duas extredades co 0 eleentos fntos, sujetas às esas condções ndcadas na Tab. 4.1, no entanto, nsere-se ola lnear co rgdez 3 k lnear 110 N, aortecedor do tpo vscoso e carregaentos externos são postos nos graus de lberdade ndcados na Fgura 4.7. Fgura Vga b engastada de Euler Bernoull co ola lnear e aortecento vscoso. Fonte: o autor. Coo concetuado no capítulo 3 deste trabalho, para a deternação da atrz de transforação de coordenadas e todos os étodos de redução estudados, consderava-se u sstea não aortecdo. Pretende-se neste caso, verfcar a representação dos odelos reduzdos e ssteas co aortecento vscoso. Consderando u fator de aortecento odal c 1N /, a Fg. 4.8 lustra as FRFs estadas e ua faxa de 0 a 1000 Hz do odelo copleto e dos odelos reduzdos pelo étodo de redução IIRS no qual consderou-se 1 gdl coo retdos e SEREP, co apenas 7 gdl retdos.

62 6 Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso. Fonte: o autor. Confore vsto na Fg. 4.8, as curvas obtdas pelos odelos reduzdos fora próxas as do odelo copleto. O odelo reduzdo pelo étodo SEREP proporconou ótos resultados e o odelo reduzdo pelo étodo IIRS, apresenta dscrepâncas crescentes nos valores de frequêncas de ressonâncas, fato evdencado na Tab Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de IIRS e SEREP. (rad/s). Modelo Copleto IIRS SEREP 1 74,03 74,03 74,03 17,81 17,89 17, ,63 34,07 340, ,11 561,9 560, ,63 847,34 837,63 Fonte: o autor. Consderando o eso fator de aortecento odal, a Fg. 4.9 lustra as FRFs estadas e ua faxa de 0 a 1000 Hz do odelo copleto e dos odelos reduzdos pelo étodo de redução CMS e BM. Para abos os étodos de redução, fora consderados 1 gdl coo retdos.

63 63 Fgura FRFs do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BM para o caso. Fonte: o autor. Observa-se na Fg. 4.9 que os odelos reduzdos produzra curvas be aproxadas das estadas para o odelo copleto. Referente aos valores de frequêncas de ressonâncas, apresentados na Tab. 4.6, o étodo BM forneceu valores guas ao odelo copleto. O étodo CMS apresentou valores razoáves, co pequenas dscrepâncas nos últos valores consderados. Tabela Valores das frequêncas de ressonâncas estadas para o odelo copleto e odelos reduzdos pelos étodos de redução de CMS e BM. (rad/s). Modelo Copleto CMS BM 1 74,03 74,06 74,03 17,81 17,81 17, ,63 340,74 340, ,11 560,54 560, ,63 838,30 837,63 Fonte: o autor. A Fgura 4.10 lustra as respostas no doíno do tepo referentes ao gdl exctado co 3 força não lnear F( t) Fsen( t ) e que F = 80N é a apltude de exctação e é a frequênca de exctação.

64 64 Fgura Respostas no dono do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos para o caso. Fonte: o autor. Para os parâetros consderados, confore ostrado na Fg todos os odelos reduzdos apresentara curvas próxas as obtdas pelo odelo copleto. Referente ao tepo coputaconal, a Fg apresenta a econoa de tepo de cada étodo de redução de odelos utlzados. Fgura Tepo Coputaconal estado para o caso. Fonte: o autor. Durante o processo de análses nuércas, todos os odelos reduzdos obtvera tepo de execução nferor a 5% se coparados ao odelo copleto. Todos os étodos de redução utlzados fora efcentes no questo qualdade de resposta. Referente à econoa de tepo o étodo SEREP fo superor apresentando u ganho coputaconal de aproxadaente 84%.

65 Caso 3: Vga de Euler-Bernoull Engastada Lvre co Não Lneardade Localzada Confore o esquea da Fg. 4.1, para essa aplcação consderou-se ua vga engastada confore as propredades descrtas na tab. 4.1, dcretzada e 16 eleentos fntos e sujeta a nserção de olas co característcas não lneares cuja rgdez é dada por 5 k nãolnear 110 N. A contrbução não lnear é dada segundo a eq. (.3). As curvas estadas são referentes ao gdl exctado co força de F( t) F sn( t), co F 40N. Optouse por u ntervalo de tepo de 0 a 1s co passo de tepo 4 t 110 s. Fgura Vga de Euler - Bernoull co olas co característcas não lneares. Fonte: o autor. E u prero oento os étodos IIRS, CMS e BM apresentara resultados dvergentes, fato que fo contornado utlzando vetores resduas estátcos coo enrquecento de base, ass a atrz de redução de base fo coposta por 10 gdl retdos e u vetor de enrquecento para os étodos CMS e BM. Já para o étodo IIRS consderou-se, alé dos 10 gdl retdos, 3 vetores odas de enrquecento. Para o étodo SEREP utlzou-se 1 gdl retdos, no entanto, não houve necessdade da utlzação de enrquecento. Observa-se que a nclusão de olas co característcas não lneares acarretou e coportaento não lnear nas respostas obtdas. A boa representação dos étodos IIRS, CMS e BME (Base Modal Enrquecda) está relaconada ao enrquecento de base.

66 66 Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso 3. Fonte: o autor. Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos reduzdos por CMS e BME para o caso 3. Fonte: o autor. A Fgura 4.15 apresenta a econoa de tepo proporconada por cada étodo de redução de odelos utlzados. Devdo a não lneardade, o tepo coputaconal dos odelos reduzdos fo elevado se coparado aos casos anterores. Anda ass, todos os odelos reduzdos obtvera tepo de execução nferor a 60% que é u ganho de tepo satsfatóro. Referente a econoa de tepo, o étodo BME apresentou elhor ganho coputaconal, aproxadaente 61%, poré para ua boa qualdade de resposta fo necessáro a utlzação de bases de enrquecento.

67 67 Fgura Tepo coputaconal estado para o caso 3. Fonte: o autor. 4.4 Caso 4: Vga de Euler-Bernoull Engastada co Mola Não Lnear e Aortecedor Vscoso Para este caso consdera-se ua vga dscretzada e 4 eleentos fntos sujeta a aortecento vscoso, fator de aortecento c 1N /, e a ola co característca não 5 lnear de rgdez k 1 10 N nãolnear 3, coo ndcado na Fgura Fgura Vga de Euler - Bernoull co ola co característca não lnear e aortecento vscoso. Fonte: o autor.

68 68 Nessa aplcação, consderou-se 1 gdl retdos para o étodo CMS, 1 gdl retdos para o étodo BM e as u vetor de enrquecento resdual estátco, 1 gdl retdos para o étodo IIRS e as 3 vetores odas de enrquecento. Para o étodo SEREP consderou-se 10 gdl retdos. Na estação das respostas no doíno do tepo representadas nas Fg e 4.18, utlzou-se ua força de exctação do tpo Fe( t ) = 160t sn( 60πt ), co ntervalo de tepo de 4 0 a s e passo de tepo t 110. s. Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso 4. Fonte: o autor. Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BME para o caso 4. Fonte: o autor. Percebe-se que as respostas dnâcas obtdas pelos odelos reduzdos por IIRS e SEREP, Fg. 4.17, e pelos odelos reduzdos por CMS e BME, Fg. 4.18, fora próxas as curvas proporconadas pelo odelo copleto. Apesar de todos os odelos reduzdos proporconare boa qualdade de resposta, o odelo reduzdo apresentou aor efcênca devdo ao ganho coputaconal de aproxadaente 73%, coo pode ser vsto na Fg que apresenta o tepo coputaconal de cada étodo durante os processos de análses nuércas.

69 69 Fgura Tepo coputaconal estado para o caso 4. Fonte: o autor. 4.5 Caso 5: Vgas de Euler Bernoull Conectadas por Mola Não Lnear e Aortecedor Vscoso Consdera-se duas vgas, confore Fg. 4.0, dscretzadas e 30 eleentos fntos, sendo engastadas e lados opostos e conectadas entre s por ola co característca lnear e não lnear de rgdez fator de aortecento odal é dado por 3 k N 6 lnear 110 e k 1 10 N nãolnear 3 e aortecedor vscoso cujo c 1N / Fgura Vgas de Euler - Bernoull conectadas por ola co característca não lnear e aortecento vscoso. Fonte: o autor.

70 70 Nessa aplcação, consderou-se 10 gdl retdos para o étodo CMS, 10 gdl retdos para o étodo BM e as u vetor de enrquecento resdual estátco, 10 gdl retdos para o étodo IIRS e as vetores odas de enrquecento. Para o étodo SEREP consderou-se 8 gdl retdos. Para a estação das respostas no doíno do tepo representadas na Fgura 4.1 e 3 4., utlzou-se ua força de exctação do tpo Fe( t ) = 60t sn( 60πt ), co ntervalo de tepo de 0 a s e passo de tepo t na ntegração nuérca. Fgura Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por IIRS e SEREP para o caso 5. Fonte: o autor. Percebe-se que a nserção do aortecedor vscoso pouco contrbuu para a atenuação da apltude de vbração do odelo, sso devdo a própra confguração do odelo, ao lugar de aplcação da força exctadora, acoplaento das olas não lneares e do aortecedor. Fgura 4.. Respostas no doíno do tepo do odelo copleto e dos odelos reduzdos por CMS e BME para o caso 5. Fonte: o autor. Confore as curvas obtdas pelos odelos reduzdos por IIRS e SEREP, Fg. 4.1, e pelos odelos reduzdos por CMS e BME, Fg. 4., todos os étodos de redução de odelos apresentara boa aproxação. No entanto, à edda e que o ntervalo auenta as curvas entre os odelos reduzdos e o copleto coeça a apresentar alguas dvergêncas.