CORRELAÇÃO DE FORMAS MODAIS E GRAUS DE LIBERDADES DE MODELOS OBTIDOS POR ELEMENTOS FINITOS E POR ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL

Transcrição

1 CORRELAÇÃO DE FORMAS MODAIS E GRAUS DE LIBERDADES DE MODELOS OBTIDOS POR ELEMENTOS FINITOS E POR ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL Alexandre Luz Amarante Mesquta Unversdade Federal do Pará, Departamento de Engenhara Mecânca, Belém, PA, Brasl E-mal: amarante@sc.usp.br Paulo Sérgo Varoto Unversdade de São Paulo, Laboratóro de Dnâmca, EESC, São Carlos, SP, Brasl E-mal: varoto@sc.usp.br Resumo. A verfcação da qualdade de um modelo dnâmco de uma estrutura obtdo pelo método dos elementos fntos nca-se através de uma correlação entre os parâmetros modas deste modelo com os parâmetros modas obtdos por análse modal expermental. A correlação entre as formas modas (vetores modas) dos dos modelos (numérco e expermental) fornece uma ndcação global do nível de smlardade entre os mesmos, enquanto que a correlação entre os graus de lberdade fornece uma ndcação da contrbução de cada grau de lberdade nos valores globas da correlação entre os vetores modas. Neste trabalho são apresentados resultados de aplcação de algumas técncas de correlação de formas modas e graus de lberdade. As técncas usadas para a correlação entre as formas modas são o MAC, MSF e o POC, enquanto que para correlação entre graus de lberdade são usados o CoMAC e Dferença de Módulo. A verfcação da correlação, através destas técncas é realzada sem uso das matrzes de massa e rgdez do modelo de elementos fntos. As técncas são aplcadas em resultados para uma vga de aço lvre-lvre, em que no teste modal é usada exctação por mpacto. Palavras-chave: Análse Modal, Formas Modas, Vetores Modas, Graus de Lberdade, Correlação. 1. INTRODUÇÃO Exstem dferentes técncas para a comparação de vetores modas teórcos e expermentas. Estas técncas podem ser classfcadas em duas classes: aquelas relaconadas a comparação entre os própros vetores e aquelas relaconadas à correlação entre os graus de lberdade dos vetores (Avtable & Foster, 1996). Este trabalho apresenta resultados de comparação e correlação de formas modas e graus de lberdade de uma vga, obtdos por smulação numérca por elementos fntos e va análse modal expermental. As técncas usadas para a correlação entre as formas modas são o MAC

2 ( Modal Assurance Crteron ), o MSF ( Modal Scale Factor ) e o POC ( Pseudo Orthogonalty Check ). Estas técncas possuem a vantagem de não necesstar da matrz de massa do modelo de elementos fntos, proporconando assm uma redução em tempo e memóra computaconal no cálculo da correlação. As técncas usadas para a correlação entre graus de lberdade são o CoMAC ( Coordnate Modal Assurance Crteron ), que fornece uma ndcação da contrbução de cada grau de lberdade para os valores do MAC e a Dferença de Módulo ( Modulus Dfference ), que serve para complementar os resultados do CoMAC. Ambas também não necesstam da matrz de massa para o cálculo da correlação. As técncas são aplcadas em resultados modas de uma vga sob condção de contorno lvre lvre. Na fase expermental, foram desenvolvdos 3 modelos geométrcos para a vga a fm de verfcar a nfluênca do número de pontos de medção. Como mecansmo de exctação nos testes modas, fo usado o martelo de mpacto. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O MAC (Allemang & Brown, 1982), também conhecdo como MSCC ( Mode Shape Correlaton Coeffcent ), é um coefcente de correlação entre dos vetores modas (formas modas) quasquer. Este coefcente é uma quantdade real, nclusve se os elementos dos vetores modas forem complexos. Se o MAC entre duas formas modas for gual a 1,0, então estes vetores estão perfetamente correlaconados. Na prátca, qualquer valor entre 0,9 e 1,0 é consderada uma boa correlação (Applcaton Note HP 243, 1986). Se o coefcente tver valor menor, então haverá um grau de nconsstênca nversamente proporconal ao valor do coefcente. A expressão matemátca do MAC, entre dos vetores, é dada por: { e} { u j} MAC ( e, u j ) = T * T * ({ e } { e })({ u } { u }) T * j 2 j (1) onde e é o -ésmo vetor modal expermental, uj o j-ésmo vetor modal do modelo numérco e * denota o complexo conjugado do vetor. As formas modas dos modelos numércos e expermentas podem ser comparadas grafcamente, onde os valores dos elementos dos vetores numércos e expermentas, para cada modo, são apresentados em um gráfco, um versus o outro. É necessáro para se fazer a comparação, que os elementos dos vetores modas expermentas e numércos estejam normalzados da mesma manera e que os elementos dos vetores modas expermentas sejam números reas. O resultado deal é quando os pontos nos gráfcos fquem dspostos em uma lnha reta de nclnação 1,0. Este tpo de apresentação tem a vantagem de se perceber erros sstemátcos. O coefcente MSF (Ewns, 1984) representa a nclnação da melhor lnha reta que passa através dos pontos no gráfco. A expressão do MSF pode ser escrta como: { e} { u j} MSF ( e, u j ) = T * { u } { u } j T * j (2) Vale ressaltar que o MSF não dá ndcação do desvo dos pontos em relação a melhor lnha reta que passa através dos mesmos, smplesmente a nclnação desta melhor reta. O parâmetro que fornece uma medda do desvo mínmo quadrátco dos pontos em relação à lnha de correlação é o MAC, defndo anterormente. O gráfco dos elementos dos vetores

3 modas também fornece uma ndcação dos graus de lberdade que contrbuem para a qualdade da correlação entre os vetores. Uma outra forma de avalar a correlação entre vetores modas expermentas e os obtdos numercamente é o uso do POC (Avtable et al., 1988). O POC fo prmeramente dealzado para verfcar a correlação utlzando a matrz de massa do modelo numérco. Matematcamente este coefcente é dado como: T POC = [ U ] [ M ][ E] (3) onde [E] é a matrz modal do modelo expermental, [U] a matrz modal do modelo numérco e [M] a matrz de massa do modelo numérco. Para a obtenção do POC, a ordem dos modelos deve ser gual. A matrz de massa do modelo numérco deve ser reduzda ou os vetores modas expermentas expanddos. O POC fo defndo a partr do Método de expansão/redução SEREPE (O Callahan et al., 1989). Na apresentação dos resultados desta técnca, se os vetores modas forem bem correlaconados a matrz de POC terá valores na dagonal prncpal bem próxmos a 1, varando levemente para mas ou menos. Em um trabalho, Avtable e O Callahan (1995) mostraram que o POC pode também ser encontrado sem a utlzação da matrz de massa. Neste caso o POC pode ser escrto como: g POC = [ U ] [ E] a (4) Na equação, [U a ] é a matrz modal reduzda do modelo numérco e o sobrescrto g ndca a matrz nversa generalzada, que é dada por: a g [ U ] = ([ U ] [ U ]) [ U ] a T a 1 a T (5) O uso da matrz nversa generalzada deve-se ao fato das matrzes envolvdas no cálculo do POC não serem quadradas. O CoMAC (Leven & Ewns, 1988) correlacona os graus de lberdade contdos nos vetores modas numércos e expermentas. O CoMaC fornece uma ndcação da contrbução de cada grau de lberdade para os valores do MAC. Os valores do CoMAC varam de 0 a 1, e a sua expressão matemátca é gual a: CoMAC( ) (6) m * uj ej j= 1 = m m 2 uj j= 1 j= 1 e j 2 2 onde é a coordenada modal (grau de lberdade) e m é o número de modos. A Dferença de Módulo ( Modulus Dfference ) (Avtable & Foster, 1996) fo desenvolvda para complementar os resultados do CoMAC e é formulada como o valor absoluto da dferença do módulo dos valores dos graus de lberdade para cada par de vetor modal numérco e expermental j, ou seja: Modulus Dfference ( ) = u j ej (7)

4 3. APLICAÇÃO As técncas apresentadas na seção anteror são aplcadas na análse de correlação das formas modas numércas e expermentas de uma vga de aço, medndo 1000 mm 25,25 mm 6,60 mm, sob condção de contorno lvre-lvre. Na modelagem numérca da vga por elementos fntos foram usados 22 elementos de vga de Euler-Bernoull, elemento contendo dos graus de lberdade por nó um de translação e outro de rotação. Contudo, na análse de comparação, apenas os graus de lberdade de translação foram usados devdo à mpossbldade de medção dos graus de lberdade rotaconas com a nstrumentação utlzada. Os resultados desta modelagem servram para a defnção da posção dos pontos de medção na vga e consequentemente a localzação do drve-pont, ou seja, o ponto na estrutura onde será colocado o transdutor fxo no teste de uma entrada e uma saída ( sngle nput sngle output test SISO ). No caso de utlzação do martelo de mpacto, o transdutor fxo é o acelerômetro e o martelo de mpacto aplca a exctação nos pontos seleconados na estrutura, possbltando assm a determnação de uma lnha da matrz de função de resposta em freqüênca, o que é sufcente para a determnação dos parâmetros modas da estrutura (Ewns, 1984). O procedmento de escolha do drve-pont, realzado conforme proposto por Jarvs (1991), consste prmeramente, em seleconar a faxa de freqüênca de nteresse. Nessa faxa (com o modelo de elementos fntos possundo n modos de vbração), para cada grau de lberdade, o produto dos elementos dos autovetores (vetores modas) ( φ 1 φ φ φ φ (8) ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) n 1 ( ) n pode ser determnado. O grau de lberdade com o maor valor para o produto (8) terá termos sgnfcatvos em cada modo de nteresse e é então uma boa escolha para o drve-pont (além da garanta de não ser um ponto nodal de algum modo pos o seu produto (8) não é nulo). Os demas pontos de medda são escolhdos através da mesma metodologa. Para o caso da vga lvre-lvre, os pontos que terão maores deslocamentos sgnfcatvos são os pontos nas extremdades da vga. Portanto, fo escolhdo o ponto 1 (ver modelo geométrco na fgura 2) como o drvepont. Na modelagem expermental, para a smulação da condção de contorno lvre-lvre, a vga fo suspensa por fos elástcos conforme mostra a fgura 1. Fgura 1 Vga sob a condção smulada de condção de contorno lvre-lvre. De acordo com a fgura 1, os fos elástcos que sustentam a vga, smulando a condção de contorno lvre-lvre, estão presos a uma dstânca de 0,22 L de cada extremdade da vga

5 de comprmento L. A regão em torno de 0,22 L é a faxa onde se concentra o maor número de pontos nodas levando-se em consderação város modos. Portanto, esta regão é uma boa localzação para se nserr os fos elástcos e assm mnmzar a nfluênca destes nos resultados. Os testes modas foram realzados em três tpos de modelos geométrcos expermentas da vga. O prmero modelo (modelo geométrco 1) consste em 7 pontos de medção, que correspondem aos nós 1, 5, 8, 11, 16, 19 e 23 da malha de elementos fntos, conforme fgura 2a. Neste modelo geométrco, nenhum dos pontos de medção corresponde a um ponto nodal de qualquer modo. No segundo modelo geométrco (modelo geométrco 2), também com 7 pontos, os pontos de medção correspondem aos nós 1, 5, 8, 12, 16, 19 e 23 da malha de elementos fntos (fgura 2b), onde o nó 12 corresponde ao centro da vga, que é portanto um ponto nodal para todos os modos pares. Fnalmente, um tercero modelo geométrco (fgura 2c) consstndo de 9 pontos. A análse modal com este modelo fo realzada a fm de verfcar a nfluênca de um número maor de pontos nas análse das técncas de correlação. Fgura 2 Modelos geométrcos : (a) Modelo 1, (b) Modelo 2, (c) Modelo3. Os pontos acma da vga correspondem às coordenadas modas (pontos de medção) e os pontos abaxo da vga correspondem aos nós da malha de elementos fntos. 4. RESULTADOS Os resultados das correlações entre as freqüêncas naturas e formas modas do modelo numérco com cada um dos modelos expermentas (obtdos através do software de análse modal STAR) são mostrados a segur. A faxa de freqüênca para a análse fo de 500 Hz, onde nesta faxa foram encontrados 5 modos de vbração. 4.1 Comparação das Freqüêncas Naturas e Formas Modas A maor dferença percentual entre as freqüêncas naturas numércas e expermentas fcou abaxo de 4%. Este valor corresponde às freqüêncas do 5 o modo de vbração da vga. Na fgura 3 pode-se observar a boa correlação entre esses parâmetros. As freqüêncas naturas expermentas são as mesmas para os três modelos expermentas. 4.2 Resultados de Correlação entre Formas Modas para o Modelo Geométrco 1 Na tabela 1 estão lstados os valores do MAC e MSF. O resultado deal para a matrz do MAC seram valores próxmos a 1,0 na dagonal prncpal e próxmos de 0 para os elementos fora desta dagonal. De acordo com tabela, os valores na dagonal prncpal mostram uma boa correlação entre os modos numércos e expermentas. O menor valor surgu no 1 o modo. Quanto aos elementos fora da dagonal prncpal, observam-se valores altos de correlação

6 entre o 1 o e 3 o, 1 o e 5 o, 2 o e 4 o, e 3 o e 5 o modos. Segundo a mesma tabela, os valores de MSF mas dstantes do valor deal 1,0 foram para o 1 o e 4 o modos. Fgura 3 Comparação entre freqüêncas naturas numércas e expermentas em Hz. Tabela 1 Resultados do MAC e MSF para o Modelo 1 MAC Modos MSF Modos 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 1 o 0,9555 0,0289 0,3372 0,0077 0, o 0, o 0,0000 0,9961 0,0072 0,3160 0, o 1, o 0,2762 0,0038 0,9874 0,0134 0, o 1, o 0,0149 0,2531 0,0020 0,9821 0, o 1, o 0,2640 0,0000 0,2865 0,0016 0, o 1,0237 Para se fazer a comparação gráfca entre cada par de vetores modas é precso transformar os elementos complexos dos vetores modas expermentas. Esta complexdade é devdo ao amortecmento não proporconal de estruturas reas. Para estruturas levemente amortecdas, como é este caso, uma smples transformação sera utlzar a magntude do número complexo com o seu snal dependendo do ângulo de fase ( + para ângulos próxmos de 0 o e para ângulos próxmos de 180 o ). Este fo o procedmento adotado no presente caso. As fguras 4a, 4b e 5a mostram gráfcos de elementos para o 1 o, 3 o e 4 o pares de modos respectvamente. Nestes gráfcos são notados pontos dscrepantes em relação a lnha reta deal de nclnação 1,0 (lnha chea). Fgura 4 Gráfcos de elementos de vetores numérco e expermental:(a) Modo 1. (b)modo 3.

7 Fgura 5 (a) Gráfco dos elementos do 4 o par de vetores modas. (b) Gráfco do CoMAC para as coordenadas modas do modelo 1. No gráfco do CoMAC, mostrado na fgura 5b, podem-se observar a valores baxos no 4 o e no 6 o graus de lberdade (ou 4 a e 6 a coordenadas modas). Estas coordenadas causaram valores de MSF dstantes de 1,0 no 1 o e no 4 o modos. O MAC não fo sensível a essas coordenadas mal correlaconadas. O gráfco da Dferença de Módulo para cada par de vetores modas também ndca a má correlação entre essas coordenadas, como lustra a fgura 6. A matrz dos valores do POC (tabela 2) mostra que há problemas de correlação entre o 1 o e o 4 o modos, pos os valores correspondentes fcaram dstantes do valor deal 1,0. Pode-se também observar a não correlação dos modos fora da dagonal prncpal. Fgura 6 Valores da Dferença de Módulo para as coordenadas do 3 o e 4 o pares de modos. Tabela 2 Resultados do POC para o Modelo 1 POC Modos 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 1 o 0,8561-0,0229-0,0023 0,0017-0, o 0,0467 1,0716-0,0458-0,0746-0, o 0,0675-0,0125 1,0427-0,0204-0, o 0,0946 0,0092 0,0570 1,1557 0, o -0,0893-0,0296-0,0377-0,0469 1,0390

8 4.3 Resultados de Correlação entre Formas Modas para o Modelo Geométrco 2 Os resultados da correlação entre os vetores modas numércos e os vetores expermentas do modelo 2 não dferram substancalmente dos resultados apresentados para o modelo 1, dscutdos na seção anteror. Anda persstem problemas no 1 o e no 4 o modos, mas os valores do MSF e POC melhoraram em relação ao caso anteror. Isto deve-se prncpalmente à não nclusão da coordenada referente ao nó 11 da malha de elementos (fgura 2), que era a coordenada modal 4 do caso anteror. Contudo, anda persstem problemas na 6 a coordenada modal, que é a mesma do caso anteror. A fgura 7 mostra o resultado do CoMAC para análse dos graus de lberdade numércos e expermentas do modelo 2. Fgura 7 Gráfco do CoMAC para Modelo Resultados de Correlação entre Formas Modas para o Modelo Geométrco 3 Os resultados da correlação usando o modelo 3 mostraram a sensbldade do MAC em relação ao número de pontos do modelo geométrco. De acordo com a tabela 3, os valores na dagonal prncpal melhoraram, assm como os valores fora da dagonal prncpal. Contudo, persste a correlação, ndcada pelo MAC, no 1 o e 5 o e no 2 o e 4 o modos. O MSF não fo sensível ao aumento do número de pontos, o mesmo acontecendo com o POC (tabela 4). Tabela 3 Resultados do MAC e MSF para o Modelo 3 MAC MSF Modos 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o Modos 1 o 0,9618 0,0126 0,0738 0,0211 0, o 0, o 0,0022 0,9957 0,0006 0,2549 0, o 1, o 0,0413 0,0002 0,9900 0,0010 0, o 1, o 0,0004 0,2020 0,0017 0,9825 0, o 1, o 0,3625 0,0006 0,0592 0,0002 0, o 1,0245 Tabela 4 Resultados do POC para o Modelo 3 POC Modos 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 1 o 0,8561-0,0229-0,0023 0,0017-0, o 0,0467 1,0716-0,0458-0,0746-0, o 0,0675-0,0125 1,0427-0,0204-0, o 0,0946 0,0092 0,0570 1,1557 0, o -0,0893-0,0296-0,0377-0,0469 1,0390

9 Para este modelo geométrco, o CoMAC (fgura 8) novamente aponta problemas na coordenada modal correspondente ao 11 o nó da malha, que neste caso novamente é a coordenada 4. Há também problemas na 8 a coordenada modal, que corresponde ao 19 o nó da malha de elementos fntos, e consequentemente à 6 a coordenada modal dos dos modelos anterores. 5. CONCLUSÕES Fgura 8 Gráfco do CoMAC para Modelo 3 Os resultados das correlações segundo as técncas do MSF e POC mostraram que exstram problemas na correlação entre o 1 o e 4 o pares de vetores modas numércos e expermentas. As técncas de correlação apresentadas no trabalho dagnostcaram nas coordenadas modas 4 e 6 o problema da correlação dos modos acma ctados. Para estes modos foram apresentados os valores mas baxos de MAC, mas, anda em uma faxa acetável de valores. O MAC mostrou ser sensível ao número de coordenadas modas, no que dz respeto à ndcação de modos que não são correlaconados, fato que não ocorreu com o MSF e POC. 6. REFERÊNCIAS Allemang, R, & Brown, D., 1982, A Correlaton Coeffcent for Modal Vector Analyss, Frst Internatonal Modal Analyss Conference, November, pp Applcaton Note 243-3, 1986, The Fundamentals of Modal Testng, Hewlett Packard. Avtable, P. & Foster, T., 1996, Evaluaton of Degree of Freedom Based Vector Correlaton Methods, Fourteenth Internatonal Modal Analyss Conference, February, pp Avtable, P. & O Callahan, J., 1995, Mass and Stffness Orthogonalty Checks Wthout Mass or Stffness Matrx, Thrteenth Internatonal Modal Analyss Conference, pp Avtable, P., O Callahan, J. & Mlan, J., 1988, Model Correlaton and Orthogonalty Crtera, Sxth Internatonal Modal Analyss Conference, February, pp Ewns, D., 1984, Modal Testng: Theory and Practce, Jonh Wley & Sons Inc. Jarvs, B., 1991, Enhancements to Modal Testng Usng Fnte Elements, Nneth Internatonal Modal Analyss Conference, February, pp Leven, N. & Ewns, D., 1988, Spatal Correlaton of Mode Shapes, the Coordnate Modal Assurance Crtera(COMAC), Sxth Internat. Modal Analyss Conference, pp O Callahan, J., Avtable, P. & Remer, R., 1989, System Equvalent Reducton Expanson Process (SEREPE), Seventh Internatonal Modal Analyss Conference, February, pp

10 CORRELATION OF MODE SHAPES AND DEGREES OF FREEDOM OF MODELS OBTAINED BY FINITE ELEMENT AND EXPERIMENTAL MODAL ANALYSIS Abstract. The verfcaton of the qualty of a dynamc model for a structure obtaned by the fnte element method begns through a correlaton between the modal parameters of ths model and the modal parameters obtaned by expermental modal analyss. The correlaton between the mode shapes (modal vectors) of the two models (numerc and expermental) provdes a global ndcaton of ther smlarty level, whle the correlaton between the degrees of freedom provdes an ndcaton of the contrbuton of each degree of freedom to the global values of the correlaton between the modal vectors. Ths work presents applcaton results of some technques of correlaton of mode shapes and degrees of freedom. The technques used for the correlaton between the mode shapes are MAC, MSF and POC, whle for correlaton among degrees of freedom CoMAC and Modulus Dfference are used. The verfcaton of the correlaton, through these technques s accomplshed wthout usng the mass and stffness matrces of the fnte element model. The technques are appled n results for a free-free steel beam, where n the modal test, exctaton by mpact s used. Keywords: Modal analyss, Mode Shapes, Modal Vectors, Degrees of Freedom, Correlaton.