PROBLEMAS DIFUSIVOS TRANSIENTES COM PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS VARIÁVEIS EM CÉLULAS DE COMBUSTÍVEL NUCLEAR ELÍPTICAS

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1 PROBLEMAS DIFUSIVOS TRANSIENTES COM PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS VARIÁVEIS EM CÉLULAS DE COMBUSTÍVEL NUCLEAR ELÍPTICAS Marcelo Ferrera Pelegrn (Petrobras) Thago Antonn Alves (UTFPR/Ponta Grossa) Rcardo Alan Verdú Raos (Unesp/Ilha Soltera) Casso Roberto Macedo Maa (Unesp/Ilha Soltera) Resuo: Neste trabalho fo apresentada a solução de probleas dfusvos transentes e células de cobustível nuclear clíndrcas co seção transversal de geoetra elíptca que apresenta fontes unforeente dstrbuídas e propredades terofíscas varáves e seu doíno subetdas às condções de contorno de prero tpo (condção de Drchlet). Para facltar o trataento analítco, a equação da dfusão fo lnearzada fazendo uso da Transforada de Krchhoff sobre o potencal teperatura.as varáves espacas fora convenenteente transforadas para facltar a aplcação das condções de contorno. Para a deternação da dstrbução da teperatura na célula de cobustível a Técnca da Transforada Integral Generalzada (TTIG) fo utlzada sobre a equação da dfusão no doíno da célula. Os parâetros físcos de nteresse fora deternados para dversas razões de aspecto. Os resultados obtdos fora coparados co os da solução pelo Método dos Volues Fntos utlzando o software ANSYS/Fluent TM 16.. Palavras-chave: probleas dfusvos não-lneares, Transforada Integral, Transforada de Krchhoff, rege transente, geoetra elíptca. TRANSIENT DIFFUSION PROBLEMS WITH VARIABLE THERMOPHYSICAL PROPERTIES IN ELLIPTICAL NUCLEAR FUEL CELLS Abstract: Transent dffuson probles soluton were presented n ths work consderng cylndrcal fuel cells wth ellptcal cross-secton wth unforly dstrbuted sources and varable therophyscal propertes n ts doan subtted to boundary condtons of frst knd (Drchlet boundary condton). In order to facltate the analytcal treatent, the dffuson equaton has been lnearzed by Krchhoff Transfor applcaton n a teperature potental. The spatal varables have been transfored n order to facltate the boundary condtons applcaton. To obtan the dstrbuton of the teperature n the fuel cell the Generalzed Integral Transfor Technque (GITT) was used onto the dffuson equaton n the doan of the cell. Interestng physcal paraeters have been evaluated for several cylnder aspect ratos. The results obtaned have been copared wth fnte volue soluton obtaned by ANSYS/ Fluent TM 16. software. Keywords: non-lnear dffuson probles, Integral Transfor, Krchhoff Transfor, transent rege, ellptcal geoetry. 1. INTRODUÇÃO As células de cobustível e reatores nucleares de potênca apresenta densões reduzdas e lbera altas taxas de energa térca provenente da reação de fssão nuclear do eleento físsl (GLASSTONE & SESONSKE, 1994). Do ponto de vsta econôco, ua aor efcênca na transferênca da energa gerada pelo eleento físsl para o fludo de trabalho, possblta a construção de reatores de enores densões, be coo o estabelecento de u nventáro enor de cobustível nuclear (MAIA, 3). Dessa fora, entre os dversos fatores que nfluenca o processo de transferênca de calor, as densões geoétrcas e o forato desses eleentos desepenha u papel preponderante (PELEGRINI, 5). V. 8, N o., Ago/16 Págna 161

2 Dante da necessdade de se obter solução as precsa para odelos físcos as realístcos é peratvo o contínuo desenvolvento de novas etodologas que possa conteplar, por exeplo, o acoplaento entre as equações de conservação, a não-lneardade das relações consttutvas, processos co udança de fase, a presença de contornos co geoetra não-regular, probleas co fronteras óves, condções de contorno não-lneares, entre outros (COTTA, 199; MIKHAILOV & COTTA, 1996; SPHAIER & COTTA, ; MAIA et al. 5; ANTONINI ALVES, 6; ANTONINI ALVES et al. 14; PELEGRINI et al. 14a,b). Neste contexto, técncas híbrdas analítco-nuércas vê ganhando destaque e dversas áreas de nteresse da engenhara, por garantre aor confabldade dos resultados por elas obtdos. E partcular, a Técnca da Transforada Integral Generalzada TTIG (COTTA, 1998), é ua ferraenta co estas característcas e ve deonstrando ser poderosa e efcente na solução de probleas de transferênca de calor e assa, os quas, geralente, não possue solução pelas técncas analítcas clásscas. Neste sentdo, o presente trabalho apresenta a solução de probleas dfusvos transentes co fontes unforeente dstrbuídas e células clíndrcas de seção transversal elíptca e que utlza o dóxdo de urâno, UO, coo cobustível. Para esta análse, consdera-se as propredades terofíscas varáves, perfl de teperatura ncal unfore e condções de contorno de prero tpo (condção de Drchlet). As dfculdades nerentes da aplcação das condções de contorno e probleas co esta geoetra são reovdas aplcando-se ua udança aproprada de coordenadas. Devdo à natureza não-lnear da equação da dfusão do problea proposto, aplca-se a Técnca da Transforada de Krchhoff para a lnearzação do tero dfusvo da equação da energa. Feto sso, a equação da energa resultante é resolvda através da aplcação da TTIG e a evolução da dstrbução de teperatura é deternada utlzando-se corretaente às fórulas de nversão de todas as transforações efetuadas. Calcula-se, então, os parâetros físcos de nteresse para dversos foratos elíptcos e realza-se a coparação, quando possível, co os resultados obtdos nuercaente através do Método dos Volues Fntos (PATANKAR, 198) por eo do software ANSYS/Fluent TM FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Confore proposto, será estabelecdo que o tero-fonte no problea físco estudado é unforeente dstrbuído na pastlha de cobustível. Não será tratada aqu a transferênca de calor na casa e na folga casa-pastlha. Toda a análse será feta soente para o problea dfusvo no ateral físsl. Coo a varação da teperatura perférca da casa é relatvaente desprezível quando coparada co a agntude das varações de teperatura presentes e toda a célula, será prescrto aqu a condção de teperatura constante no contorno da pastlha. A equação da dfusão que trata da conservação da energa no doíno Ω e contorno Γ, é dada por: k T x,y,t T T x,y,t q c T,,y Tx,y,t Tp,,y T x,y, T Tp,,y p t x, t, (1) x, t, () x. (3) V. 8, N o., Ago/16 Págna 16

3 sendo que k (T) é a condutvdade térca do ateral, ρ é a assa específca, cp (T) é o calor específco e q representa o tero-fonte, TP é a teperatura da superfíce da pastlha e T, representa a condção de teperatura ncal do problea..1. Lnearzação da Equação da Dfusão Para facltar o procedento analítco, a equação da dfusão será adequadaente lnearzada através da aplcação da Transforada de Krchhoff (ÖZISIK, 1993) sobre o potencal T(x,y,t): T x, y,t q k 1 T T x, y,t t,,y x, t, (4) T * p 1 k T p x,y,t kt' T dt' T p T x,y, T T,,y p,,y x, t, (5) x, (6) co, (T * ) = k (T * ) / cp (T * ) e T * (x,y,t). Os parâetros Tp * e T * são, respectvaente, os potencas teperatura de contorno e ncal transforados... Adensonalzação da Equação da Energa A não-lneardade que ocorre no coefcente do tero transente será convenenteente reovda através da transforação de coordenadas que adensonalza a equação da dfusão de energa. Ass, na sua fora adensonal, Eqs. (1), () e (3) são reescrtas coo: X,Y, X,Y, 1 X,Y,,,Y p X,Y,,,Y,,Y X,, (7) X,, (8) X, (9) co: x X, L ref y Y, L ref tt, X,Y, L ref T X,Y, T, L p k ref q L ref As. (1) Per sendo que, Lref representa u coprento de referênca, As representa a área da seção transversal do clndro e Per o períetro. Para o presente problea, fo adtdo desprezível os efetos de segunda orde referente a varação local de co a dfusvdade térca na transforação teporal de t para. Para caracterzar as dversas possbldades de contornos de geoetra elíptca eprega-se o parâetro razão de aspecto ρaspec dado por: ρ aspec l L. (11) V. 8, N o., Ago/16 Págna 163

4 sendo que l e L são, respectvaente, os coprentos dos se-exos aor e enor da elpse. Os parâetros geoétrcos de nteresse são vsualzados na Fg. 1. Observa-se setra e relação ao exo X e ao exo Y de fora que é sufcente consderar soente o doíno e u quadrante confore destacado pela regão sobreada. Y L a a X l Fgura 1 Parâetros geoétrcos e udança de coordenadas do sstea cartesano para o sstea elíptco..3. Transforação de Coordenadas A convenênca de se proceder ua transforação de coordenadas adequada se deve ao fato de que a seção elíptca do sstea de coordenadas cartesanas não perte ua representação sples de seu forato. O sstea ortogonal de coordenadas elíptcas é utlzado, então, para transforar o doíno orgnal co contorno de forato elíptco no plano (X,Y) e u doíno co contorno de forato retangular no plano transforado (u,v), coo é ostrado, para aor clareza, na Fg.. Fgura Mudança de coordenadas do sstea cartesano para o sstea elíptco. As relações ateátcas que representa esta transforação são: X a cosu cosh v, Y a senu senhv, a a L ref, (1) sendo que a é a dstânca focal da elpse que é dada por: V. 8, N o., Ago/16 Págna 164

5 L L a, v cosh arc tanh, (13) l v sendo que v é o parâetro que defne o contorno no plano (u,v). Os coefcentes étrcos, hu e hv, o Jacobano da transforação, J, e o Operador Laplacano,, são deternados pelas seguntes relações: h u 1 u,v h u,v a sen u senh v v, (14) X,Y Ju,v u,v a sen u senh v. (15) Para o doíno copreenddo e u quadrante, a equação da dfusão e as condções ncas e de contorno no sstea de coordenadas elíptcas são dadas por: u,v, u,v, u,v Ju,v Ju,v,, u v u, v v,, (16) u,v,, u, v v u,v, u u,v, v ; (17),, u v v, u ; (18), u, v,. (19) u,v, u, v v,,, ().4. Aplcação da TTIG Os perfs de teperatura característcos do problea proposto serão obtdos a partr da aplcação da Técnca da Transforada Integral Generalzada TTIG sobre sua equação característca. Devdo a sua propredade bdensonal, o potencal (u,v,τ) será escrto e teros de ua expansão e autofunções noralzadas obtdas de probleas auxlares de autovalor para cada coordenada espacal (APARECIDO, 1997). Portanto, a aplcação da TTIG, para cada u dos probleas propostos, será feta e partes. Consdere o segunte problea auxlar de autovalor: d du u, u, u, (1). () V. 8, N o., Ago/16 Págna 165

6 Os autovalores e as autofunções assocados a este problea são: 1, u cos u, 1,, 3... (3) As autofunções aca são ortogonas e perte o desenvolvento do segunte par transforada-nversa: / v, Ku u,v, du, transforada; (4) u,v, K u v,, nversa. (5) 1 sendo que v, K é o potencal transforado e u e K (u) são as autofunções noralzadas: / u u, N 1/ u N /, 1 du. (6) / 4, 1 Efetuando o produto nterno das autofunções noralzadas K (u) co a equação da dfusão e fazendo uso das condções de contorno dadas pelas Eqs. (18), (19) e () e da equação que defne o problea auxlar de autovalor, Eq. (1), obté-se que: j 1 A j A j v j v, v, / v Ku K j u J u,v du v, C v v /, Cv Ku J u,v, 1,, 3... (7) du. (8) Para proceder a transforação ntegral relatvo a coordenada v, consdere o segunte problea de autovalor: d dv v, v v, v v ; (9). (3) Os autovalores e as autofunções para este novo problea auxlar são: 1l, v cos v v, 1,,3... (31) As autofunções transforada-nversa: v são ortogonas e perte o desenvolvento do segunte par V. 8, N o., Ago/16 Págna 166

7 v o / du dv, transforada; (3) Ku Zv u,v,, nversa. (33) u,v, Ku Zv 1 1 sendo que, Z(v) são as autofunções noralzadas e são dadas por: Z v v v, M M 1/ v v dv. (34) sendo que, M são as ntegras de noralzação. A transforação ntegral sobre a coordenada v é feta efetuando-se o produto nterno das autofunções noralzadas Z(v) co a equação dferencal transforada na coordenada u. Feto sso, fazendo uso das condções de contorno e das propredades de ortogonaldade das autofunções correspondentes ao problea auxlar de autovalor e v, obté-se a segunte relação para o potencal transforado n1 j1 B D jn B j n d d v / v Z D : v Znv A j v dv K u K j u Zv Znv Ju,v v / v Z v C v dv K uz v Ju,v que deve satsfazer a condção ncal transforada, que é dada por: Ku Zv u,v,, 1,, 3... (35) du dv, (36) du dv. (37) v o / dv du. (38) O potencal transforado expansão para ua dada orde M e N: M N n1 j1 B j n d d D pode ser obtdo nuercaente quando se trunca a. (39) O potencal teperatura (u,v,τ) é obtdo, então, através da fórula de nversão dada: M N. (4) u, v, K u Zv 1 1 V. 8, N o., Ago/16 Págna 167

8 .5. Parâetros Físcos de Interesse.5.1. Constante de Tepo Para a análse dos probleas e questão é convenente que se estabeleça u parâetro aproprado capaz de verfcar o coportaento transente da dfusão de calor e função da razão de aspecto. Para tal, é defnda a função potencal teperatura noralzada N u,v, e teros da teperatura áxa do doíno no rege peranente, áx : u,v, N u,v,. (41) áx Consequenteente a esta defnção, o potencal noralzado áxo e édo que ocorre no doíno, para u dado nstante τ, são dados por: áx N áx, N éd áx éd éd. (4) éd Da Equação (8), observa-se que o potencal N áx estará copreenddo no ntervalo [,1]. Ass, defne-se a constante de tepo c coo sendo o parâetro que deterna o tepo necessáro para que a teperatura N áx esteja a 1/e do seu valor e rege peranente, ou seja, áx áx áx 1 1, 631 e. (43).5.. Teperatura Méda A teperatura éda no doíno e u dado nstante é expressa por: θ éd T éd ( X,Y, ) T L ref q p 1 k A ( s As 4 X,Y, ) d A A s v u,v, J u,v du dv. (44) 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Os coefcentes Bjn e D, necessáros para o cálculo do potencal transforado, fora obtdos a partr de ntegração pelo Método de Quadratura de Gauss. Para coerênca na forulação nuérca, os valores das autofunções e do Jacobano da transforação fora tabé calculados nos pontos de quadratura. Este potencal transforado fo calculado resolvendo-se o sstea de EDO, co o auxílo da rotna coputaconal DIVPAG da Bbloteca IMSL Fortran TM (IMSL LIBRARY, 1979). Fo observado que a convergênca da sére que deterna o potencal teperatura fca as lenta no níco do transente (τ <,1), prncpalente quando a razão de aspecto tende a 1. Para estes casos é necessáro truncar a sére que deterna o potencal teperatura (u,v,τ) e ua orde N, M superor a 5 teros para se obter u íno de 4 dígtos de precsão. À edda que auenta, observase que a sére converge co u núero be enor de teros. V. 8, N o., Ago/16 Págna 168

9 Após este procedento, utlzando-se corretaente das fórulas de nversão de todas as transforações efetuadas, os resultados densonas para a célula de UO especfcada são obtdos consderando-se as propredades terofíscas varáves. A condutvdade térca (FINK, ) e o calor específco (CARBAJO et al., 1), que vara devdo às grandes varações de teperatura à que está subetdo o ateral, são dados respectvaente, por: k T T, 13 e, 188T, (45) 3 4 T c c 3c 4c c c c p, (46) sendo que, abas as propredades terofíscas são dadas no SI, Θ = T/1, T é a teperatura terodnâca absoluta [K]; c1=193,38; c=16,8647; c3= 14,14; c4=9,56; c5= 1,957 e c6=,6441. A Tabela 1 apresenta as condções ncas e de contorno para o problea estudado, alé do valor do tero-fonte. A taxa de geração térca é deternada de fora que o nível de teperatura no centro da célula atngsse, e rege peranente, valores típcos que são da orde de 1.8 K. 6 Tabela 1 Parâetros tércos e geoétrcos da pastlha de UO estudada. Parâetro de Interesse Teperatura na condção ncal T 7 K Teperatura na condção de contorno T p 7 K Tero-fonte q & 58 MW Área da seção da pastlha do reator PWR A past 78,5 A Fgura 3 lustra o coportaento da dstrbução da teperatura na célula de cobustível nuclear elíptca consderando ua razão de aspecto gual a,5. A Tabela apresenta os resultados obtdos para o coportaento transente da teperatura densonal da célula de UO de esa razão de aspecto, consderando-se as propredades terofíscas constantes e varáves. Na Tabela pode ser observado que a teperatura e rege peranente para a célula co propredades constante supera e aproxadaente 7K a teperatura obtda para o odelo de célula co propredades varáves. Este valor corresponde a ua dferença de 6% quando coparada co o ntervalo de 7K (condção ncal) a 1.813K (condção e rege peranente). Nesta esa tabela, anda fo apresentada ua coparação co os resultados obtdos nuercaente pelo Método dos Volues Fntos através do software ANSYS/Fluent TM 16. para o problea de propredades terofíscas varáves. Coo pode ser observado, há ua boa concordânca entre os resultados, prncpalente no níco e no f do período transente. As dferenças áxas que ocorre e u eso nstante de tepo são da orde de K, o que corresponde a aproxadaente % do ntervalo de teperatura verfcando durante o transente. V. 8, N o., Ago/16 Págna 169

10 Teperatura [K] Teperatura [K] Y X.6 Fgura 3 Dstrbução de teperatura T(X,Y) e ua célula de cobustível nuclear elíptca consderando aspec =,5 e = c. Tabela Valores da teperatura para a célula de cobustível de UO, aspec =,5. t [s] Propredades constantes Propredades varáves Táx [K] Téd [K] Táx [K] Táx (1) [K] Téd [K], 73,5 73,3 73,4 73,5 73,3,4 77,5 77, 76,9 76,9 76,4,6 71, 79,3 71,3 71,4 79,5,1 719,9 718,1 717,1 717,9 715,3,19 744,8 738,6 733,9 733,8 79,1,38 784,7 768,7 766,6 768,4 753,5,57 834,5 8,9 798,3 81,7 775,3,95 93, 857, 858,7 865,5 813, 1,34 994,9 896,9 915, 94, 845,4 1,91 118, 964,6 99,8 16,4 886,8 3, ,7 1114,6 1,1 1,3 987,4 5,7 1648, 1195, 1355,5 1377,9 153,6 9, ,3 163, 1556,3 158, 1131,5 13, ,3 183,6 167,4 1684, 117,6 19,7 1881,3 191, 1755,5 1764, 1196,4 38, ,8 19,4 1811,1 181,9 11, 49, ,8 19,4 1813,4 1813,6 11,6 51, ,8 19,4 1813,5 1813,6 11,6 53,4 1884,8 19,4 1813,6 1813,6 11,6 55, ,8 19,4 1813,6 1813,6 11,6 (1) Método dos Volues Fntos co o auxílo do software ANSYS/Fluent TM 16. V. 8, N o., Ago/16 Págna 17

11 E, fnalente, na Tabela 3 e na Fg. 4 são apresentados os resultados obtdos para o coportaento das constantes de tepo áxa e éda e função da razão de aspecto da célula de cobustível nuclear de seção transversal elíptca. De ua anera geral, os valores das constantes de tepo áxa e éda auenta co o auento da razão de aspecto. Tabela 3 Contantes de tepo áxa e éda. aspec áx éd,1,179,1383,,38,1549,3,4,185,4,97,133,5,34,496,6,3717,816,7,3741,31,8,3671,397,9,3545, áx éd aspec Fgura 4 Coportaento das constantes de tepo áxa e éda e função da razão de aspecto. 4. CONCLUSÕES A utlzação de técncas híbrdas analítco-nuércas para solução de probleas dfusvos e dfusvo-convectvos te conqustado a coundade técnco-centífca devdo à sua precsão e ao seu baxo custo coputaconal quando coparado aos étodos puraente nuércos. Neste contexto, fo analsado no presente trabalho o problea dfusvo transente co fontes unforeente dstrbuídas e propredades terofíscas varáves e clndros de seção transversal elíptca subetdos a condções de contorno de prero tpo (condção de Drchlet) utlzando a Técnca da Transforada Integral Generalzada TTIG para a solução da equação da energa. Para facltar o procedento analítco, a equação da dfusão fo lnearzada através da aplcação da Transforada de Krchhoff e fo realzada ua udança do sstea de coordenadas. V. 8, N o., Ago/16 Págna 171

12 Fo observado que a expansão que deterna o potencal teperatura apresenta convergênca lenta no níco do transente. Constantes de tepo defndas e relação à teperatura áxa e à teperatura éda fora tabé calculadas para dversas razões de aspecto da célula de cobustível nuclear elíptca. Fnalzando, neste trabalho a TTIG fo aplcada co sucesso na obtenção de solução de probleas dfusvos transentes ultdensonas, ressaltando, aqu, o problea co doíno de geoetra elíptca, o qual não adte solução pelas técncas analítcas clásscas. REFERÊNCIAS ANTONINI ALVES, T. Aplcação da transforada ntegral na solução de ua classe de probleas dfusvos e dfusvo-convectvos e doínos de geoetra não-convenconas. Dssertação de Mestrado e Engenhara Mecânca, Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, Ilha Soltera, Brasl, 36p, 6. ANTONINI ALVES, T.; PELEGRINI, M.F.; RAMOS, R.A.V.; MAIA, C.R.M. Análse do coportaento de células de cobustível nuclear e geoetra elíptca pela Técnca da Transforada Integral Generalzada. Revsta Centífca Lnkana Master, v.8, p.4-41, 14. APARECIDO, J.B. How to choose egenvalue probles when usng generalzed ntegral transfor to solve theral. In: Proceedngs of the 14 th Brazlan Congress of Mechancal Engneerng, Bauru, Brazl, n CD-ROM, CARBAJO, J.J.; YODER, G.L.; POPOV, S.G.; IVANOV, V.K. A revew of the therophyscal propertes of MOX and UO fuels. Journal of Nuclear Materals, v.99, p , 1. COTTA, R.M. Hybrd nuercal-analytcal approach to nonlnear dffuson probles. Nuercal Heat Transfer, Part B: Fundaentals, v.7, p.17-6, 199. COTTA, R.M. The ntegral transfor ethod n theral and fluds scence and engneerng. New York: Begell House Inc., FINK, J.K. Terophyscal propertes of uranu doxde. Journal of Nuclear Materals, v.79, p.1-18,. GLASSTONE, S.; SESONSKE, A. Nuclear reactor engneerng: reactor systes engneerng. London: Chapan & Hall, IMSL LIBRARY, Edton 7, GNB Buldng, 75 Ballare Blod, Houston, Texas 7736, MAIA, C.R.M.; RAMOS, R.A.V.; PELEGRINI, M.F.; ANTONINI ALVES, T. Heat transfer study n slug flow on ellptcal ducts cross secon by Generalzed Integral Transfor Technque. Engenhara Térca, v.4, p , 5. MAIA, C.R.M. Solução de probleas dfusvos e dfusvo-convectvos e doíno de geoetra elíptca e bcôncava pela técnca da transforada ntegral generalzada. Tese de doutorado e Engenhara Mecânca, Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Estadual de Capnas, Capnas, Brasl, 51p., 3. V. 8, N o., Ago/16 Págna 17

13 MIKHAILOV M.D.; COTTA R.M. Orderng rules for double and trple egenseres n the soluton of ultdensonal heat and flud flow probles. Internatonal Councatons of Heat and Mass Transfer, v.3, p.99-33, ÖZISIK, M.N. Heat conducton. New York: John Wley & Sons, PATANKAR, S.V. Nuercal heat transfer and flud flow. New York: Hesphere Publshng Corporaton, 198. PELEGRINI, M.F.; ANTONINI ALVES, T.; RAMOS, R.A.V.; MAIA, C.R.M. Hybrd analytcal-nuercal analyss of SAE 415 alloy steel rods coolng. Advanced Materals Research (Onlne), v.18, p , 14a. PELEGRINI, M.F.; ANTONINI ALVES, T.; RAMOS, R.A.V.; MAIA, C.R.M. Transent heat dffuson probles wth varable theral propertes solved by Generalzed Integral Transfor Technque. Internatonal Revew of Mechancal Engneerng (Testo Stapato), v.8, p , 14b. PELEGRINI, M.F. Aplcação da técnca da transforada ntegral para a solução de probleas dfusvos transentes co propredades terofíscas varáves. Dssertação de Mestrado e Engenhara Mecânca, Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, Ilha Soltera, Brasl, 15p, 5. SPHAIER, L.A.; COTTA, R.M. Integral transfor analyss of ultdensonal egenvalue probles wthn rregular doans. Nuercal Heat Transfer, Part B: Fundaentals, v.38, p ,. V. 8, N o., Ago/16 Págna 173