Regime forçado alternado sinusoidal

Transcrição

1 ege forçado alternado snusodal 35 Grandezas alternadas snusodas f ( t ) = f ( t + T ) Função peródca de período T f é alternada (A) se peródca e f a v = f d t = T T Qualquer f peródco satsfaz a 0 f = f + g ( t ) fav é a coponente contínua de f a v (offset) e g(t) é ua função A ( ω θ ) v ( t ) = c o s t + U tpo de função alternada

2 36 φ ( t ) = ω t + θ Grandezas alternadas snusodas v ( t ) = c o s ω t + θ Apltude ou valor áxo () Fase (rad) Frequênca angular (rad s - ) Fase na orge dos tepos(rad) Perodo ωt=2π ω=2π/τ (s) ω θ T f = / T Frequênca (Hz) θ fa se n a o rg e restrta a π θ < π

3 37 Desfasagens v ( t ) = c o s ω t + θ v ( t ) = c o s ω t + θ φ = φ φ = ω t + θ ω t + θ = θ θ φ > 0 φ < 0 φ = 0 φ = ± π φ = ± π / 2 2 e avanço de fase relat/ a v 2 e atraso de fase relat/ a v 2,v 2 e fase co v 2 e quadratura co v 2 e oposção de fase co v v t v2 t t t

4 alor édo e efcaz 38 = v ( t ) = v ( t ) d t = 0 a v a v T T 2 ( ) ( ) 2 e f a v T T alor édo = v t = v t d t alor efcaz = / 2 ou r..s P = p = d t = I T 2 2 a v e f T Potênca éda e

5 39 Snal Snusodal aplcado a u crcuto -rege forçado Snal snusodal de apltude e frequênca angular ω rege forçado v ± S v S lgado e t=- KL elações de consttução dv dv + + = τ + = dt dt v + v + v = v = = v v v v c v dv dt Só rege forçado cos ωt 0 o fase nula na orge

6 esolução 40 Mateátca - Método dos coefcentes ndeternados Tentar solução da fora vc( t) = Acos ωt + Bsen ωt A+ ωτ B cos ωt+ B ωτ A sen ωt = cos ωt dv τ dt cos ωt A+ ωτ B = ωτ 2 2 B A=, B=+, 2 2 = A + B φc 0 = arctg = arctg ωτ A+ B= 0 + ωτ + ωτ A v ( t) = cos ωt + θ c c = cos ( ωt + θ ) 2 c + ωτ fase θc e + v = ( ωτ ) Tensão v (t) tabé snusodal dferndo na apltude c e na fase.c co atraso de fase. φ = φ φ = ω t + θ ω t = θ < c c c 0

7 Solução - epresentação gráfca 4 2 db db / decada φ /τ ω φ /τ ω 45º ω 2 45º ω 90º 90º Escala lnear = + ( ωτ ) 2 φ = a r c tg ω τ

8 Solução - epresentação gráfca-ii 42 Andaento assptótco co a frequênca w A - w 0 / 20log 0 / 0 φ = arctg 0 = 0 B - w t / / 2 = 0,707 20log 0 / = 3dB φ = arctg = 45º - wt>> / = / ω 20log ( / ) = 20log 0 0 φ = ω arctg ( ) = 90º

9 Solução - epresentação gráfca-iii 43 epresentação assptótca db 0 20 db / decada φ 0º w c /0 w c =/t w c 0w c ω ω 45º 90º

10 Núeros coplexos 44 Z=X + jy epresentação cartesana j Z= Ze ϕ epresentação polar Z= Z cosϕ + jsenϕ = Zcsϕ = Z ϕ I Y Z j X epresentação trgnoétrca e Z = X + Y ϕ = 2 2 Y arctg X Dagraa de Argand

11 45 ± v c c aso jω t e aplcado a u crcuto v c S (t)= e v jω t a pltude co plexa v c S lgado e t=- KL elações de consttução Só rege forçado v + v + v = 0 c v = dv t c = v = dt ' dt (t)=ie jωt c jωt jωt t jωt jωt jωt jωt - e + Ie + Ie dt ' 0 - e Ie Ie 0 = + + = jω Está assocado ao rege lvre (t) forçado Equações ntegro-dferencas são transforadas e equações algébrcas se v=e jωt

12 Snal jω taplcado a u crcuto -II e 46 jωt jωt t jωt jωt jωt jωt - e + Ie + Ie dt ' 0 - e Ie Ie 0 = + + = jω = + I = Z I jω Z jωt I = t = Ie Solução (t) Z é a pedânca do crcuto-representa o da le de oh generalzada para as apltudes coplexas j jϕ Z= Z e Ze arctg ω = = X + jy

13 47 epresentação sbólca de grandezas snusodas e jωt = jθ e jωt = e j t+ - é u núero coplexo e recebe o noe de apltude coplexa do snal snusodal v(t) de freq. ω. Ass, há copleta correspondênca entre os coplexos e as funções snusodas de frequênca ω v(t)= cos t+ e = e jωt jθ jωt epresentação sbólca de v(t) ω θ e ω θ e epresentação geoétrca elação co o síbolo:projeção sobre os reas j t v(t)= cos ωt+ θ = e( e ω ) θ ω O v(t) ector (fasor), gra e torno de O co velocdade ω e na orge dos tepos te a fase θ

14 álculo sbólco-i 48 a) Soa v ( t ) = v ( t ) + v ( t ) 3 2 b) translação: = e ( e ) + e ( e ) jω t jω t 2 ( jω t e ) = e + 2 Soar no doíno do tepo equvale a soar vectoralente no doíno das apltudes coplexas v ( t ) v ( t ) = v ( t + t ) 2 0 I ( ( + 0 ) ) 0 2 e 3 jω t t jω t jω t jω t 2 v 2 ( t ) = e e = e e e = e e Translação no doíno do tepo é j t ultplcar por e ω 0 no doíno das apltudes coplexas

15 álculo sbólco-ii 49 c) dervação d d jω t d jω t e ( ( jω t g t = v t = ) e ) = e ( e ) e jω e d t d t d t G = jω Dervação d/dt no doíno do tepo d) Prtvação orresponde a ultplcar por jω no doíno das apltudes coplexas jω t e e ( jω t ) jω t g t = v t d t = e d t = e d t = e( e ) jω G = jω Prtvação no doíno do tepo orresponde a dvdr por jω no doíno das apltudes coplexas

16 50 ± ege forçado snusodal-operador pedânca-i Se v S v v (t)= cos ( ω θ ) t+ u jωt ( ) v (t)=e e jθu = e v c S lgado e t=- KL É forçado elações de consttução epresentação sbólca Só rege forçado v + v + v = 0 v = dv t = v = dt ' dt (t)=i cos ( ω θ ) t+ ( jωt ) (t)=e Ie jθ I = Ie

17 5 ege forçado-operador pedânca-ii t v + v + v = 0 v + + ' dt = 0 eg. lvre e( j ω t j ω t j ω t e + Ie + Ie ) = 0 Equação vectoral j ω Substtu eq. dferencal + I + I = jω 0 = I + I jω Prtvação no doíno do tepo orresponde a dvdr por jω no doíno das apltudes coplexas

18 ege forçado-operador pedânca-iii 52 Equação vectoral = + I jω X Z Ipedânca Z jϕ Z = + jx Ze jω = + = ϕ esstênca eactânca capactva Módulo de pedânca Arguento da pedânca jθv e j( v ) Z = = = e = Ze jθ I I e I θ ϕ θ θ θ jϕ epresentação polar I

19 53 Função de transferênca T, representação gráfca = I jω jω ( ω ) e = + I + + τ jω jω T = = = = 2 ( ω ) + jω jarctg τ c jarctg ( ω τ ) e T jφ = = = T = = = e + ωτ 2 + ( ωτ ) argt = φ = arctg ( ωτ ) T = d B d B / d e c a d a epresentação geoétrca sbólca do snal vc(t) e v(t) ω 2 φ 45º /τ ω ω c φ 90º

20 ege forçado-caso -L- sére-i 54 v v L 54 I L ± v L v c ± L v (t)= cos (t)=i cos v = d vl L dt t = ' dt v j v ωt+ θ u = e θ ( ω θ ) t+ = L c = I I jω = j I e θ = I θ = jωli = I = θ L = ωli θl = θ + π / 2 c = I /( ω) θ = θ π / 2

21 ege forçado- caso -L- sére-ii 55 d t v + v + v + L v = 0 v + + L ' dt 0 dt + = + + L + = 0 = + I + j ω LI + I jω = + jω L + I = + j ωl I jω ω Equação vectoral = Z I Ipedânca Z

22 esuo 56 Eleento v Eq. de valores nstantâneos v = Eq. vectoral Ipedânca Dagraa = I Z = + j0 I v L v L d L dt = L = jω L I Z = 0 + jω L L I v v = dt = jω I Z = 0 j ω I

23 Ipedânca- aso geral 57 j( θv θ ) Z = = e = ( θ ) v θ = + jx I I I é a coponente resstva da pedânca X é a reactânca coponente reatva da pedânca X>0 reactânca do tpo nductvo X<0 reactânca do tpo capactvo X=0 pedânca óhca pura

24 58 Ipedânca de eleentos-adtânca Ipedânca dua resstênca Ipedânca dua bobne Ipedânca du condensador Adtânca Z = Z L = jω L Z = = j jω ω I I = j( θ θ ) I v Y = = e = ( θ θv ) = Y ( θ θv ) Z X Y = / Y = G + jb = + j X + X YL = / jω L G-onductânca (S-Seens) B Susceptânca (S) Y = jω