INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE E DE HERMITE INTRODUÇÃO

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1 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE E DE HERMITE INTRODUÇÃO Obetvando a preparação aos étodos de aproação a sere apcados à resoução nuérca de equações dferencas ordnáras co vaores no contorno e de equações dferencas parcas (o étodo das nhas), apresenta-se neste capítuo os étodos de nterpoação ponoa de Lagrange e de Herte. O bo entendento desses étodos de aproação factará bastante o aprendzado nos étodos de quadratura nuérca que fundaenta o étodo. Para consodar seu entendento, tas étodos serão aqu apresentados de fora eaustva e ustrados por eepos spes e de fác reprodução. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE Ta nterpoação é aqu apresentada á vsando suas apcações no desenvovento das epressões de quadratura nuérca, sendo ass apcada a funções contínuas e defndas no ntervao [0,+], caso a varáve ndependente do probea não se apresente nesta fora torna-se necessáro norazar o ntervao apcando a spes transforação a near : norazado se o ntervao de defnção da varáve ndependente for [a,b]. b a A nterpoação ponoa de Lagrange consste e aproar ua função contínua e defnda no ntervao [0,+], f, por u ponôo de grau (-) : P - (), ta que: P f, para =,,..., ; chaando-se os pontos ( =,,..., ) de pontos nodas ou pontos de nterpoação. Esse procedento pode ser facente vsuazado na Fgura abao, e que se adota 05 (cnco) pontos nodas aproando a função por u ponôo de quarto grau. f k y nt k 0 y ,, v k k Fg. - Interpoação Ponoa de Lagrange co 05 Pontos (Quarto Grau) [Curva contínua: Função Eata-Curva Ponthada: Função Interpoada-Pequenos Quadrados: Pontos Nodas]

2 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte A fora as dreta, as não necessaraente a as spes, de gerar o ponôo nterpoador: P - (), que pode ser representado por: P c, é através da resoução do sstea near: P c f 0, para =,,...,, sto é: 0 c 0 f c f c f A resoução deste sstea near fornece os vaores dos coefcentes c, = 0,,...,. Eepo Iustratvo: Deternar o ponôo nterpoador de quarto grau da função: f sen no ntervao [0,+], utzando os seguntes pontos de nterpoação: 0, ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 e 0, , 0, 0, 0, c 0, sen0, ,4 0,4 0,4 0,4 c 0, 4 sen0,8 3 4 O sstea near é: 0,5 0,5 0,5 0,5 c 0,5 sen, ,6 0,6 0,6 0,6 c 3 0,6 sen, 3 4 0,8 0,8 0,8 0,8 c 4 0,8 sen, 6 Ou, nuercaente: 0, 0, 04 0, 008 0, 006 c0 0, , , 4 0,6 0, 064 0, 056 c 0, , ,5 0, 5 0,5 0, 065c 0, c 8, , 6 0,36 0, 6 0,96 c3 0, , ,8 0, 64 0,5 0, 4096 c 4 0, , O ponôo nterpoador resutante é representado grafcaente abao: f k y nt k y ,, v k k Fg. - Interpoação Ponoa de Lagrange co 5 Pontos (4 o Grau) Função: f sen [Curva contínua: Função Eata -Curva Ponthada: Função Interpoada [Pequenos Losangos: Pontos Nodas]

3 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte Observa-se na Fgura anteror que entre os pontos de nterpoação, [0, 0,8] a aproação ponoa da função é bastante satsfatóra, entretanto para vaores de <0, e de > 0,8 o erro é be pronuncado, acentuando-se à edda que se dstanca dos esos (nesses casos te-se na readade ua etrapoação). Esse coportaento é cou a todas as foras de nterpoação ponoa e sua quantfcação será apresentada posterorente. A resoução nuérca do sstea near de equações que defne os vaores dos coefcentes da aproação ponoa ne sepre é precso, pos, e utos casos, a atrz característca do sstea A,, para, =,, é a-condconada. Aé dsso, nesse tpo de cácuo, verfca-se que os vaores dos coefcentes da nterpoação são uto eevados (e óduo) e, geraente, de snas aternados, ta coportaento é reforçado co o auento do grau da aproação (no Eepo Iustratvo aca apesar do óduo da função ser sepre nferor a, os coefcentes da aproação - co eceção de c 0 - são sepre aores que - e óduo - e auenta à edda que o grau auenta), ta coportaento é tabé u ndcatvo das dfcudades e precsões nuércas assocadas ao procedento. Outro aspecto que deve ser ressatado é reatvo à utzação posteror da nterpoação ponoa, pos o obetvo fna do procedento é cacuar o vaor da função e outros pontos que não os utzados na aproação, utzando nforações dos vaores da função nos pontos nodas para gerar a aproação ponoa. Dessa fora, para atender a este obetvo, não há a necessdade de se cacuar os coefcentes da aproação, procedendo-se na fora proposta orgnaente por Lagrange, que consste e representar a nterpoação na fora: P f E que: : ponôo e de grau, ta que: para, [função de Krönecker] 0 para Os ponôos, para =,...,, são chaados de ponôos base da nterpoação de Lagrange e consttue ua base copeta de funções ponoas de eso grau [ grau (-)], sto é quaquer ponôo de grau (-) pode ser epresso por ua cobnação near destes ponôos. Coo 0 raízes de para todo, sto é para =,,..., (), (+),..., que são as (-), ogo: C C, coo: k k k k C, resuta e: para =,,..., k k k k k k O procedento de geração dos ponôos base da nterpoação de Lagrange pode ser peentado peo prograa e MATHCAD a segur apresentado. 3

4 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte Lagrange( z) for 0 for 0 z f Outra fora de epressar os ponôos nterpoadores de Lagrange pode ser feta através da defnção do ponôo, que é o ponôo de grau e que se anua e te todos os pontos nodas, ass: P C, e que C te é ua constante arbtrára, note que e vsta de: P k te C e dp P ( ) ( ) P k, pode-se epressar: te te te k C C C k P para =,,...,, e que: P ( ) k k te ( ) k k te P C C. Coo a C te se encontra presente no denonador e nuerador da úta epressão, pode-se p sepre consderar: para =,,...,, e que: p p k k Eepo Iustratvo: No eepo anteror, te-se: =0,; = 0,4; 3 = 0,5; 4 = 0,6 e 5 =0,8. Ass: 0, 4 0,5 0, 6 0,8 0, 4 0,5 0, 6 0,8 0, 0, 4 0, 0,5 0, 0,6 0, 0,8 0, , 0,50, 6 0,8 0, 0,5 0, 6 0,8 0, 4 0, 0, 4 0,50, 4 0,60, 4 0,8 0,

5 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte 0, 0, 4 0,6 0,8 0, 0, 4 0,6 0,8 3 0,5 0, 0,5 0, 4 0,5 0, 6 0,5 0,8 0, , 0, 40,5 0,8 0, 0, 4 0,5 0,8 4 0,6 0, 0,6 0, 40,6 0,50,6 0,8 0, , 0, 40,5 0,6 0, 0, 4 0,5 0,6 5 0,8 0, 0,8 0, 40,8 0,50,8 0, 6 0, Resutando e: P4 f(0, ) 30 f(0, 4) f(0, 5) 0 f(0, 6) f(0,8) f(0, ) f(0, 4) 975 f(0,5) f(0, 6) 65 f(0,8) f (0, ) 5 f(0, 4) f(0,5) f(0, 6) 65 f(0,8) f(0,) 30 f(0,4) f(0,5) 0 f(0,6) f(0,8) f(0,) f(0,4) f(0,5) f(0,6) f(0,8) Substtundo os vaores da função e cada u dos pontos nodas na epressão aca, obté-se os esos vaores dos coefcentes do ponôo nterpoador. Apesar de essa fora aparentar ser as copea que a anteror, a esa é obtda se a resoução do sstea near de equações agébrcas. Aé dsso, os esos ponôos base pode ser utzados para nterpoar quaquer função contínua no ntervao, bastando cacuar os vaores da função e cada u dos pontos nodas. Outra propredade nteressante dos ponôos nterpoadores de Lagrange pode ser k obtda quando se apca a nterpoação ponoa à função; f para k = 0,,,..., (-), então coo neste caso a nterpoação é eata, de (II.), te-se: k k, para k = 0,,,..., (-) Agebrcaente, os ponôos de Lagrange pode ser nterpretados coo as ncógntas deste sstea near de equações no qua o eeento da nha k e couna da k atrz característca é e no qua o eeento k do vetor das constantes é:. k 5

6 Para ustrar esta observação, adota-se =, ass: co k=0:, resutando no sstea agébrco near: Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte e co k=: ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE Do conceto de nterpoação ponoa de Lagrange, te-se que o vaor da aproação ponoa de grau (-), P - (), é gua ao vaor da função f() nos pontos nodas, sto é o erro da nterpoação é nuo nos pontos nodas, o que perte nferr que a fora do erro da aproação é: Erro f P p Para deternar a epressão de, procede-se de anera seehante à utzada na anáse do resíduo de epansões e séres de potêncas, defnndo-se a função: Qt () f() t P () t p () t. Note que a função Q(t) se anua e (+) vaores de t que são:,,..., e (u vaor genérco do arguento orgna). Desta fora, peo Teorea do Vaor Médo, a dervada da função Q(t) se anua peo enos vezes no nteror do ntervao das raízes [ntervao I coposto peos vaores de t contdos entre (a) e caso < - etrapoação ; (b) e caso - nterpoação- ; (c) e caso > - etrapoação ], sto é: dq () t df () t dp () t dp () t te peo enos raízes e I; dt dt dt dt dq() t dqt () a dervada da função,, anua-se peo enos - vezes no ntervao I, sto é: dt dt dqt () d f() t d P () t d p () t conté peo enos - raízes e I. dt dt dt dt Induzndo a epressão para a ésa dervada de Q(t), resuta que: () () dqt d f t dp () t dp () t conté peo enos + raízes e I, co dt dt dt dt varando de 0 a. Para o úto vaor de (sto é: = ), resuta: () () d Q t d f t d P () t d p () t anua-se peo enos (ua) vez e I, dt dt dt dt d P coo : () t 0 dt [ P () t é u ponôo e t de grau (-)] e d p () t ( )! o coefcente de t d p () t e p () t é gua a dt ( )! dt d Q() t d f() t obté-se:! conté peo enos (ua) raz e I, sea essa dt dt d Q() t d f( t) raz, sto é: 0, resutando na epressão: dt t! dt. t 6

7 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte Concundo-se que o erro da nterpoação ponoa é dado por: d f( t) Erro p! dt, sendo agu ponto de I e: p : t u ponôo e de grau O erro da aproação ponoa é ass consttuído peo produto de dos teros: d f( t) ()! dt e () p, o prero desses teros depende nerenteente t da função que se está aproando, ndependente da seeção dos pontos nodas; á o segundo tero, que é o própro ponôo, depende ecusvaente da seeção dos pontos nodas, seu vaor (e óduo) pode ser nzado segundo crtéros be defndos. Anasando a epressão aca, chega-se as seguntes concusões: (a) o Erro da nterpoação para funções ponoas de grau nferor a é nuo, pos: d f() t 0 para todo vaor de t; dt (b) se f() for ua função ponoa de grau co coefcente de gua a c o erro da nterpoação será: Erro c p ; (c) se f() for ua função ponoa de grau n > então o erro da nterpoação é: Erro qn p, e que : qn é u ponôo e de grau n-. A Eq. (II.6) é tabé út para a anáse dos tes superores do erro da nterpoação, esse tpo de anáse é ustrada no eepo a segur. Eepo Iustratvo: Anase o vaor áo do erro na nterpoação de 4 o grau da função: f sen no ntervao [0,+], utzando os seguntes pontos de nterpoação: 0,; 0,4; 0,5; 0,6 e 0, d f 5 d f 5 Da epressão de f() verfca-se que: 3 cos 5 3, o que perte concur que: Erro a p, as o a p ( ) ocorre 5! nos tes do ntervao, sto é e =0 e e =+ quando: p (0) p () 0,09, 5 3 ogo: Erro 0, 09,5668 para 0. 5! A segur, representa-se o gráfco de f() versus (curva contínua) e de f ap (), obtdo por nterpoação de Lagrange co os cnco pontos apresentados, versus (curva ponthada), apresentando tabé ao ado os vaores dos erros e =0 e e =. 7

8 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte Y k 0 Y apk res( 0) =.57 res( ) = X k Fg. 3- Interpoação Ponoa de Lagrange co 5 Pontos (4 o Grau) da Função: f sen [Curva contínua: Função Eata - Curva Ponthada: Função Interpoada co pontos 0,; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8] Note que os vaores reas do erro e =0 e e = são abos nferores (e óduo) ao vaor áo prevsto pea anáse da epressão do resíduo, Eq.(II.6). O ato vaor do óduo do resíduo e =0 e e = se deve ao fato de o vaor da função aproada nestes pontos ser obtda por etrapoação. Ua ehora sgnfcatva pode ser obtda utzando os pontos =0 e = coo pontos de nterpoação, aé de 0,5; 0,50 e 0,75. As curvas da função eata e da função aproada são neste caso apresentadas na fgura abao, representando-se ao ado os vaores nuércos dos etreos do resíduo e dos prevstos pea epressão do resíduo. Y k 0 Y apk a = res( a) = Ma = res( Ma) = so = cte. p ( so ) = So = cte. p ( So) = X k Fg. 4- Interpoação Ponoa de Lagrange co 5 Pontos (4 o Grau) da Função: f sen [Curva contínua: Função Eata - Curva Ponthada: Função Interpoada co pontos 0; 0,5; 0,5; 0,75 e ] Eepo Proposto: Anase o vaor áo do erro na nterpoação de 4 o grau da função: f ep( ) no ntervao [0,+], utzando os seguntes pontos de nterpoação: 0,; 0,4 ; 0,5; 0,6 e 0,8. Refaça o eepo adotando coo pontos de nterpoação : 0 ; 0,5 ; 0,50 ; 0,75 e e copare co os resutados anterores. AVALIAÇÃO DE DERIVADAS NUMÉRICAS ATRAVÉS DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE Nos tens anterores se utzou a nterpoação ponoa de Lagrange apenas para cacuar os vaores aproados da função e pontos dstntos dos pontos nodas, sto é: 8

9 f P f epresso por:, e que: Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte : é u ponôo e de grau, p para =,,...,, sendo: p ( ) e p k k A epressão anteror pode tabé ser utzada para cacuar o vaor nuérco aproado das dervadas prera e segunda da função f e cada ponto, sto é, os vaores df d f de: e para =,,...,. Utzando a nterpoação de Lagrange para o côputo dessas dervadas: df dp d Af A e que : d f d P ( ) B f d B Os teros A e B pode ser cacuados se dervando sucessvaente a epressão de () rearranada na fora: p, ass: d dp ; (a) d d d p (b) e d 3 3 d d p 3 (c) 3 3 Adotando e (a) e e vsta de: 0 e p ( ), te-se: d A para. d d p Adotando = e (b), te-se: A. 9

10 Adotando d p e (b) te-se: Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte d p B A, as: d p A então: A A A, pos: A, ogo: d B A para A. 3 d d p Adotando = e (c), te-se B. 3 3 para d ( ) ( ) Resundo: A, e d p ( ) para A para A d ( ) ( ) B 3 d p ( ) para 3 3 Nota-se que, para cacuar os vaores das dervadas da aproação e cada u dos pontos nodas, não é necessáro gerar os ponôos nterpoadores de Lagrange sendo apenas necessáro cacuar as três preras dervadas do ponôo e cada u dos pontos nodas. Para eecutar este procedento de fora teratva, Vadsen & Mchesen (978) sugere o procedento. Para,, e,, p, p, co p,0 q, q, + p, - co q,0 0 r, r, + q, - co r,0 0 s, s, +3r,- co s,0 0 E que: dp d p d p =, = e. 3 ( ) ( ) ( ) q, r, s 3, 0

11 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte A sub-rotna que cacua as três preras dervadas do ponôo (norazado) prograada e MATHCAD é ostrada a segur: dervadas for I p q 0 r 0 s 0 for t s r q p Res I0 Res I Res I Eepo Iustratvo: Cacuar nuercaente os vaores das dervadas preras e segundas da função f sen nos pontos: 0,; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8. a partr da aproação ponoa de 4 0 grau utzando estes esos pontos coo pontos nodas. Coparar estes vaores co os vaores eatos. Adotando o procedento descrto e (II.9) e (II.0), deterna-se as atrzes:, , , 3333, 5000, , 5556, , , , 778 A 0, 083 5, 650 0, , 650 0, 083 0, , , 7778, , 5556, 6667, , , 0000, 5000 e, 675, , , , 9,4444 0, , ,0000 5,5556 B,3889,5000,,5000,3889 5, , ,8889 0,0000 9, , 450, , ,0000, Baseados nestes vaores, cacua-se: 5 5 df dp4 d f d P4 A, f e B, f para =,, 3, 4 e 5. ts tr tq tp q r s Apresentando os resutados e fora tabeada, te-se: 3r q p

12 df dp ( ) 4 d f ( ) dp4 ( ) Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte 0,,936,5867 5,079 9,506 0,4,750,8430 3,94,5 3 0,5 4,449 4,3863 8,8858 8, ,6 4,368 4,43,78 8, ,8,049,998 36, ,8807 Nota-se ua grande dscrepânca entre os vaores eatos e aproados das dervadas prera e segunda (sobretudo neste úto caso) nos pontos 0, e 0,8, apenas os vaores das dervadas prera e segunda no ponto centra ( = 0,5) são cacuados co ua precsão razoáve. Tas resutados, entretanto, não caracterza a nadequação do procedento para todas as funções, as pode ndcar que a função f sen é uto a aproada por ua função ponoa. Investgando-se os vaores das duas preras dervadas nos esos pontos para a função f() = ep(), obté-se os seguntes resutados. df dp ( ) 4 d f ( ) d P4 ( ) 0, 0,887 0,887 0,887 0,868 0,4 0,6703 0,6703 0,6703 0, ,5 0,6065 0,6065 0,6065 0, ,6 0,5488 0,5488 0,5488 0, ,8 0,4493 0,4493 0,4493 0,450 Verfcando-se ua grande ehora na estação das duas preras dervadas, nos pontos consderados, e coparação co as estações da função anteror. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE HERMITE A nterpoação ponoa de Herte consste e aproar ua função contínua e defnda no ntervao [0,+], f(), por u ponôo de grau (-) : dp df P - (), ta que: P f e, para =,,..., ; sendo os pontos ( =,,..., ) os pontos nodas ou pontos de nterpoação. Esse procedento pode ser vsuazado na Fgura a segur, onde se adota três pontos nodas aproando a função por u ponôo de qunto grau.

13 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte f k y nt k 0 y 0 0.5,, v k k Fg. 5- Interpoação Ponoa de Herte co 03 Pontos (5 0 Grau) [Curva contínua: Função Eata - Curva Ponthada: Função Interpoada- Pequenos Quadrados: Pontos Nodas] A fora dreta de gerar o ponôo nterpoador: P - (), representado por: P c, é através da resoução do sstea agébrco near: 0 P c f e P c f 0 0 f f c0 c f 0 f 0 c f, para =,,..., 0 f A resoução do sstea agébrco near aca fornece os vaores dos coefcentes c, para = 0,,...,. Eepo Iustratvo: Deternar o ponôo nterpoador de Herte de 5 o grau da função f sen no ntervao [0,+], utzando os seguntes pontos de nterpoação: 0,; 0,5 e 0,8. 0, sen0, 4 0,5 sen, , 0, 0, 0, 0, c ,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c 0,8 sen, ,8 0,8 0,8 0,8 0,8 sen c 0, 4 0,cos0, , 0,0 0, 30, 40, 50, c ,0 0,5 30,5 40,5 50,5 c sen, 0 4 0,5cos, ,0 0,8 30,8 40,8 50,8 c 5 0,5 sen, 6 0,8cos,6 0,8 3

14 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte Ou, nuercaente: 0, 0, 04 0, 008 0, 006 0, 0003 c0 0, c0 0, ,5 0, 5 0,5 0, 065 0, 035 c 0, c 4, ,8 0, 64 0,5 0, ,3768 c 0, c 5, , 0 0, 40 0,0 0, 030 0, c3, c3 5, , 0, 00 0, 750 0,5000 0,350 c 4 4, c 4 64, , 0, 60,90, 0480, c5, c5 57, Representado grafcaente abao: f k 0.5 y nt k 0 y ,, v k k Fg. 6- Interpoação Ponoa de Herte co 3 Pontos (5 o Grau)-Função: f sen [Curva contínua: Função Eata-Curva Ponthada: Função Interpoada-Pequenos Losangos: Pontos Nodas] Observa-se na Fgura aca que entre os pontos de nterpoação, sto é: 0,,0 a aproação ponoa da função é bastante satsfatóra, entretanto para vaores de <0, o erro da aproação é as pronuncado (copare co a Fg. ). O procedento de deternação dreta dos coefcentes da nterpoação ponoa de Herte apresenta as esas tações á apresentadas na nterpoação ponoa de Lagrange. No presente caso, a aproação ponoa pode ser cacuada segundo u procedento seehante ao de Lagrange, e que é apresentado a segur. Vsando satsfazer as especfcações postas, propõe-se a fora: g, e que: = f a P g para =,..., são ponôos e de grau, que satsfaze a: f para -) g 0 para dg d -) f a a que para é nuo e para, resutando e: dg f A f a a f A f. 4

15 Obtendo-se: P f f A f E que: A d Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte E vsta de: p p ( ), e que: ( ) p. O que perte epressar (A) na fora: P f f A f( ) p, e que: d A, p ( ) e p k k É portante anasar os graus dos dos teros do ebro dreto da uta epressão ass: (a) Tero: f : ponôo e de grau ; (b) Tero: f A f( ) p q p é u ponôo e de grau resutante do produto de u ponôo e de grau, q, por u ponôo e de grau, p k k, o ponôo. Outra fora da nterpoação de Herte pode ser obtda se coocando e (A) os f e evdênca, resutando e: teros f( ) e f P s f r f, e que: s A ( ) e ( ) ponôos de grau nterpoação de Lagrange. e e e (A) r [para =,,..., ] são A te o eso sgnfcado apresentado na Eepo Iustratvo:No eepo anteror, te-se: =0,; = 0,5 e 3 = 0,8.Ass: /4/5 5 d A 5 /5/ /54/5 9 0, /5 4/5 4 d A 0 / /5 / 4/5 9 0,5 5

16 d /5 / A33 5 4/5 /5 4/5 / 9 0,8 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte Deternando-se: 5 5 s (0 ) e r ; 6 8 s 455 e r 455 ; s e r Os gráfcos desses ponôos são ostrados abao. s k s k s 3 k r k r k r 3 k Resutando e: k k 0,5 0,8 0, 0,8 P5 0 f(0, ) f(0,5) 0,8 0, 09 0, 0,5 0,5 0,8 9 0 f(0,8) ( 0, ) f(0, ) 0,8 0,8 0, 0,8 0, 0,5 ( 0,5) f(0,5) ( 0,8) f(0,8) 0, 09 0,8 ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE HERMITE De fora seehante à nterpoação ponoa de Lagrange, chega-se à segunte epressão do erro na nterpoação ponoa de Herte: d f( t) Erro p! dt, sendo agu ponto de I e : t p : u ponôo e de grau. Anasando a epressão aca, chega-se às seguntes concusões: (a) o erro da nterpoação é nuo para funções ponoas e de grau nferor a, pos: d f 0 para todo vaor de ; 6

17 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte (b) se f() for ua função ponoa e de grau e que c é o coefcente de, então o erro da nterpoação será: Erro c p ; (c) se f() for ua função ponoa e de grau n > então o erro da nterpoação será: Erro q n p, e que : qn é u ponôo e de grau n- Eepo Iustratvo: Anase o vaor áo do erro na nterpoação de 5 o grau da função: f sen no ntervao [0,+], utzando os vaores da função e de sua dervada nos pontos : 0,; 0,5 e 0, d f 6 d f 6 Da epressão de f() verfca-se que: 64 sen O que perte concur que: Erro a p, as o a p ( ) ocorre 6! nos tes do ntervao, sto é, e =0 e e =+, cuo vaor é: 6 64 p (0) p () 0, 0064, ogo: Erro 0, , 5469 para 0. 6! A segur, representa-se o gráfco de f() versus (curva contínua) e de f ap (), obtdo por nterpoação ponoa de Herte co os três pontos apresentados, versus (curva ponthada), apresentando tabé ao ado os vaores dos erros e =0 e e =. f k y nt k 0 Erro e =0 : -0,935 Erro e = : +0,935 y 0 0.5,, v k k Fg. 7- Interpoação Ponoa de Herte co 3 Pontos (5 o Grau)Função: f sen [Curva contínua: Função Eata-Curva Ponthada: Função Interpoada co pontos 0,0; 0,50 e 0,80] De fora seehante à apresentada no eepo ustratvo da nterpoação de Lagrange, nvestga-se a ehora da nterpoação utzando =0 e = aé de =0,5 coo pontos de nterpoação, neste caso pode se estar u vaor superor do óduo do erro através de 6 64 (II.5), resutando e: Erro a p, no presente caso o ponôo 6! 7

18 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte 3 dp é p 0,5,5 0, ,5 que se anua nos pontos: 05, e que p 0,048. Ass: a p 0, 003 e Erro 0, 003 0,978 para 0. 6! A representação gráfca dessa nova aproação é ostrada na Fgura a segur. f k y nt k 0 Erros áos (e óduo) e =0,766 e e =0,834, co o vaor de 0,0395 y 0 0.5,, v k k Fg. 8- Interpoação Ponoa de Herte co 3 Pontos (5 o Grau)Função: f sen [Curva contínua: Função Eata-Curva Ponthada: Função Interpoada co pontos 0; 0,50 e ] Eepo Proposto: Anase o vaor áo do erro na nterpoação de 5 o grau da função: f ep( ) no ntervao [0,+], utzando os vaores da função e de sua dervada nos seguntes pontos de nterpoação: 0,; 0,5 e 0,8. Refaça o eepo adotando coo novos pontos de nterpoação : 0 ; 0,50 e e copare co os resutados anterores. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE A nterpoação ponoa sta de Lagrange/Herte será defnda coo sendo a aproação de ua função contínua e defnda no ntervao [0,+], f, por u ponôo e de grau, P, satsfazendo a: P f e P f nos pontos de nterpoação nternos, sto é, para,,, e, aé dsso, ua das duas possbdades abao: P f, e que 0 = 0 [etredade nferor é tabé ponto de (a) 0 0 nterpoação]; P f (b), e que + = [etredade superor é tabé ponto de nterpoação]. A nterpoação ponoa sta de Lagrange/Herte pode tabé ser defnda coo a aproação de ua função contínua e defnda no ntervao [0,+], f, por u ponôo e de grau +, P, satsfazendo a: P f e 8

19 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte P f nos pontos de nterpoação nternos, sto é, para,,, e, aé dsso; P f, e que 0 = 0 e P f 0 0, e que + = [etredades nferor e superor são tabé pontoa de nterpoação]. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE: usando a etredade nferor coo ponto de nterpoação A fora dreta de gerar o ponôo nterpoador: P (), representado por: P c, é através da resoução do sstea agébrco near: 0 P c f para 0,,,..., e 0 P c f para,,..., 0, f f c0 f c f 0 c f 0 c f 0 f A resoução do sstea agébrco near aca fornece os vaores dos coefcentes c, para = 0,,...,. Fundaentado na nterpoação de Herte, chega-se a: p P f 0g p (0) E que: p [o ponôo consderando ecusvaente os pontos nternos de nterpoação] e g = f a, para =,..., são ponôos e de grau, que deve satsfazer a: f para -) g (á satsfaz!); -) g 0 g 0 0(á satsfaz!); 0 para dg -) f,, cacuando a dervada: 9

20 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte dg d f a a dg para: 0 pos 0 quando (á satsfaz!); dg para :, f A f a a f A f Ass, o ponôo P () é epresso por: p P f 0 p (0) f f A f ( ) (B) d e que: A e p ( ) Usando na epressão aca a propredade: p, obté-se: p 0 p (0) P f f f A f( ) p É portante anasar os graus dos três teros do ebro dreto da úta epressão, ass: p (a) Tero: f 0 ponôo e de grau ; p (0) (b) Tero: f : ponôo e de grau ; (c) Tero: f A f( ) p q p é u ponôo e de grau resutante do produto de u ponôo e de grau, q, por u ponôo e de grau, p. Esse úto ponôo pode ser nterpretado coo u novo ponôo, pos = 0 =0 passou a ser tabé u ponto de nterpoação, sto é: p 0 p. Coocando e (B) os teros f e f e evdênca, resuta: p f P f f s r, e que: s 0, 0 p (0) 0

21 s A ( ) para,,, e r ( ) todos ponôos e de grau. Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE: usando a etredade superor coo ponto de nterpoação A fora dreta de gerar o ponôo nterpoador: P (), representado por: P c, é através da resoução do sstea agébrco near: 0 P c f para,,...,, e 0 P c f para,,..., 0 f f c0 c f, f 0 c f 0 c f 0 f A resoução do sstea agébrco near aca fornece os vaores dos coefcentes c, para = 0,,...,. Fundaentado na nterpoação de Herte, chega-se a: p P g f p () E que: p e g = f a, para =,..., são ponôos e de grau, que deve satsfazer a: f para -) g (á satsfaz!); -) g g 0(á satsfaz!); 0 para

22 dg -) f,, cacuando a dervada: Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte dg d f a a dg para: 0 pos 0 quando (á satsfaz!); dg para :, f A f a a f A f Ass, o ponôo P () é epresso por: P f f A f ( ) p f p () d e que: A e p ( ) Usando na epressão aca a propredade: (C) p, obté-se: p P f f p() f A f ( ) p É portante anasar os graus dos três teros do ebro dreto da úta epressão, ass: (a) Tero: f : ponôo e de grau ; p (b) Tero: f : ponôo e de grau ; p () (c) Tero: f A f( ) p q p é u ponôo e de grau resutante do produto de u ponôo e de grau, q, por u ponôo e de grau, p. Esse úto ponôo pode ser nterpretado coo u novo ponôo, pos = + =, passou a ser tabé u ponto de nterpoação, sto é:

23 p p. f e evdênca, resuta: Coocando e (C) os teros f e f P s f r f, e que: Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte s A ( ) para,,,, s p p () e r ( ) todos ponôos e de grau. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando abas as etredades coo pontos de nterpoação A fora dreta de gerar o ponôo nterpoador: P + (), representado por: P c, é através da resoução do sstea agébrco near: 0 P c f para 0,,,...,, e 0 P c f para,,..., f 0 f c0 f c f c f 0 c f 0 c f 0 f A resoução do sstea agébrco near aca fornece os vaores dos coefcentes c, para = 0,,..., +., Fundaentado na nterpoação de Herte, chega-se a: p p ( ) 0 g p (0) p () P f f 3

24 E que: p = e Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte g f a, para =,..., são ponôos e de grau +, que deve satsfazer a: f para -) g (á satsfaz!); -) g 0 g 0 0(á satsfaz!); 0 para -) g g 0(á satsfaz!); dg v-) f,, cacuando a dervada: dg d f a a dg para: 0 pos 0 quando (á satsfaz!); dg para :, fa f a a fa f Ass, o ponôo P + () é epresso por: p P f 0 p (0) f f A f p f p () d e que: A e p ( ) Usando na epressão aca a propredade: (D) p, obté-se: 4

25 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte p p ( ) 0 p (0) p () P f f f f A f p É portante anasar os graus dos três teros do ebro dreto da úta epressão, ass: (a) Tero: f : ponôo e de grau ; p (b) Tero: f : ponôo e de grau ; p () (c) Tero: f A f( ) p q p é u ponôo e de grau resutante do produto de u ponôo e de grau, q, por u ponôo e de grau, p. Esse úto ponôo pode ser nterpretado coo u novo ponôo, pos = + =, passou a ser tabé u ponto de nterpoação, sto é: p p. f e evdênca, resuta: Coocando e (D) os teros f e f P s f r f, e que: 0 s A ( ) para,,,, s p p () e r ( ) todos ponôos e de grau. ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando a etredade nferor coo ponto de nterpoação De fora seehante à nterpoação ponoa de Lagrange, chega-se à segunte epressão do erro na nterpoação ponoa sta de Lagrange/Herte: d f( t) Erro p! dt, onde é agu ponto de I e: p : ponôo de grau. t Anasando a epressão aca, chega-se as seguntes concusões: 5

26 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte (a) o erro da nterpoação é nuo para funções ponoas de grau nferor a, pos: d f() t 0 para todo vaor de t; dt (b) se f for ua função ponoa de grau cuo coefcente de + é c + então o erro da nterpoação será: Erro c p nterpoação será: (c) se ; f for ua função ponoa e de grau n > então o erro da Erro qn [ p ], e que : qn é u ponôo e de grau n. ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando a etredade superor coo ponto de nterpoação De fora seehante à nterpoação ponoa de Lagrange, chega-se à segunte epressão do erro na nterpoação ponoa sta de Lagrange/Herte: d f( t) Erro p! dt, onde é agu ponto de I e: p t : ponôo de grau. Anasando a epressão aca, chega-se as seguntes concusões: (a) o erro da nterpoação é nuo para funções ponoas de grau nferor a, pos: d f() t 0 para todo vaor de t; dt (b) se f for ua função ponoa de grau cuo coefcente de + é c + então o erro da nterpoação será: Erro c p ; (c) se f for ua função ponoa e de grau n > então o erro da nterpoação será: Erro q n [ p ], e que : qn é u ponôo e de grau n. ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando as etredades nferor e superor coo pontos de nterpoação De fora seehante à nterpoação ponoa de Lagrange, chega-se à segunte epressão do erro na nterpoação ponoa sta de Lagrange/Herte: d f( t) Erro p! dt, onde é agu ponto de I e: p t : ponôo de grau. Anasando a epressão aca, chega-se as seguntes concusões: (a) o erro da nterpoação é nuo para funções ponoas de grau nferor a, pos: 6

27 Interpoação Ponoa de Lagrange e de Herte d f() t 0 para todo vaor de t; dt (b) se f for ua função ponoa de grau cuo coefcente de + é c + então o erro da nterpoação será: Erro c p f for ua função ponoa e de grau n > nterpoação será: (c) se ; então o erro da Erro qn [ p ], e que : qn é u ponôo e de grau n. 7