ALGORITMOS BASEADOS EM GRASP, PROGRAMAÇÃO DINÂMICA E INTEIRA PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO RESTRITO

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1 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de ALGORITMOS BASEADOS EM GRASP, PROGRAMAÇÃO DINÂMICA E INTEIRA PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO RESTRITO André Soares Velasco Insttuto Federal Flunense - IFF/ Unversdade Federal Flunense - UFF Av. Souza Mota, 350. Parque Fundão - Capos dos Goytacazes - RJ. CEP: asvelasco@ff.edu.br Eduardo Uchoa Dep. de Engenhara de Produção - Unversdade Federal Flunense - UFF Rua Passo da Pátra 156, Bloco D. São Dongos - Nteró - RJ. CEP: uchoa@producao.uff.br RESUMO Este trabalho consdera o Problea de Corte Bdensonal Gulhotnado Restrto e apresenta as seguntes contrbuções: (1) Ua elhora do étodo apresentado e [Velasco e Uchoa 2014] para o problea e destaque, fundaentado no Reactve Greedy Randozed Adaptve Search Procedure (GRASP Reatvo); (2) O algorto X, baseado e Prograação Intera e capaz de provadaente obter os pesos ótos para a relaxação de espaço de estados da Prograação Dnâca proposta e [Chrstofdes e Hadjconstantnou 1995]; (3) O algorto X2, proposto coo ua generalzação de X que usa pesos bdensonas para obter ltes anda as fortes; (4) O algorto X2 Heu que consste na adaptação de X2 para transforá-lo e ua heurístca pral. O étodo resultante da cobnação desses quatro eleentos fo testado e u grande conjunto de nstâncas e ostrou ser capaz de encontrar soluções co garantas de qualdade ou eso certfcado de otaldade. PALAVARAS CHAVE. Padrão de Corte Bdensonal. Prograação Dnâca. GRASP. ABSTRACT Ths work addresses the Constraned Two-densonal Rectangular Gullotne Cuttng Proble and presents the followng contrbutons: (1) An proveent of the ethod presented n [Velasco and Uchoa 2014] for the featured proble, based on the Reactve Greedy Randozed Adaptve Search Procedure (GRASP Reactve); The Algorth X, based on Intenger Prograng and capable of provably to obtan the optal weghts for the Dynac Prograng state space relaxaton proposed n [Chrstofdes and Hadjconstantnou 1995]; (3) The X2 algorth proposed as a generalzaton of X that uses two-densonal weghts n order to obtan even stronger upper bounds; (4) The X2 Heu algorth that conssts n the adaptaton of X2 to transfor t nto a pral heurstc. The ethod that results fro the cobnaton of those four eleents was tested n a large set of nstances and showed to be able to fnd solutons wth qualty guarantees or even certfcate of optalty. KEYWORDS. Two-densonal Cuttng Pattern. Dynac Prograng. GRASP. 3871

2 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de Introdução O Problea de Corte Bdensonal Gulhotnado Restrto (PCBGR) consste e deternar u únco padrão de corte de aor valor de utldade total, que equvale na elhor fora de se extrar de ua peça retangular (Objeto) ua quantdade de peças retangulares enores (Itens) co seus valores de utldade ndvduas se exceder ua deanda préestabelecda, a partr de cortes ortogonas a u dos lados dessas peças. Vale salentar que consderar a otzação deste problea e setores relaconados à produção de bens ateras, coo por exeplo, etal ecânco, ovelero, entre outros, resulta e sgnfcatva redução das sobras provenentes da execução dos cortes gulhotnados e, consequenteente, dos custos fnas. Na geração do padrão de corte para o PCBGR são consderados o coprento e a largura do objeto e dos tens (Bdensonal), junto co a produção áxa destes tens (Restrto). Os cortes ortogonas, obrgatoraente, deve dar orge a dos novos retângulos (Gulhotnado). Os tens são obtdos se possbldade de rotação a partr destes cortes e pode apresentar valor de utldade relaconado à sua edda de área (PCBGR se peso) ou a relevânca da sua produção (PCBGR co peso). O valor de utldade total de u padrão de corte é dado pelo soatóro dos valores dos tens que o copõe. Outro ponto portante na defnção do PCBGR e destaque é que seu padrão é denonado não estagado, sto é, o núero de rotações ortogonas nas dreções dos cortes não é ltado. O PCBGR pertence à classe NP-Dfícl [Hf 2004] e exste relatvaente poucos trabalhos propondo étodos exatos para o PCBGR, coo [Chrstofdes e Whtlock 1977], [Chrstofdes e Hadjconstantnou 1995] e [Cung et al. 2000]. Entretanto, todos estes étodos anda apresenta tepos probtvos nas nstâncas consderadas de édo e grande porte. Consequenteente, a utlzação de étodos heurístcos e híbrdos aparece co ua alternatva plausível e alguas dessas abordagens pode ser conferdas e [Alvarez-Valdés et al. 2002], [Hf 2004], [Morabto e Pureza 2010] e [Furn et al. 2014]. As contrbuções do presente trabalho são as seguntes: Os algortos heurístcos GRASP-2D A e GRASP-2D V fora apresentados e [Velasco e Uchoa 2014] para as varantes se peso e co peso, respectvaente. Neste trabalho, esses algortos são elhorados utlzando-se concetos do GRASP Reatvo [Pras e Rbero 2000]. [Chrstofdes e Hadjconstantnou 1995] propusera ua prograação dnâca (PD) co relaxação do espaço de estados para a obtenção de ltes superores Z n, onde a qualdade do lte depende de u vetor que atrbu pesos aos tens. Para sso, crara u algorto de ajuste de pesos nsprado no étodo do subgradente para relaxação lagrangeana. Este trabalho propõe o algorto X, e que os pesos são calculados por Prograação Intera (PI). Esse algorto é provadaente óto no sentdo de sepre obter os pesos que nza o lte superor fnal alcançado. É proposta ua generalzação da relaxação do espaço de estados que utlza pesos bdensonas para elhorar anda as a qualdade dos ltes superores Z n. O algorto X2 é apresentado para esse ajuste óto dos pesos. O algorto X2 Heu tabé é proposto e consste e ua heurístca pral baseada na adaptação de X2. Ass coo os novos GRASP-2D A/V Reatvos (G-2D A/V Reatvos), X2 Heu é utlzada co a fnaldade de obter u padrão de corte vável que elhore o lte nferor Z LB. U étodo coposto dos algortos X, X2 e X2 Heu é aplcado e u conjunto de 30 nstâncas clásscas da lteratura e tabé no conjunto de 450 nstâncas proposto e [Morabto e Pureza 2010]. Nas nstâncas clásscas, fora obtdas todas as soluções ótas e tepo razoável e e 27 delas o algorto X ou X2 forneceu certfcados de otaldade. Nas novas nstâncas, fora encontradas 307 soluções certfcadaente ótas. O artgo está dvddo da segunte fora: a Seção 2 é sobre os algortos G-2D A/V Reatvos, a Seção 3 apresenta os algortos X e X2, a Seção 4 descreve a utlzação dos últplos padrões da PD e a heurístca X2 Heu e a Seção 5 exbe os resultados coputaconas e a últa seção expõe os coentáros fnas. 3872

3 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de Algortos GRASP-2D A e GRASP-2D V Reatvos Insprados no étodo GRASP Reatvo proposto por [Pras e Rbero 2000], os algortos heurístcos G-2D A e G-2D V Reatvos se dstngue confore é defndo o valor de utldade dos tens para o PCBGR não estagado. Estas propostas reatvas são aplações dos respectvos algortos GRASP-2D A e GRASP-2D V [Velasco e Uchoa 2014] e a presente seção destaca as dferentes estratégas utlzadas na arqutetura destes novos algortos. 2.1 Ajuste do Parâetro Alfa O étodo GRASP Reatvo prové do GRASP clássco [Feo e Resende 1989] e, bascaente, dferenca-se na Fase de Construção, quando o parâetro α é delberado após ua fna calbrage feta a partr de ua varação do α no decorrer de alguas terações [Pras e Rbero 2000]. No ajuste deste parâetro da Lsta Restrta de Canddatos (LRC), consdera-se u conjunto fnto Α de valores no ntervalo [0, 1], pré-defndos de acordo co as característcas do problea, e o alfa reatvo α R escolhdo entre estes valores é aquele que após u deternado núero de terações ter C retorna co aor frequênca a solução de aor valor. 2.2 Ajuste do Parâetro Ps e Lsta Restrta de Faxas Ass coo na versão ncal do algorto G-2D [Velasco et. al 2008], o valor da faxa gulhotna é dado pelo seu percentual de perda nterna. Sabendo que ao fnal de cada Fase de Melhora dos algortos G-2D A/V, te-se produzda quatro confgurações dstntas de faxas gulhotnas F HM, F HA, F VM e F VA, defne-se F Mn coo a faxa gulhotna de enor valor entre as faxas correntes. O parâetro ψ é o percentual de perda acetável e ua faxa e deterna a cardnaldade da Lsta Restrta de Faxas (LRF) canddatas a copor u padrão de corte. Se a dferença entre o valores de ua das faxas e de F Mn for enor ou gual a ψ, esta faxa é ncluída na LRF e a nova faxa a copor o padrão de corte é escolhda aleatoraente e LRF. Vale destacar que o parâetro ps reatvo ψ R não é valor arbtráro e tabé deve ser calbrado a partr de u conjunto fnto Ψ de valores pré-estabelecdos nos algortos G-2D A/V Reatvos. 2.3 Lsta Restrta de Canddatos no Algorto GRASP-2D V Reatvo No G-2D V Reatvo, a LRC apresenta ua odfcação na defnção do crtéro guloso β = ax {v(p )/u(p ); p V}, onde v(p ) e u(p ) são funções que retorna o valor de utldade e a edda de área dos tens p, respectvaente, V = {p C / α.σ u(p ) σ} é ua lsta que consdera apenas a grandeza área de tens co deanda não atendda e LRC = {p V/ α.β v(p ) β} é consttuída dos tens que apresenta as aores razões entre o valor de utldade e sua edda de área. É portante destacar que a dferença entre os algortos G-2D A e G-2D V Reatvos restrnge-se apenas a fora coo é consttuída essa LRC. 2.4 Pseudocódgo dos Algortos GRASP-2D A/V Reatvos Incalente, os dados de entrada, de saída e as varáves são apresentados para o elhor entendento do pseudocódgo genérco dos algortos G-2D A/V Reatvos. : núero de tens dstntos; p : te (c, l ), de coprento c e largura l, = 1,..., ; D : deanda do te a ser produzdos, = 1,..., ; R : objeto retangular e estoque (C, L), de coprento C e largura L; φ : parâetro que deterna as terações co repetção de ua faxa hoogênea; Α : conjunto dos valores do parâetro α consderados na fase de calbrage do α R ; Α : conjunto dos valores resultante do parâetro α R consderados na fase reatva; Ψ : conjunto dos valores do parâetro ψ consderados na fase de calbrage do ψ R ; ptens : valor percentual do núero de tens utlzados na geração dos padrões; axter : núero áxo de terações na execução do G-2D A/V ; ter C : núero de terações co os eleentos de Α na fase de calbrage; ter R : núero de terações co os eleentos de Α na fase reatva; f α : frequênca da elhor solução para cada α de Α; 3873

4 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de pads * α atual : elhor padrão de corte para u deternado α; valors*α atual : valor de utldade total do elhor padrão de corte para u deternado α; pads R : elhor padrão de corte reatvo; valors R : valor de utldade total do elhor padrão de corte reatvo. Procedento G-2D Reatvo (p, d, R, Α,Ψ, φ, ptens, ter C, ter R ) 1. pads R =, valors R = 0 e fα R = 0; 2. Para (α atual Α) faça fα atual = 0, pads * α atual = e valors * α atual = 0; 3. Para (ψ atual Ψ) faça Executa-se GRASP-2D A/V, co axter = ter C, α = α atual e ψ = ψ atual ; 4. Atualza-se fα atual ; 5. Se (valors * α atual > valors R ) faça 6. fα R = fα atual, α R = α atual e ψ R = ψ atual, pads R = pads * α atual e valors R = valors * α atual ; 7. Se (valors * α atual = valors R ) faça 8. Se (fα atual > fα R ) faça 9. fα R = fα atual, α R = α atual e ψ R = ψ atual, pads R = pads * α atual e valors R = valors * α atual ; 10. Se (fα atual = fα R ) faça 11. Escolha, aleatoraente, α R e atualza-se fα R, ψ R, pads R e valors R ; 12. Deterna Α ; 13. Para (α Ratual Α ) faça Executa-se GRASP-2D A/V, co axter = ter R, α = α Ratual e ψ = ψ R ; 14. Se (valors * > valors R ) faça pads R = pads * e valors R = valors * ; 15. Retorna (pads reatvo, valors reatvo ); F G-2D Reatvo 3. Ltes Superores para o PCBGR por PD e PI: Algortos X e X2 U padrão de corte óto para o PCBGI (Irrestrto), que não consdera a deanda dos tens produzdos, pode ser gerado a partr das soluções dos subprobleas obtdos pela aplcação de cada u dos possíves cortes gulhotnados horzontas ou vertcas. Isso perte que este problea seja resolvdo va PD e tepo pseudo-polnoal e a coplexdade do algorto depende dos valores de C e L. Dferenteente da abordage proposta por [Glore e Goory 1965], as fórulas de recorrênca apresentadas por [Beasley 1985] não lta a quantdade de estágos no padrão de corte e juntaente co os concetos de Pontos de Dscretzação de [Herz 1972], fora utlzadas por [Cntra et al. 2008] no desenvolvento de u algorto exato para o PCBGI coprovadaente efcaz para valores de C e L não aores que Por outro lado, a resolução do PCBGR por PD pode ser uto as desafadora do que a do PCBGI. Isso se deve a necessdade de controlar quantas cópas de cada te vão estar nas soluções de cada u dos subprobleas. Seja D e d vetores de densões ndcando a deanda orgnal dos tens e o aor núero pertdo de cópas de cada te na solução de u subproblea, respectvaente. Defne-se v(c, l, d) = ax({v 1 <, c c, l l, d 1} {0}) coo o aor valor obtdo co a possível produção de u únco te co d postvo no subretângulo (c, l). Consderando que o padrão de corte óto para pode ser coposto por u únco te, ou ter u corte gulhotnado vertcal na posção c ou possur u corte gulhotnado horzontal na posção l, o valor da elhor solução no subretângulo (c, l), respetando as deandas áxas ndcadas por d, é obtdo pela segunte recorrênca: V(c, l, d) = ax(v(c, l, d), {V(c, l, d ) + V(c c, l, d d ) c P 1, 0 d d}, {V(c, l, d ) + V(c, l l, d d ) l P 2, 0 d d}), (3.1) onde P 1 e P 2 são os pontos de dscretzação para os cortes vertcas e horzontas. O valor da solução óta do PCBGR é dado por V(C, L, D). Entretanto, essa PD apenas tera utldade prátca e probleas uto pequenos. A necessdade de consderar todas as possíves dvsões do vetor d entre os dos subprobleas faz co que o núero de estados cresça por u fator de ( D + 1) e relação ao núero de estados do PCBGI correspondente. [Chrstofdes e Hadjconstantnou 1995] propusera ua Relaxação do Espaço de Estados para produzr ltes superores fortes para o PCBGR. A dea é assocar u peso ntero não negatvo q para cada te e por que a soa desses pesos e ua solução não deve 3874

5 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de exceder o valor Q = ( D q ). Desta fora, a PD relaxada que deterna o valor do elhor padrão de corte e (c, l) co peso não aor do que q defne-se nas seguntes fórulas, v(c, l, q) = ax({v 1 <, c c, l l, q q} {0}), (3.2) V(c, l, q) = ax(v(c, l, q), {V(c, l, q ) + V(c c, l, q q ) c P 1, 0 q q}, {V(c, l, q ) + V(c, l l, q q ) l P 2, 0 q q}). (3.3) Ass sendo, o lte superor do PCBGR é dado por V(C, L, Q). Essa relaxação tende a ser elhor tratável porque o núero de estados e relação ao núero de estados da PD para o PCBGI é apenas ultplcado pelo fator (Q + 1). De fato, atrbundo-se pesos zeros para a aora dos tens é possível anter o valor de Q relatvaente baxo. O valor do lte superor obtdo co essa PD depende forteente do vetor de pesos q escolhdo. Co o objetvo de obter bons pesos capazes de deternar ltes superores de qualdade, Chrstofdes e Hadjconstantnou propusera u algorto nsprado no étodo do subgradente. Seja b o vetor de densão correspondente a ua solução óta de valor Z da PD co certo vetor de pesos q. Caso b D para todo te, então esse b vável é certaente a solução óta do PCBGR. Caso contráro, Z é u lte superor váldo. O algorto de ajuste de pesos faz sua prera teração co o vetor de pesos q nulo, sto é, Q te valor 0. E seguda, a PD é executada e retorna ua solução b. As terações seguntes atualza q de acordo co as soluções obtdas b, usando a segunte fórula: q + t b - D se b > D q = ax ( 0, q - t D - b ) se b D, (3.4) onde t é u escalar postvo que representa o taanho do passo. A dea consste e auentar o peso dos tens que estão e excesso e reduzr o peso dos tens que aparece abaxo da deanda. [Slvera e Morabto 2002] e [Morabto e Pureza 2010], tabé, utlza esse esquea de ajuste de pesos, as propondo ua elhora na fórula de cálculo do passo. Esse algorto pode ternar e u dos seguntes casos: ou o passo se torna uto pequeno, ou o valor de Q está uto grande, ou o valor de Z se guala ao valor da elhor solução vável conhecda e, nesse caso, essa solução passa a ter u certfcado de otaldade. De qualquer fora, denona-se coo Z n o enor valor de Z ao longo das terações e este é u lte superor para o PCBGR. 3.1 Algorto X Propõe-se u novo algorto de ajuste de pesos para a relaxação do espaço de estados de Chrstofdes e Hadjconstantnou. Ua característca desse novo algorto é consderar não apenas a solução b da teração corrente, as todas as soluções obtdas nas n terações já realzadas. Seja b j o vetor da solução de valor Z j gerada na teração j, assue-se que todas essas n soluções são nváves. Caso contráro, a solução óta do PCBGR já tera sdo encontrada. Defne-se o segunte prograa lnear ntero chaado de PLI(n): Mn Q = D q (3.5) =1 =1 j s.a: (b - D )q 1 para todo j = 1,...,n (3.6) q 0 e Intero (3.7) Os novos pesos para a teração segunte são dados pela solução de PLI(n). As restrções (3.6) se basea no fato de que a possbldade do novo vetor de pesos q elhorar Z n está condconada a elnação de todas as n soluções geradas anterorente do conjunto de soluções da PD relaxada. No algorto X descrto a segur, os dados de entrada p, D e R são nforações referentes à nstânca do PCBGR e a saída Cert opt notfca se há u certfcado de otaldade. Procedento X (p, d, R) 1. n = 1, q = 0, Z n = ; 3875

6 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de Resolva a PD relaxada co o vetor q, obtendo ua solução b n de valor Z n ; 3. Se (Z n < Z n ) faça Z n = Z n ; 4. Se (b n vável) faça Retorna (Z n, Cert opt = True); 5. Resolva o PLI(n); 6. Se (PLI(n) nvável) faça Retorna (Z n, Cert opt = False); 7. Atualza vetor q e Q co a solução óta de PLI(n); 8. n = n + 1; 9. Volta ao passo 2; F X Lea 1. O algorto X terna e u núero fnto de passos. Prova: A defnção de PLI(n) faz co que nunca seja geradas soluções b j repetdas. Coo exste u núero fnto de soluções, o algorto deve parar. Teorea 1. O algorto X sepre obté Z n = Z UBopt, que é o enor lte superor possível de ser encontrado pela PD relaxada co qualquer vetor de pesos. Alé dsso, a teração da PD relaxada que encontra Z UBopt, utlza o enor valor de Q que obté esse valor. Prova: Caso X pare co certfcado de otaldade, certaente Z n = Z UBopt. Caso contráro, X parou porque PLI(n) é nvável. Neste caso, suponha que exsta u vetor de pesos nteros q opt que produza u lte Z UBopt < Z n. É possível exstr ua solução b j, 1 j n, tal que (b D )q opt < 1, pos essa solução co valor Z j Z n sera ua solução da PD relaxada co pesos q opt co valor aor que Z UBopt. Logo q opt é vável para PLI(n). Contradção. Seja n a prera teração que produzu b n co valor Z n = Z n. Se n = 1, então o vetor peso da PD relaxada era nulo. Assundo que n > 1, os pesos da PD relaxada na teração n são obtdos da solução óta de PLI(n -1). Todas as soluções b j, 1 j n-1, te valor aor que Z n. Logo, qualquer vetor de pesos q capaz de produzr u lte co valor Z n te que satsfazer (b D )q 1, para todo j =1,...,n. Portanto, esses pesos não pode levar a u valor de Q enor do que o obtdo por PLI(n ). Na grande aora das nstâncas da lteratura testadas, o algorto X terna e enos de 5 terações e co valores de Q nferores a 10. Entretanto, e alguas nstâncas, por exeplo, co tens apresentando deanda untáras, o núero de terações ou os valores de Q pode crescer consderavelente, se haver elhora sgnfcatva de Z n. Para pedr essa stuação, pode-se truncar o algorto X ntroduzndo-se u lte axter ao núero de terações e u valor áxo Q ax para Q. Este últo lte é pleentado da segunte fora: ao se resolver PLI(n), caso o Q obtdo seja aor que Q ax, o algorto fnalza retornando (Zn, Cert opt = false). A prova do segunte teorea é análoga ao do Teorea 1. Teorea 2. Suponha que o algorto X seja executado se lte de terações, as co u lte Q ax. Nesse caso, o Z n retornado sepre va ser gual ao enor lte superor possível de ser encontrado pela PD relaxada co qualquer vetor de pesos que não ultrapasse Q ax. 3.2 Algorto X2 Co o objetvo de obter ltes superores anda as fortes por PD, ntroduz-se aqu ua generalzação do conceto de Relaxação de Espaço de Estados de [Chrstofdes e Hadjconstantnou 1995]. A dea é que cada te passe ser assocado a u peso ntero não negatvo bdensonal q = (q 1, q 2 ). A nova PD relaxada deve por que a soa dos pesos dos tens e ua solução não deve exceder o valor bdensonal Q = (Q 1 = ( D q 1 ), Q 2 = ( D q 2 )). A fórula de recorrênca é a esa ostrada e (3.3), as nessa nova nterpretação, q representa vetores de pesos bdensonas. Sendo ass, o núero de estados da PD passa a ser (Q 1 +1).(Q 2 +1) vezes aor do que a PD para o PCBGI. A adaptação do algorto X para os pesos bdensonas exge a defnção de u novo problea de otzação para atualzar esse vetor bdensonal q denonado PQI(n): 3876

7 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de Mn (Q +1)(Q +1) (3.8) 1 2 s.a: Q = (D q ) (3.9) 1 1 =1 Q = (D q ) (3.10) 2 2 =1 =1 =1 1 (b q ) - Q + M(1 - y ) 1 para todo j = 1,...,n (3.11) (b j 1 1 j q ) - Q + My 1 para todo j = 1,...,n (3.12) 2 2 y = 1 (3.13) Q 1, Q 2, q 0 e Intero (3.14) y Bnáro (3.15) No odelo PQI(n), a função objetvo quadrátca busca nzar o núero de estados na PD relaxada e as gualdades (3.9) e (3.10) são a defnção de Q 1 e Q 2, e função dos pesos q 1 e q 2, atrbuídos a cada te nessa orde. Se ua varável bnára y j receber valor 1, então a solução j precsa ser elnada pelo conjunto de pesos q 1, as não precsa ser tabé elnada pelos pesos e q 2. O contráro acontece se a y j é atrbuído o valor 0. Estas varáves aparece nas restrções (3.11) e (3.12) e os coefcentes M deve grandes o sufcente para garantr essa lógca. A restrção (3.13) não é essencal, serve apenas para reduzr o grau de setra de PQI(n), ndcando que a solução 1 deve ser elnada pelos pesos de q 1. Defne-se o algorto X2 coo sendo a generalzação do algorto X para pesos bdensonas, que agora são atualzados pela solução de PQI(n). A prova do segunte teorea é análoga ao do Teorea 1. Teorea 3. X2 sepre obté Z n = Z UB2opt, sto é, o enor lte superor possível encontrado pela PD relaxada co qualquer vetor de pesos bdensonas. Alé dsso, a teração da PD que encontra Z UB2opt utlza pesos que faze a quantdade (Q 1 +1).(Q 2 +1) ser a enor possível dentre todos os pesos que pode obter Z UB2opt. Teorea 4. Z UB2opt Z UBopt, podendo a desgualdade ser estrta. Prova: Para obter u lte gual a Z UBopt usando ua PD co pesos bdensonas, bastara usar valores de q 1 guas ao pesos ótos da PD co pesos undensonas e anter os valores e q 2 guas a 0. Para ostrar que a desgualdade pode ser estrta, dá-se u exeplo co a nstânca defnda por R = (6, 1), = 2, p 1 = (3, 1), d 1 = 1, v(p 1 ) = 3, p 2 = (2, 1), d 2 = 2 e v(p 2 ) = 2. Executando o algorto X obté-se b 1 = (2, 0) e Z 1 = 6. Após a resolução de PLI(1), te-se q = (1, 0) e a solução b 2 = (0, 3), co Z 2 = 6. Sendo ass, o PLI(2) é: Mn q 1+ 2q 2 (3.16) s.a: q1-2q 2 1 (3.17) - q + q 1 (3.18) 1 2 q,q 0 e Intero (3.19) 1 2 Coo PLI(2) é nvável, o algorto X ternara co Z n = Z UBopt = 6. Entretanto, o algorto X2 ternara por otaldade co Z n = Z UB2opt = 5. Esse lte é obtdo co os pesos q 1 = (1,0) e q 2 = (0,1). Exste softwares dsponíves para resolver probleas de PI co função objetvo quadrátca. Entretanto, por splcdade e para evtar a possbldade dessa resolução deandar u tepo coputaconal aor, opta-se nos experentos coputaconas e splfcar a função objetvo de PQI(n) para nzar Q 1 + Q 2. Dessa fora, o problea pode ser resolvdo co prograação lnear ntera. Notar que eso co essa splfcação, o algorto X2 sepre encontra o enor lte superor possível Z UB2opt. Poré, esse lte possvelente va ser obtdo co pesos que não nza o núero de estados na PD. Consequenteente, obter 3877

8 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de ltes as fortes através de pesos bdensonas pode ser as deorado do que usando pesos undensonas. Ass sendo, torna-se as nteressante utlzar esses pesos apenas depos que o algorto X fnalzar. A partr destas consderações e fazendo uso dos ltantes axter e Q ax, o algorto X2 é descrto a segur. Procedento X2 (p, d, R, axter, Q ax ) 1. Executa-se o algorto X, obtendo o lte Z n ; 2. Se (X parou por otaldade) faça Retorna (Z n, Cert opt = True); 3. Deterne B o conjunto das n soluções encontradas na execução de X; 4. Resolva o PQI(n); 5. Se (PQI(n) nvável ou Q 1 > Q ax ou Q 2 > Q ax ou n > axter) faça 6. Retorna (Z n, Cert opt = False); 7. n = n+1 8. Resolva a PD relaxada co o vetor q, obtendo ua solução b n de valor Z n ; 9. Se (Z n < Z n ) faça Z n = Z n ; 10. Se (b n vável) faça Retorna (Z n, Cert opt = True)}; 11. Volta ao passo 4; F X2 4. Ltes Inferores para o PCBGR por PD e PI: Múltplos Padrões PD e Heurístca X2 Heu O esforço coputaconal a cada execução da PD co os algortos X e X2 justfca-se não soente pelos bons ltes superores Z n obtdos, as tabé pela qualdade dos últplos padrões ótos ou subótos encontrados na atrz da PD, para cada possível corte horzontal ou vertcal no retângulo (C, L). Caso algu destes padrões seja vável e tenha valor aor do que Z LB da elhor solução vável encontrada, Z LB é atualzado. Caso esse novo Z LB seja gual a Z n, é atrbuído o certfcado de otaldade a essa solução e o algorto terna. Senão, busca-se elhorar o lte nferor Z LB co a execução do algorto G-2D Reatvo segudo de ua heurístca baseada na PD da relaxação do espaço de estados. 4.1 Heurístca X2 Heu Supondo que de algua fora se tenha escolhdo u vetor de pesos q e que város tens apresente peso postvo, para que a PD relaxada encontre u lte superor váldo, devese resolver V(C, L, Q), onde Q = ( D q ). Esse valor de Q se faz necessáro porque é possível que a solução óta do PCBGR use exataente D cópas de cada te co peso postvo. Poré, na prátca, é uto provável que sso aconteça. Isso sgnfca que calculando V(C, L, Q heu ), onde Q heu é u valor enor do que Q, exste ua possbldade razoável de que ua PD as restrta elne apenas soluções nváves ou soluções váves subótas. A heurístca proposta X2 Heu se basea nessa observação. Adtndo que se esteja trabalhando co pesos bdensonas. São fxados valores para Q 1heu e Q 2heu e depos se escolherá pesos q através da resolução do segunte odelo, chaado de PLI 2H (n): Mn D (q + q ) (4.1) =1 =1 1 2 s.a: (b q ) - Q + M(1 - y ) 1 para todo j = 1,...,n (4.2) =1 1 j 1 1heu (b q ) - Q + My 1 para todo j = 1,...,n (4.3) j 2 2 heu y = 1 (4.4) q 0 e Intero (4.5) y Bnáro (4.6) Os valores de q obtdos por PLI 2H (n) pode ser tas que Q 1 = ( D q 1 ) > Q 1heu ou Q 2 = ( D q 2 ) > Q 1heu. Dessa fora, ao se resolver V(C, L, Q heu ) não se obté u lte váldo. Por 3878

9 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de outro lado, PLI 2H (n) consegue elnar da PD conjuntos de soluções ndesejáves uto aores do que os odelos exatos podera fazer. Esta heurístca funcona da segunte fora: quando o algorto X2 terna na n-ésa teração co PQI(n) nvável ou, anda, apresentando Q 1 ou Q 2 aor que Q ax, são arazenados o conjunto B das n soluções encontradas na execução de X2, o Z n vgente e os valores de Q 1 e Q 2 encontrados e PQI(n-1), noeados de Q 1X2 e Q 2X2 nessa orde. Executa-se, então, o algorto G-2D Reatvo para obter ua boa solução vável que elhore o lte nferor Z LB. Na sequênca, não obtendo valors R gual a Z n, para deternados valores fxos de Q 1heu e Q 2heu se executa o segunte procedento de descda heurístca e busca de soluções váves: Procedento Descda heu (p, d, R, n, axter, Q ax, Q 1heu, Q 2heu, B, Z LB ) 1. Deterne B o conjunto das n soluções encontradas na execução de X2; 2. Resolva PLI 2H (n); 3. Se (PQI(n) nvável ou Q 1 > Q ax ou Q 2 > Q ax ou n > axter) faça Retorna (Z LB ); 4. n = n+1 5. Resolva a PD relaxada co o vetor q e Q 1heu, Q 2heu, obtendo ua solução b n de valor Z n ; 6. Se (b n vável) faça 7. Se (Z n = Z n )faça Retorna (Z n, Cert opt = True)}; 8. Se (Z n > Z LB ) faça Z LB = Z n ; 9. Volta ao passo 2; F Descda heu Todas as descdas se nca co o eso conjunto de soluções B. Isso faz sentdo porque todas as soluções ótas obtdas ao longo de X2 são nváves e te valor aor ou gual a Z n. Ass coo, as soluções subótas váves são nferores a Z LB. Logo, u conjunto de pesos q que não elne essas soluções da PD não tera coo encontrar soluções váves que atualze Z LB. Por outro lado, as soluções adconas (váves ou nváves) geradas e cada descda são descartadas na descda segunte. Nos experentos realzados até o oento faz-se ua descda para cada par de valores postvos de Q 1heu e Q 2heu tas que Q 1heu Q 1X2 e Q 2heu Q 2X2, co os últplos padrões da PD sendo analsados. 5. Resultados Coputaconas Fora realzados testes e nstâncas do PCBGR dsponblzadas pelo ESICUP. No prero conjunto, aparece 30 nstâncas clásscas da lteratura, onde 14 destas são co peso e as outras 16 se peso. O segundo conjunto apresenta 450 nstâncas se peso, geradas aleatoraente por [Morabto e Pureza 2010]. Estas nstâncas randôcas estão dvddas e 3 classes que se dferenca de acordo co a deanda dos tens, onde cada grupo denonado pelas sglas R_n_S ou R_n_L apresenta 15 nstâncas co n tens relatvaente pequenos ou grandes nessa orde. O eso conjunto total de 480 nstâncas fo utlzado e [Morabto e Pureza 2010] para valdar seu algorto DP_AOG. Os algortos G-2D A/V Reatvos, X, X2, X2 Heu e a coposção destes, ndcada por X 2D, fora pleentados e lnguage C/C++ (Vsual C Express), os odelos de PI fora resolvdos pelo CPLEX e os testes fora realzados e u coputador co processador Intel(R) Core(TM)5-3320M 2.6 GHz, co 4GB de eóra RAM e Wndows 7 de 64 bts. Já o algorto DP_AOG fo feto e Pascal (Delph 7/Borland) e executado e u coputador co processador Pentu IV 2.99 GHz e 2GB de RAM. Os resultados dos algortos referencados e testes no conjunto de nstâncas dscrnadas encontra-se nas tabelas Nas tabelas referentes às nstâncas clásscas, 5.1 e 5.2, as colunas 1 e 2 se refere ao noe da nstânca e sua quantdade de tens. Nas colunas 3-9 são apresentados os resultados dos algortos DP_AOG, X 2D e G-2D Reatvo édo e da elhor solução. As três colunas seguntes nfora os parâetros α e ψ da elhor solução encontrada co o G-2D Reatvo e o seu respectvo gap percentual. As soluções arcadas co * ndca o óto gerado se certfcado e ** assnala o óto co certfcado. Já as tabelas ostra os resultados das nstâncas randôcas, co a coluna 1 deternando as lnhas que são expostas os respectvos resultados édos destes algortos para cada grupo de nstâncas e as 3879

10 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de colunas 2-13 apresentando esses resultados. Anda nestas tabelas, destaca-se as lnhas 2 e 7, co os relatvos Z n, e os percentuas de certfcados de otaldade nas lnhas 6 e 11. E todas as tabelas, os respectvos tepos da elhor solução e de execução total estão e segundos. TABELA 5.1 Resultados nas Instâncas Clásscas co peso. Instânca DP_AOG Tepo X2D Tepo G-2D G-2D Tepo Alfa Ps GAP(%) ChW1 7 **244 < **244 < *244.0 *244 < ChW2 10 ** ** * ChW3 20 ** ** * * CW1 25 ** **6402 <0.1 <0.1 * * CW2 35 * ** * CW3 40 ** **5689 <0.1 < * CW4 39 ** ** * CW5 35 ** ** * CW6 55 ** ** CW7 45 ** **9898 <0.1 < * CW8 60 ** ** * CW9 50 ** ** * * CW10 60 ** ** CW11 60 ** ** Méda TABELA 5.2 Resultados nas Instâncas Clásscas se peso. Instânca DP_AOG Tepo X2D Tepo G-2D G-2D Tepo Alfa Ps GAP(%) WANG1 20 **2277 < **2277 <0.1 <0.1 * *2277 < WANG2 20 **2694 < **2694 <0.1 <0.1 * * WANG3 20 **2721 < **2721 <0.1 <0.1 * * OF1 10 ** ** * *2737 < OF2 10 * ** * * CU1 25 ** **12330 <0.1 <0.1 * * CU2 35 ** ** * * CU3 45 ** **16723 <0.1 < CU4 45 ** **99495 <0.1 < * CU5 50 ** ** < CU6 45 ** ** <0.1 <0.1 * * CU7 25 * * * CU8 35 ** ** <0.1 < * CU9 25 ** ** <0.1 <0.1 * * < CU10 40 * * CU11 50 * * Méda Estes valores fora obtdos e 10 execuções do G-2D Reatvo, adotando-se os seguntes parâetros: seente aleatóra, Α = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}, Α = {α R, α R ± 0.025, α R ± 0.05}, Ψ = {0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05}, φ = 5, ptens = 50% na prera etade das terações e ptens = 10% nas seguntes, co ter C = 1000 e ter R = 5000, totalzando terações. E rodada únca co o X 2D fcara fxados: seente 123, axter = 100, Q ax = 20 e X e X2 Heu, e Q ax = 30 no X2. Observando os resultados nas nstâncas clásscas do PCBGR, verfca-se nas tabelas 5.1 e 5.2 que o algorto X 2D obteve todas as soluções ótas e aplou os certfcados de otaldade co as nstâncas CW2 e OF2. A nova versão reatva dos algortos G-2D A/V elhorara o gap e 7 nstâncas, sendo 4 ótos a as e totalzando 23 ótos. Nas tabelas , observa-se nos resultados apresentados pelo algorto X 2D que os valores para os respectvos Z n são elhores e 21 grupos dessas nstâncas, a quantdade de édas de Z LB e de Z n guas dobrara para 12, a aora obtda co os percentuas édos do certfcado de otaldade (CO (%) ) e do gap (GAP (%) ) conferndo a qualdade de suas soluções e, co a confguração adotada, os valores de Z LB fora superores e 4, guas e 21 e nferores e 5 desses grupos. Co o algorto G-2D A Reatvo, destaca-se a qualdade das suas soluções nas nstâncas da Classe 3, superando e 3 grupos os deas algortos. Já nas nstâncas co 3880

11 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de tens relatvaente grandes nas três classes, o G-2D A Reatvo conseguu se equparar a aora dos respectvos valores édos de Z LB. Alé dsso, os tepos édos ndcados nas tabelas deonstrara copettvdade dos algortos propostos. TABELA 5.3 Resultados na Classe 1 das Instâncas Randôcas. R_10_S R_20_S R_30_S R_40_S R_50_S Méda R_10_L R_20_L R_30_L R_40_L R_50_L Méda Zn DP_AOG Tepo < < < < GAP(%) CO(%) Zn X2D Tepo < <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 < <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 < <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 GAP(%) < <0.01 CO(%) G-2D G-2D Tepo < GAP(%) TABELA 5.4 Resultados na Classe 2 das Instâncas Randôcas. R_10_S R_20_S R_30_S R_40_S R_50_S Méda R_10_L R_20_L R_30_L R_40_L R_50_L Méda Zn DP_AOG Tepo < < < < < < GAP(%) CO(%) Zn X2D Tepo < <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 <0.1 < GAP(%) CO(%) G-2D G-2D Tepo < < < < GAP(%) TABELA 5.5 Resultados na Classe 3 das Instâncas Randôcas. R_10_S R_20_S R_30_S R_40_S R_50_S Méda R_10_L R_20_L R_30_L R_40_L R_50_L Méda Zn DP_AOG Tepo < < < < < < GAP(%) CO(%) Zn X2D Tepo < < <0.1 2, , < GAP(%) CO(%) G-2D G-2D Tepo < < < < GAP(%) Conclusões e Perspectvas Futuras O trabalho abordou o clássco PCBGR se rotação e expôs u refnaento dos algortos G-2D A/V, o desenvolvento dos algortos X, X2 e X2 Heu e a cobnação desses algortos para resolução deste problea. Os algortos G-2D A/V Reatvos são desenvolvdos a partr de ua abordage reatva, que nclu a calbrage dos parâetros α e ψ, o qual deterna o percentual de perda acetável na coposção de ua Lsta Restrta de Faxas (LRF), e ua pequena udança na LRC para o caso 3881

12 Anas do XLVIII SBPO Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setebro de das nstâncas co peso. O algorto X utlza PI para deternar os pesos ótos da PD co relaxação do espaço de estados, proposta por [Chrstofdes e Hadjconstantnou 1995]. A proposta do algorto X2 ve de ua generalzação de X onde a relaxação dos espaços de estados usa pesos bdensonas para produzr ltes as fortes. Já o algorto X2 Heu consste de ua heurístca pral odelada a partr de X2 que tabé utlza o G-2D Reatvo para elhorar o lte nferor. Sendo X 2D ua coposção dos algortos X, X2 e X2 Heu na resolução do PCBGR, o seu desepenho coputaconal e dos G-2D A/V Reatvos fora avalados e testes co 30 nstâncas clásscas alé de 450 geradas aleatoraente e coparadas co os resultados do algorto DP_AOG apresentado e [Morabto e Pureza 2010]. Os resultados obtdos co o algorto X 2D, e relação à qualdade de solução, ltes superores váldos, certfcado de otaldade, estatvas do gap e tepo de execução deonstra que esta abordage pode ser aplcada co sucesso ao PCBGR. Para exeplfcar, de u total de 480 nstâncas testadas, este algorto obteve 334 ótos co certfcação. Quando aos resultados dos algortos G-2D A/V Reatvos, a qualdade das suas soluções são verfcadas nos 23 ótos das nstâncas clásscas ou nos 15 grupos das nstâncas randôcas co valor não nferor ao X 2D, obtdas e tepos de execução édo nferores a 40 segundos. Coo perspectvas futuras, a cobnação de outras estratégas ou técncas heurístcas deve ser adotada e novas aplações do X 2D para resolução do PCBGR e suas varantes. Referêncas Bblográfcas Alvarez-Valdés, R., Parajón, A., e Taart, J. (2002). A tabu search algorth for large-scale gullotne (un)constraned two-densonal cuttng probles. Coputers and Operatons Research, v.29, p Beasley, J.E. (1985). Algorths for unconstraned two-densonal gullotne cuttng. Journal of the Operatonal Research Socety, p Chrstofdes, N., e Hadjconstantnou, E. (1995). An exact algorth for orthogonal 2-D cuttng probles usng gullotne cuts. European Journal of Operatonal Research, v. 83, n. 1, p Chrstofdes, N., e Whtlock, C. (1977). An algorth for two-densonal cuttng probles. Operatons Research, 25(1), Cntra, G.F., Myazawa, F.K., Wakabayash, Y., e Xaver, E.C. (2008). Algorths for two-densonal cuttng stock and strp packng probles usng dynac prograng and colun generaton. European Journal of Operatonal Research, 191(1), Cung, V.D., Hf, M., e Cun, B. (2000). Constraned two densonal cuttng stock probles a best frst branch and bound algorth. Internatonal Transactons n Operatonal Research, 7(3), ESICUP. Euro Specal Interest Group on Cuttng and Packng. Dsponível e: < (últo acesso 14/05/2016). Feo, T.A., e Resende, M. G. C. (1989). A probablstc heurstc for a coputatonally dfcult set coverng proble. Operaton Research Letters, n.8, p Furn, F., Malagut, E., e Thoopulos, D. (2014). Modelng Two-Densonal Gullotne Probles va Integer Prograng. Optzaton Onlne. Glore, P.C., e Goory, R.E. (1965). Multstage cuttng probles of two and ore densons, Operatons Research, v.13, p Herz, J.C. (1972). A recursve coputatonal procedure for two-densonal stock-cuttng. IBM Journal of Research and Developent, pp Hf, M. (2004), Dynac prograng and hll-clbng technques for constraned twodensonal cuttng stock probles. Journal of Cobnatoral Optzaton 8, Morabto, R., e Pureza, V. (2010). A heurstc approach based on dynac prograng and and/or-graph search for the constraned two-densonal gullotne cuttng proble. Annals of Operaton Research, v.179, p Pras, M., e Rbero, C.C. (2000). Reactve GRASP: An applcaton to a atrx decoposton proble n TDMA traffc assgnent. INFORMS Journal on Coputng, v. 12, n. 3, p Slvera, R., e Morabto, R. (2002). U étodo heurístco baseado e prograação dnâca para o problea de corte bdensonal gulhotnado restrto. Gestão & Produção, v. 9, n. 1, p Velasco, A.S., Paula Junor, G.G. e Vera Neto, E. (2008). U Algorto Heurístco Baseado na GRASP para o Problea de Corte Bdensonal Gulhotnado e Restrto. Revsta Gepros - Gestão da Produção, Operações e Ssteas, ed.1, p Velasco, A.S., e Uchoa, E. (2014). Geração de Padrões de Corte Bdensonas Gulhotnados va Grasp. In: Anas do XLVI SBPO - Spóso Braslero de Pesqusa Operaconal, Salvador. SOBRAPO. 3882