Modelos Clássicos e Fracionários de Gompertz e Bertalanffy

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1 Trabalho apresentado no CNMAC, Graado - RS, Proceeding Series of the Brazilian Society of Coputational and Applied Matheatics Modelos Clássicos e Fracionários de Gopertz e Bertalanffy Robinson Tavoni 1 Departaento de Bioestatística, Bioetria, UNESP, Botucatu, SP Área de Ciências e Mateática, IFSP, Araraquara, SP Paulo F. A. Mancera 2 Departaento de Bioestatística, UNESP, Botucatu, SP Rubens de Figueiredo Caargo Departaento de Mateática, Unesp, SP Resuo. Este trabalho apresenta os odelos clássicos e fracionários de Gopertz e Bertalanffy, suas soluções analíticas e gráficos. Teos coo objetivo, através da versão fracionária, oferecer ua ferraenta ais precisa para os fenôenos odelados por essas equações clássicas, ua vez que para diferentes valores da orde da derivada perite coportaentos bastante distintos da solução. Palavras-chave. Modelo de Gopertz, Modelo de Bertalanffy, Modelage Fracionária. 1 Introdução Obter ua equação diferencial que descreve be a realidade traz grande dificuldade e quanto ais perto estaos para descrever perfeitaente u problea real, aior é o núero de variáveis envolvidas e a coplexidade das equações. Neste caso o Cálculo FracionárioCF) te desepenhado u papel de destaque, pois há resultados iportantes e generalizações de odelage de processos reais usando CF [4]. Co o objetivo de escrever odelos siples que representa o ais próxio possível da realidade apresentaos nesse artigo os odelos de Gopertz e Bertalanffy nas suas versões clássicas e fracionárias. As aplicações desses dois odelos são iensas, por exeplo, o odelo de Gopertz descreve cresciento de aniais, de tuores cristalino dos olhos huano [, 6, 8]. Enquanto, o odelo de Bertalanffy é utilizado para descrever cresciento de suíno para cortes, cresciento de aniais e teos que e 70% dos casos de sarcoa e ratos analisados e [7] é possível descrever o volue do tuor por esse odelo. O odelo de Bertalanffy é u dos poucos que te algua base na teoria etabólica e pode ser verificado usando dados experientais [5, 7]. 1 tavoni@ibb.unesp.br 2 pancera@ibb.unesp.br rubens@fc.unesp.br DOI: / SBMAC

2 2 2 Resultados Preliinares Definição 2.1. Função Gel fand-shilov. A função Gel fand-shilov é definida, para ν R, coo t ν 1 se t 0 φ ν t) := Γν) 1) 0 se t < 0. Definição 2.2. Integral de orde arbitrária de Rieann-Liouville. Seja ft) ua função integrável, utilizaos a generalização do conceito de fatorial pela função gaa, para definir a integral de orde ν de ft), denotada por I ν ft), coo I ν ft) = φ ν t) ft) = 2.1 Derivada Fracionária de Caputo. t 0 t τ) ν 1 fτ)dτ. 2) Γν) Seja ft) ua função diferenciável, N e α N tais que 1 < Reα) <. A derivada de orde α no sentido de Caputo é definida coo sendo a integral fracionária de ua derivada de orde inteira, de fora que a lei dos expoentes faça sentido, isto é Transforada de Laplace D α ft) = I α D ft) = φ α D ft). ) A partir da equação ) e do teorea da convolução de Laplace, teos que L[D α ft)] = L[φ α D ft)] = L[Φ α t)]l[d ft)] = s α L[D ft)]. 4) 2.2 Função de Mittag-Leffler Definios as funções de Mittag-Leffler, co u e dois parâetros, respectivaente, coo z n E α x) = e E α,β z) = Γnα+1) n=0 n=0 z n, z C e Reα), Reβ) > 0. Γαn+β) 5) Claraente, para α = 1 recuperaos a função exponencial, isto é, E 1 z) = e x e E α,1 z) = E α z) Transforada de Laplace O par de transforadas de Laplace da função de Mittag-Leffler co dois parâetros é dada por: [ ] [ L t β 1 E α,β at α ) = sα β s s α e L 1 α β ] a s α = t β 1 E α,β at α ). 6) a 4 Segue, coo consequência da definição, que D α t β = t β α Γβ + 1)/Γβ α + 1), que recupera o resultado clássico quando α = n e β =, co n, N. DOI: / SBMAC

3 na qual a/s α < 1. Para recuperar a transforada de Laplace da função de Mittag-Leffler clássica basta toar β = 1 nas equações anteriores [2]. Modelo de Gopertz Co o intuito de descrever a taxa de ortalidade de seres huanos, o ateático Benjain Gopertz, e 1825, desenvolveu ua equação diferencial ordinária não-linear denoinada Equação de Gopertz [6]. Este odelo apresenta a característica de que a taxa de cresciento é grande no início do processo, udando rapidaente para u cresciento ais lento. Sendo assi é u odelo bastante adequado para traduzir crescientos celulares plantas, bactérias, tuores, etc) e de aniais..1 Modelo Clássico de Gopertz O odelo de Gopertz, pode ser introduzido através do seguinte problea de valor inicial PVI) [1] { dn dt = rnln k N N0) = n 0, 7) na qual r é a taxa de cresciento relativo quando N é pequeno, k é o valor liite finito saturação) de ua população e Nt) denota a população e função do tepo. Ao fazer a udança de variável St) = lnk) lnn) dn dt = NdS dt ds dt = rst) S0) = ln no PVI 7), teos: k n0). 8) Aplicando equações separáveis nessa EDO obteos St) = ln k n0) e rt, e retornando à váriavel N a solução é dada por:.2 Modelo fracionário de Gopertz Nt) = ke ln k n 0 )e rt. 9) Transforareos a equação 8) e ua equação fracionária substituindo a derivada pela derivada fracionária de Caputo, isto é, d α S dt α = Dα St) = rst) S0) = ln k n 0 ). 10) DOI: / SBMAC

4 4 Aplicando-se a Transforada de Laplace e sua inversa na equação 10) teos: s α LS) s α 1 S0) = rls) LS) = sα 1 S0) s α +r, 11) ou seja, St) = S0)E α rt α ), refazendo a udança de variável St) = lnk) lnn) segue que Para α = 1 teos o odelo clássico. Nt) = ke ln k n 0 )E α rt α ). 12) Figura 1: Gráficos do odelo fracionário de Gopertz para diferentes valores da orde α 4 Modelo de Bertalanffy Esta equação foi originalente derivada por Bertalanffy 1960) para descrever cresciento anial [7]. 4.1 Modelo clássico de Bertalanffy O odelo de Bertalanffy discutido e [7] é dado por: dv dt = nv 2 V, 1) onde V pode representar o volue do tuor ou a assa do anial e n, são constantes de proporcionalidade. Rescrevendo a equação coo dv ) dt = V 2 n V 1 e fazendo a udança de variável A = V 1 teos: da dt = n A. 14) Ao resolver essa equação e voltar à variável V, a solução é dada por: DOI: / SBMAC

5 5 n ke t) ) Vt) = 15) onde k é ua constante. Ou equivalenteente [7] por V = b 1 1 b 2exp b t)). 4.2 Modelo fracionário de Bertalanffy Transforareos a equação 14) e ua equação fracionária substituindo a derivada pela derivada fracionária de Caputo, isto é, d α A dt α = n A. 16) Aplicando-se a Transforada de Laplace na equação 16) teos: ) n A s α LA) s α 1 A0) = L L LA) = ) n. s 1 s α 1 s α + +A0). s α +. 17) [ s Toandoβ = α+1e6)seguequel 1 1 ] s α + = t α E α,α+1 tα) ee α,α+1 tα) = 1 [ 1+E α )] tα. tα Utilizando esses resultados e aplicando a Transforada de Laplace inversa A = n + A0) n )E α tα), 18) e ao retornar à variável V teos: Vt) = Para α = 1 retoaos o odelo clássico. [ n + V0)) 1 n )E α tα)]. 19) 1 0,9 0,8 alpha = 0.2 alpha = 0.4 alpha = 0.6 alpha = 0.8 alpha = 1 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Figura 2: Gráficos do odelo fracionário de Bertalanffy para diferentes valores da orde α. DOI: / SBMAC

6 6 5 Conclusões Coo é possível observar nos gráficos dos dois odelos apresentados neste trabalho, para diferentes valores de α orde da derivada) teos u coportaento diferente, isto é, o eso odelo pode representar probleas reais diferentes se precisar acrescentar variáveis e parâetros. Esperaos que esse trabalho possa colaborar na odelage de probleas reais, principalente o odelo fracionário de Bertalanffy e alguns tipos de câncer, afinal uitas células tuorais deora ais tepo para atingir seu taanho áxio. E coo trabalho futuro estudareos o ajuste do odelo fracionário aplicado ao cresciento de tuor e ganho de peso anial tentando refinar os odelos co os dados reais e coparar ao odelo clássico. Agradecientos Rubens de Figueiredo Caargo agradece ao CNPq Projeto Universal - Processo: /2014-1) por ter financiado esta pesquisa. Referências [1] W. E. Boyce e R. C. DiPria, Equações Diferenciais Eleentares e Probleas de Valores de Contorno. LTC, Rio de Janeiro/RJ, [2] R. F. Caargo e E. C. de Oliveira. Cálculo Fracionário. Editora Livraria da Física. São Paulo [] J. S. Doingues, Análise do Modelo de Gopertz no cresciento de tuores sólidos e inserçãoo de u fator de trataento, Bioateática 21, , 2011), Ua Publicação do Grupo de Bioateática IMECC, UNICAMP. ISSN X. [4] L. K. B. Kuroda; A. V. Goes ; R. Tavoni ; Paulo F. A. Mancera ; N. Valralta ; R. F. Caargo, Unexpected behavior of Caputo fractional derivative. Coputational & Applied Matheatics, v. 1, p. 1-11, DOI: /s [5] L. de Oliveira; A. J. V. Brandão e R. C. Bassanezi. O odelo Von Bertalanffy adaptado para suínos de cortes. Bioateática. 17. Unicap. Capinas [6] J. P. C. dos Santos e L. C. Cardoso. Modelo de Gopertz Fracionário. Revista de Estatística. UFOP. Vol., [7] V. G. Vaidya, F. J. Alexandro. Evaluation of soe atheatical odels for tuor growth. In International journal of bio-edical coputing. 1, 1982, no. 1, DOI: / ) [8] N. Varalta, A. V. Goes e R. F. Caargo, A Prelude to the Fractional Calculus Applied to Tuor Dynaic. Tea, 15, N 02, , DOI: /tea DOI: / SBMAC