Pesquisa de Comportamento Caótico no IBOVESPA com Remoção de Tendência Log-linear.

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1 Pesquisa de oportaento aótico no IBOVESPA co Reoção de endência Log-linear. Resuo: Autoria: Wenersay Rao de Alcântara Freqüenteente a reoção de tendência linear e séries teporais, etapa preparatória para o conhecido teste BDS de coportaento deterinístico, é feita através da diferença entre os logaritos de dois valores e seqüência, obtendo-se o ua nova série co logaritos do fator de redução ou auento. oo uita inforação do sinal é perdida neste procediento, tabé é possível que não linearidades sea ascaradas. Neste trabalho é utilizada ua outra técnica baseada na eliinação da tendência log-linear da série, ostrando que este procediento eliina a tendência, as guarda ais seelhanças co a série original. Pelas características da eliinação de tendência log-linear, pode ser necessário escolher u intervalo conveniente de dados, coo foi o caso os dados selecionados fora os índices BOVESPA obtidos após o Plano Real. Os resultados fora coparados aos de ROMAN, que utiliza diferenças logaríticas co dados do IBOVESPA desde 986. o a eliinação da tendência pelo auste log-linear e o intervalo de tepo utilizado, foi possível identificar não linearidade pelo teste BDS de fora ais conclusiva e não houve reeição definitiva da hipótese do sistea ser deterinístico o que houve naquele trabalho, apesar de tão pouco ter sido possível confirar a eistência de u coportaento caótico.

2 . Introdução: Sisteas dinâicos não lineares, eso os ais siples RIPPI, 995, p. 7, pode levar a coportaentos bastante copleos e aparenteente estocásticos. Isso decorre do fato de que nestes sisteas é possível encontrar pontos a partir dos quais o sistea evolui de aneira copletaente diferente e caso de qualquer variação nas condições iniciais, não iportando quão pequena esta variação sea. oo é praticaente ipossível fazer a edição eata de ua grandeza, nunca é possível saber o estado inicial do sistea e, portanto, não é possível prever sua órbita após u período suficienteente longo. Assi, apesar de eistir u odelo deterinístico por trás dos dados o sistea dinâico não linear, o coportaento é aparenteente estocástico e só pode ser descrito de ua aneira geral co a utilização de ferraentas estatísticas. No entanto, a consciência de que eiste ua estrutura subacente a ua aparente desorde te pelo enos duas iplicações: o elhor conheciento do fenôeno a partir de sua estrutura e a possibilidade de previsão dentro de certas restrições antes que as órbitas divira significativaente. Particularente para o caso de ercados financeiros, a possibilidade de eistência de sisteas dinâicos não lineares subacentes te iplicações iportantes sobre a hipótese de eficiência de ercado e sobre a possibilidade de previsão, eso que de curto prazo. O estudo de sisteas dinâicos não lineares, ebora tenha origens tão reotas quanto o início do início do século XX RIPPI, 995, p. 6, soente ganhou ipulso ais recenteente, buscando, e sua aioria, desenvolver instruental ateático para tratar sisteas dinâicos não lineares, aplicar tal instruental a odelos otivados por probleas reais e identificar estruturas deterinísticas e séries de dados aparenteente estocásticos MEDIO, 99. O presente trabalho trata deste últio aspecto: identificar coportaento deterinístico no índice IBOVESPA. E trabalho recente sobre o assunto, ROMAN analisou ua série co o valor diário de fechaento do índice BOVESPA IBOVESPA, austado por proventos, de de aneiro de 986 a 3 de aio de. Rochan utilizou u conhecido étodo proposto por BROK, DEER e SEINKMAN 987, BDS por siplicidade, que testa a hipótese nula da série ser independente e identicaente distribuída IID. oo discutido por Barnett et. al. BARNE, KIRMAN e SAMON, 996, p. 76, se a única fonte de aleatoriedade for ruído, então é possível filtrar o ruído, reover deterinisos lineares e, se a hipótese IID for reeitada, inferir a eistência de u sistea dinâico não linear subacente. No entanto, pode eistir outra fonte estocástica interna ao sistea, na fora de parâetros estocásticos, por eeplo, e neste caso não é possível assegurar a fonte da não linearidade, se de u processo estocástico qualquer ou de u sistea dinâico não linear. Rochan encontrou reeição da hipótese IID para alguns parâetros de proiidade da integral de correlação, que é a estatística usada no teste BDS, o que indica a eistência de não linearidade, as não define se sua orige é estocástica ou deterinística. Meso co a utilização de u teste adicional, KK KOENDA, 999, não foi possível reeitar a hipótese nula para todos os parâetros. Na ausência de conclusões baseada nos testes KK e BDS, foi usado ainda u outro teste para verificar a eistência de sensibilidade às condições iniciais, o que define e essência a eistência de coportaento deterinístico não linear. al teste foi feito pelo cálculo do epoente áio de Lyapunov KANZ e SREIBER, 997 para vários parâetros de distância, as não foi possível aceitar a hipótese de sensibilidade às condições iniciais, chegando-se à conclusão de que a série possui não linearidade, as não eibe u coportaento dinâico deterinístico subacente u coportaento descrito por u sistea dinâico não linear uitas vezes é referido coo caótico.

3 Neste artigo repetios a análise de Rochan da série de dados do IBOVESPA, as co alguas diferenças etodológicas relacionadas à reoção de tendência e ao intervalo de tepo da série de índices.. Metodologia:.. A série de dados Foi utilizada ua série de dados do IBOVESPA co valores de fechaento diários, austados por proventos, de de aneiro de 995 a de aio de 3. A data inicial foi definida e função da escolha etodológica do processo de reoção de tendência. Para evitar que u coportaento deterinístico linear sea detectado pelos testes de não linearidade, é necessário eliinar a tendência, be coo qualquer linearidade dos dados. Ua fora couente utilizada para eliinar a tendência é calcular a diferença logarítica entre os pontos: [ P t + ] Ln[ P ] r t = Ln t e que Pt é o valor da série original no tepo t e Ln é o logarito natural. haareos rt de diferença logarítica. FRIEDMAN 969 favorece este tipo de abordage, as Wen BARNE, KIRMAN e SALMON, 996, p. 38 arguenta que este tipo de procediento pode não só eliinar a tendência linear coo tabé o deteriniso não linear, de odo que recoenda ua abordage alternativa, que seria a reoção da tendência loglinear. Esta é ua das diferenças e relação ao trabalho de Rochan, ua vez que preferios esta últia abordage. Assi, a nossa série de dados será dada por: [ P t ] α + p t = Ln t β e que α e β são, respectivaente, os coeficientes angular e linear da reta de regressão da série teporal {Ln[Pt]}. Analisando o gráfico de {Ln[Pt]} é possível perceber claraente o período de congelaento de preços do Plano Sarney e 986, a escalada inflacionária até 994 e a contenção da inflação daí e diante: 3

4 Logaríto do índice BOVESPA //86 a /5/3 5 5 Ln{Pt} //86-5 //87 //88 //89 //9 //9 //9 //93 //94 //95 //96 //97 //98 //99 // // // // Figura : istórico inflacionário evidenciado no logarito do IBOVESPA. Assi, por ua questão de consistência histórica co a tendência observada a partir de 994/995, fora escolhidos os dados a partir de de aneiro de 995 até de aio de 3, copondo u total de 7 pontos... O teste BDS O teste de deteriniso não-linear conhecido por BDS envolve a utilização de ua integral de correlação, que ede a proporção de pares de pontos de ua série teporal {X t }, co X i R D e i=,...,, cua distância, edida pela nora euclidiana, é enor do que : = li = li i< X X e que é a função de eaviside, * dada por : R R; = +, 5. Observe que / é o núero de coparações dois a dois possíveis para eleentos e i< X i X é o núero de coparações dois a dois que resulta e nora enor que. o base na teoria de reconstrução de espaço de estados AKENS, 98, 983, é possível calcular a integral de correlação coo: = i= = X X e que X t = X t,...,x t+- são -histórias de {X t } e é chaado de diensão ebutida. Utilizando o conceito de diensão de correlação de GRASSBERGER e PROAIA 983, originalente utilizado coo ua edida da diensão fractal dos dados, Brock, Dechert e Scheinkann provara que, para >, [ ] i i { } tende 4

5 5 assintoticaente para ua distribuição noral. A verificação desta hipótese é feita através da estatística BDS: [ ] = σ W e que: [ ] [ ] [ ] [ ] + + = = 4 K K K σ = < < 6,, k i k i N N N X X X h K 3,, z z y z y z y y z y h + + = e N é o núero de -histórias -. A ipleentação do teste foi feita coo descrito por KANZLER este de sensibilidade às condições iniciais Detectada a eistência de não linearidade, é necessário testar a orige de tal não linearidade, se estocástica ou deterinística, esta últia regida por u sistea dinâico não linear. A característica que torna especialente difícil a previsão do coportaento de sisteas regidos por dinâicas não lineares, apesar de conhecida a ecânica subacente ao enos e teros ateáticos, é eataente a sensibilidade às condições iniciais, que, na ipossibilidade de sere deterinadas co precisão infinita, leva o sistea a estados be diferentes eso para condições iniciais uito siilares. Ua aneira de testar tal sensibilidade é a deterinação do epoente áio de Lyapunov: o aior núero λ tal que, dados quaisquer dois pontos t e s da aostra co ua pequena distância δ, a distância entre os pontos t+ t e s+ t para t suficienteente grande é δ e λ t. A ipleentação utilizada foi a de KANZ Resultados Epíricos: A série de dados do IBOVESPA de de aneiro de 986 a de aio de 3 está na Figura :

6 Índice BOVESPA //86 a /5/ Pt //86 //87 //88 //89 //9 //9 //9 //93 //94 //95 //96 //97 //98 //99 // // // //3 3: Figura : Série histórica do IBOVESPA. A série de logaritos naturais correspondentes e sua reta de regressão estão na Figura Auste log-linear do índice BOVESPA Ln {Pt} e reta de regressão //95 //97 //99 // //3 Figura 3: Auste log-linear da série histórica do IBOVESPA. A reta austada teve o coeficiente angular de 3,967-4 e coeficiente linear de 8,5548, co u R austado de,5753. A seqüência {pt} resultante, co a reoção da tendência log-linear, encontra-se na figura abaio, e que tabé é feita a coparação co a série obtida através da eliinação de tendência por diferença logarítica, representada por {rt}. 6

7 Reoção de tendência,8 pt log-linear versus rt diferença logaritica,6,4, //95 //97 //99 // //3 -, -,4 -,6 -,8 pt rt - Figura 4: oparação entre a reoção de tendência por auste log-linear e por diferença logarítica. Vea que a reoção de tendência pelo auste log-linear preserva ais inforação dos dados, coo o coportaento cíclico que parece eistir nos dados. A édia, entretanto, é praticaente zero e enor que a édia da série de diferenças logaríticas. O últio passo antes da aplicação do teste BDS é reover copletaente qualquer linearidade restante e obter u sinal estacionário. No presente trabalho isto foi feito co a utilização de odelos auto-regressivos de prieira e segunda orde: AR e AR. A séries a sere utilizadas no teste BDS são obtidas pelo resíduo das estiativas AR e AR. Para AR, foi obtido R =,999 e desvio padrão de,67, e para AR, R =,983 e desvio padrão de,386. Os gráficos dos resíduos a sere utilizados no teste BDS estão nas figuras abaio: Resíduos - AR,4,3, et, 3//95 3//97 3//99 3// 3//3 -, -, Figura 5: Resíduos para estiativa AR. 7

8 Resíduos - AR,4,3,, et 4//95 4//97 4//99 4// 4//3 -, -, -,3 Figura 6: Resíduos para estiativa AR. A tabela abaio resue édia e desvio padrão das séries até agora discutidas: Série de dados rt pt Res. AR Res. AR Média: 3,4885E-4 -,933E-4 6,9959E-8,565E-7 Desvio padrão:,673e-,965e-,673e- 3,869E- abela : Média e desvio padrão de rt = Ln [Pt +/Pt]; pt = Ln Pt αt β e dos resíduos de autoregressão de prieira e segunda orde. O teste BDS foi então aplicado obtendo-se os seguintes resultados: DIMENSÃO EMBUIDA: DISÂNIA:,5 AR Estatística W: 9,99437, ,465 8,577,7897 5,6888 3, , ,484 Significância enor que: 5,%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% AR Estatística W: 7,499 34,966 4, , ,93 77,54 98,685 9,644 8,7586 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% DISÂNIA:, AR Estatística W:,897 4,6997 7,43 9,553,8963 4,3 6,8895 9, ,75 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% AR Estatística W: 7,56 3,5353 3, , ,8959 4,35 46, , ,769 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% DISÂNIA:,5 AR Estatística W: 4,894 7,39 9,35375,7363,999, ,345 5,384 6,5697 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% AR Estatística W: 6,6348 8,553 8,8689 9,55 3,353 3, , , ,3693 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% DISÂNIA:, AR Estatística W: 5,59 8,6384,3566,5789,67,86597,79,49455,894 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% AR Estatística W: 5,749 7,374 7,9549 7,887 7,4 7,458 7,477 7,4686 7,89584 Significância enor que:,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% abela : Resultados do teste BDS. Para todas as distâncias testadas,5;,;,5 e, foi reeitada a hipótese nula co níveis de significância inferiores a 5% para a distância,5 e enores que % para as deais 8

9 distâncias enores que % para todas as distâncias quando utilizada AR de orde. Desta aneira concluíos que eiste não linearidade nos dados, sendo desnecessária a aplicação do teste KK. Resta verificar se a orige da não linearidade é estocástica ou deterinística. alculaos os epoentes áios de Lyapunov para razões entre a distância e o desvio padrão de,75 e,5 para coparar co Rochan. Apesar dos epoentes sere todos negativos, não há u liite superior claro, especialente para /σ =,5, a não ser que a diensão ebutida sea uito alta da orde de ou ais ou sea realizado u núero ecessivo de iterações, o que reduz bastante o núero de vizinhanças que possue pontos suficientes para realizar o teste co algua significância estatística. Desta fora, para u núero de passos enor que e enor que 6, não é possível reeitar a possibilidade do sistea ser caótico, apesar do núero liitado de dados não peritir u resultado conclusivo. Os gráficos obtidos estão nas figuras abaio: Epsilon/desvio padrão =.75, Iterações -, , -,5 -, -,5-3, -3,5 = =3 =4 =5 =9 = -4, -4,5-5, Figura 7: Epoentes áios de Lyapunov para /σ =,75 e diversas diensões ebutidas. 9

10 Epsilon/desvio padrão =.5, Iterações -, , -,5 -, -,5-3, -3,5 = =3 =4 =5 =9 = -4, -4,5 Figura 8: Epoentes áios de Lyapunov para /σ =,5 e diversas diensões ebutidas. 4. onclusões: Neste trabalho replicaos a abordage de Rochan utilizando ua fora de reoção de tendência que preserva ais inforações da série original, que é a reoção da tendência log-linear. A não-linearidade da série original foi ais evidente que e Rochan, sendo desnecessário o teste KK. Já o teste do áio epoente de Lyapunov não peritiu reeitar conclusivaente a possibilidade de deteriniso não linear e, devido à pequena quantidade de dados 7 pontos, utilizar uito aiores e busca de u liite de convergência pode coproeter a validade do teste. Desta aneira, neste trabalho apresentaos indícios de que a utilização da diferença logarítica para eliinar a tendência pode realente eliinar eleentos não lineares que se desea identificar. A utilização da reoção de tendência pelo étodo log-linear parece ser ais indicada. 5. Referências Bibliográficas: BARNE, Willia A.; KIRMAN, Alan P.; SALMON, Mark. Nonlinear dynaics and econoics. New York: abrige University Press, 996. BROK, W. A.; DEER, W. D.; SEINKMAN, J. A test for independence based on the correlation diension. SSRI Working Paper, no. 87, Departent of Econoics, University of Wiscosin, Madison, Wisconsin, 987. FRIEDMAN, M. he optiu quantity of oney and other essays. hicago: Aldine, 969. GRASSBERGER, P.; PROAIA, I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica, 3D, p. 6-68, 983. KANZ,. A robust ethod to estiate the aial Lyapunov eponent of a tie series, Phys. Lett. A 85,

11 KANZ,.; SREIBER,. Nonlinear tie series analysis. abridge Nonlinear Science Series 7. abridge: abridge University Press, 997. KANZLER, Ludwig. Very Fast and orrectly Sized Estiation of the BDS Statistic. Social Science Research Network SSRN 999. Disponível e: paper.taf?abstract_id=5669 > Acessado e: 4 un. 3. KOENDA, E. An alternative to the BDS test: integration across the correlation integral, forthcoing in Econoetric Reviews, 999. MEDIO, Alfredo. haotic dynaics and applications to econoics. Newcastle: abrige University Press, 99. ROMAN, Ricardo Ratner. An analysis of the non-linear and chaotic structure of the inde IBOVESPA. Working paper, EAESP-FGV. Março.. RIPPI, Robert R. Org.. haos and nonlinear dynaics in the financial arkets: theory, evidence and applications. USA: Irwing, 995. AKENS, F. Detecting strange attractors in turbulence. In RAND, D.; YOUNG, L. Ed. Dynaical Systes and turbulence.. Berlin: Springer-Verlag, 98. AKENS, F. Distinguishing deterinistic and rando systes. In BORENBLA, G.; IOOSS, G.; JOSEP, D. Nonlinear dynaics and turbulence. Boston: Pitan, 983. A utilização de recursos coputacionais, sea para arazenar dados, sea para análise nuérica, ipõe a discretização, o que iplica e grandezas co precisão finita não eatas. Adicionalente, sea e sisteas físicos, devido ao Princípio da Incerteza, sea e sisteas sociais, devido à necessidade ateática de odelos contínuos para representar eso grandezas discretas, é praticaente ipossível edir condições iniciais co eatidão precisão infinita. Ua discussão ais etensa pode ser encontrada e MEDIO 99 ou e FORD 983. A definição que se segue é siplificada, as intuitiva. Para deonstrações, entretanto, é ais conveniente usar: λ = δ y dy = li dy π λ λ + y Adicionalente, ebora não sea definida para =, para os fins do cálculo da integral de correlação usareos =.