Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva imagem, (, aproima-se do valor 5. Deinição: Diz-se que eiste e que ( L L IR é o ite de ( quando tende para a e escreve-se quando e só quando ε > δ > : < a < δ ( L < ε Epliquemos o que quer dizer, em linguagem corrente, a última órmula. Diz-se que o ( é L se para qualquer intervalo centrado em L do tipo ] ε L ε[ ordenadas, L, (relativamente às 98
Capítulo III: Limite de Funções 99 eiste pelo menos um intervalo da orma ] a δ, a δ [ \ { a} ponto pertence ao intervalo ] ε L ε[ L,., onde a imagem de qualquer Nota: De acordo com a deinição, só tem sentido calcular ( se a unção está deinida numa vizinhança de a, isto é, ou imediatamente antes de a (se eiste δ > tal que ] a,a[ D δ ou imediatamente depois de a (se eiste δ > tal que ] a,a [ D δ. Por eemplo, não az sentido calcular ln( sentido calcular ln( pois ( ], [, mas tem D ln pois qualquer valor à direita de pertence D ln(. De acordo com a deinição de ite, para calcular ( não interessa o que se passa em a (pode até acontecer que a D, o que importa é o que se passa imediatamente antes e depois de a.
Capítulo III: Limite de Funções Eemplos: ( 5 e ( ( e ( não eiste. Propriedades dos Limites Muitas unções do cálculo podem ser obtidas como somas, dierenças, produtos, quocientes e potências de unções simples. Vamos enunciar algumas propriedades, que resultam da própria deinição de ite, e podem ser usadas para simpliicar o cálculo do ite de unções menos simples. Teorema (Unicidade de Limite Seja uma unção deinida numa vizinhança de a. O ite de em a, quando eiste, é único. Teorema (Propriedades algébricas dos ites Sejam e g duas unções deinidas numa vizinhança de a IR tais que ( l IR e m IR, e seja c uma constante. Então
Capítulo III: Limite de Funções a. ( ( l m b. ( ( lm c. ( c ( c ( cl n n ( l n d. ( ( ( g e. ( g ( l ( m, n IN, se m. ( (, ( ( l se n par Teorema Se ( e g é uma unção itada numa vizinhança de a ( a, então (. No teorema anterior a condição g é uma unção itada numa vizinhança de ( a quer dizer que eiste uma constante C tal que vizinhança de a e a. C em todo o ponto que está numa Eemplos: sen porque a unção sen é itada e ; n n ( porque a unção ( ( n é itada CD {, } ( n e. Teorema (Encaie de ites Sejam, g e h unções tais que ( h(, se ( L h( então L ( a para todo numa vizinhança de a.
Capítulo III: Limite de Funções Eemplo: sen? sen sen ( sen ( como então as desigualdades são preservadas Como (, o teorema airma que sen.. Limites Laterais Seja a unção abaio representada Diz-se que 4 é o ite à esquerda de no ponto e denota-se por ( 4. Isto signiica, que quando se aproima de por valores ineriores, a respectiva imagem, (, aproima-se de 4. (ver igura
Capítulo III: Limite de Funções Formalmente, diz-se que o ( L se para qualquer intervalo centrado em L do tipo ] ε L ε[ ordenadas, eiste pelo menos um intervalo da orma ] a δ, a[ pertence ao intervalo ] ε L ε[ L,. L, (relativamente às, onde a imagem de qualquer ponto Analogamente, diz-se que é o ite à direita de no ponto e denota-se por ( respectiva imagem, (. Isto signiica, que quando se aproima de por valores superiores, a, aproima-se de. (ver igura Formalmente, diz-se que o ( L se para qualquer intervalo centrado em L do tipo ] ε L ε[ ordenadas, L, (relativamente às eiste pelo menos um intervalo da orma ] a, a δ [, onde a imagem de qualquer ponto pertence ao intervalo ] ε L ε[ L,. Utilizando os conceitos de ite à direita e ite à esquerda, podemos dar uma nova deinição de ite: Deinição: Seja uma unção deinida numa vizinhança de Dado um número real L, diz-se que ( L laterais, isto é, a, à direita e à esquerda. se é só se eistem e são iguais os ites
Capítulo III: Limite de Funções 4 ( L quando e só quando ( ( L Nota: Se os ites laterais num ponto são dierentes, então não eiste ite nesse ponto. Por eemplo, a unção anterior não tem ite no ponto, pois ( ( 4. No caso em que é uma unção deinida num intervalo, por eemplo do tipo [ a,b], diz-se que ( L se, e somente se, L ( Por eemplo: ( ( 5 (notar que neste caso, epressão ( deinida para valores ineriores a não az sentido porque a unção não está.4 Limites Ininitos. Limites no ininito. Epressões Indeterminadas Por vezes quando calculámos o ite de uma unção num ponto a acontece que à medida que nos aproimámos de a as imagens tomam valores muito grandes (em valor absoluto, tão grandes que é impossível quantiicá-los com um número utilizámos o símbolo que se designa por ininito. L IR. Para eprimir essa situação
Capítulo III: Limite de Funções 5 Eemplo:? Consideremos o gráico da unção deinida por ( Veriica-se que: y y 5 5-5 -.5.5 5 5-5 - - 4 6-5 Podemos, então, escrever Formalmente, temos que ( quando e só quando ] a δ, a [ \ { a ( M M > δ > tal que δ } > De orma análoga deine-se ( e (.
Capítulo III: Limite de Funções 6 Nota: Se ( então não é itada. Se ( então numa vizinhança de globalmente nada se pode concluir. a a unção é itada, no entanto, Limites no ininito Por vezes, quando o domínio de uma unção é iitado, importa saber o que acontece às imagens quando nos aproimámos dos etremos do domínio. Eemplo: Seja ( e cuja representação gráica é: Quando toma valores muito grandes, toma valores cada vez mais próimos de. Simbolicamente esta situação traduz-se por (. Formalmente, dado L IR, temos que ( L quando e só quando ( ] L ε L ε[ ε > M > tal que para todo > M, De modo análogo, deine-se ( L
Capítulo III: Limite de Funções 7 Por outro lado, quando toma valores muito grandes negativos, toma valores cada vez maiores. Eprime-se esta situação por (. Formalmente temos que ( quando e só quando ( M M > N > tal que para todo < N >. De modo semelhante deine-se (, (, (. Eemplo: Seja ( cuja representação gráica é: Quando toma valores muito grandes ou muito grandes negativos, toma valores cada vez mais próimos de. Simbolicamente esta situação traduz-se por. ± Observação: Todas as propriedades estudadas para o cálculo de ites no sub-capítulo., são válidas para ites laterais ( a a e, ites no ininito ( a e ainda para ites ininitos.
Capítulo III: Limite de Funções 8 Epressões indeterminadas Resulta das propriedades da aritmética dos ites que o ite de um polinómio ou de uma unção racional, quando tende para a, pode ser calculado substituindo por a. Eemplos: ( 7 ( ( ( 4 4 ( ( Contudo, aplicando directamente as propriedades da aritmética dos ites podemos ser conduzidos aos símbolos,,,, que se chamam símbolos de indeterminação, e quando tal acontece nada se pode concluir sem um estudo mais aproundado do ite em causa.. Indeterminação 5 5 5 Mais geralmente: Sejam p ( e ( e m m q dois polinómios. Se a é o monómio de maior grau de p ( n n b é o monómio de maior grau de ( q temos que: p q n ( an ( m bm a b n m se se se n > m n m n < m
Capítulo III: Limite de Funções 9 Nota: Note que o que caracteriza uma indeterminação é precisamente o acto de perante o mesmo símbolo (neste caso sermos conduzidos a resultados distintos como se vê em cima.. Indeterminação ( ( ( ( ( ( (. Indeterminação 4? Aplicando directamente as regra para o quociente de ites somos conduzidos a o que mostra que anula o numerador e o denominador. Então o numerador e o denominador são divisíveis por. Aplicando a regra de Ruini, temos que: 4 ( ( ( ( 4. Indeterminação ( Segue-se uma tabela com a álgebra dos ites.
Capítulo III: Limite de Funções ( g ( ( ( ( ( ( ( (? indeterminação k ( ( k k ( ( k ( (. ( (. ( (. (. ( (. ( (. ( k > ( (.. k k < ( (.. k ± ( (. ±.? indeterminação k ± k > k > ± ( ( / k / ± ± ( ( / ( ( / ± / ±? indeterminação k / ( ( / / ( ( / k / ( ( / / ( ( / /? indeterminação
Capítulo III: Limite de Funções.5 Eercícios. Considere a unção deinida por (. Sabendo que a π ( e arctg 4 b (, qual das airmações seguintes é verdadeira: a. a e b b. a e b c. a e b d. a e b π. Seja : IR IR a unção deinida por seguintes é verdadeira: e ( e se se <. Qual das airmações a. ( ( b. ( ( c. não eiste ( d. não eiste (. Seja : IR IR a unção deinida por b (, qual das airmações seguintes é verdadeira: ( e. Sabendo que a ( e a. a e b b. a e b c. a e b d. a e b 4. Seja (,. Calcule: 7, > a. ( d. ( 5 b. ( e. ( 5 c. (. ( 5 5. Na igura está representada parte do gráico de uma unção, de domínio IR.
Capítulo III: Limite de Funções Qual das seguintes airmações é verdadeira? a. ( (4 4 b. ( (4 4 c. ( (4 4 d. ( (4 4 e ( (4 4 e ( (4 4 e ( (4 4 e ( (4 4 6. Calcule os seguintes ites: a. t t 4t t ( t ( t 4 lo b. 6 c. 5 7 d. 5 4 e.. e g. j. m. lo h. k. 4 7 sen( tg ( π n. 7 4 i. 4 8 5 e l. lo 5 o. e 7. Usando o Teorema do Encaie de Limites, calcule os seguintes a.. sen b. cos( 8. Mostre que os seguintes ites não eistem: a. b. e c. sen( 9. Seja uma unção real de variável real, deinida e contínua em, por π e se ( π k arccos se < π Qual o valor do (? a. b. c. d.