INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA

Introdução à Astrofísca INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 7: A MECÂNICA CELESTE Lção 6 A Mecânca Celeste

O que vmos até agora fo um panorama da hstóra da astronoma. Porém, esse curso não pretende ser de dvulgação centífca (as lções até aqu podem ser vstas como dvulgação, mas não é esse o ntuto). Falamos rapdamente da relatvdade, mas não falamos que mutos físcos e matemátcos ajudaram no desenvolvmento dessa teora. Falamos sobre a teora quântca (na verdade, não falamos quase nada dela), mas não olhamos para seu caráter matemátco. Agora, remos ncar uma parte do curso no qual, de fato, veremos o que é Astrofísca. A partr daqu remos analsar cosas de uma manera muto matemátca. Mas aguente frme!

A MECÂNICA CELESTE Tycho Brahe achava que a teora de Copérnco era falha por não encontrar nenhuma evdênca que mostrava que a Terra estava em movmento ao redor do Sol. Por outro lado, percebeu que o céu não era mutável (sso porque ele observou a supernova de 1572). Baseado nos trabalhos de Copérnco e Brahe, Kepler formulou três mportantes les: - A le das órbtas, a qual dz que o movmento dos planetas ao redor do Sol não é feto em trajetóras crculares, mas sm em trajetóras elíptcas, onde o Sol ocupa um dos focos. - A le das áreas (que mplca que um planeta varre áreas guas do céu em tempos guas). - A le dos períodos, expressa por T 2 = KR³ (onde K é a constante de Kepler).

A elpse satsfaz a segunte relação: r + r = 2a Quando r = r b 2 = a²(1 e 2 ) Em coordenadas polares, pelo teorema de Ptágoras: r 2 = r 2 sen 2 θ + 2ae + rcosθ 2 O que fornece: r 2 = r 2 sen 2 θ + 4ae(ae + rcosθ) Usando a relação r + r = 2a: a 1 e2 r = 1 + ecosθ De modo que 0 e < 1

Galleu é consderado o pa da astronoma moderna. Fo o prmero a olhar para o céu com uma luneta. Dele provém o prncípo da nérca. A partr dsso, Newton formulou suas três les: 1) Le da Inérca: essa le dz que se um objeto está em repouso, ele contnuará em repouso a menos que uma força externa haja sobre ele. Da mesma manera, se um objeto se move em lnha reta com velocdade constante, ele permanecerá nesse movmento até que uma força seja aplcada a ele. 2) Expressamos a segunda le pelas equações: F lq = F lq = m d v dt N F = m a = d m v dt = d p dt O que essas equações estão nos dzendo é que a força aplcada sobre um objeto ocasona uma aceleração ao mesmo ou, de forma análoga, altera seu momento. Note que os termos a (aceleração), F (força), v (velocdade) e p (momento) apresentam setas horzontas, o que ndca que são vetores (possuem uma dreção e um sentdo específco). A dervada representa a varação. 3) Ação e reação: essa le nos dz que se um objeto A aplca uma força em um objeto B, então o objeto B aplcará uma força gual no objeto A.

Através das les de Kepler, Newton demonstra a le da gravtação. Sendo o período dado por: T = 2πR v E a partr da tercera le de Kepler: 4π 2 R 2 = KR³ Sendo a força centrípeta dada por: F c = ma c v 2

E sendo v = ωr e ω = 2π/T: a c = v2 R F c = m v2 R Multplcando tudo por R 2 /R²: a c = ω 2 R = 4π 2 R T 2 F = 4π 2 m R3 T 2 R 2 O termo R 3 /T² é nosso K da tercera le. Então: F = 4π 2 K m R 2 r E essa é a le da gravtação, onde 4π 2 K é constante.

TRABALHO E ENERGIA Vamos supor que uma força age sobre um objeto e o leva de uma posção A para uma posção B. Essa mudança de posção mplca na realzação de um trabalho W, o qual é defndo por: Fazemos: W A B = A B F d r F = ma = m dv dt dr = vdt W A B = A B m dv dt vdt = v B mvdv = 1 2 mv2 v B va v A W = 1 2 mv B 2 1 2 mv A 2

O termo 1 mv² é defndo como a energa cnétca do objeto. Assm, vemos que o 2 trabalho pode ser escrto como a varação da energa cnétca. Agora, vamos tomar a força F como a força da gravdade, a qual move um objeto da posção r 1 para a posção r 2. Temos então a defnção de energa potencal gravtaconal U: U f U = ΔU = r 2 F d r r 1 ΔU = r 2 G Mm R 2 dr r 1 U f U = GMm 1 r 2 1 r 1

Perceba que a energa potencal fo obtda com a ntegração da força. Assm, podemos relaconar energa e força como: F = U r Ou seja, a dervada da energa potencal nos fornece a força aplcada. A energa total do sstema será a soma da energa cnétca com a potencal: E M = K + U E M = 1 2 mv2 G Mm R No ponto mas afastado possível de um corpo com massa M (no nfnto ), tanto a energa potencal quanto a energa cnétca são zero. Logo, pela conservação de energa: 1 2 mv2 G Mm R = 0 v = 2GM R E essa é a velocdade de escape, defnda como a velocdade necessára para um objeto escapar da atração gravtaconal de um corpo de massa M.

O TEOREMA DO VIRIAL O teorema do vral permte que a energa cnétca total seja calculada mesmo para sstemas complcados que não possuem uma solução exata (esses sstemas costumam aparecer na mecânca estatístca). Podemos usar o teorema do vral para calcular, por exemplo, o lmte de Chandrasekhar para a establdade de estrelas anãs-brancas. A segur, faremos a demonstração do chamado vral.

Consderemos a segunte quantdade Q = p r Onde p é o momento lnear e r é o vetor posção para cada partícula em algum sstema de referênca nercal. A dervada de Q com respeto ao tempo é: dq dt = d p dt r + p d r dt Expandndo o lado esquerdo da equação: dq dt = d dt m d r dt r = d dt 1 2 d d 2 I dt m r 2 = 1 2 dt 2

De modo que I = É o momento de nerca do conjunto. Assm: 1 d 2 I 2 dt 2 O segundo termo do lado esquerdo é: Usando a segunda le de Newton: m r 2 p d r dt = d p dt r d r p dt = m v v 1 = 2 2 m v 2 = 2K 1 d 2 I 2 dt 2 2K = F r

Se F j representa a força de nteração entre duas partículas do sstema, então consderando todas as possíves forças atuando em : F r = Reescrevendo os vetores posção da partícula como: r = r + r j + r r j 2 2 j F j r F r = 1 2 j F j r + r j + 1 2 j F j ( r r j ) Da tercera le de Newton, F j = F j, temos que o prmero termo do lado dreto da equação é nulo por smetra. Assm, o termo do vral de Clausus é dado por: F r = 1 2 j F j ( r r j ) Assummos que a únca contrbução para a força é o resultado da nteração gravtaconal entre as partículas, logo: F j = G m m j 2 r j r j

Onde r j = r j r. O vetor untáro é: A partr da força gravtaconal A quantdade r j r j r r j F r = 1 2 j G m m j r j 3 ( r j r )² = 1 2 j G m m j r j G m m j r j É a energa potencal U j entre as partículas e j. O termo G m jm r j Também representa o mesmo termo de energa potencal e é ncluído duplamente na soma.

Consderando o fator ½ temos: Determnando a méda com relação ao tempo: 1 De modo que F r = 1 2 j G m m j r j = 1 2 j U j = U 2 d 2 I dt 2 2 K = U d 2 I dt 2 = 1 τ d 2 I 2 dt 2 dt 0 = 1 di 2 dt τ di dt 0 Se o sstema é peródco di dt τ = di dt 0 E a méda sobre um período será zero. Mesmo o sstema sendo peródco, a méda se aproxma de zero para τ. Em todo o caso: d 2 I dt 2 = 0 Logo 2 K = U Esse resultado é conhecdo como teorema do vral. Ele pode ser expresso em termos da energa total do sstema, de modo que: E = 1 2 U

DERIVANDO AS LEIS DE KEPLER Vamos buscar uma dervação das Les de Kepler. Temos duas massas stuadas em posções de acordo com a fgura ao lado. O vetor R é defndo como: R m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 Que é o centro de massa do nosso sstema. Sendo M a massa total do sstema e admtndo que as partículas nteragem de manera que todas as forças nternas se anulem, teremos: d p d2r F = = M dt dt 2 = 0

Defnndo o centro de massa como o centro do sstema (posção 0): m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 = 0 Defnmos a massa reduzda como: μ = m 1m 2 = m 1m 2 m 1 + m 2 M Escrevemos, então, energa total do sstema como: E = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 G m 1m 2 r 2 r 1 Que podemos reescrever como E = 1 2 μv2 G Mμ r Escrevemos o momento angular como: L = m 1 r 1 v 1 + m 2 r 2 v 2 L = μ r v = r p

Para a segunda le, tomemos um elemento de área nfntesmal de uma elpse com coordenadas polares. Temos que: da = dr rdθ = rdrdθ Integrando do foco prncpal a uma determnada área da elpse, a área varrda será: da = 1 2 r2 dθ A varação temporal da área será: da dt = 1 dθ r2 2 dt

Escrevemos a velocdade orbtal em termos de duas componentes como mostrado na fgura ao lado. Temos: v = v r + v θ = d r dθ r + r dt dt θ Substtundo v θ na equação de da/dt, temos: da dt = 1 2 rv θ Note que v θ e r são perpendculares. Então: rv θ = r v = L μ = L μ Assm, obtemos a segunda le de Kepler: da dt = 1 L 2 μ

Da elpse, lembremos que b 2 = a²(1 e 2 ) e que a área da elpse é A = πab. Integrando a equação da/dt sobre certo período T, temos: A = 1 L 2 μ T Substtundo esse resultado na equação da área e elevando tudo ao quadrado: T 2 = 4π2 a 2 b 2 μ 2 L 2 E sendo Obtemos a tercera le de Kepler: L = μ GMa 1 e 2 T 2 = 4π 2 G m 1 + m 2 a³