Apêndice. Uso de Tabelas Financeiras

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 1. INTRODUÇÃO...2 2. SIMBOLOGIA ADOTADA E DIAGRAMA PADRÃO...2 3. RELAÇÃO ENTRE PV E FV...2 3.1. DADO PV ACHAR FV: FATOR (FV/PV)...3 3.1.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS...5 3.2. DADO FV ACHAR PV: FATOR (PV/FV)...6 3.2.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS...7 3.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS...9 4. RELAÇÃO ENTRE FV E PMT...15 4.1. DADO PMT ACHAR FV: FATOR (FV/PMT)... 16 4.1.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS... 17 4.2. DADO FV ACHAR PMT FATOR (PMT/FV)...19 4.2.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS...20 4.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS... 21 5. RELAÇÃO ENTRE PV E PMT...25 5.1. DADO PMT ACHAR PV: FATOR (PV/PMT)...26 5.1.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS...27 5.2. DADO PV ACHAR PMT: FATOR (PMT/PV)...28 5.2.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS...30 5.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS...30 6. CONCLUSÃO...32 Book Apedces.db 1

2 Matemátca Facera 1. Itrodução Os prcpas objetvos desse materal são: apresetar ao letor o Uso das Tabelas Faceras, método tradcoal da matemátca facera a solução de problemas medate a utlzação úca e exclusva de fatores prestabelecdos; permtr que o letor se famlarze com essas tabelas e apreda a solucoar problemas através desse método tradcoal, que fo aplcado durate aos e que hoje ada é utlzado em stuações em que ão é possível o acesso a calculadoras e/ou plalhas, como é o caso de cocursos públcos. Apesar das mesas vatages das calculadoras faceras e das plalhas eletrôcas, que dspoblzam todas as formações ecessáras para a elaboração dos problemas, é mportate que o letor saba utlzar os fatores (pré-calculados) das Tabelas a solução de problemas de matemátca facera, pos, a realdade, as calculadoras faceras e as plalhas eletrôcas ada mas fazem do que calcular stataeamete os fatores das tabelas para os parâmetros desejados. As tabelas utlzadas ao do logo texto estão dspoíves o arquvo Tabelas Faceras, em Excel. 2. Smbologa Adotada e Dagrama Padrão Vamos adotar a smbologa e as coveções defdas o Dagrama Padrão do Capítulo 1. Para facltar a apresetação das fórmulas e dos fatores, desdobramos o Dagrama Padrão em três dagramas que relacoam PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT. 3. Relação etre PV e FV A parte do Dagrama Padrão que represeta os parâmetros desse problema está dcada a segur: Relação etre PV e FV PV FV 0 1 2-1 Book Apedces.db 2

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 3 3.1. Dado PV Achar FV: Fator (FV/PV) O valor futuro FV ou motate, resultate da aplcação de um prcpal PV, durate períodos de captalzação, com uma taxa de juros por período, o regme de juros compostos, é obtdo pela expressão (4.1) do Capítulo 4, que está dcada a segur: FV = PV [(1 + ) ] (C.l) ode a udade referecal de tempo da taxa de juros deve cocdr com a udade referecal de tempo utlzada para defr o úmero de períodos. O problema evolvedo o cálculo do valor futuro FV a partr do valor presete PV cosste a solução da expressão geérca (C.1), ode a relação [(1+ ) ] precsa ser calculada para os parâmetros e. A expressão [(1+ ) ] pode ser calculada, para qualquer valor de e de, com a utlzação da calculadora HP 12 C ou da Plalha EXCEL, medate a utlzação do Esquema Padrão desevolvdo os Apêdces A e B. Alteratvamete, essa expressão pode ter o seu valor prevamete calculado para dversos valores de e de e formado através de Tabelas Faceras, como as dcadas este texto. A relação (C.1) permte escrever: [(1 + ) ] = FV/PV Assm a expressão geérca [(1 + ) ] é gual ao fator (FV/PV), que está tabelado a P colua das Tabelas Faceras (arquvo em Excel), para dversos valores de e de. A represetação geérca desse fator está dcada a segur: (FV/PV; %; ) = [(1 + ) ] (C.2) Dessa forma, a relação (C.1) passa a ter, etão, a segute apresetação: FV = PV x (FV/PV; %; ) (C.3) Pela expressão (C.3) o valor futuro FV é obtdo pela multplcação do valor presete PV pelo fator (FV/PV; %; ), que correspode a um fator obtdo pela avalação da expressão (1+ ), a partr dos parâmetros e. Podemos etão elaborar uma tabela que permte obter o valor dessa expressão apeas pela pesqusa dos parâmetros e. Por exemplo, a tabela de 1 % (arquvo em Excel) forece a sua 1 a colua o tabelameto desse fator para dversos valores de, coforme dcado a segur: Book Apedces.db 3

4 Matemátca Facera Taxa por Período = 1,00 % Períodos Dado PV Achar FV FV/PV 01 1,01000 02 1,02010 03 1,03030 04 1,04060 05 1,05101 06 1,06152 Assm, por exemplo, temos: (FV/PV; 1 %; 6) = (1,06152) = (1 + 1%) 6 Por esse trecho dessa tabela podemos coclur que um prcpal de $1,00, captalzado com essa taxa de 1 % por período, produz os segutes valores futuros: $1,01000 o fal de 1 período ( = 1); $1,02010 o fal de 2 períodos ( = 2); $1,03030 o fal de 3 períodos ( = 3); $1,06152 o fal de 6 períodos ( = 6). Se a relação (C.3) fzermos PV = $1,00, podemos escrever: FV = (FV/PV; %; ) Dessa forma, os fatores (FV/PV) de uma determada tabela represetam os valores futuros FV de valores presetes utáros (PV = $1,00), ou seja, equvalem ao crescmeto o tempo () de gradezas utáras, com uma taxa de juros por período. As Tabelas Faceras, dspoíves através do arquvo em Excel, foram elaboradas usado a smbologa desevolvda o Capítulo 1 e detro dos segutes prcípos: a) cada folha da Tabela correspode a uma úca taxa de juros. Assm, todos os fatores de uma mesma folha da Tabela estão calculados para uma mesma taxa de juros ; b) cada lha da Tabela correspode a um úco valor do úmero de períodos () e, portato, todos os fatores de uma mesma lha estão calculados para um mesmo valor de ; c) cada colua, um total de ses, represeta uma fator e, portato, uma expressão algébrca evolvedo e. Por exemplo, a 1 a colua correspode ao fator (FV/ PV, %, ), cuja fórmula e (1 + ), que é usado para resolver problemas do tpo "Dado PV Achar FV". As fórmulas das demas coluas são demostradas posterormete; Book Apedces.db 4

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 5 d) todos os ses fatores são multplcatvos. Assm, por exemplo, FV é obtdo a partr de PV, multplcado-se PV pelo fator (FV/PV; %; ). Da mesma forma, PV é obtdo a partr de FV, multplcado-se FV pelo fator (PV/FV; %; ) da 2 a colua; e) as tabelas ão mecoam a udade de tempo dos períodos, em o período de captalzação da taxa de juros. Elas foram elaboradas para taxas de juros por período. Desse modo, é dspesável que a udade referecal de tempo dos períodos cocda com a udade referecal do tempo da taxa de juros. O usuáro das tabelas é que deve fxar essas udades. Por exemplo: A tabela de 8 % pode sgfcar 8 % ao semestre, e esse caso os períodos devem correspoder a semestres; A tabela de 8 % também pode sgfcar 8 % ao ao, e agora os períodos devem correspoder a aos. 3.1.1 Exemplos Numércos Determe o valor do fator (FV/PV ; 1,5 % ; 24). Devemos calmete localzar a tabela com a Taxa por Período gual a 1,5 %. Nessa tabela devemos procurar a terseção da lha correspodete a = 24 com a 1 a colua e ecotrar o valor de 1,42950 para o fator (FV/PV). O mesmo valor pode, ada, ser obtdo pela expressão (C.2), sto é: (FV/PV ; 1,5 %, 24) = (1 + 1,5 %) 24 = 1,42950 2. Determe o valor acumulado o fal de 12 semestres, o regme de juros compostos, com uma taxa efetva de 10 % ao ao, a partr de um vestmeto cal (prcpal) de $1.000,00. = 12 semestres = 6 aos = 10 % ao ao PV = $1.000,00 FV =? A partr da relação (C.3.) podemos escrever: FV = PV x (FV / PV ; 10 % ; 6) A tabela de 10 % forece, a lha correspodete a = 6, o segute valor para o fator (FV/PV): Book Apedces.db 5

6 Matemátca Facera Assm, temos: (FV/ PV ; 10 % ; 6) = 1,77156 FV = $1.000,00 x (1,77156) = $ 1.771,56 3.2 Dado FV Achar PV: Fator (PV / FV) A partr da expressão geérca (C.1) podemos obter a segute relação: A relação (CA) permte escrever: PV = FV [ 1/(1 + ) ] [1/(1 + ) ] = PV/ FV (C.4) Assm, a expressão geérca [1/(1 + ) ] é gual ao fator (PV/FV), que está tabelado a 2 a colua das Tabelas Faceras, para dversos valores de e de. A represetação geérca desse fator está dcada a segur: (PV/FV, %, ) = [1/(1 + )] A relação (CA) passa a ter, etão, a segute apresetação: PV = FV x (PV/FV, %, ) (C.5) (C.6) Pela expressão (C.6) o valor presete PV é obtdo pela multplcação do valor futuro FV pelo fator (PV/FV ; % ; ), que correspode a um fator obtdo pela avalação da expressão [1/(1+ ) ], a partr dos parâmetros e. Por exemplo, a tabela de 1 % forece, a sua 2 a colua, o tabelameto desse fator para dversos valores de, coforme dcado a segur: Taxa por Período = 1,00 % Períodos Dado FV Achar PV PV/FV 01 0,99010 02 0,98030 03 0,97059 04 0.96098 Assm, por exemplo, temos: (PV/FV ; 1 % ; 4) = (0,96098) = [1/(1 + 1 %) 4 ] Por esse trecho dessa tabela, podemos coclur que um valor futuro utáro (FV = $1,00) descotado com essa taxa de 1 % por período produz os segutes valores presetes: Book Apedces.db 6

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 7 $0,99010, o fal de 1 período de descoto (=l); $0,98030, o fal de 2 períodos de descoto (=2); $0,97059, o fal de 3 períodos de descoto (=3); $0,96098, o fal de 4 períodos de descoto (=4). Se a relação (C.6) fzermos FV = $1,00, podemos escrever: PV = (PV/FV; %; ) Dessa forma, os fatores (PV/FV), de uma determada tabela, represetam os valores presetes PV de valores futuros utáros (FV = $1,00), colocados o fal de períodos de ordem. Observar pelas relações (C.2) e (C.5) que o fator (FV/PV; %; ) é o verso do fator (PV/FV; %; ). O fator (FV/PV), sempre 1, empurra uma gradeza utára para frete (futuro), aumetado o seu valor, ao passo que o fator (PV/FV), sempre 1, puxa uma gradeza utára para trás (presete), dmudo o seu valor. 3.2.1 Exemplos Numércos 1. Determe o valor do fator (PV/FV; 1 %; 18). Localze a tabela de 1 % o arquvo em Excel. Agora, localze a terseção da lha 18 com a 2 a colua, o valor de 0,83602 para o fator (PV/FV). O mesmo valor pode, ada, ser obtdo pela expressão (C.S): (PV/FV; 1 %, 18) = [1/(1 + 1 %) 18 ] = 0,83602 2. Determe o valor do vestmeto cal (prcpal) que deve ser realzado o regme de juros compostos, com uma taxa efetva de 1 % ao mês, para produzr um motate acumulado de $1.000,00 o fal de 12 meses. = 12 meses = 1 % ao mês FV = $1.000,00 PV =? Pela relação (C.6) podemos escrever: PV = FV x (PV/FV; 1 %; 12) Book Apedces.db 7

8 Matemátca Facera A tabela de 1 % forece, a lha correspodete a = 12, o segute valor para o fator (PV/FV): Assm, temos: (PV/FV; 1 %; 12) = 0,88745 PV = $1.000,00 x (0,88745) = $887,45 3. O motate de $1.000,00, colocado o fal do 4 o mês do dagrama dcado a segur, deve ser captalzado e descotado com a taxa de 1 % ao mês, o regme de juros compostos.? $1.000,00? 0 1 2 3 4 5 6 7 meses Determe: a) o valor acumulado o fal do 7 o mês, pela captalzação do motate de $1.000,00, dcado o dagrama; b) o valor que deve ser vestdo o fal do 1 o mês para se obter o motate de $1.000,00 dcado o dagrama. a) Motate o fal do 7 o mês A solução desse problema pode ser vsualzada o dagrama a segur, que equadra o problema o Dagrama Padrão desevolvdo o Capítulo 1. PV = $ 1.000,00 FV / PV FV =? 0 1 2 3 4 5 6 7 (ova escala) : ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) meses Book Apedces.db 8

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 9 Assm, o valor de $1.000,00 fca colocado o poto zero da ova escala de tempo e deve ser tratado como um valor presete PV, que precsa ser captalzado 3 meses para atgr o fal do 7 o mês. Usado a relação (C.3) obtemos: FV = PV x (FV/PV; 1 %; 3) = $1.000,00 x (1,03030) = $1.030,30 b) Motate o fal do 1 o mês Nesse caso, para equadramos o problema o Dagrama Padrão, precsamos colocar o valor PV (a ser determado) o poto zero da ova escala de tempo, coforme dcado a segur: PV =? PV / FV 0 1 2 3 4 5 6 7 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ova escala ) meses Assm, o valor de $1.000,00 fca colocado o poto três da ova escala de tempo e deve ser tratado como um valor presete FV, que precsa ser descotado 3 meses para atgr o fal do 1 o mês. Usado a relação (C.6) obtemos: PV = FV x (PV/FV; 1 %; 3) = $1.000,00 x (0,97059) = $970,59 3.3. Problemas Resolvdos 1. Determe o valor acumulado o fal de 24 meses, com juros compostos de 1 % ao mês, a partr de um vestmeto cal (prcpal) de $2.000,00. = 24 meses = 1 % ao mês PV = $ 2.000,00 FV =? A partr da relação (C.3) podemos escrever: FV = PV x (FV/PV; 1 %; 24) Book Apedces.db 9

10 Matemátca Facera A tabela de 1 % forece, a lha correspodete a = 24, o segute valor para o fator (FV/PV): Assm, temos: (FV/PV; 1%; 24) = 1,26973 FV = $2.000,00 x (1,26973) = $ 2.539,46 2. Determe o valor do vestmeto cal (prcpal) que deve ser realzado o regme de juros compostos, com uma taxa efetva de 12 % ao semestre, para produzr um valor acumulado de $1.000,00 o fal de 4 aos. = 4 aos = 8 semestres = 12 % ao semestre FV = $ 1.000,00 PV =? Pela relação (C.6) podemos escrever: PV = FV x (PV/FV; 12 %; 8) A tabela de 12 % forece, a lha correspodete a = 8, o segute valor para o fator (PV/FV): Assm, temos: (PV/FV; 12 %; 8) = 0,40388 PV = $1.000,00 x (0,40388) = $403,88 3. Um vestmeto cal (prcpal) de $ 1.000,00 produz um valor acumulado de $1.104,62 o fal de 10 meses. Determe a taxa de retabldade mesal desse vestmeto, o regme de juros compostos. = 10 meses FV = $1.104,62 PV = $1.000,00 =? (ao mês) Book Apedces.db 10

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 11 Pela relação (C.3) podemos escrever: Substtudo os valores: e, portato: FV = PV x (FV/PV; %; 10) $1.104,62 = $1.000,00 x (FV/PV; %; 10) (FV/PV; %; 10) = 1,10462 O problema agora cosste em determar qual a tabela que forece para = 10 o fator (FV/PV) = 1,10462. A pesqusa dca que a tabela procurada é a de 1 %. Podemos, assm, afrmar que a retabldade do vestmeto é de 1 % ao mês, pos o úmero de períodos está meddo em meses. 4. Determe a retabldade do problema ateror se o valor acumulado o fal de 10 meses for gual a $1.150,00. = 10 meses FV = $1.150,00 PV = $1.000,00 =? (ao mês) Pela relação (C.3) podemos escrever: Substtudo os valores: e, portato: FV = PV x (FV/PV; %; 10) $1.150,00 = $1.000,00 x (FV/PV; %; 10) (FV/PV; %; 10) = 1,15000 O problema agora cosste em determar qual a tabela que forece para = 10 o fator (FV/PV) = 1,15000. A pesqusa etre as tabelas dspoíves a plalha Excel mostra os valores abaxo dcados: Tabela de 1,00 % : (FV/PV; 1,00 %; 10) = 1,10462 Tabela de 1,50 % : (FV/PV; 1,50 %; 10) = 1,16054 Book Apedces.db 11

12 Matemátca Facera Idcado que o valor da taxa de juros está compreeddo etre 1,00 % e 1,50 %. O fato de as tabelas estarem dspoíves em Excel permte que o letor obteha tabelas com qualquer valor de taxas de juros, bastado para sso substtur o valor da taxa do período a plalha (célula com fudo amarelo). Pelo método de tetatva e erro, o letor chegará ao valor da taxa de juros que ateda às codções aterormete ctadas. Numa stuação em que as tabelas sejam dspoblzadas apeas de forma mpressa, que era a stuação real há algus aos, ão hava a possbldade de serem alteradas em fução da taxa de juros. Para resolver um problema como esse, era ecessáro usar a terpolação lear para ecotrar a taxa de juros procurada. A terpolação lear etre as taxas de 1,00 % e 1,50 % pode ser vsualzada o gráfco que segue: Pela semelhaça de trâgulos podemos escrever: 1,16054 ( FV / PV ) aproxmação lear 1,15000 a c expoecal (exato) 1,10462 x 1,00 1,50 b a ------- b c ------- x ode: a = 1,16054 1,10462 = 0,05592 Book Apedces.db 12

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 13 b = 1,50 % - 1,00 % = 0,50 % c = 1,15000-1,10462 = 0,04538 e, portato: 0,05592 0,50 % 0,04538 x que forece x = 0,40576% e, portato, a taxa de juros, por terpolação lear, é gual a 1,40576 % ao mês. A curva que ue os dos potos da tabela ão é uma lha reta, e sm uma expoecal localzada abaxo e à dreta da reta que ue os dos potos. Podemos, etão, coclur que a taxa de juros exata é superor à 1,40576 % ao mês, pos fca a dreta do úmero ecotrado pela terpolação lear. Isso pode ser cofrmado com a solução através da calculadora HP 12 C ou da Plalha EXCEL, que produz o resultado de 1,407743%. 5. Determe o úmero de meses ecessáros para fazer um captal dobrar de valor, com a taxa de juros de 6,00 % ao ao, o regme de juros compostos. Assumdo que PV = $100,00, etão teremos FV = $200,00, e os dados do problema passam a ser os segutes: = 6,00 % ao ao FV = $100,00 PV = $200,00 =? (aos) Pela relação (C.3) podemos escrever: FV = PV x (FV/PV; 6,00 %; ) Substtudo os valores: $200,00 = $100,00 x (FV/PV; 6,00 %; ) e, portato (FV/PV; 6,00 %; ) = 2,00000 Book Apedces.db 13

14 Matemátca Facera A tabela de 6,00% forece os segutes fatores: (FV/PV; 6,00 %; 11) = 1,89830 (FV/PV; 6,00 %; 12) = 2,01220 Idcado que o úmero de períodos está compreeddo etre 11 e 12 aos. 6. Determe o motate acumulado o fal de 38 meses, com juros compostos de 1 % ao mês, a partr de um vestmeto cal (prcpal) de $ 1.000,00. = 38 meses = 1 % ao mês PV = $ 1.000,00 FV =? A partr da relação (C.3) podemos escrever: FV = PV x (FV/PV; 1 %; 38) A dfculdade ecotrada é que as tabelas aqu apresetadas o valor maxmo de é gual a 24 e, portato, o fator desejado extrapola os lmtes da tabela de 1 % ao mês. Uma solução é dvdr o úmero de períodos em duas parcelas que somadas sejam guas a 38, por exemplo, 24 e 14 meses. Assm, resolvemos o problema em duas etapas: Etapa o 1: = 24 meses Leve o prcpal de $1.000,00 para o fal do 24 o mês, com a expressão (C.3): FVl = $1.000,00 x (FV/PV; 1 %; 24) = 1.000,00 x 1,26973 = $1.269,73 Etapa o 2: = (38 24) = 14 meses Leve o valor de $1.269,73 do fal do 24 o mês para o fal do 38 o mês, com a expressão (C.3): FV2 = $1.269,73 x (FV/PV; 1 %; 14) = 1.269,73 x 1,14947 = $1.459,52 7. Determe o valor do vestmeto cal (prcpal) que deve ser realzado o regme de juros compostos, com uma taxa efetva de 1,25 % ao mês, para produzr um valor futuro de $1.000,00 o fal de 24 meses. Book Apedces.db 14

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 15 = 24 meses = 1,25 % ao mês FV = $1.000,00 PV =? Pela relação (C.3) podemos escrever: PV = FV x (PV/FV; 1,25 %; 24) Podemos crar uma tabela de 1,25% substtudo 1,25% a célula com fudo amarelo, em qualquer das tabelas ecotradas a plalha Tabelas Faceras. Caso ão tvessémos à ossa dsposção a facldade da plalha eletrôca, teríamos que calcular o fator (PV/FV; 1,25 %; 24) através da terpolação lear dos fatores (PV/ FV) das tabelas de 1,00 % e 1,50 %, coforme dcado a segur. Tabela de 1,00 % : (PV/FV; 1,00 %; 24) = 0,78757 Tabela de 1,50 % : (FV/PV; 1,50 %; 24) = 0,69954 Idcado que o valor procurado para o fator é um úmero compreeddo etre os valores 0,78757 e 0,69654. A terpolação lear deve ser feta de maera aáloga à mostrada aterormete, e o resultado ecotrado está dcado a segur: Assm, podemos escrever: (PV/FV; 1,25 %; 24) = 0,74356 PV = FV x (PV/FV; 1,25 %; 24) = $1.000,00 x (0,74356) = $ 743,56 4. Relação Etre FV e PMT A parte do Dagrama Padrão que represeta os parâmetros desse problema está dcada a segur: Book Apedces.db 15

16 Matemátca Facera Relação etre FV e PMT FV PMT 0 1 2-1 Observar que a sére uforme PMT está de acordo com o Dagrama Padrão do Capítulo 1, obedecedo à coveção de fal de período, sedo portato uma sére postecpada. 4.1 Dado PMT Achar FV: Fator (FV/PMT) Esse problema cosste em determar o motate acumulado FV, o fal de períodos, a partr da captalzação das prestações de uma sére uforme, todas com o mesmo valor gual à PMT, com uma taxa de juros por período, o regme de juros compostos. O motate FV, o fal do período de ordem, acumulado por essas prestações, correspode à soma dos motates dvdualmete calculados para cada prestação PMT até esse mesmo período, e é obtdo pela expressão (6.3), que está dcada a segur FV = PMT [(1 + ) - 1)/] (C.7) A relação (C.7) permte escrever: [(1 + ) 1)/] = FV/PMT Assm, a expressão etre colchetes é gual ao fator (FV/PMT), que está tabelado a 5 a colua das Tabelas Faceras, para dversos valores de e de. A expressão geérca desse fator está dcada a segur: (FV/PMT; %; ) = [(1 + ) 1)/] (C.8) Dessa forma, a relação (C. 7) passa a ter, etão, a segute apresetação: FV = PMT x (FV/PMT; %; ) (C.9) Pela relação (C.9) o valor futuro FV é obtdo pela multplcação do valor de cada prestação PMT de uma Sére Uforme, pelo fator (FV/PMT; %; ), que correspode a um fator obtdo pela avalação da expressão (C.8), a partr dos parâmetros e. Por exemplo, a Tabela de 1 % forece a sua 5 a colua o tabelameto desse fator para dversos valores de, coforme dcado a segur: Book Apedces.db 16

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 17 Taxa por Período = 1% Perodos Dado PMT Achar FV FV/PMT 01 1,00000 02 2,01000 03 3,03010 04 4,06040 Assm, por exemplo, temos: (FV/PMT; 1 %; 4) = (4,06040) Se a relação (C.9) fzermos PMT = $1,00, obtemos: FV = (FV/PMT; %; ) Dessa forma, os fatores (FV/PMT) de uma determada tabela represetam os valores futuros FV de prestações utáras (PMT = $1,00), a taxa de juros dessa tabela. Assm, por esse trecho da tabela, podemos coclur que, para uma taxa de 1 %, temos: = 2: 2 prestações de $1,00 produzem um valor futuro de $2,01000; = 3: 3 prestações de $1,00 produzem um valor futuro de $3,03010; = 4: 4 prestações de $1,00 produzem um valor futuro de $4,06040; 4.1.1 Exemplos Numércos Determe o valor do fator (FV/PMT; 1,5 %; 12). Na tabela de 1,5 % devemos localzar a terseção da lha 12 com a 5 a colua o valor de 13,04121 para o fator (FV/PMT). Isso sgfca que 12 prestações utáras, quado captalzadas com a taxa de 1,5 % por período, produzem um motate de $13,04121 o fal de 12 períodos de captalzação. 2. Determe o valor do motate FV do fluxo de caxa que segue, com uma taxa de 10 % ao ao, o regme de juros compostos. = 5 aos = 10 % ao ao Book Apedces.db 17

18 Matemátca Facera PMT = $1.000,00 FV =? A partr da relação (C.9) podemos escrever: FV = PMT x (FV/PMT; 10 %; 5) A tabela de 10% forece, a lha correspodete a = 5, o segute valor para o fator (FV/PMT): Assm, temos: (FV/PMT; 10 %; 5) = 6,10510 FV = $1.000,00 x (6,10510) = $6.105,10 É de se ressaltar que esse saldo de $6.105,10 só será alcaçado o fal do 5 o ao, medatamete após a efetvação do últmo depósto. 3. Um vestdor efetua os quatro depóstos auas de $ 5.000,00 dcados o fluxo de caxa a segur. Sabedo-se que esses depóstos são remuerados com uma taxa efetva de 8 % ao ao, o regme de juros compostos, determe o valor acumulado por esse vestdor o fal do quarto ao, as segutes stuações: = 8 % a.a. PMT = $5.000,00 0 1 2 3 4 aos a) medatamete após a realzação do quarto depósto; b) medatamete ates da realzação do quarto depósto; Saldo medatamete apos o 4 o depósto = 4 aos = 8 % ao ao PMT = $5.000,00 FV =? Book Apedces.db 18

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 19 A partr da relação (C.9) podemos escrever: FV = PMTx (FV/PMT; 8 %; 4) A tabela de 8 % forece, a lha correspodete a = 4, o segute valor para o fator (FV/PMT): Assm, temos: (FV/PMT; 8 %; 4) = 4,50611 FV = $5.000,00 x (4,50611) = $22.530,55 a) Saldo medatamete ates do 4 o depósto O saldo acumulado, medatamete ates da realzacão do 4 o depósto, é obtdo subtrado do saldo calculado o tem (a) o valor do últmo depósto, sto é: $22.530,55 $5.000,00 = $17.530,55 4.2 Dado FV Achar PMT Fator (PMT/FV) A relação (C.7) forece: FV = PMT x [(1 + ) 1)/] Assm, o cálculo de PMT a partr de FV é obtdo pela relação versa, sto é: A relação (C.10) permte escrever: PMT = FV x [/(1 + ) 1)] [/(1 + ) 1)] = PMT/PV (C.l0) Assm, a expressão etre colchetes é gual ao fator (PMT/FV), que está tabelado a 6 a colua das Tabelas Faceras, para dversos valores de e de. A expressão geérca desse fator está dcada a segur: PMT/FV; %; ) = [/(1 + ) 1)] Dessa forma, a relação (C.10) passa a ter, etão, a segute apresetação: PMT = FV x (PMT/FV; %; ) (C.11) (C.12) Pela relação (C.12) o valor PMT de cada prestação é obtdo pela multplcação do valor futuro FV, pelo fator (PMT/FV; %; ), que correspode a um fator obtdo pela avalação da expressão (C.11), a partr dos parâmetros e. Por exemplo, a Tabela de 1 % forece, a sua 6 a colua, o tabelameto desse fator para dversos valores de, coforme dcado a segur: Book Apedces.db 19

20 Matemátca Facera Taxa por Período = 1,00 0/0 Períodos Dado FV Achar PMT PMT/FV 01 1,00000 02 0,49751 03 0,33002 04 0,24628 Assm, por exemplo, temos: (PMT/FV; 1 %; 4) = (0,24628) Se a relação (C.12) fzermos FV = $1,00, obtemos: PMT = (PMT/FV; %; ) Dessa forma, os fatores (PMT/FV) de uma determada tabela represetam os valores de cada prestação PMT, que produzem um valor futuro utáro (FV = $1,00), a taxa de juros dessa tabela. Assm, por esse trecho da tabela, podemos coclur que, para uma taxa de 1 %, temos: = 2: 2 prestações de $0,49751 produzem um valor futuro de $1,00; = 3: 3 prestações de $0,33002 produzem um valor futuro de $1,00; = 4: 4 prestações de $0,24628 produzem um valor futuro de $1,00. 4.2.1 Exemplos Numércos 1. Determe o valor do fator (PMT/FV; 1,5 %; 12). Na tabela de 1,5 % devemos localzar a terseção da lha 12 com a 6 a colua o valor de 0,07668 para o fator (PMT/FV). Isso sgfca que um valor de 12 prestações guas a $0,07668, quado captalzadas com a taxa de 1,5 % por período, produz um valor futuro utáro o fal de 12 períodos de captalzação. 2. Determe o valor dos quatro depóstos trmestras do fluxo de caxa que segue, capazes de produzr o motate de $ 10.000,00 o fal do 4 o trmestre, com uma taxa efetva de 3 % ao trmestre, o regme de juros compostos. Book Apedces.db 20

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 21 FV = $10.000,00 PMT =? 0 1 2 3 4 trm. = 4 trmestres = 3 % ao trmestre FV = $ 10.000,00 PMT =? A partr da relação (C.12) podemos escrever: PMT = FV x (PMT/FV; 3%; 4) A tabela de 3 % forece, a lha correspodete a = 4, o segute valor para o fator (PMT/FV): Assm, temos: (PMT/FV; 3 %; 4) = 0,23903 FV = $10.000,00 x (0,23903) = $2.390,30 4.3 Problemas Resolvdos 1. Uma sttução facera remuera seus depóstos a base de 1,5 % ao mês, o regme de juros compostos, e realza os seus cálculos assumdo os meses com 30 das. Um vestdor efetua essa sttução ses depóstos mesas e guas a $800,00, ocorredo o 1 o depósto o fal do mês de jaero e o últmo o fal do mês de julho. Determe os valores dos saldos acumulados as segutes datas do mesmo ao: a) Fal de julho, após o depósto do mês; b) Fal de setembro. Book Apedces.db 21

22 Matemátca Facera O dagrama a segur lustra o problema: FV 1 =? FV 2 =? PMT = $800,00 0 ja 1 2 3 4 5 jul 6 7 8 set 9 meses a) Saldo o fal de julho De acordo com o dagrama ateror os dados do problema são os segutes: = 6 meses = 1,5 % ao mês PMT = $800,00 FV =? A partr da relação (C. 9) podemos escrever: FV1 = PMT x (FV/PMT; 1, 5 %; 6) A tabela de 1,5 % forece, a lha correspodete a = 6, o segute valor para o fator (FV/PMT): Assm, temos: b) Saldo o fal de setembro (FV/PMT; 1,5 %; 6) = 6,22955 FV = $800,00 x (6,22955) = $4.983,64 Agora precsamos captalzar o saldo de julho por mas 3 meses, para obter o saldo o fal de setembro: A partr da relação (C.3) podemos escrever: FV = PV x (FV/PV; 1,5 %; 3) Book Apedces.db 22

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 23 A tabela de 1,5 % forece, a lha correspodete a = 3, o segute valor para o fator (FV/PV): Assm, temos: (FV/PV; 1,5 %; 3) = 1,04568 FV2 = $4.983,64 x (1,04568) = $5.211,29 2. Uma Cadereta de Poupaça oferece uma taxa efetva de retabldade de 1% ao mês, o regme de juros compostos. Determe o valor do depósto mesal ecessáro para acumular um motate de $10.000,00 o fal de um ao, medatamete após o 12 o depósto mesal. Os dados do problema são os segutes: = 1 ao = 12 meses = 1 % ao mês FV = $10.000,00 PMT =? A partr da relação (C.10) podemos escrever: PMT = FV x (PMT/FV; 1 %; 12) A tabela de 1 % forece, a lha correspodete a = 12, o segute valor para o fator (PMT/FV): Assm, temos: (PMT/FV; 1 %; 12) = 0,07885 FV = $10.000,00 x (0,07885) = $788,50 3. Um Baco Comercal remuera seus depóstos a base de 1 % ao mês, o regme de juros compostos, e assume os meses com 30 das os cálculos das suas operações. Um vestdor efetua, esse Baco, ses depóstos mesas e guas, ocorredo o 1 o depósto o fal do mês de jaero e o últmo o fal do mês de juho. Determe o valor do depósto mesal ecessáro para produzr saldo de $5.000,00, o fal de dezembro: Book Apedces.db 23

24 Matemátca Facera a) Saldo o fal de juho Devemos, calmete, achar o valor presete do saldo de $5.000,00, o fal de juho, pos este é o mês quado ocorreu o últmo depósto. Assm, temos: = 6 meses = 1 % ao mês FV = $5.000,00 PV =? A partr da relação (C.6) podemos escrever: PV = FV x (PV/FV; 1 %; 6) A tabela de 1 % forece, a lha correspodete a = 6, o segute valor para o fator (PV/FV): Assm, temos: b) Valor do depósto mesal (PV/FV; 1%; 6) = 0,94205 FV = $5.000,00 x (0,94205) = $4.710,25 Agora os dados do problema passam a ser os dcados a segur: = 6 meses = 1 % ao mês FV = $4,710,23 PMT =? A partr da relação (C.12) podemos escrever: PMT = FV x (PMT/FV; 1%; 6) A tabela de 1 % forece, a lha correspodete a = 6, o segute valor para o fator (PMT/FV): (PMT/FV; 1 %; 6) = 0,16255 Book Apedces.db 24

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 25 Assm, temos: FV = $4.710,23 x (0,16255) = $765,65 4. Um vestdor efetuou quatro depóstos cosecutvos de $5.000,00 uma Cadereta de Poupaça, o fal de cada trmestre. Determe a retabldade efetva trmestral dessa Cadereta de Poupaça, sabedo-se que o saldo acumulado por esse vestdor, medatamete após a efetvação do últmo depósto trmestral, é de $ 21.000,00. = 4 trmestres FV = $21.000,00 PMT = $5.000,00 =? (% ao trmestre) A partr da relação (C.9) podemos escrever: Substtudo os valores: FV = PMT x (FV/PMT; %; 4) $21.000,00 = $5.000,00 x (FV/PMT; %; 4) que forece (FV/PMT; %; 4) = 4,20000. A pesqusa das tabelas forece os segutes valores: Tabela de 3,00 % : (FV/PMT; 3,00 %; 4) = 4,18363 Tabela de 3,50 % : (FV/PMT; 3,50 %; 4) = 4,21494 Idcado que o valor procurado para a taxa de juros está compreeddo etre 3,00 % e 3,50 % ao mês. A taxa de juros etre esses dos valores que atede aos dados acma é de 3,26142 % ao trmestre. Para ecotrá-la, podem os usar o método de tetatva e erro através de substtução a plalha em Excel ou de terpolação lear, coforme explcado aterormete. 5. Relação Etre PV e PMT A parte do Dagrama Padrão que represeta os parâmetros desse problema está dcada a segur: Book Apedces.db 25

26 Matemátca Facera Relação etre PV e PMT PV PMT 0 1 2-1 Observe que a sére uforme PMT está de acordo com o Dagrama Padrão do Capítulo 1, obedecedo à coveção de fal de período, sedo, portato, uma sére postecpada. 5.1 Dado PMT Achar PV: Fator (PV/PMT) O valor presete PV (prcpal), a partr do descoto das prestações de uma sére uforme, todas com o mesmo valor gual a PMT, com uma taxa de juros por período, o regme de juros compostos, é obtdo pela expressão que está dcada a segur: A relação (C.13) permte escrever: PV = PMT [(1 + ) - 1)/ (1 + ) ] [(1 + ) 1)/ (1 + ) ] = PV/PMT (C.13) Assm, a expressão etre colchetes é gual ao fator (PV/PMT), que está tabelado a 4 a colua das Tabelas Faceras, para dversos valores de e de. A expressão geérca desse fator está dcada a segur: (PV/PMT; %; ) = [(1 + ) - 1)/ (1 + ) ] Dessa forma, a relação (C.13) passa a ter, etão, a segute apresetação: PV = PMT x (PV/PMT; %; ) (C.14) (C.15) Pela relação (C.13) o valor presete PV é obtdo pela multplcação do valor de cada prestação PMT de uma Sére Uforme, pelo fator (PV/PMT; %; ), que correspode a um úmero obtdo pela avalação da expressão (C.12), a partr dos parâmetros e. Por exemplo, a Tabela de 1 % forece a sua 4 a colua o tabelameto desse fator para dversos valores de, coforme dcado a segur: Book Apedces.db 26

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 27 Taxa por Período = 1,00 % Períodos Dado PMT Achar PV PV/PMT 01 0,99010 02 1,97040 03 2,94099 04 3,90197 Assm, por exemplo, temos: (PV/PMT; 1 %; 4) = (3,90197) Se a relação (C.15) fzermos PMT = $1,00, obtemos: PV= (PV/PMT; %; ) Dessa forma, os fatores (PV/PMT) de uma determada tabela represetam os valores presetes PV de prestações utáras (PMT = $1,00), a taxa de juros dessa tabela. Assm, por esse trecho da tabela, podemos coclur que, para uma taxa de 1 %, temos: = 2: 2 prestações de $1,00 produzem um valor presete de $1,97040; = 3: 3 prestações de $1,00 produzem um valor presete de $2,94099; = 4: 4 prestações de $1,00 produzem um valor presete de $3,90197; 5.1.1 Exemplos Numércos 1. Determe o valor do fator (PV/PMT; 1,5 %; 10). Na tabela de 1,5 %, devemos localzar a terseção da lha 10 com a 4 a colua o valor de 9,22218 para o fator (PV/PMT). Isso sgfca que 10 prestações de valor utáro, quado descotadas com a taxa de 1,5 % por período, produzem um valor presete (prcpal) gual a $9,22218. 2. Determe o valor do prcpal de um facameto realzado com uma taxa efetva de 1 % ao mês, o regme de juros compostos, e que deve ser lqudado em doze prestações mesas, sucessvas e guas a $ 1.000,00. = 12 meses = 1 % ao mês Book Apedces.db 27

28 Matemátca Facera PMT = $1.000,00 PV =? A partr da relação (C.15) podemos escrever: PV = PMT x (PV/PMT; 1%; 12) A tabela de 1 % forece, a lha correspodete a = 12, o segute valor para o fator (PV/PMT): Assm, temos: (PV/PMT; 1%; 12) = 11,25508 FV = $1.000,00 x (11,25508) = $11.255,08 3. Determe o valor do vestmeto ecessáro para garatr um recebmeto aual de $10.000,00 o fal de cada um dos próxmos 8 aos, sabedo-se que esse vestmeto é remuerado com uma taxa efetva de 10 % ao ao, o regme de juros compostos. = 8 aos = 10 % ao ao PMT = $10.000,00 PV =? A partr da relação (C.15) podemos escrever: PV = PMT x (PV/PMT; 10%; 8) A tabela de 10 % forece, a lha correspodete a = 8, o segute valor para o fator (PV/PMT): Assm, temos: (PV/PMT; 10%; 8) = 5,33493 FV = $10.000,00 x (5,33493) = $53.349,30 5.2 Dado PV Achar PMT: Fator (PMT/PV) A relação (C.13) forece: PV = PMT x [((1 + ).. 1)/ (1+ ) ] Book Apedces.db 28

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 29 Assm, o cálculo de PMT a partr de PV é obtdo pela relação versa, sto é: A relação (C.16) permte escrever: PMT = PV x [ (1 + ) /(1 + ) 1)] [ (1 + ) /(1 + ) 1)] = PMT/PV (C.16) Assm, a expressão etre colchetes é gual ao fator (PMT/PV), que está tabelado a 3 a colua das Tabelas Faceras, para dversos valores de e de. A expressão geérca desse fator está dcada a segur: (PMT/PV; %; ) = [ (1 + ) /(1 + ) 1)] Dessa forma, a relação (A.14) passa a ter, etão, a segute apresetação: PMT = PV x (PMT/PV; %; ) (C.17) (C.18) Pela relação (C.18) o valor PMT de cada prestação é obtdo pela multplcação do valor presete PV (prcpal), pelo fator (PMT/PV; %; ), que correspode a um fator obtdo pela avalação da expressão (C.17), a partr dos parâmetros e. Por exemplo, a Tabela de 1 % forece, a sua 3 a colua, o tabelameto desse fator para dversos valores de, coforme dcado a segur: Taxa por Período = 1,00 % Períodos Dado PV Achar PMT PMT/PV 01 1,010000 02 0,50751 03 0,34002 04 0,25628 Assm, por exemplo, temos: (PMT/PV; 1 %; 4) = (0,25628) Se a relação (C.18) fzermos PV = $1,00, obtemos: PMT = (PMT/PV; %; ) Dessa forma, os fatores (PMT/PV) de uma determada tabela represetam os valores de cada prestação PMT, que produzem um valor presete utáro (PV = $1,00), a taxa de juros dessa tabela. Assm, por esse trecho da tabela, podemos coclur que, para uma taxa de 1 %, temos: = 2: 2 prestações de $0,50751 produzem um valor presete de $1,00; = 3: 3 prestações de $0,34002 produzem um valor presete de $1,00; = 4: 4 prestações de $0,25628 produzem um valor presete de $1,00; Book Apedces.db 29

30 Matemátca Facera 5.2.1 Exemplos Numércos 1. Determe o valor do fator (PMT/PV; 1,5 %; 8) Na tabela de 1,5 %, devemos localzar a terseção da lha 8 com a 3 a colua o valor de 0,13358 para o fator (PMT/PV). Isso sgfca que um valor de 8 prestações guas a $0,13358, quado descotadas com a taxa de 1,5 % por período, produz um valor presete (prcpal) utáro. 2. Determe o valor das prestações auas de um facameto realzado com a taxa efetva de 8 % ao ao, o regme de juros compostos, sabedo-se que o valor do prcpal é gual a $ 1.000,00 e que o prazo da operação é de 4 aos. = 4 aos = 8 % ao ao PV = $1.000,00 PMT =? A partr da relação (C.18) podemos escrever: PMT = PV x (PMT/PV; 8%; 4) A tabela de 8 % forece, a lha correspodete a = 4, o segute valor para o fator (PMT/PV): Assm, temos: (PMT/PV; 8%; 4) = 0,30192 PMT = $1.000,00 x (0,30192) = $301,92 5.3. Problemas Resolvdos 1. Um Baco de Ivestmetos faca a veda de equpametos um prazo de 24 meses, com uma taxa efetva de 1,5 % ao mês, o regme de juros compostos. Determe o valor da prestação mesal de um equpameto cujo valor à vsta é de $20.000,00. Book Apedces.db 30

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 31 = 24 meses = 1,5 % ao mês PV = $20.000,00 PMT =? A partr da relação (C.18) podemos escrever: PMT = PV x (PMT/PV; 1,5 %; 24) A tabela de 1,5 % forece, a lha correspodete a = 24 o segute valor para o fator (PMT/PV): Assm, temos: (PMT/PV; 1,5 %; 24) = 0,04992 FV = 20.000,00 x (0,04992) = $998,40 2. A compra de automóves esta sedo facada em 12 prestações mesas de $91,68 para cada $1.000,00 de prcpal. Determe a taxa efetva mesal cobrada esse facameto, o regme de juros compostos. = 12 meses PV = $1.000,00 PMT = $91,68 =? (% ao mês) A partr da relação (C.18) podemos escrever: Substtudo valores: PMT = PV x (PMT/PV; %; 12) $91,68 = $1.000,00 x (PMT/PV; %; 12), que forece (PMT/PV; %; 12) = 0,09168. A pesqusa das Tabelas dca que a tabela de 1,5 % forece, a lha =12 e a 3 a colua, exatamete esse valor para o fator (PMT/PV). Assm, a taxa efetva cobrada esse facameto é de 1,5 % ao mês. Book Apedces.db 31

32 Matemátca Facera 3. O preço à vsta de um equpameto é gual a $5.400,00. Uma loja o está aucado por $1.400,00 de etrada e mas 6 prestações mesas de $700,00. Determe a taxa efetva mesal de juros cobrada a parte facada. = 6 meses PV = $5.400,00 $1.400,00 = $4.000,00 PMT = $700,00 =? (% ao mês) A partr da relação (C.18) podemos escrever: Substtudo os valores: PMT = PV x (PMT/PV; %; 12) $700,00 = $4.000,00 x (PMT/PV; %; 6), que forece (PMT/PV; %; 6) = 0,17500. A pesqusa das Tabelas forece os segutes valores: Tabela de 1,00 % : (PMT/PV; 1,00 %; 6) = 0,17255 Tabela de 1,50 % : (PMT/PV; 1,50 %; 6) = 0,17553 Isso dca que o valor procurado para a taxa de juros está compreeddo etre 1,00 % e 1,50 % ao mês. A taxa de juros que atede aos dados acma é de 1,41107 % ao mês. Para ecotrá-la, podemos usar o metodo de tetatva e erro através da plalha em Excel ou de terpolação lear, coforme explcado aterormete. 6. Coclusão Este materal teve como faldade mostrar o uso de Tabelas Faceras a solução de problemas de Matemátca Facera. Hoje exste a facldade de dspoblzá-las em plalha eletrôca, o que permte o cálculo de Tabelas de qualquer valor de taxa de juros. Porém, essa ão era a realdade do passado. As plalhas eletrôcas eram dspoblzadas de forma mpressa. Assm, as lmtações o usa das tabelas eram evdetes, a medda em que era pratcamete mpossível elaborar um cojuto de tabelas que atedessem a todas as stuações do mercado. Cosequetemete, torava-se costate a ecessdade de se realzar terpolações leares para se obter os valores que ão costavam das tabelas, além de a Book Apedces.db 32

Apêdce C Uso de Tabelas Faceras 33 aproxmação lear proporcoar valores exatos que poderam ão ateder às ecessdades das operações. Hoje em da, com a facldade dos recursos exstetes, sabemos que as tabelas faceras estão o camho da extção, prcpalmete pelo baxo custo das calculadoras faceras e das plalhas eletrôcas e pela alta precsão de seus resultados, clusve com relação ao úmero de casas decmas. Porém, em algumas stuações, as tabelas ada são ecessáras, como, por exemplo, o caso de provas de cocursos públcos. O letor pode, esse caso, precsar estar preparado para utlzá-las, de forma a solucoar os problemas propostos. Relacoamos, a segur, as fórmulas dos ses fatores das tabelas apresetadas ao logo do texto: Dado Achar Fórmula Fator PV FV FV = PV (1 + ) (FV/PV, %, ) FV PV PV = FV [ 1/(1+ ) ] (PV/FV, %, ) PV PMT PMT = PV [ (1 + ) /«1+ ) - 1)] (PMT/PV, %, ) PMT PV PV = PMT [(1 + ) - 1)/ (1 + ) ] (PV/PMT, %, ) PMT FV FV = PMT [((1 + ) - 1)/] (FV/PMT, %, ) FV PMT PMT = FV [/((1+ ) - 1)] (PMT/FV, %, ) Com referêca às tabelas faceras lembramos, ada, que: Os ses fatores das Tabelas Faceras são admesoas e multplcatvos, sedo que: as duas prmeras coluas das Tabelas relacoam as gradezas PVe FV; as duas coluas do cetro das Tabelas relacoam as gradezas PV e PMT; as duas últmas coluas das Tabelas relacoam as gradezas PMT e FV; A udade referecal de tempo da taxa de juros ( %) deve sempre cocdr com a udade referecal de tempo do úmero de períodos (); A Sére Uforme PMT obedece à coveção de fal de período (Sére Postecpada). Book Apedces.db 33