edenciamento Potaia ME 3.63, de 8..4 - D.O.U. 9..4. MATEMÁTIA, LIENIATURA / Geometia Analítica Unidade de apendizagem Geometia Analítica em meio digital Pof. Lucas Nunes Ogliai Quest(iii) - [8/9/4] onteúdos básicos Equação geal da eta a b c Foma eduzida da equação da eta m n m = coeficiente angula n = coeficiente linea Obtendo a equação da eta Lembando que dois pontos distintos deteminam uma única eta. Vamos detemina a equação de uma eta a pati de dois pontos, ou seja, a função do pimeio gau = m +n que define essa eta. Paa isso, pimeiamente vamos calcula coeficiente angula m. I. Obtemos o coeficiente angula (azão ente a vaiação dos valoe se e a vaiação dos valoes de ): m m Po eemplo, digamos que uma deteminada eta passe pelos pontos A(, 3) e B(4,7), teemos: Agoa vamos detemina a equação da eta pa os seguintes pontos a) A(3, ) e B(-3, ) b) (, -3) e D (-4, 3) c) P(, ) e Q(-, -3) Equação segmentáia da equação da eta Essa equação nos indica os pontos onde a eta intesecta os eios coodenados. Q(, q) P(p, ) p q, com p e q difeentes de zeo. omo eemplo, detemine a equação segmentáia da eta que passa po P(3, ) e Q(, ). m 7 3 m 4 m 4 m II. om o coeficiente angula definido e um dos pontos, (A ou B), podemos defini a equação da eta, ou seja, a lei da função paa essa eta. m m Atividade - Esceva a equação segmentáia da eta de equação geal + 3-8 =, detemine q e p e esboce a eta no plano catesiano: Substituímos qualque um dos dois pontos (A ou B) em e e também o valo já estabelecido do coeficiente angula. 7 7 8 m 4
Posições elativas de duas etas (popiedades) A) m m e n n l e l são paalelas. oeficientes angulaes iguais e coeficientes lineaes difeentes esultam em etas paalelas. B) m m e n n l e l são coincidentes. oeficientes angulaes iguais e coeficientes lineaes iguais esultam em etas coincidentes. ) m m l e l são concoentes. oeficientes angulaes difeentes esultam em etas concoentes. OBS - paa a equação geal da eta seguintes configuações: º caso : º caso : c b c a alculo da áea de um tiângulo a b temos as, a eta é paalela ao eio (hoizontal)., a eta é paalela ao eio (vetical). D) m m l e As etas fomam 9 ao se cuzaem. l são pependiculaes. Atividade - Identifique cada caso de acodo com as popiedades: É dado pela equação: sendo D D S 3 3 Equação da cicunfeência Popiedade Popiedade Seja uma cicunfeência de dento (a, b) e aio. P(, ) b a Popiedade Popiedade Ângulo ente duas etas não pependiculaes É dado pela equação: O ponto P(, ) petence à cicunfeência se, e somente se: a b d( P, ), então: a b Equação eduzida (na oigem) Se uma das etas é vetical: tg m
Posições elativas de e um ponto e uma cicunfeência NÃO SE INTEREPTAM Usando >, < e =, complete as elações indicando se o ponto é inteno, eteno ou petence à cicunfeência: P P d(, ) d(, ) P d(p, ) d(p, ) d(p, ) Posições elativas de uma eta e uma cicunfeência l Usando >, < e = e sendo uma eta, complete as elações indicando a posição da eta como secante, tangente ou etena: Eecícios = d(, ) = A d d T d ) Detemine o coeficiente angula da eta que passa pelos pontos: a) A(, 3) e B(, ) B b) A(-, ) e B(3, 4) d(, ) d(, ) d(, ) c) A(-, -) e B(7, ) Reta secante: d) A(-8, -) e B(, ) Posições elativas ente duas cicunfeências TANGENTES 4 ) dada a equação geal de uma eta, pede-se: a) a sua equação eduzida. b) o seu coeficiente angula. c) o seu coeficiente linea. 3) Esceva as equações eduzidas das etas deteminadas po: a) A(, 3) e B(, ) b) M(-3, -) e N(, ) d(, ) = SEANTES d(, ) = 4) Detemine a equação eduzida da eta epesentada abaio: (, ) (3, ) < d(, ) <
) Repesente a equação segmentáia da eta epesentada: ) Dê a equação da cicunfeência abaio: (, 9) 3 (6, ) - 7 6) A eta cuja equação na foma segmentaia é cota os eios em que pontos? 7) Das figuas abaio, qual epesenta a posição elativa ente duas etas tal que e? m m n n a) c) Respostas: ) a) b) c) 7 d) 8 ) b) d) 4 4 m q a) b) a ou c) b ou 3) a) 4 7 b) 8) Detemine a áea da egião tiangula que tem como vétices os pontos A(, ), B(-, 8) e (, 3). 9) Dê as coodenadas do cento e o aio das cicunfeências apesentadas pelas equações: 8 a) 4) 6 9 3 ) 6) (-7, ) e (, ) 7) a b) 4 8) 9 S c) 9 6 9) a) (8, ) b) (, ) c) (-9, ) ) 3 ( ) 4
Elipse Denominamos elipse ao luga geomético dos pontos de um plano paa os quais a soma das distâncias a dois pontos dados, F e F, do plano, é igual a uma constante a, maio que a distância F F. Apliquemos a P(, ) a popiedade dos pontos da elipse: Os pontos F e F chamam-se focos e a distância ente eles, que vamos epesenta po c, é a distância focal da elipse. d FF = c (distância focal) O ponto médio O do segmento F F é o cento. A eta F F é um eio de simetia da cuva. Ela intecepta a elipse nos pontos A e A tais que a distância ente eles é a. O seguimento A A é chamado eio maio da elipse. d AA = a (eio maio) A eta pependicula F F, pelo cento O, é outo eio de simetia da cuva. Ela intecepta a elipse nos pontos B e B. O segmento B B é chamado eio meno da elipse e vamos epesenta sua medida po b. d BB = b (eio meno) Do tiângulo etângulo OF B decoe que: a = b + c hamamos ecenticidade da elipse ao númeo e, azão ente a distância focal e o eio maio. Decoe que: e = c a A popiedade caacteística dos pontos P da cuva é d PF + d PF = a Equação da elipse Vamos obte a equação da elipse de cento na oigem do sistema catesiano, O(, ), e os focos no eio das abscissas. Notemos que: F = ( c, ) e F = (c, ) A = ( a, ) e A = (a, ) B = (, b) e B = (, b) d PF + d PF = a ( + c) + + ( c) + = a ( ( + c) + ) = (a ( c) + ) + c + c + = 4a 4a ( c) + + c + c + 4a ( c) + = 4a 4c (a ( c) + ) = (a c) a a c + a c + a = a 4 a c + c (a c ) + a = a 4 a c (a c ) + a = a (a c ) omo a c = b, vem que b + a = a b e dividindo po (a b ) fica a + b = que é a chamada equação eduzida da elipse. Obsevações ) Paa =, na equação acima, obtemos = a ; logo = a, que são as abscissas dos pontos onde a cuva cota o eio. Paa = obtemos = b ; logo, = b, que são as odenadas dos pontos de intesecção com o eio. ) No caso da elipse de cento O(, ) e os focos no eio obtemos a equação b + a =
Hipébole Denominamos hipébole ao luga geomético dos pontos de uma plano pa os quais a difeença das distâncias a dois pontos dados, F e F, do plano é em valo absoluto igual a uma constante a, meno que a distância F F. 3) Quando a elipse tem o cento foa da oigem do sistema catesiano ou os eios de simetia não paalelos aos eios coodenados, a equação é mais complicada, poém é ainda uma equação do º. Gau nas vaiáveis e, que se enquada na foma geal A + B + + D + E + F =. A elipse é a cuva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que cota o seu eio. Eemplo Obte a equação da elipse de focos F ( 3, ) e F (3, ) e eio maio a =. Obsevemos que os focos estão no eio ; o cento, que é o ponto médio de F F, é a oigem O(, ). Então, a equação é a + b = Os pontos F e F chamam-se focos e d FF = c é a distância focal. O ponto médio O do segmento F F é o cento. A eta F F é um eio de simetia da cuva. Ela intecepta a hipébole nos pontos A e A. O segmento A A é chamado eio eal (ou eio tansveso) e sua medida é d AA = a. A eta pependicula a F F pelo cento O é outo eio de simetia da hipébole. Nela indicamos os pontos B e B que distam c unidades dos pontos A e A. O segmento B B é chamado eio conjugado (ou eio imagináio) e indicamos sua medida po b. Do tiângulo etângulo indicado na figua decoe que: c = a + b A ecenticidade é o númeo e definido po: e = c a A popiedade caacteística dos pontos P da cuva é: d PF - d PF = a Temos a = e c = dff = 3 Da elação a = b + c vem b = a c = 3 = 6 Logo, a equação é + 6 =, ou ainda, 6 + = 4 Na figua indicamos também um etângulo de cento, um lado de medida a paalelo ao eio eal e outo lado da medida b. As etas que contêm as diagonais desse etângulo são as assíntotas da hipébole. (Quando polongamos a cuva, ela se apoima cada vez mais das assíntotas, sem nelas toca). Quando este etângulo tem os lados iguais, isto é, quando a = b, dizemos que a hipébole é equilátea. Uma hipébole equilátea tem ecenticidade e =.
Equação da hipébole Vamos obte a equação da hipébole de cento na oigem do sistema catesiano, O(, ), e os focos situados no eio das abscissas. Notemos que: F = ( c, ) e F = (c, ) A = ( a, ) e A = (a, ) Apliquemos a P(, ) a popiedade dos pontos da hipébole: ) No caso da hipébole de cento O(, ) e focos no eio obtemos a equação b + a = 3) Quando a hipébole tem o cento foa da oigem ou os eios de simetia não paalelos aos eios coodenados, a equação é mais complicada, mas é ainda uma equação do o gau que se enquada na foma geal A + B + + D + E + F =. d PF - d PF = a ( + c) + ( c) + = a ( ( + c) + ) = (a + ( c) + ) + c + c + = 4a 4a ( c) + + c + c + 4a ( c) + = 4a 4c (a ( c) + ) = (a c) A hipébole é a cuva que se obtem seccionando-se um cone po um plano paalelo ao seu eio. Eemplo: Obte a equação da hipébole de focos F ( 4, ) e F (4, ) e eio eal a = 4. Notemos que os focos estão no eio e o cento, que é o ponto médio de F F, é O(, ). Então, a equação é a + b = a a c + a c + a = a 4 a c + c (a c ) + a = a 4 a c (a c ) + a = a (a c ) omo a c = b, vem que b + a = a b e dividindo po ( a b ) fica a + b = que é a chamada equação eduzida da hipébole. Obsevações ) Paa =, na equação acima, obtemos = a ; logo, = a, que são abscissas dos pontos de intesecção da hipébole com o eio. Não eiste ponto de intesecção com o eio. Temos a = e c = dff = 4 Da elação c = a + b vem que b = c a = 4 = A equação é 4 + = =, potanto, 4 =, ou ainda, 3
Eecícios ) A equação da eta tangente à cicunfeência que passa pelo ponto A (3,4) é: a. 3 + 4 - = b. 3 + 4 + = c. 4 + 3 - = d. 3 + 4-6 = e. nda ) Detemine as equações das elipses seguintes: 4) Repesente geometicamente no sistema catesiano O as hipéboles, fonecendo as coodenadas dos vétices e focos e as equações das assíntotas. a) 9 4 b) 4 9 c) 9 - + 8 3 + 9 = d) - + 4 + 6 + 6 = a) 3 Respostas: ) a; ) a) b) 69 69 b) 3) (Fatec SP) Na figua, tem-se a elipse de equação 3 etângulo é: inscita no etângulo ABD. O peímeto do a. 4 b. 8 c. 3 d. 6 3 e. 3 3