Universidde Federl de Pelots Disciplin de Microeconoi Professor Rodrigo Nore Fernndez List - Soluções Derive s gregções de Engel e Cournot pr o cso de n ens. Reescrev esss gregções e teros de elsticiddes.interprete por exeplo, é possível que todos os ens que u indivíduo consu sej ens inferiores? Por quê? Se u indivíduo consoe n ens, no áxio quntos ens pode ser inferiores? S: Derivndo relção de dding-up, p x p, + p x p, +... + p n x n p, = co relção à rend, oteros gregção de Engel: x p, p + p x p, +... + p x n p, n = Multiplicndo cd tero do ldo esquerdo d equção por x i x i e rerrnjndo os teros oteos: p x x p, + p x x p, x x Logo gregção de Engel escrit e teros de elsticiddes: +... + p nx n x n p, = x n s η + s η +... + s n η n = onde s i = p ix i é frção d rend gst co o e i e η i é elsticidde rend do e i. Podeos concluir que:. Tods s elsticiddes rend pode ser iguis u. Nesse cso, u uento d rend u uento n es proporção do consuo de todos os ens.. Se η i > pr lgu e i, então deve existir lgu e j diferente do e i tl que η j < : se frção d rend consuid do e i uentou is proporcionlente à rend, o consuo de lgu outro e j terá que uentr enos que proporcionlente à rend. 3. No áxio n- ens pode ser inferiores. Se todos os ens são inferiores, então elsticidde rend será negtiv pr todo e i. Coo s i 0, então se tods s elsticiddes rend fore negtivs, iguldde ci não será verificd. Se derivros relção de dding-up e relção o preço do e i, oteos gregção de Cournot: x i p,+ j= p j x j p, Multiplicndo expressão por p i, oteos gregção de Cournot e teros de elsticiddes: p i x i p, + j= = 0 p i x j p, p j = 0 Reescrevendo expressão ci ultiplique o sotório por x j x j : p i x i p, + j= x j p j p i x j p, = 0 x j
E teros de elsticiddes: s i + s j ε M ji = 0 j= Rerrnjndo os teros d últi equção, oteos: s i + ε M ji = j=,j s j ε M ji Se o e i é elástico inelástico, então ε M ii <, e o ldo esquerdo de é negtivo positivo. O ldo direito de deve ser negtivo positivo té, ou sej, so ponderd ds elsticiddes preço cruzds dos outros ens co relção o e i deve ser n édi positiv negtiv. Portnto, se dend do e i é elástic inelástic, então os outros ens deve ser, n édi ponderd pel frção gst e cd e, sustitutos copleentres do e i, independente de coo esse ens fete função de utilidde. Outr iplicção que pode ser extríd de é reção dos gstos nos outros ens devido u udnç no preço do e i: ess reção depende d elsticidde preço de i. Se dend i é elástic, então qundo o preço do e i diinui, o gsto co os outros ens diinui té. Suponh existênci de n ens. Usndo propriedde de hoogeneidde ds funções de dend Mrshllin, ostre que s elsticiddes preço e rend pr u ddo e i stisfze seguinte iguldde: η i + n j= ɛ ij = 0 onde η i é elsticidde rend do e i e ɛ ij é elsticidde preço d dend do e i co relção o preço do e j. Interprete intuitivente relção ci. S: A função de dend Mrshllin é hoogêne de gru zero nos preços e n rend. Logo, pr cd e i=,...,n teos: Derivndo ess expressão e elção t, oteos: x i tp,t = x i p,, t > 0 x i tp,t + j= x i p, p j p j = 0 pr todo t>0. Dividindo iguldde ci por x i tp,t, fzendo, t= e reescrevendo e teros de elsticiddes oteos expressão desejd: válid pr todo i=,...n. η i + n j= ɛ ij = 0 3 Suponh que elsticidde rend d dend per cpit de cervej é constnte e igul 0.75 e elsticidde preço é té constnte e igul 0.5. Os consuidores gst e édi, R$ 400,00 por no co cervej. A rend édi nul destes consuidores é de R$ 6.000,00. Cd grrf de cervej cust R$ 3,00. Se o governo pretende desestiulr o consuo de cervej e 50%, qul deve ser o uento no preço pr que ess et sej lcnçd? S: A elsticidde preço constnte igul -0.5 signific que u uento e 0% no preço lev u redução n quntidde dendd de 5%. Logo, u uento no preço e 00% levri à redução lejd pelo governo de 50% n quntidde consuid de cervej. Cd grrf de cervej pssri então cust R$ 6,00.
Suponh que o governo estiou u uento de R$ 3.000,00 n rend édi. O governo desej nter o nível de consuo de cervej constnte no próxio no, usndo u iposto sore cervej. Qul deve ser o uento no preço d cervej no próxio no pr que seu consuo não se odifique, ddo que previsão do uento d rend se relize? Coo elsticidde rend d dend de cervej é constnte igul 0.75 e u uento n rend de R$ 3.000,00 sore u rend de R$ 6.000,00 corresponde u uento de 50% n rend, o uento no consuo de cervej é de 0.75x0.5=35.50%. Pelo eso otivo explicdo no ite, o uento no preço d cervej necessário pr nulr o efeito do uento de rend é de x37.50% = 75%. Cd grrf de cervej pssri custr R$ 5,5. 4 Encontre s dends Hicksins e função despes pr os seguintes csos : ux,x = x α x α,0 < α < Quis são os prâetros do prole? S: As CPOs do prole são: L = p x + p x + µ [ u x α x α ] µαx α x α = p 3 µ αx α x α = p 4 u = x α x α 5 Divid 3 por 4 pr oter: Insir 6 e 5 e otenh: Sustituindo 7 e 6: α x = α p p x 6 α α α x h p = ū 7 α p α α α x h p = ū 8 α Inserindo s dends copensds n restrição orçentári, teos função dispêndio: p ux,x = x + x, > 0 ep,p,ū = ūα α α α p α p α 9 S: Neste cso, não podeos ontr o Lgrngino pr resolver o prole, pois solução será de cnto. Poré, podeos resolver o siste usndo intuição econôic. Intuitivente, o consuidor irá dquirir pens o e reltivente is rto, n quntidde que lhe ssegure o nível de utilidde ū. Deste odo, s dends Hicksins são: x h p,p,ū = ū, se p < p qulquer vlor entre 0 e ū, se p = p 0, se p > p 3
x h p,p,ū = A função de dispêndio é dd por: c ux,x = x + x /, > 0 e 0 < < ū, se p > p qulquer vlor entre 0 e ū, se p = p 0, se p < p { p ep,p,ū = ūin, p } S: Prieirente usreos ==, e então forulos o Lgrngino: [ L = p x + p x + µ ū ] x + x As CPOs são: [ ] x p = λ + x x [ ] x p = λ + x x 0 ū = x + x Portnto: ū = x + x Dividindo 0 por tereos: p x = x 3 p Sustituindo 3 e tereos: Inserindo 4 e 3 tereos: x = ū p p + p 4 x = ū p p + p Podeos inserir 4 e 5 n função ojetivo pr oteros função de custos ínios: 5 p ū p p + p ū p + p + p ū p p + p p p + p p 4
Denote ū p + p ū p + p p + p p = r, então = r e = r e co u pouco de álger tedios tereos: d ux,x = in{x,x }, > 0 ep,p,ū = ūp r + p r r S: Este é outro cso onde não podeos usr o étodo de Lgrnge, pois função de utilidde não é diferenciável. Deveos, is u vez, resolver o prole usndo intuição econôic. Coo os ens são copleentres perfeitos teos que: x = x. Então tereos que x h p,p,ū = ū e xh p ū,p,ū =. Desse odo, função dispêndio é: p ep,p,ū = ū + p 5 Resolv os seguintes itens pr s seguintes funções de utilidde do exercício 5:, e c. Verifique se s dends Hicksins são hoogênes de gru 0 nos preços. S: Vos ostrr pr o e, pr o outro e é siilr: Co-Dougls Liner CES x h tp,tp,ū = α x h tp,tp,ū = ū α α tp tp α = x h p,p,ū ū, se tp < tp qulquer vlor entre 0 e ū, se tp = tp [ x h tp ] tp,tp,ū = ū tp + tp = ū Mostre vlidde do le de Shephrd. 0, se tp > tp t S: Vos ostrr pr o e, pr o outro e é siilr: Co-Dougls t p p + p ep,p,ū = ūα α α α p α p α h = x p,p,ū = x h p,p,ū ep,p,ū p = ūα α α α α p α p α = ū α Liner Nesse cso função não é diferenciável. CES α p p α = x h p,p,ū ep,p,ū = ūp r + p r r ep,p,ū p = ūp r + p r r p r = x h p,p,ū 5
c Mostre que dend Hicksin oedece Lei d Dend. S: Freos pens pr função Co-Dougls e pr CES: ep,p,ū p = ūα α α α α p α p α = ū α α p p α = x h p,p,ū CES x h p,p,ū α = ū α p α α p p α p < 0 x h p,p,ū p x h p,p,ū p ep,p,ū p r = ū r = ūp r + p r r p r = x h p,p,ū p r + p r r rp r + ūr p r + p r r p r = ūr p r + p r r p r + p r r rp r + p r < 0 6 Cicero possui seguinte função de utilidde ux,x = x x e u rend de R$ 4,00. Inicilente o preço do e cust R$,00 e o preço do e R$,00. Suponh que o preço do e uentou 50%. Clcule os efeitos rend, sustituição e totl. S: Prieirente deveos construir o Lgrngino pr encontrr s dends: As CPOS são: L = x x + λ[ p x p x ] L x = x = λp 6 L x = x = λp 7 L λ = = p x + p x 8 Dividindo 6 por 7 e isolndo x tereos que: Sustituindo 9 e 8 encontros que: x p = x p 9 Inserindo 0 e 9 teos que: x = p 0 x = p Pr os vlores ddos, seos que x p,p, = e x p,p, = 6. A dend do e dois o preço novo é: x N,3,4 = 4. Aos novos preços, o qunto de rend seri necessário pr que o indivíduo consig tingir es curv de indiferenç, ntes d vrição dos preços? A cont é e siples: = + 3 6 6
= 30 Clculos dend do e usndo ess rend virtul, isto é: x h,3,30 = 5. O efeito sustituição é diferenç entre dend copensd co rend virtul e dend ntes d vrição dos preços: ES = x h,3,30 x,,4 = 5 6 =. Por outro ldo, o efeito rend é diferenç entre nov dend e dend copensd, ou sej: ER = x N,3,4 xh,3,30 = 4 5 =. O efeito totl é so dos dois nteriores: ET=ER+ES=-. 7 A função de dend de Dougls Cornfield pelo e x é xp x,p y, = /5p x. Su rend é de R$.000,00 e o preço de x é R$ 5,00 e o de y é R$ 0,00. Se o preço de x ci pr R$ 4,00, pede-se: Clcule udnç n dend pelo e x. S: Prieirente clculreos dend de x ntes e depois d udnç dos preços: x ntes 5,0,000 = 80 x depois 4,0,000 = 00 Então tereos que: x = x depois x ntes = 0 Clcule o efeito rend e o sustituição. S: Vos usr restrição orçentári do consuidor pr oteros dend do e y: = p x x + p y y = p x 5p x + p y y y = 3 5p y Clculreos dend virtul, isto é, qunto de rend o consuidor precis este novo preço de x pr se nter n es curv de indiferenç. Novente usos restrição orçentári do consuidor: = 80 4 + 30 0 Agor clculreos dend copensd de x: = 90 x copensd 4,0,90 = 9 Repetireos o eso procediento que relizos no exercício nterior: ES = x copensd 4,0,90 x ntes 5,0,00 = 9 80 = 7
ER = x ntes 4,0,00 x copensd 4,0,90 = 00 9 = 8 ET = ES + ER = 0 8