1 PARTE II EQUILÍBRIO DA PARTÍULA E DO ORPO RÍGIDO Neste capítulo ncalente trataos do equlíbro de partículas. E seguda são apresentadas as defnções dos centros de gravdade, centros de assa e centródes - centros geoétrcos - dos corpos rígdos. São defndas as condções geras de equlíbro para os corpos rígdos, sto é, corpos para os quas as deforações são desprezadas. As equações geras de equlíbro para ssteas planos de forças e ssteas espacas de forças são apresentadas. Ao fnal é feta ua análse dos odelos de vínculos as couns aplcados aos corpos rígdos. 2.1 ONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA PARTÍULAS Nas aplcações e projetos é cou ao engenhero usar odelos sples quando os resultados ass obtdos são adequados e teros de aproação aos valores reas de casos analsados. Mutas vezes corpos rígdos são substtuídos por partículas coo splfcação. Defnos coo partícula u corpo rígdo cujas densões pode ser desprezadas. Podeos aplcar tabé as regras do equlíbro de partículas para corpos nos quas todas as forças a ele aplcadas são concorrentes nu únco ponto. Dadas váras forças aplcadas a ua partícula, ver gura 2.1, qual ou quas são as condções para ocorrer o equlíbro? Vaos defnr o equlíbro através da prera le de Newton: se a resultante de todas as forças que atua nua partícula for nula, então a sua velocdade é constante, ou seja n R 0 v c (constante) (2.1) 1
2 2 3 1 A 4 gura 2.1 - orças aplcadas nua partícula A. Mutas vezes dz-se que o equlíbro estátco ocorre quando a velocdade é nula. Mas, para aor precsão de lnguage é elhor dentfcar o caso de velocdade nula coo condção de repouso e equlíbro estátco coo qualquer condção de força resultante nula. onsdereos a segunda le de Newton para partículas: n R 1 a (2.2) Se a força resultante R for nula, então, R 0 a 0 (2.3) e a velocdade é constante. Ass a condção dada e (2.1) é necessára e t abé sufcente para ocorrer o equlíbro. 2.2 DIAGRAMA DE ORPO LIVRE Para a correta solução dos probleas de estátca é sepre necessáro esboçar o dagraa de corpo lvre. No caso das partículas é u dagraa sples: resue-e no esboço de todas as forças aplcadas na partícula (conhecdas ou ncógntas) co suas dreções, ou através de suas coponentes. Veja o eeplo apresentado na gura 2.2.
3 A A B A AB k Q P k gura 2.2 - Dagraa de corpo lvre da partícula A. Neste caso, há três forças aplcadas e A, sendo ua aplcada pelo cabo AB, outra pelo cabo A e outra pela ola AD. A força desta ola é gual à força P enquanto que a força do cabo A, que passa pela pola, será gual à Q no caso de se desprezar o atrto entre o eso e a pola. Este ua relação portante para olas lneares, entre as forças aplcadas às olas e as correspondentes deforações. Esta relação é conhecda coo le de Hooke para olas lneares, epressa da segunte fora: M k l (2.4) onde k é a constante elástca da ola, l l l0 é a sua deforação, sendo l o seu coprento quando deforada e l 0 o seu coprento quando se carga e correspondenteente se deforação. M = kl M k l M gura 2.3 - Le de Hooke para olas lneares de constante k.
4 2.3 SISTEMAS DE ORÇAS OPLANARES Quando todas as forças aplcadas a ua partícula estão nu eso plano dzeos que estas forças são coplanares. Se utlzaros o plano y coo o plano destas forças, podeos decopô-las nas duas coordenadas e y. Neste caso a aplcação da condção de equlíbro (2.1) nos conduz a R n 1 0 y j 0 (2.5) ou, a u sstea de duas equações escalares dadas por y 0 0 (2.6) 2.4 SISTEMAS DE ORÇAS TRIDIMENSIONAIS Quando não é possível colocar todas as forças aplcadas a ua partícula nu únco plano, dzeos que o sstea forado por estas forças é trdensonal. Neste caso deveos decopor todas estas forças aplcadas nas coordenadas cartesanas yz. A aplcação da condção de equlíbro (2.1) nos conduz a R n 1 0 y j z k 0 (2.7) ou a u sstea de três equações escalares y z 0 0 0 (2.8)
5 2.5 ENTRO DE GRAVIDADE, ENTRO DE MASSA E ENTRÓIDE Vaos defnr as propredades de deternados pontos partculares de u corpo rígdo. entro de Gravdade é defndo coo o ponto na qual o sstea equvalente de forças dstrbuídas de u corpo, devdo à ação da gravdade, se resue a ua força, denonada força-peso W ou splesente peso do corpo. Da defnção de sstea equvalente obteos as seguntes relações: W d gd (2.9) W onsderando que o vetor aceleração da gravdade g não vara ao longo de toda a assa do corpo rígdo, teos que W g onde d (2.10) Podeos deternar as coordenadas da posção do centro de gravdade G, y G e z G usando as propredades de ssteas equvalentes através de y z G G G W W W dw y dw z dw g d y g d z g d (2.11) As coordenadas da posção do centro de assa, y e z são defndas por y z d y d (2.12) z d Observe-se que se consderaros a aceleração da gravdade g constante para todos os pontos do corpo rígdo, então o centro de assa concde co o centro de gravdade e ass será tratado e todo este teto.
nalente, consderando que a densdade de assa, ou assa específca ρ, seja constante ao longo de todo o volue, defnos o centróde ou centro de volue coo: V y V z V V V V dv y dv z dv 6 (2.13) Podeos estender a defnção de centróde de volue para áreas e para lnhas, através de procedento análogo. Ass, para ua dada área A no plano y, o seu centróde fca dado por equações slares a (2.13), obtdas fazendo a substtução do dferencal dv por eda. onsderando a espessura e uto pequena, obteos A y A A A da y da (2.14) Para ua dada lnha plana de coprento L, o seu centróde fca dado por equações slares a (2.13), obtdas fazendo a substtução do dferencal dv por adl. onsderando a área a da seção transversal da lnha uto pequena, obteos L y L L L dl y dl (2.15) Para sóldos de revolução há dos teoreas, conhecdos coo teoreas de Pappus e Guldnus, que relacona propredades de lnhas co áreas de superfíces geradas e propredades de áreas co volues dos sóldos gerados. dl r r l z gura 2.4 - Teorea I de Pappus e Guldnus.
7 Seja ua lnha l de coprento L, cujo centróde está na posção r, confore ndcado na fgura 2.4. O eleento de área de superfíce ds gerado pela rotação copleta do eleento da lnha dl é gual a ds 2 r dl. Portanto, a área da superfíce S gerada pela rotação copleta da lnha é dada por S 2 rdl (2.16) L Aplcando e (2.16) a propredade de centróde de lnha, obteos: S 2 r L Teorea I de Pappus e Guldnus (2.17) l da r r A z gura 2.5 - Teorea II de Pappus e Guldnus. Seja a área A entre a lnha l e o eo z, e o centróde desta área na posção r, confore ndcado na fgura 2.5. O eleento de volue dv gerado pela rotação copleta do eleento de área da é gual a dv 2 r da. Portanto, o volue V gerado pela rotação copleta desta área é dado por V 2 rda (2.18) A Aplcando e (2.18) a propredade de centróde de área, obteos: V 2 r A Teorea II de Pappus e Guldnus (2.19)
8 2.6 EQUILÍBRIO DE UM ORPO RÍGIDO Seja u corpo rígdo, confore ostra a fgura 2.6, sobre o qual atua váras forças eternas e dferentes pontos. Vaos dentfcar a força eterna resultante que atua na partícula P coo e a força nterna que a partícula j faz sobre coo f j, confore ostra a fgura 2.6. Agora vaos escrever a equação de equlíbro desta partícula do corpo rígdo da segunte fora f 0 (2.20) j j Se soaros as equações de equlíbro aplcadas a todas as partículas deste corpo rígdo, obtereos f 0 (2.21) j j z f j r P O y gura 2.6 - orças nua partícula P de u corpo rígdo. Se toaros os oentos de todas as forças que atua na partícula P e relação a u ponto qualquer O, tereos coo conseqüênca de (2.20) M r r f 0 (2.22) O j j Vaos soar esta equação aplcada a todos os pontos do corpo rígdo, M r r f 0 (2.23) O j j
Ua vez que as forças nternas sepre ocorre aos pares, os segundos teros das equações (2.21) e (2.23) são nulos. Logo estas equações de equlíbro pode ser escrtas coo 9 0 (2.24) onde a soa se faz apenas co todas as forças eternas, e M O r 0 (2.25) onde a soa se faz apenas co os oentos de todas as forças eternas. Outra fora de se obter as equações de equlíbro de u corpo rígdo é fundaentada nas les de Newton-Euler. Defne-se o equlíbro de u corpo coo o estado no qual as acelerações de todos os pontos são nulas. Isto corresponde nu corpo rígdo a u estado no qual a aceleração do centro de assa e a aceleração angular deste corpo são nulas. Usando esta defnção as equações (2.24) e (2.25) são obtdas edataente a partr das les de Newton-Euler para o ovento, fazendo nulas as acelerações ndcadas. Desta fora, a equação vetoral (2.24) de equlíbro das forças eternas pode ser escrta e suas coponentes, y e z, ou seja, y 0 0 0 z (2.26) e a equação vetoral (2.25) de equlíbro dos oentos das forças eternas e relação à orge do sstea de referênca O, pode ser escrta através do equlíbro dos oentos e relação aos eos, y e z, ou seja M M M y z 0 0 0 (2.27)
Portanto, nos probleas de ssteas de forças espacas podeos ter até ses equações escalares de equlíbro, lnearente ndependentes. Se tveros alguas condções partculares, coo por eeplo, u sstea espacal onde todas as forças são concorrentes, teos apenas as três equações (2.26) coo condção de equlíbro. Outro caso partcular é de u sstea espacal onde todas as forças são paralelas. Neste caso teos apenas três equações para o equlíbro, sendo ua das equações (2.26) e duas das (2.27). Para ssteas nos quas todas as forças estão nu plano, por eeplo, o plano y, as equações (2.26) e (2.27) fca reduzdas à: 10 e 0 (2.28) y 0 0 (2.29) Observe-se que neste caso, as forças correspondentes a bnáros aplcados deve estar no eso plano das forças, pos de outra fora o sstea de forças não sera plano. 2.7 MODELOS DE VÍNULOS ENTRE ORPOS RÍGIDOS orpos rígdos estão e geral presos a outros corpos através de deternados vínculos reas. Para os cálculos de engenhara, são crados alguns odelos que procura representar de fora próa os vínculos reas. Os odelos de vínculos ntroduze restrções a oventos, representadas por forças e oentos de bnáros correspondentes à atuação dos vínculos sobre o corpo rígdo e análse. Ass, ao fazeros o dagraa do corpo lvre de u corpo rígdo deveos colocar todas as forças eternas aplcadas, que podeos dvdr e dos tpos: carregaentos, nclundo o peso própro, e as ações dos vínculos, utas vezes denonadas reações de apoo. o relação à vnculação de u corpo rígdo podeos consderá-la sobre váras condções:
() vnculação ncopleta que não pede copletaente o ovento do corpo rígdo, pertndo o ovento e alguas dreções se houver ação nestas dreções, e que o equlíbro só pode ocorrer e condções partculares de carregaento. Estes casos são chaados às vezes de hpostátcos. () vnculação copleta que ntroduz u conjunto íno de forças ou oentos de bnáros necessáros para que ocorra equlíbro co quasquer carregaentos. Nestes casos qualquer ovento do corpo rígdo é peddo e as equações de equlíbro da estátca dos corpos rígdos são sufcentes para a deternação das condções de equlíbro. Estes casos são chaados de sostátcos. () vnculação copleta que ntroduz u conjunto aor que o íno de forças ou oentos de bnáros necessáros para que ocorra equlíbro co quasquer carregaentos. Dz-se tabé que há vínculos redundantes. Nestes casos, ass coo no anteror, qualquer ovento do corpo rígdo é peddo. Entretanto aqu as equações de equlíbro da estátca dos corpos rígdos não são sufcentes para a deternação das condções de equlíbro. Há necessdade de equações adconas para deternação copleta dos esforços de equlíbro. E geral estas equações adconas corresponde às condções de copatbldade de deforações, assunto que é tratado na Mecânca dos Sóldos Deforáves. Estes casos são chaados de hperestátcos. A questão de vínculos de u corpo rígdo está lgada dretaente ao conceto de graus de lberdade. Defnos graus de lberdade ao núero íno de coordenadas ndependentes necessáro para descrever o ovento de u corpo rígdo. orpos rígdos tê no áo 3 graus de lberdade nos oventos planos e 6 graus de lberdade nos oventos espacas. Os vínculos são ntroduzdos para ltar os oventos. Naqueles eleentos que o projeto requer que não ocorra ovento, coo nas aplcações da estátca, os vínculos deve ser escolhdos para pedr qualquer tpo de ovento. 11 2.7.1 Estruturas subetdas a esforços contdos nu plano Nas estruturas subetdas a u conjunto de esforços, todos nu únco plano, podeos ter vínculos que tenha de 0 a 3 graus de lberdade.
Modelos de vínculos co 0 graus de lberdade são usualente chaados de engastaentos. Nestes casos o vínculo ntroduz esforços de tal anera que qualquer ovento é peddo ndependente da estênca de outros vínculos na estrutura. No dagraa de corpo lvre este vínculo ntroduz 1 força de dreção desconhecda e 1 bnáro ou 2 forças de dreções conhecdas, e geral adota-se perpendculares entre s, e 1 bnáro ver gura 2.7a. Modelos de vínculos co 1 grau de lberdade são usualente chaados de artculações, que corresponde a pnos lsos e lgações. Estes tpos de vínculos ntroduze esforços que pede deslocaentos lneares, as não pede deslocaentos angulares. No dagraa de corpo lvre ntroduze 1 força de dreção desconhecda, ou 2 forças de dreções conhecdas ver gura 2.7b. Há tabé os vínculos engastaento óvel e gua co colar rígdo. Modelos de vínculos co 2 graus de lberdade são usualente chaados de artculações óves, que corresponde aos apoos e superfíces se atrto. Os colares artculados que corre sobre guas tabé são vínculos co 2 graus de lberdade. Estes tpos de vínculos ntroduze esforços que pede deslocaentos lneares apenas na dreção noral às superfíces e contato, as não pede deslocaentos lneares na dreção tangente às superfíces e contato e perte deslocaentos angulares. No dagraa do corpo lvre estes vínculos ntroduze 1 força de dreção conhecda ver gura 2.7c. Posções da estrutura onde não há lgação a outros corpos tê 3 graus de lberdade. De fato, neste caso não há vínculo ntroduzdo na estrutura. Eeplos de síbolos e vínculos e casos planos estão apresentados na gura 2.7. 12 2.7.2 Estruturas subetdas a esforços espacas Nas estruturas subetdas a u conjunto de esforços quasquer, que não esteja contdos nu únco plano, podeos ter vínculos que tenha de 0 a 6 graus de lberdade. Modelos de vínculos co 0 graus de lberdade são usualente chaados de engastaentos. Nestes casos o vínculo ntroduz esforços de tal anera que qualquer ovento é peddo ndependente da estênca de outros vínculos na estrutura. Usando o sstea cartesano, são ntroduzdos os seguntes esforços no dagraa de corpo lvre:, y, z, M, M y e.
Modelos de vínculos co 1 grau de lberdade são usualente chaados de artculações, que corresponde a pnos lsos e lgações. Alguns tpos de dobradças, guas e ancas de encosto (cobnação de ancal radal e ancal aal) tabé possue apenas 1 grau de lberdade. Estes tpos de vínculos ntroduze esforços que pede deslocaentos lneares, as não pede deslocaentos angulares. Há anda o caso de ancal co eo de seção retangular, que perte apenas oventos de translação nua dreção. Modelos de vínculos co 2 graus de lberdade usualente corresponde aos ancas radas, consderando que pede fleões nos eos. Estes tpos de vínculos perte apenas deslocaentos lneares e angulares e relação à dreção longtudnal. Modelos de vínculos co 3 graus de lberdade usualente corresponde às juntas esfércas. Pode tabé corresponder a ancas de encosto, quando se despreza os oentos de vínculos ntroduzdos por este tpo de apoo. Ass são peddos deslocaentos lneares e qualquer dreção, deando lvres os deslocaentos angulares. Este tpo de vínculo ntroduz no dagraa do corpo lvre ua força de dreção desconhecda, ou o que é as usual, suas 3 coponentes ortogonas. Modelos de vínculos co 4 graus de lberdade usualente corresponde aos ancas radas, consderando que não pede fleões nos eos. Estes tpos de vínculos pede apenas deslocaentos lneares nas dreções radas. Modelos de vínculos co 5 graus de lberdade usualente corresponde aos apoos sples e superfíces lsas. Introduz no dagraa do corpo lvre ua força de vínculo da dreção noral às superfíces e contato. Ua lgação através de cabos tabé corresponde a u vínculo co 5 graus de lberdade. Portanto, põe restrção apenas a deslocaentos na dreção deste tpo de vnculação. Posções da estrutura onde não há lgação a outros corpos tê 6 graus de lberdade co relação a oventos espacas. De fato, neste caso não há vínculo ntroduzdo na estrutura. 13
14 a) 0 GL = 3 vínculos : engastaento. θ y b) 1 GL = 2 vínculos : unão por pno lso, artculação, engastaento óvel e gua. θ y y c) 2 GL = 1 vínculo : apoo sples, artculação óvel, colar e gua. n n n gura 2.7 - Vínculos de estruturas co sstea plano de forças.
15 a) 0 GL = 6 vínculos : engastaento. M y M y Mz z b) 1 GL = 5 vínculos: ancal radal co encosto, gua e eo de seção retangular, unão por pno lso, dobradça. M y z M M y z y M y z M y z c) 2 GL = 4 vínculos: ancal radal M z gura 2.8 - Vínculos de estruturas co sstea espacal de forças.
16 d) 3 GL = 3 vínculos: junta esférca ou rótula. y z e) 4 GL = 2 vínculos : ancal radal que perte rotação. z f) 5 GL = 1 vínculo: apoo sples, apoo através de rolete, fo ou cabo. n gura 2.9 - Vínculos de estruturas co sstea espacal de forças.