Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNIERSIDDE DO ESDO DO RIO GRNDE DO NORE - UERN Pró-Reitoria de Ensino de Graduação PROEG Hoe Page: http://.uern.br E-ail: proeg@uern.br UNIDDE: Capus vançado de Natal Unidade II. Oscilações Professor Dr. Edaly Oliveira de leida
Suario Oscilações:. Moviento Periódico;. Moviento Harônico Siples; 3. Energia no Moviento Harônico Siples; 4. Moviento Harônico Siples ngular; 5. Pendulo Siples; 6. Pêndulo físico; 7. Oscilações aortecidos; 8. Oscilações Forçadas e Ressonância.
. Moviento Periódico: O oviento periódico é aquele que se repete e u ciclo definido. Ele ocorre quando o corpo possui ua posição de equilíbrio estável e ua força restauradora que atua sobre o corpo quando ele é deslocado da sua posição de equilíbrio. O período é o tepo necessário para copletar u ciclo. frequência f (Eq. ) é o núero de ciclo por unidade de tepo. frequência angular W (Eq. ) é π vezes a frequência. f f Eq. f Eq. hertz Hz ciclo / s s Figura Eeplo de u oviento periódico. Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio e =, a ola eerce ua força restauradora que o leva de volta à posição de equilíbrio.
Eeplo U transdutor ultra-sônico (ua espécie de alto-falante), usado para diagnostica eae édico, oscila co ua frequência igual a 6,7 MHz = 6,7 6 Hz. Quanto dura ua oscilação e qual é a frequência angular? Dados: f = 6,7 6 Hz =? W =? f 6,7 6,7,5 6 6 7 Hz s s f 6 6,7 Hz rad ciclo 6 / 6,7 ciclo / s 4, 7 rad / s,5s
. Moviento Harônico Siples: Quando a força resultante for ua força restauradora F (Eq. 3) diretaente proporcional ao deslocaento, o oviento denoina-se oviento harônico siples (MHS) Eq. 4. F Eq. 3 a F Eq. 4 E uitos casos, essa condições é satisfeita se o deslocaento a partir do equilíbrio for pequeno. frequência angular (Eq. 5), a frequência e o período (Eq. 6) e MHS não depende da aplitude, apenas da assa e da constante da ola. (a = - ) (oviento harônico siples) Eq. 5 f f Eq. 6
O deslocaento, a velocidade e a aceleração e MHS são funções senoidais do tepo a aplitude e o ângulo de fase Φ (Eq. 7) da oscilação são deterinada pela posição inicial e velocidade do corpo. cos t Eq. 7 Figura Gráfico de e função de t e u oviento harônico siples. No caso ostrado ϕ =. constante ϕ indicada na Eq. 7 denoina-se ângulo de fase. Ela nos infora e que ponto do ciclo o oviento se encontrava e t =. aos designar por a posição e t =. Substituindo t = e = na Eq. 7, obteos cos Eq. 8
chaos a velocidade v e a aceleração a e função do tepo para u oviento harônico siples derivando a Eq. 7 e relação ao tepo: v a d dt dv dt sen( t d dt ) cos( t elocidade do MHS ) celeração do MHS Eq. 9 Eq. Conhecendo-se a posição inicial e a velocidade inicial v de u corpo oscilante, podeos deterinar a aplitude e a fase ϕ. eja coo fazer isso. velocidade inicial v é a velocidade no tepo t = ; substituindo v = v e t = na Eq. 9, teos v sen Eq. Para achar ϕ, divida a Eq. pela Eq. 8. Essa divisão eliina, e a seguir podeos eplicitar ϕ: v sen tg cos v arctg Ângulo de fase no MHS Eq.
Elevando ao quadrado a equação 8; divida a Eq. por, eleve o resultado ao quadrado e soe co o quadrado da Eq. 8. O ebro direito será igual a (sen ϕ+cos ϕ), que é igual a. O resultado final é plitude no MHS Eq. 3 co () Soando () () () cos cos sen sen sen cos cos sen sen
Eeplo etreidade esquerda de ua ola horizontal é antida fia. Ligaos u dinaôetro na etreidade livre da ola e puaos para direita; verificaos que a força que estica a ola é proporcional ao deslocaento e que ua força de 6, N produz u deslocaento igual a,3. seguir reoveos o dinaôetro e aarraos a etreidade livre a u corpo de,5 g, puaos o corpo até ua distância de,. a) Calcule a constante da ola? b) Calcule a frequência, a frequência angular e o período da oscilação? Dados: F = -6, N =,3 =,5 g =, a) K =? b) f =?, =?, =? força eercida pela ola
s s ciclo f Hz s ciclo ciclo rad s rad f s rad g s g,3 / 3, 3, / 3, / / /,5 / b) Substituindo =,5 g / /. /,3 6, s g s g N N F F a)
Eeplo 3 aos retorna a ola horizontal discutida no eeplo. constante da ola é = N/, e a ola está ligada a u corpo de assa =,5 g. Desta vez, fornecereos ao corpo u deslocaento inicial de +,5 e ua velocidade inicial de +,4 /s. a) Calcule o período, a aplitude e o ângulo de fase do oviento? b) Escreva equações para o deslocaento, a velocidade e a aceleração e função do tepo? Dados: K = N/ =,5 g = +,5 = +,4 /s a) =?, =?, ϕ =? b) = cos (t + ϕ), =?, a =? a) =,3s igual ao obtido antes,5 arctg 53,93rad,5 arctg,4 / s rad / s,4 / s rad / s,5
b) = cos (t + Φ) deslocaento do MHS a a,5cosrad / s d dt d dt sen,5 / ssen rad / s d dt t / s cos rad / s cos t,93rad elocidade do MHS t t,93rad t,93rad aceleração no MHS
Eeplo 4 Os aortecedores de u carro velho de g estão copletaente gastos. Quando ua pessoa de 98 N sobe lentaente no centro de gravidade do carro, ele se abaia,8 c. Quando essa pessoa está dentro do carro durante ua colisão co u obstáculo, o carro oscila verticalente co MHS. Considerando o carro e a pessoa ua única assa apoiada sobre ua única ola, calcule o período e a frequência da oscilação. Dados: Massa do carro = g Peso = 98 N = -,8 c -,8 =?, f =? total g 4 3,5 g / s f, Hz,s 9 F 98N,8 3,5 4 g / s total total total total total carro g 98N g 9,8 / s g g g pessoa P g,s
3. Energia no Moviento Harônico Siples: energia conserva no MHS. energia total pode ser epressa e teros da constante da ola e da aplitude. Nesses pontos a energia é parte cinética e parte potencial. Figura 3 Energia cinética, energia potencial U e energia ecânica E e função da posição no MHS. E cons tan te Eq. 4
Deonstrando a equação 4 teos: E cos t E E E E C E E sen t sent cost P E sen E sen sen t cos t t cos t t cos t
s epressões do deslocaento e da velocidade no MHS são consistente co a conservação da energia. Podeos eplicitar a velocidade do corpo e função do deslocaento : coponente da velocidade do corpo pode ser positiva ou negativa, dependendo do sentido do oviento. velocidade áia á ocorre e = e verificaos que: á
Eeplo 5 Na oscilações discutida no eeplo 3, = N/, =,5 g e o corpo que oscila é solto a partir do repouso na ponto =,. a) che a velocidade áia e a velocidade ínia atingidas pelo corpo que oscila? b) che a aceleração áia? c) Calcule a velocidade e a aceleração quando o corpo está na etade da distância entre o ponto de equilíbrio e seu afastaento áio? d) che a energia ecânica total, a energia potencial e a energia cinética nesse ponto. a) elocidade e função do deslocaento é dada por: velocidade áia ocorre no ponto e que o corpo está deslocando da esquerda para a direita, passando por sua posição de equilíbrio, onde = á N /,5g,,4 / s
velocidade ínia (ou seja negativa) ocorre quando o corpo está se deslocando da direita para a esquerda e passa pelo ponto e que = ; seu valor é á = -,4 /s b) Pela equação a aceleração áia (ais positiva) ocorre no ponto correspondente ao aior valor negativo de, ou seja, para = - ; logo a a á á N /,5g, 8 / s aceleração ínia (ou seja, a ais negativa) é igual a 8, /s e ocorre no ponto = + = +, c) E u ponto na etade da distância entre o ponto de equilíbrio e o afastaento áio, = / =,. Pela equação teos:
N /,,,5g,35 / s Escolheos a raiz quadrada negativa porque o corpo está se deslocando de = até o ponto = a N / a, 4 / s,5g Nesta ponto, a velocidade e a aceleração possue o eso sinal, logo a velocidade está crescendo. s condições nos pontos =, = + / e = ± são indicados na figura 4 d) energia total possui o eso valor para todos os pontos durante o oviento: E E,4J N /,
E é toda coposta pela energia potencial. E é ua parte energia potencial, e parte energia cinética. E é toda coposta pela energia cinética. E é e parte energia potencial, e parte energia cinética. E é toda coposta pela energia potencial. Figura 4 Gráficos de E, K e U e função do deslocaento e MHS. velocidade do corpo não é constante, portanto essas iagens do corpo e posições co intervalos iguais entre si não estão colocados e intervalos iguais no tepo.
4. Moviento Harônico Siples ngular: No oviento harônico angular a frequência (Eq. 5) e a frequência angular (Eq. 6) são relacionados ao oento de inércia I e a constante de tração K. f I Eq 5 I Eq 6 Figura 5 roda catarian de u relógio ecânica. ola helicoidal eerce u torque restaurador proporcional ao deslocaento angular θ a partir da posição de equilíbrio. Logo o oviento é u MHS. 5. Pêndulo Siples: U pêndulo siples é constituído por ua assa pontual presa à etreidade de u fio se assa de copriento L. Seu oviento é aproiadaente harônico siples para aplitudes suficienteente pequenos, portanto a frequência angular (Eq. 7), a frequência (Eq. 8) e o período (Eq. 9) depende apenas de g e L, não da assa ou da aplitude.
g L Eq. 7 f g L Eq. 8 f L g Eq. 9 Figura 6 dinâica de u pêndulo siples. Eeplo 6 Calcule a frequência e o período de u pendulo siples de de copriento e u local onde g = 9,8 /s Dados: f =? =? L = g = 9,8 /s f L g 9,8 / s,5hz 63,46s s 63,46s
6. Pêndulo Físico: U pêndulo físico é qualquer corpo suspenso e u eio de rotação. frequência angular (Eq. ), a frequência e o período (Eq. ), para oscilações de pequena aplitude, são independentes da aplitude; depende soente da assa, da distância d do eio de rotação ao centro de gravidade e do oento de inércia I e torno do eio de rotação. gd I Eq. I gd Eq. Figura 7 Dinâica de u pêndulo físico.
Eeplo 7 Suponha que o corpo da figura acia seja ua barra unifore de copriento L suspensa e ua de suas etreidades. Calcule o período de seu oviento. O oento de inércia de ua barra unifore e relação a u eio passando e sua etreidade é I = /3 ML. distância entre o pivô e o centro de gravidade é d = L/ I. g. d 3 ML M. g. L / L 3g Caso a barra seja ua régua de u etro (L = ) e g = 9,8 /s, obteos, 64s 3 9,8 / s
7. Oscilações aortecidos: Quando ua força aortecedora proporcional à velocidade F = - b atua e u oscilador harônico, o oviento denoina-se oscilação aortecida. Se b < = / (subaorteciento), o sistea oscila co ua aplitude cada vez enor e ua frequência enor do que seria se o aorteciento. Se b = = / (aorteciento critico) ou se b > = / (superaorteciento), então o sistea ao ser deslocado retorna ao equilíbrio se oscilar. b b,,4 força de aorteciento fraca força de aorteciento ais forte ' e b / t b 4 cos ' t Eq. Eq. 3 Figura 8 Gráfico do deslocaento e função do tepo de u oscilador co leve aorteciento e co u ângulo de fase ϕ =. s curvas ostra dois valores da constante de aorteciento b.
8. Oscilações Forçadas e Ressonância: Quando ua força propulsora que varia senoidalente atua sobre u oscilador horônio aortecido, o oviento resultante denoina-se oscilação forçada. aplitude é dada e função da frequência angular d da força propulsora, e atinge u pico quando a frequência da oscilação natural do sistea. Esse fenôeno denoina-se resonância. F á Eq. 4 b d d Figura 9 Gráfico da aplitude da oscilação de u oscilador harônico aortecido e função da frequência angular d da força propulsora. O eio horizontal índice a razão entre a frequência angular d e a frequência angular = / da oscilação natural não aortecida. Cada curva apresenta u valor diferente da constante de aorteciento.
Lista de eercícios: Questão do trabalho (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ). Se u objeto sobre ua superfície horizontal, se atrito, é preso a ua ola, deslocado e depois liberado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado, da sua posição de equilíbrio e liberado co velocidade inicial igual a zero depois de,8 s verifica-se que o seu deslocaento é de, no lado oposto e que ele ultrapassou ua vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo. (a) che a aplitude. (b) o período. (c) a frequência.. O deslocaento de u objeto oscilando e função do tepo é ostrado na figura abaio. Quais são (a) a frequência; (b) a aplitude; (c) o período; (d) a frequência angular desse oviento? 3. U oscilador harônico siples possui assa de,5 g e ua ola ideal cuja constante é igual a 4 N/. che (a) o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular das oscilações. 4. U bloco de, g se atrito está preso a ua ola ideal cuja constante é igual a 3 N/. E t = a ola não está copriida ne esticada, e o bloco se ove no sentido negativo co, /s. che (a) a aplitude, (b) o ângulo de fase. (c) Escreva ua equação para a posição e função do tepo.
5. U corpo de,5 g, ligado à etreidade de ua ola ideal de constante = 45 N/, eecuta u oviento harônico siples co aplitude igual a,4. Calcule: (a) a velocidade áia do cavaleiro; (b) a velocidade do cavaleiro quando ele está no ponto = -,5 ; (c) o ódulo da aceleração áia do cavaleiro; (d) a aceleração do cavaleiro quando ele está no ponto = -,5 ; (e) a energia ecânica total do cavaleiro quando ele está e qualquer ponto. 6. U brinquedo de,5 g eecuta u oviento harônico siples na etreidade de ua ola horizontal co ua constante = 3 N/. Quando o objeto está a ua distância de, da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui ua velocidade igual a,3 /s. Quais são (a) a energia ecânica total do objeto quando ele está e qualquer ponto; (b) a aplitude do oviento; (c) a velocidade áia atingida pelo objeto durante o oviento? 7. U orgulhoso pescador de água arinha profunda pendura u peie de 65, g na etreidade de ua ola ideal de assa desprezível. O peie estica a ola de,. (a) Qual é a constante da ola? Se o peie for puado para baio e liberado, (b) qual é o período da oscilação do peie? (c) Que velocidade áia ele alcançará? 8. U corpo de 75 g sobre u trilho de ar horizontal, se atrito, é preso a ua ola de constante 55 N/. No instante e que você efetua edições sobre o corpo de equilíbrio. Use a conservação da energia para calcular (a) a aplitude do oviento e (b) a velocidade áia do corpo. (c) Qual é a frequência angular das oscilações?
9. ocê pua lateralente u pêndulo siples de,4 de copriento até u ângulo de 3,5 e solta-o a seguir. (a) Quanto tepo leva o peso do pêndulo para atingir a velocidade ais elevada? (b) Quanto tepo levaria se o pêndulo siples fosse solto e u ângulo de,75 e vez de 3,5?. U prédio e São Francisco (EU) te enfeites luinosos que consiste e pequenos bulbos de,35 g co quebra-luzes pendendo do teto na etreidade de cordas leves e finas de,5 de copriento. Se u terreoto de fraca intensidade ocorrer, quantas oscilações por segundo farão esses enfeites?. Ua barra de coneão de,8 g de u otor de autoóvel é suspensa por u eio horizontal ediante u pivô e fora de cunha coo indicado na figura abaio. O centro de gravidade da barra deterinado por equilíbrio está a ua distancia de, do pivô. Quando ele ecuta oscilações co aplitude pequenas, a barra faz oscilações copletas e s. Calcule o oento de inércia da barra e relação a u eio passando pelo pivô.
. Cada u dos dois pêndulo ostrados na figura abaio consiste e ua sólida esfera unifore de assa M sustentada por ua corda de assa desprezível, poré a esfera do pêndulo é uito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é be aior. Calcule o período de cada pêndulo para deslocaento pequenos. Qual das esferas leva ais tepo para copletar ua oscilação? 3. Ua assa de, g oscila e ua ola de constante igual a 5, N/ co u período de,65 s. (a) Esse sistea é aortecido ou não? Coo você sabe disso? Se for aortecido, encontre a constante de aorteciento b. (b) Esse sistea é não aortecido, subaortecido, criticaente aortecido ou superraortecido? Coo você sabe que é assi? 4. Ua força propulsora variando senoidalente é aplicada a u oscilador harônico aortecido de assa e constante da ola. Se a constante de aorteciento possui valor b, a aplitude é quando a frequência angular da força propulsora é igual a /. E teros de, qual é a aplitude para a esa frequência angular da força propulsora e a esa aplitude da força propulsora F á quando a constante de aorteciento for (a) 3b? (b) b /?