MÉTODOS DE APREÇAMENTO DE OPÇÕES AMERICANAS E DETERMINAÇÃO DA CURVA DE GATILHO ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

versão impressa ISSN 0101-7438 / versão online ISSN 1678-5142 MÉTODOS DE APREÇAMENTO DE OPÇÕES AMERICANAS E DETERMINAÇÃO DA CURVA DE GATILHO ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO Javier Guiérrez Casro* Tara Keshar Nanda Baidya Deparameno de Engenharia Indusrial (DEI) Ponifícia Univ. Caólica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) Rio de Janeiro RJ javiergc@aluno.puc-rio.br; baidya@puc-rio.br Fernando Anonio Lucena Aiube DEI / PUC-Rio e Perobras Rio de Janeiro RJ aiube@puc-rio.br * Corresponding auhor / auor para quem as correspondências devem ser encaminhadas Recebido em 07/2007; aceio em 06/2008 Received July 2007; acceped June 2008 Resumo Nos úlimos anos a simulação de Mone Carlo em se consiuído numa das principais ferramenas que analisas acadêmicos uilizam com fins de apreçameno de derivaivos. A principal moivação é a grande flexibilidade que apresena para simular diversos ipos de opções e preços do aivo subjacene. Nese rabalho são analisados rês algorimos para o cálculo de opções de venda americanas: Ibáñez & Zapaero (2004), Ibáñez & Zapaero modificado (aqui proposo) e o méodo LSM (Leas Square Mone Carlo) de Longsaff & Schwarz (2001). O méodo proposo oferece resulados ão bons como o LSM com a vanagem adicional de permiir o cálculo da curva de gailho (hreshold curve). O méodo LSM é de rápido processameno compuacional no cálculo do preço da opção, mas não gera em primeira insância uma curva de gailho, a qual, para alguns casos (como na análise de invesimenos) é muio úil na definição do insane óimo de invesir. Palavras-chave: derivaivos financeiros; opções de venda americanas; simulação de Mone Carlo. Absrac Mone Carlo Simulaion has become one of he mos imporan ools used in pricing Financial Derivaives. The main reason in ha i gives greaer flexibiliy in simulaing several kinds of underlying asses and derivaives. In his aricle, we analyze hree algorihms o calculae he value of American opions, which is one paricular ype of financial derivaives. The firs wo are: ha of Ibáñez & Zapaero (2004) and ha of Longsaff & Schwarz (2001). The hird algorihm is he one we have developed by modifying Ibáñez & Zapaero. Our mehod gives resuls which are as good as hose of Longsaff & Schwarz, wih he addiional advanage ha i calculaes he hreshold curve. The hreshold curve is very imporan for defining he opimal iming of invesmens. The mehod of Longsaff & Schwarz has a fas compuaional process o calculae opion price, bu i doesn produce a hreshold curve. Keywords: financial derivaives; American pu opions; Mone Carlo simulaion. Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 473

1. Inrodução A Simulação de Mone Carlo é uma meodologia muio difundida para o apreçameno de derivaivos financeiros e cálculo do valor de opções reais em projeos de invesimeno. Em ambas as aplicações é imporane que o algorimo seja compuacionalmene eficiene, e que, quando empregado em opções reais, seja capaz de esimar o insane óimo de invesir. A deerminação dos insanes óimos de invesimeno ao longo de odo o período de mauração da opção define o que na lieraura é conhecido como curva de gailho (hreshold curve). Por exemplo, é possível idenificar o período adequado para realizar um invesimeno de valor K. Ese ocorre quando o valor do projeo chega a um nível igual ou superior àquele definido na curva. Ouro exemplo, é o caso em que exise a possibilidade de abandonar o projeo (obendo um valor de recuperação K), sendo que a opção de abandono deverá ser exercida assim que o valor do projeo ainja um nível igual ou inferior àquele definido na curva. Eses são alguns exemplos da uilidade práica da curva de gailho. Enre os diversos rabalhos desenvolvidos em simulação de Mone Carlo para opções americanas, a grande maioria deles ena aproximar o preço da opção aravés da programação dinâmica, iso é, uilizando procedimenos recursivos de cálculo (de rás para frene) a parir de simulações dos valores do aivo subjacene ao longo do empo aé a daa de expiração da opção. Nesse conexo, as meodologias elaboradas por Boyle e al. (1997) e Broadie & Glasserman (1997) consiuem referências para as pesquisas que poseriormene se desenvolveram no aprimorameno do cálculo do preço de uma opção americana por meio da simulação de Mone Carlo. Seguindo esa linha, um méodo amplamene difundido pela sua facilidade de aplicação (mas compuacionalmene inenso), é o desenvolvido por Gran e al. (1997). Embora o algorimo de Gran e al. (1997) consiga gerar resulados razoavelmene aceiáveis (ver eses feios em Froa (2003)), ese se orna basane inenso compuacionalmene e passível de gerar erros de precisão no cálculo recursivo da curva de gailho, porque não há uma regra explícia que garana uma boa convergência para os insanes óimos de invesimeno. Ouro méodo (ulimamene muio em voga) que deermina o preço de uma opção americana, é o desenvolvido por Longsaff & Schwarz (2001). A meodologia chamada de LSM (Leas Square Mone Carlo) uiliza ambém o criério da programação dinâmica, mas o procedimeno dispensa a deerminação prévia da curva de gailho. Uma meodologia alernaiva foi desenvolvida por Ibáñez & Zapaero (2004). Como em Gran e al. (1997), primeiramene se deermina a curva de gailho, mas uilizam um procedimeno diferene para ober a convergência aé os ponos que consiuem al curva. Nese arigo se analisa com especial ênfase o algorimo de Ibáñez & Zapaero (2004). Por ouro lado, foram feias modificações que aprimoram a consrução da curva de gailho. Iso permiiu melhorar a precisão dos resulados usando os eses originais proposos pelos auores. Paricularmene, o enfoque dese rabalho esá na avaliação de opções de venda americanas com uma variável esocásica. São comparadas rês meodologias: Ibáñez & Zapaero (2004), Ibáñez & Zapaero modificado (aqui proposo) e o algorimo de Longsaff & Schwarz (2001). O arigo foi organizado da seguine forma: a seção 2 faz uma breve revisão eórica sobre opções americanas, a seção 3 descreve o algorimo de Ibáñez & Zapaero (2004) explicando os conceios básicos de curva de gailho e o méodo de aproximações sucessivas de Newon; 474 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

a seção 4 aplica o algorimo descrio na seção anerior, com as modificações proposas apresenando eses numéricos; a seção 5 realiza idênicos eses aplicando o algorimo LSM; a seção 6 compara os resulados obidos com as diferenes meodologias; e a seção see apresena as conclusões e considerações finais. 2. Considerações Teóricas Em opções financeiras ou reais exise um inervalo de empo para o exercício da opção, que vai de 0 = 0, aé N = T (empo de mauridade). O prazo aé a mauridade ou vencimeno é discreizado em N inervalos, sendo que a opção pode ser exercida em qualquer um deses inervalos. Quando se emprega a simulação para calcular o preço de uma opção americana, o raameno dado assemelha-se a uma opção bermuda, caracerizada pela possibilidade de er mais de uma possível daa de exercício aé sua mauridade. Quano mais inervalos discreos forem considerados no período [ 0 ;T], melhor será o modelo que descreve o comporameno real de uma opção americana (que se exerce em empo conínuo e não discreo). O méodo de Gran e al. (1997) deermina o preço críico de exercício (S i *) para cada insane de empo i, onde i Є {0,1,2,...,N-1}. O preço críico de exercício é o preço da ação ou aivo subjacene (S) que faz com que o valor de exercer a opção em um deerminado empo i seja igual ao valor esperado de maner viva a opção para ser exercida em uma daa poserior. Uma vez deerminados os preços críicos em odos os inervalos de empo, calcula-se de maneira recursiva o preço da opção, empregando um simples processo de simulação que é descrio na seguine seção. O conjuno formado pelos diferenes preços críicos de exercício, a cada insane de empo i, consiui a curva de gailho ou froneira de exercício óima. No méodo LSM de Longsaff & Schwarz (2001) são realizadas simulações do preço do aivo subjacene ao longo do empo a parir de um valor inicial, e, por meio de uma análise recursiva a cada insane de empo n (n є {N-1, N-2,..., 1}) anerior à daa de mauração da opção americana, compara-se o valor inrínseco (valor da opção se exercer no insane n ) com o valor de coninuação (valor da opção se esperar para exercer num empo poserior a n ). O valor de coninuação é esimado aravés do valor esperado proveniene de uma regressão de mínimos quadrados enre os preços do aivo S que esão no dinheiro (in he money), ou seja aqueles em que a opção em valor e pode ser exercida em n, versus o valor da opção em um insane n+1, desconado pela axa livre de risco ao empo n. Esas comparações se realizam a cada empo n aé 1. Assim, se exisem N daas de exercício, serão necessárias realizar N-1 regressões (em empos: N-1, N-2,..., 1 ). Discue-se muio sobre a forma dos polinômios de regressão e o grau que eles devem er, mas foi verificado experimenalmene que polinômios lineares simples de baixo grau êm bom desempenho na esimação do valor de coninuação. Por ouro lado, cabe ressalar que, de acordo com os experimenos numéricos feios em Froa (2003) e Nascimeno (2005), foi demonsrado que a meodologia LSM oferece resulados mais exaos do que o méodo de Gran e al. (1997) consumindo um empo compuacional muio menor. No que diz respeio à meodologia desenvolvida por Ibáñez & Zapaero (2004) eles deerminam previamene a curva de gailho para calcular o preço da opção americana. A novidade que eses auores razem, em relação a Gran e al. (1997), é a uilização do méodo de aproximações sucessivas de Newon para aingir os preços críicos de exercício, o qual se mosra ser muio eficiene. Oura vanagem dese algorimo é a possibilidade de esender o cálculo do preço da opção para casos com múliplas variáveis esocásicas. Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 475

3. O Algorimo de Ibáñez & Zapaero (2004) Nesa seção explicamos o procedimeno desenvolvido por Ibáñez & Zapaero (2004). Descreve-se o algorimo para o caso de uma opção de venda americana com única variável esocásica (o preço do aivo subjacene). Os auores apresenam o algorimo de uma maneira generalizada, considerando a possibilidade de exisir mais de uma variável esocásica, sendo que o preço da opção americana (de compra ou venda) pode ser descrio em função desas variáveis. 3.1 Definição das variáveis e parâmeros Denoe-se por P (S,K) o preço da opção e I(S,K) = K-S o valor inrínseco, onde S é o valor do aivo subjacene, que é uma variável esocásica, e K é o preço de exercício. O algorimo deermina primeiramene a curva de gailho ou froneira de exercício óima que é formada pelo conjuno de ponos S * nos quais o valor de maner viva a opção (esperar) é igual ao valor inrínseco (exercer), iso é, P (S *,K) = I(S *,K), sendo que no momeno do exercício I(S,K) = K-S no caso de uma opção de venda. Dado um insane inicial 0, e um insane T (mauridade da opção ou prazo máximo de exercício), pode-se subdividir o horizone de empo T- 0 em N inervalos, com daas de exercício discreas em { 1, 2,..., N =T}. Em algum insane de empo n, assume-se que o exercício da opção é óimo se S n S n *. Seja r a axa livre de risco de curo prazo, e Q a medida de probabilidade maringale. Logo, em alguma daa n (nє {N-1, N-2,...,1}), o preço da opção é calculado por: τ* Q r = d n n n n τ* P (S,K) = E [e I(S,K)] (1) Onde τ* Є { n+1, n+2,...,t} é o chamado empo óimo de parada, definido como o primeiro n+i no qual S n+i S n+i *; nouro caso τ*=. Em ouras palavras, é o primeiro insane em que o preço do aivo S fica abaixo da curva de gailho. Assumindo que S segue um Movimeno Geomérico Browniano (MGB), sob a medida maringale, escreve-se: ds /S = αd + σ dz, onde α = r-q é o drif ou endência neura ao risco, q axa de dividendos, σ é a volailidade do preço do aivo e dz = ε (d) 1/2 é o incremeno do processo padrão de Wiener com ε ~ NID(0,1). Dado que S n é uma variável esocásica a ser gerada por simulação de Mone Carlo, é conveniene uilizar um MGB discreizado, da seguine forma: S n + = S n exp [(α σ 2 /2) + σ ( ) 1/2 ε n + ] (2) Onde é o inervalo de empo enre n e n+1. Desa maneira, é possível discreizar a equação (1) sob a mesma medida de probabilidade, resulando na seguine equação: 1 P (S, K) e (K S ) (3) A n n = (τ* a n)r M a= 1 τ* a 476 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

Onde A é o número oal de caminhos Brownianos, denre os M simulados a parir de um insane de empo n, nos quais num insane de empo (o primeiro) n+i em-se S n+i S n+i * (podem exisir caminhos que em nenhum n+i aconeça al siuação). Por conseqüência exisem A períodos τ*, idenificados por τ* a (a=1,...,a) correspondenes a um deerminado S τ em que a mencionada resrição é saisfeia. * a 3.2 Descrição do Algorimo de Ibáñez & Zapaero 3.2.1 Deerminar a froneira de exercício óima um período anes da mauridade No insane de empo N =T, o preço críico de exercício S N * é igual ao preço de exercício da opção, represenado pela lera K. Por definição, o preço da opção de compra é a diferença enre o preço do aivo S i e o preço de exercício K (ou seja S i -K). Para a opção de venda emos K-S i. Se no empo N =T (úlimo período para decidir o exercício) S i é igual a K, o valor da opção seria zero, porano, exercer ou não a opção forneceria o mesmo resulado (zero para essa daa). Assim, o preço críico de exercício S N * é igual a K. Porano, o rabalho concenra-se em calcular recursivamene os ouros ponos da curva de gailho. Inicia-se enão pelo preço críico de exercício no período N-1. Passo 1: Deseja-se achar o pono S N-1 *. Começa-se com um pono inicial S (1) N-1 escolhido arbirariamene. Normalmene oma-se ese valor igual ao preço de exercício K. Passo 2: Depois, calcula-se o preço da opção: P (S N-1, K) em N-1 N-1, aplicando para isso a simulação de Mone Carlo conforme a equação (3). Por ouro lado, e só no insane N-1, seria ambém possível empregar a conhecida fórmula de Black & Scholes (1973), viso que enre N-1 e N exise um só período. Assim, omando como valor inicial do aivo S (1) N-1 e o preço de exercício K em N, calcula-se o preço da opção de venda com a exaidão que fornece esa fórmula, sem ser necessário (nese paricular caso) realizar as simulações. Passo 3: Para enconrar um novo preço S N-1 (2) que se aproxime mais do S N-1 *, é necessário enconrar uma regra eficiene para ir de um pono de aproximação a ouro. Uma forma basane rápida para convergir ao preço críico de exercício é uilizar o méodo de aproximações sucessivas de Newon. A convexidade da função preço da opção garane a convergência aé o pono fixado S N-1 *. Assim: - Para s = 1,2,3,..,*, usa-se a aproximação: (s+ 1) (s+ 1) N-1 N-1 S N-1 N-1 N-1 N-1 P (S, K) + P (S ).(S S ) = I(S, K) (4) P(S, K) N-1 onde P(S S ) =. Reorganizando a equação (4) enconra-se o valor S (s+1) N-1 N-1 : S ( S ) ( S ) (s+ 1) N-1 N-1 N-1 N-1 N-1 N-1 S = K-P (S, K) + P (S )S 1+ P (S ) (5) (1) Para resolver a equação (5) deve-se calcular anes aplicação do méodo de Newon. P(S S N-1 ), que é a principal dificuldade na Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 477

O cálculo analíico de P(S S N-1 ) para uma opção de venda americana, a cada ieração s, não é possível (só em opções européias exise expressão analíica para P(S S )). É um fao N-1 amplamene conhecido na lieraura de Finanças que à medida que S n (n є {N-1, N-2,...,1}) se aproxima mais do preço críico de exercício S n *, a derivada do preço da opção de venda com respeio ao preço do aivo subjacene vai se aproximando do -1. Por esa razão, (1) Ibáñez & Zapaero (2004) sugerem iniciar as ierações com um valor P(S S )= -0.60, e N-1 gradaivamene realizar incremenos (negaivos) a cada ieração aé um máximo de P(S )=-0.90. S N-1 (2) Passo 4: Achado S calcula-se o preço da opção P N-1 (S N-1, K), aplicando a equação (3), N-1 ou a equação de Black & Scholes (lembrado que esa só serve no período N-1 ). Após, (3) calcula-se uma nova aproximação S usando a equação (5). N-1 (2) Passo 5: Repee-se o procedimeno s vezes aé convergir ao valor (s-1) N-1 N-1 S S < ξ, para algum número ξ muio pequeno. N-1 S = S N-1, sendo que N-1 A convergência para o pono fixado S se realiza de maneira monoônica, iso é, para uma (2) (1) opção de venda em-se que: S > S N-1 N-1 >...> S N-1. As ierações finalizam quando se enconra (s-1) N-1 N-1 S S < ξ ou quando exisa uma mudança no sinal da convergência: S (s-1) S N-1 N-1 >. Em qualquer dos dois casos esima-se o pono médio das duas úlimas ierações: (s-1) Ŝ = (S + S )/2, sendo esa a esimaiva do valor de S. N-1 N-1 N-1 N-1 3.2.2 Deerminar a froneira de exercício óima nos períodos N-2, N-1,..., 0 Seguidamene, repee-se o mesmo procedimeno para os ponos N-2, N-1,..., 0 (de maneira recursiva). A cada pono, sugere-se reiniciar o algorimo omando como preço inicial do (1) aivo S = S + (o pono fixado do período à frene, calculado previamene). n n 1 Assim, no final enconra-se um conjuno de ponos S ={ S 0, S,..., S 1, S N-1 N = T}, que formam a froneira de exercício óima ou curva de gailho: S = Fˆ ( ) n n n. Uma maneira eficiene de achar a função ˆF n é fazendo uma regressão quadráica ou cúbica do conjuno S com os empos { 0, 1,...,T}, embora resule ambém aceiável fazer uma simples inerpolação enre dois períodos discreos. A uilidade da curva de gailho esá no fao que, no primeiro insane de empo em que o valor do aivo subjacene S fique abaixo desa curva, dever-se-á opar pelo exercício, sendo o preço da opção de venda em algum insane n o valor inrínseco: K-S n. 478 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

3.2.3 Calculando o preço da opção de venda Uma vez raçada a curva de gailho, para calcular o preço da opção de venda, faz-se: (i) Simular uma grande quanidade de caminhos (M) a parir do valor inicial do aivo S 0 =S 0. As simulações são feias em inervalos de empos discreos { 1, 2,..., N =T}. (ii) Para cada caminho simulado, no primeiro insane de empo n em que o valor do aivo S n seja menor ou igual ao pono fixado da curva de gailho S, será exercida a n opção, sendo o preço da opção de venda em n o valor inrínseco: K - S n. A seguir, descona-se ese preço com a axa livre de risco: P m = e -(n-0)r.(k- S n ), onde P m (m є {1,2,...,M}) represena o preço da opção de venda em 0 para um caminho simulado denre as M realizações. É provável que exisam caminhos nos quais, em odo momeno, os preços fiquem acima da curva de gailho; para eses casos P m = 0, nauralmene. (iii) O preço da opção de venda será a média ariméica de odos os P m s: M 0 0 m m= 1 P (S, K) = 1/M P (6) A Figura 1 apresena um exemplo ilusraivo que calcula o preço de uma opção de venda com rês caminhos simulados a parir de um preço inicial do aivo S 0 = 35, em um horizone de empo dividido em seis períodos. S 60 50 Caminho 1: Não se exerce a opção. P 1 =0 K=50 Curva de Gailho Caminho 1 Caminho 2 40 Caminho 3 30 20 20 32 Caminho 2: Exercer opção em 5. P 2 = e -5r (50-32) 10 Caminho 3: Exercer opção em 4. P 3 = e -4r (50-20) 0 0 1 2 3 4 5 T= 6 empo Figura 1 Exemplo de Cálculo do Preço da Opção de Venda. Faz-se a média ariméica dos -5r -4r P (S = 35, K = 50) = 0 + e (50-32) + e (50-20) /3. rês P m s. 0 0 ( ) Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 479

4. O Algorimo de Ibáñez & Zapaero Modificado Nesa seção apresenamos uma proposa de aprimorameno do algorimo de Ibáñez & Zapaero (2004). Poseriormene realizamos experimenos numéricos. 4.1 Aprimorameno no cálculo da curva de gailho A primeira melhoria que se pode efeuar no cálculo do pono S é empregar a fórmula de N-1 Black & Scholes (1973) para calcular o preço exao da opção de venda nos passos 2 e 4 do algorimo, dado que exise um único período aé a mauridade da opção. Ibáñez & Zapaero (2004) ambém fazem esa sugesão. A novidade esaria no passo 3, onde deve ser esimado P(S S ). Quando exise só um período aé a mauridade da opção, o valor da derivada do N-1 preço da opção com relação ao preço do aivo subjacene é calculado por uma expressão analíica fechada proveniene da fórmula de Black & Scholes (1973) dada por: onde: q(t- N-1) S N-1 1 P(S ) = e [N(d) 1] (7) S 1 N 1 2 1 d1 = ln r q σ + + ( T N 1) K 2 σ T N(.) = função disribuição normal padrão acumulada. q = axa de dividendos. r = axa de descono livre de risco. K = preço de exercício. σ = volailidade do preço do aivo subjacene. Porano, no passo 3 do algorimo, referene ao período N-1 é conveniene usar a expressão analíica exaa de P(S ). Iso permiirá uma melhor convergência para o pono S. S N-1 Ibáñez & Zapaero (2004) sugerem aplicar o algorimo em duas eapas para ober um melhor cálculo da curva de gailho nos períodos N-1, N-2,..., 0. Seguindo esa sugesão, no algorimo de Ibáñez & Zapaero modificado ambém se aplicam as duas eapas nos mesmos períodos com exceção do pono fixado no período N-1, que já foi calculado empregando valores analíicos exaos do preço da opção de venda e da sua derivada. A seguir se explica em que consise cada eapa. (i) Primeira eapa Deerminar uma curva de gailho simulando uma quanidade não muio grande de caminhos Brownianos aleaórios, por exemplo, 5000, a cada vez que se uilize a equação (3) nos passos 2 e 4. Para efeios de redução de variância, as 5000 simulações devem esar consiuídas por 2500 simulações mais seus respecivos valores aniéicos. Variável aniéica é uma das principais e mais simples écnicas para reduzir variância. Consise em gerar uma variável esocásica negaivamene correlacionada à variável de esado do aivo objeo. Assim, cada rajeória deve ser associada a um par de seqüências, iso é, duas rajeórias negaivamene correlacionadas. Para maior informação sugere-se consular Froa (2003). N 1 N-1 480 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

Melhoria proposa: No passo 3 do algorimo, Ibáñez & Zapaero (2004) não fornecem maiores dealhes de como fazer os acréscimos de P(S ) a cada ieração. Eles sugerem (1) S N-1 P(S S N-1 começar com um valor P(S aé um valor máximo de S n )= -0.60, e depois fazer incremenos (negaivos) a cada ieração )= -0.90. Mas, que valores devem er ais incremenos? A curva de gailho a ser calculada nesa eapa é uma primeira enaiva de aproximar os preços críicos { S 0, S,..., S 1, S N-3 }, assim, observou-se aravés de diversos N-2 experimenos numéricos, que uma maneira rápida de achar a convergência é realizando (1) acréscimos de -0,05 (- =-0,05) começando com um valor de P(S S )= -0,60. De acordo n com as experimenações realizadas, na erceira ou quara ieração já enconra-se o preço críico de exercício, com um erro ξ=0,01 (erro de convergência descrio no passo 5 do algorimo, que é do mesmo valor considerado por Ibáñez & Zapaero (2004) nos eses que realizaram). (ii) Segunda eapa Os preços críicos de exercício achados na primeira eapa, servirão de pono de parida S a cada n (n={0,1,...,n-2}) em um novo cálculo da curva de gailho. Assim, n (1) n (1) n S da eapa 2 é igual a S da eapa 1. Eses ponos iniciais esão muio mais próximos do verdadeiro valor n S, e conseqüenemene P(S S ) se aproxima mais de -1. Porano, ao aplicar novamene o n algorimo espera-se ober uma melhor aproximação da curva de gailho. Para melhorar ainda mais a precisão, foram simulados 100000 caminhos Brownianos aleaórios (50000 mais seus respecivos valores aniéicos) a cada vez que se uilize a equação (3) nos passos 2 e 4. Melhoria proposa: Nesa eapa, Ibáñez & Zapaero (2004) não falam como fazer os acréscimos em P(S S ). Enão, viso que os ponos iniciais enconram-se muio próximos n dos preços críicos de exercício, diversos eses práicos efeuados indicam que, começando (1) as ierações com um P(S S )= -0,85 e fazendo poseriormene incremenos (- ) pequenos de n -0,01, consegue-se uma boa aproximação. No máximo em 10 ierações enconrar-se-á o novo preço críico de exercício, considerando um erro ξ=0,01. 4.2 Experimenos uilizando o algorimo de Ibáñez & Zapaero modificado Ibáñez & Zapaero (2004) fizeram eses numéricos com os mesmos parâmeros dos realizados por Huang, Subrahmanyam & Yu (1996), que uilizaram o méodo binomial com 10000 passos, e cujos resulados são usados como benchmark. Para opções americanas com uma só variável esocásica, cujo aivo subjacene segue um MGB (Movimeno Geomérico Browniano), o méodo binomial é uma maneira simples de avaliar esas opções, sendo seus resulados mais precisos quano maior for a quanidade de divisões (passos) da árvore. Os exemplos numéricos a serem apresenados são opções de venda simples que o méodo binomial avalia bem, por isso é omado como benchmark. A vanagem do uso de méodos de Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 481

simulação de Mone Carlo para o cálculo de opções americanas é a sua maior flexibilidade, podendo simular simulaneamene diversas variáveis, seguindo variados processos esocásicos, o qual não é possível modelar pelo méodo binomial. Mas para efeios de avaliar o grau de precisão de uma meodologia por simulação, simplificam-se os eses de al maneira que se consigam modelar pelo méodo binomial, e os seus resulados servirão para poder comparar com os resulados que a meodologia por simulação oferece nos mesmos eses. Na Tabela 1 são exibidos doze eses numéricos nos quais é calculado o preço da opção de venda americana. Os parâmeros comuns são os seguines: r = 0,0488 anual (axa livre de risco); δ = 0 (axa de dividendos). Aplicam-se as duas eapas (como foram descrias) na deerminação da curva de gailho. Uma vez obida a curva, para calcular o preço da opção de venda simulam-se 100000 caminhos Brownianos (50000 com seus valores aniéicos) a parir do preço inicial do aivo S 0 = 40. Simulam-se eses caminhos 50 vezes (sob a mesma curva de gailho calculada previamene), e o preço da opção de venda provém da média ariméica do preço da opção obido a cada vez em que se realizaram as 100000 simulações de caminhos. K σ T (anos) Tabela 1 Resulados do algorimo de Ibáñez & Zapaero modificado. (S 0 = 40; r = 0,0488; δ = 0)** Opção de Venda Verdadeira* 5 daas de exercício 25 daas de exercício Preço Opção de Venda Desvio Padrão % diferença Preço Opção de Venda Desvio Padrão % diferença 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0003 0,00% 0,0062 0,0002 0,00% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4263 0,0035 1,50% 0,4315 0,0038 0,30% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8487 0,0023 0,41% 0,8512 0,0019 0,12% 40 0,2 0,5833 1,9904 1,9654 0,0046 1,26% 1,9851 0,0050 0,27% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9659 0,0011 0,68% 4,9927 0,0002 0,15% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2076 0,0053 1,13% 5,2562 0,0058 0,21% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2465 0,0027 0,04% 0,2467 0,0026 0,04% 35 0,4 0,5833 2,1549 2,1408 0,0075 0,65% 2,1528 0,0089 0,10% 40 0,4 0,0833 1,7681 1,7654 0,0040 0,15% 1,7676 0,0046 0,03% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3243 0,0093 0,65% 4,3477 0,0084 0,11% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,2791 0,0054 0,15% 5,2853 0,0045 0,03% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3406 0,0090 0,57% 7,3748 0,0094 0,11% MAPE 0,5997% MAPE 0,1211% RMSE 2,6196% RMSE 0,4991% * Os preços verdadeiros da opção de venda americana em cada ese numérico (12 em oal) são os obidos por Huang, Subrahmanyam & Yu (1996) usando um modelo binomial com 10000 passos. Eses resulados servem como benchmark para o cálculo das medidas de erro: MAPE e RMSE. ** S 0 é o valor inicial do aivo, r é a axa livre de risco, e δ é a axa de dividendos. A seguir são apresenadas as explicações referenes à Tabela 1: - O número de daas de exercício refere-se à quanidade de inervalos discreos em que o espaço de empo compreendido enre 0 =0 e N = T foi subdividido. Foram consideradas 5 e 25 daas de exercício para efeios de comparar com os resulados obidos por Ibáñez & Zapaero (2004), os quais fizeram os eses somene com essas daas. 482 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

- A íulo de exemplificação, o primeiro ese numérico em como parâmeros K=35, σ=0,2, T=1 mês (0,0833 anos). O preço médio da opção de venda calculado pelo algorimo de Ibáñez & Zapaero modificado (com 5 daas de exercício) resulou igual ao do benchmark, com um desvio padrão de 0,0003. - A coluna % diferença mede a porcenagem, em valor absoluo, em que o preço da opção de venda calculado por meio das simulações se disancia do valor verdadeiro. Sua fórmula é: Preço Opção de Venda Opção de Venda Verdadeira /(Opção de Venda Verdadeira). - O MAPE é uma medida esaísica do erro para um conjuno de eses. No oal foram realizados 12 eses numéricos (um em cada linha da Tabela 1). Em cada ese a % de diferença varia. Porano, uma maneira de consolidar uma medida de erro para um conjuno de eses realizados sob ceros parâmeros comuns e um deerminado número de daas de exercício, é por meio desa medida. Numericamene, o MAPE é a média ariméica da coluna % diferença (explicada no parágrafo anerior). - O RMSE é oura medida esaísica do erro de um conjuno de eses, que para o caso de 12 eses sua fórmula seria: 12 RMSE = (Preço Pu Pu Verdadeira ) 12. Em ouras i= 1 palavras, é a raiz quadrada do erro médio quadráico. - Chame-se de experimeno ao conjuno de eses numéricos realizados sob uma cera quanidade de daas de exercício. Por exemplo, a Tabela 1 exibe dois experimenos, os quais agrupam 12 diferenes eses numéricos. Em cada experimeno o conjuno de eses numéricos são os mesmos, só varia o valor do parâmero número de daas de exercício. - Quano menor for a porcenagem nesas medidas de erro, iso indicará que os valores esipulados nas variáveis do experimeno, esão permiindo ober uma melhor aproximação para os valores de referência ou benchmarks. Nos experimenos apresenados na Tabela 1 se pode disinguir que um maior número de daas de exercício (esa é a variável que muda de um experimeno para ouro) faz que os valores do MAPE e do RMSE sejam reduzidos. i i 2 4.3 Resulados dos eses feios em Ibáñez & Zapaero Nesa seção se realiza uma comparação baseada nos resulados das medidas de erro enre os algorimos de Ibáñez & Zapaero (2004) e Ibáñez & Zapaero modificado, sendo que em ambos os casos são considerados os eses numéricos da Tabela 1. Na Tabela 2, são exibidos ais resulados. Tabela 2 Medidas de erro: Ibáñez & Zapaero (I&Z) versus I&Z Modificado. 5 daas de exercício 25 daas de exercício Algorimo uilizado MAPE RMSE MAPE RMSE Ibáñez & Zapaero (I&Z)* 1,0818% 2,7295% 0,6151% 0,9567% I&Z Modificado** 0,5997% 2,6196% 0,1211% 0,4991% Fone: * Elaboração própria a parir dos resulados obidos por I&Z. ** Resulados provenienes da Tabela 1. Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 483

Observa-se na Tabela 2, que o algorimo modificado I&Z gera menores erros em ambas as daas de exercício. Desa maneira, verifica-se que as modificações realizadas no algorimo de Ibáñez & Zapaero (2004) foram apropriadas. Esa melhora na precisão dos resulados é devido ao aprimorameno realizado na deerminação da curva de gailho. Na esimação do pono críico de exercício do penúlimo período, por exemplo, ao invés de simular caminhos enre uma ieração e oura aé aingir o preço críico de exercício, emprega-se a fórmula de Black & Scholes (1973), e, além disso, ao uilizar as aproximações sucessivas de Newon usou-se a fórmula analíica da derivada da opção. Por ouro lado, na esimação dos ouros ponos críicos de exercício, o fao de que em cada uma das duas eapas de aplicação do algorimo er sido uilizado diferenes valores inicias da derivada e dos acréscimos (passo 3 do algorimo), conribuiu ambém para ober uma melhor aproximação. 4.4 Análise de sensibilidade do algorimo de I&Z modificado 4.4.1 Número de daas de exercício Pelo exibido na Tabela 2, observa-se que o número de daas de exercício melhora a precisão dos resulados, obendo menores valores dos erros. Foram realizados experimenos adicionais alerando-se o valor desa variável. Os eses numéricos são sempre os exibidos na Tabela 1, manendo os mesmos parâmeros para o cálculo da curva de gailho e para o cálculo do preço da opção de venda. Os resulados dessas experimenações são exibidos a seguir na Figura 2. De acordo com a Figura 2, noa-se que exise uma significaiva redução das medidas de erro à medida que o número de daas de exercício vai crescendo aé um valor aproximado de 25. A parir daí a redução das medidas de erro coninua, mas já não é ão significaivo o ganho obido pelo acréscimo de maior quanidade de daas. 3,00% 2,50% 2,62% MAPE RMSE 2,00% 1,50% 1,27% 1,00% 0,60% 0,50% 0,50% 0,41% 0,31% 0,25% 0,12% 0,10% 0,07% 0,00% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Número de Daas de Exercício Figura 2 Valor das medidas de erro em função do número de daas de exercício. 484 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

O empo de processameno compuacional cresce à medida que se incremena o número de daas de exercício. A Figura 3 exibe os empos empregados em média para calcular o preço da opção de venda americana de um ese numérico, em função do número de daas de exercício. 200 180 185,40 Segundos 160 140 120 100 80 60 40 65,16 82,56 20 16,83 7,34 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Nro. Daas de Exercício Figura 3 Tempo compuacional em função do número de daas de exercício. Em relação ao empo de processameno compuacional noa-se um significaivo aumeno à medida que o número de daas de exercício é maior. Pelo exibido na Figura 3, o empo que se leva em compuar em média um ese numérico com 25 daas de exercício é de 65,16 segundos (1 minuo aprox.), mas ao se dobrar o número de daas de exercício (50 daas) o empo de processameno sobe para 185,40 segundos (3 minuos aproximadamene). O ganho na melhora do erro de passar de 25 para 50 daas alvez não jusifique o cuso compuacional. Cabe anoar que o programa que compuou os diferenes eses numéricos realizados nese rabalho foi desenvolvido em MaLab, rodado em um compuador Penium IV de 2,8 GHz e 480 MB de RAM. 4.4.2 Ouras análises de sensibilidade Foram realizados experimenos numéricos para analisar o comporameno de algumas variáveis, por exemplo, o número de simulações de caminhos Brownianos do preço do aivo subjacene, que permie calcular o preço da opção de venda americana uma vez que se enha deerminado a curva de gailho. Dividindo o empo aé a mauridade em 25 daas de exercício, consaou-se que a parir de 10000 simulações consegue-se uma esabilidade nas medidas de erro MAPE e RMSE, e, em relação ao empo de processameno compuacional, exise uma diferença de poucos segundos enre o que se consome com 10000 e 100000 simulações. No enano, opou-se por fazer os eses com 100000 simulações, pois Ibáñez & Zapaero (2004) uilizaram essa quanidade de simulações. Desa forma, e para efeios de comparação, maneve-se o mesmo valor do parâmero. Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 485

Adicionalmene realizou-se um experimeno para analisar se a média de várias curvas de gailho melhoraria a precisão dos resulados. Os resulados mosraram que o fao de calcular várias curvas de gailho e com esas se ober uma curva média (irando a média dos valores dos preços críicos de exercício em cada insane de empo), aquilo não implicou em uma melhora nas medidas de erro. Conclui-se enão que basa calcular uma única curva aplicando sempre as duas eapas descrias. A média de várias curvas de gailho resulou ser desnecessária aumenando exponencialmene o empo de processameno compuacional. 5. O Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) A meodologia dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo, mais conhecida como LSM (Leas Square Mone Carlo) desenvolvida por Longsaff & Schwarz (2001), alcançou nos úlimos anos uma grande aceiação, pela sua facilidade de cálculo e por fornecer resulados bem próximos do real. Uiliza ambém o criério da programação dinâmica para calcular o preço da opção, sem precisar deerminar previamene a curva de gailho. Sugere-se consular Froa (2003), Araújo (2004) e Nascimeno (2005) para uma explicação mais dealhada sobre o algorimo. 5.1 Teses numéricos com o algorimo LSM Para esar a meodologia LSM consideraram-se novamene os eses numéricos mosrados na Tabela 1. Como parâmeros, dividiu-se o período aé a mauridade em 25 daas de exercício, além disso foram simulados 20000 caminhos Brownianos (10000 com seus valores aniéicos), sendo que ao aplicar o algorimo LSM a um deerminado ese numérico obeve-se um preço da opção de venda. Com 20000 simulações consegue-se ober uma boa convergência para o preço verdadeiro da opção de venda americana, como foi deecado aravés de uma análise de sensibilidade que será explicada na seção seguine. Repeiu-se ese procedimeno 50 vezes, e o preço da opção de venda mosrado na Tabela 3, é a média ariméica dos cinqüena preços obidos a cada vez. O desvio padrão foi calculado daquela amosra. Na Tabela 3 são exibidos os resulados alcançados em odos os eses. 5.2 Análises de sensibilidade do algorimo LSM Uma primeira análise de sensibilidade em como finalidade descobrir o comporameno das medidas de erro em função do número de caminhos simulados a parir de um preço inicial do aivo base (S 0 ). O algorimo LSM dispensa o cálculo prévio da curva de gailho, e, a parir daquelas simulações, aplicando um procedimeno recursivo, consegue-se calcular o preço da opção americana. Foram realizadas experimenações com 25 daas de exercício e uilizando uma regressão polinomial linear de grau 2. Observou-se que parir de 20000 simulações que se consegue uma esabilidade nas medidas de erro. Daí o moivo pelo qual os eses numéricos da Tabela 3 foram realizados com esse número de simulações. 486 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

Tabela 3 Resulados aplicando o algorimo LSM. (S 0 = 40; r = 0,0488; δ = 0; 25 daas de exercício)** K σ T (anos) Opção de Venda Verdadeira* Preço Opção de Venda Desvio Padrão % diferença 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0061 0,0002 1,61% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4300 0,0032 0,65% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8499 0,0022 0,27% 40 0,2 0,5833 1,9904 1,9841 0,0040 0,32% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9927 0,0001 0,15% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2559 0,0063 0,21% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2457 0,0026 0,36% 35 0,4 0,5833 2,1549 2,1496 0,0091 0,25% 40 0,4 0,0833 1,7681 1,7651 0,0038 0,17% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3457 0,0086 0,16% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,2781 0,0055 0,16% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3733 0,0079 0,13% MAPE 0,3698% RMSE 0,6355% * Os preços verdadeiros da opção de venda americana em cada ese numérico (12 em oal) são os obidos por Huang, Subrahmanyam & Yu (1996) usando um modelo binomial com 10000 passos. Eses resulados servem como benchmark para o cálculo das medidas de erro: MAPE e RMSE. ** S 0 é o valor inicial do aivo, r é a axa livre de risco, e δ é a axa de dividendos. Exise uma significaiva diferença no empo de processameno compuacional enre 20000 e 100000 simulações; o primeiro caso requer em média 37 segundos para efeuar um ese numérico; o segundo caso, são necessários 193 segundos. Conseqüenemene, não é preciso rabalhar com um número elevado de simulações, não houve melhora nos resulados e há maior demanda de empo. Uma análise de sensibilidade adicional consisiu em examinar se o grau do polinômio de regressão influencia na precisão dos resulados. Foram feios diversos experimenos para os doze eses numéricos (empregando 20000 simulações e 25 daas de exercício), sendo que em cada experimeno alerou-se o grau do polinômio. Os resulados mosraram que o fao de acrescenar o valor de ese parâmero não melhora as medidas de erro, e só faz aumenar o empo de processameno compuacional. Porano, uilizando um grau de polinômio igual a dois, é suficienemene aceiável para a realização dos experimenos. 6. Análise dos Resulados e Comparações das Meodologias Tesadas A Figura 4 apresena um resumo das medidas de erro nos rês algorimos esados, sendo que o empo aé a mauridade foi dividido em 25 daas de exercício, o que mosrou ser uma quanidade razoável para ober boa precisão nos resulados. Observa-se que o algorimo I&Z modificado gera as menores medidas de erro em relação às ouras meodologias abordadas. Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 487

No que diz respeio ao empo de processameno compuacional (ver Figura 5) o algorimo LSM demanda um empo menor, iso porque não é necessário fazer um cálculo prévio da curva de gailho, o qual economiza esforços compuacionais. Esses empos são referidos ao que se gasa em média para realizar um ese numérico com os parâmeros que originaram as medidas mosradas na Figura 4; iso é com 25 daas de exercício (nos rês casos), 100000 simulações para os algorimos I&Z e I&Z modificado, e 20000 simulações com polinômio de regressão de grau 2 no algorimo LSM. 1,20% Medidas de Erro para os Algorimos Esudados 1,00% 0,96% 0,80% 0,60% 0,62% 0,50% 0,45% 0,64% MAPE RMSE 0,40% 0,20% 0,12% 0,00% Ibáñez e Zapaero (I & Z) I & Z Modificado LSM Figura 4 Medidas de erro nos rês algorimos abordados. 70 60 Tempo Compuacional 65 I & Z I & Z Modif icado LSM 50 49 Segundos 40 30 37 20 10 0 I & Z I & Z Modificado LSM Algorimos Figura 5 Tempo de processameno compuacional dos algorimos. 488 Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008

7. Conclusões e Considerações Finais Nese rabalho foram avaliados os algorimos de Ibáñez & Zapaero (2004) e LSM de Longsaff & Schwarz (2001). Simulaneamene foram proposas modificações no primeiro algorimo de forma a ober maior precisão nos resulados do preço da opção de venda americana conforme foi mosrado na Figura 4. A proposa feia para melhorar a convergência para os preços críicos de exercício, esabelecendo valores iniciais das derivadas do preço da opção e dos incremenos a cada ieração (passo 3 do algorimo I&Z), demonsrou ser basane eficiene, permiindo melhorar os resulados obidos por Ibáñez & Zapaero (2004). Também mosrou-se que o algorimo de Ibáñez & Zapaero modificado obeve erros um pouco menores que aqueles do algorimo LSM. Com respeio do empo compuacional, a meodologia LSM resula ser mais vanajosa, mas o algorimo modificado de Ibáñez & Zapaero, sob deerminados parâmeros, ofereceu resulados com a melhor aproximação para o benchmark nos eses realizados. O algorimo LSM pode ser mais rápido e fornece resulados muio saisfaórios, porém não calcula a curva de gailho (a sua deerminação envolveria um empo compuacional muio elevado), que em algumas siuações resula ser mais imporane do que conhecer o preço da opção. Porano, dependendo dos objeivos que sejam perseguidos, uma ou oura meodologia poderá ser mais adequada. Cabe ressalar que com o passar dos anos, o empo de processameno compuacional esá sendo cada vez menos relevane. O esudo feio no presene rabalho pode ser esendido para o caso de opções de compra americanas, siuações em que exisam duas ou mais variáveis esocásicas, aplicações em opções reais e na análise do empo óimo para invesimenos, mencionando algumas das principais exensões que podem ser consideradas. Referências Bibliográficas (1) Araújo, R.O. (2004). Avaliação de Opções Reais Aravés do Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo. Disseração de Mesrado, Deparameno de Engenharia Indusrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro. (2) Black, F. & Scholes, M. (1973). The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economy, 81, 637-659. (3) Boyle, P. & Broadie, M. & Glasserman, P. (1997). Mone Carlo Mehods for Securiy Pricing. Journal of Economic Dynamics and Conrol, 21, 1267-1321. (4) Broadie, M. & Glasserman, P. (1997). Pricing American-Syle Securiies Using Simulaion. Journal of Economic Dynamics and Conrol, 21, 1323-1352. (5) Froa, A.E.F. (2003). Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas. Disseração de Mesrado, Deparameno de Engenharia Indusrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro. (6) Gran, D. & Vora, G. & Weeks, D.E. (1997). Pah-Dependen Opions: Exending he Mone Carlo Simulaion Approach. Managemen Science, 43, 1589-1602. (7) Huang, J.; Subrahmanyam, M.G. & Yu, G.G. (1996). Pricing and Hedging American Opions; A Recursive Inegraion Mehod. Review of Financial Sudies, 9, 277-300. Pesquisa Operacional, v.28, n.3, p.473-490, Seembro a Dezembro de 2008 489

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