Nota de aula 10 - Estado Triaxial de Deformações - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF 2o. semestre de 2011 Flávia Bastos RESMAT II 1/29
Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II 2/29
Relações Deslocamentos x Deformações Deslocamentos Descrição do movimento de um corpo (e/ou de um ponto do corpo) A(x, y, z) A (x + u, y + v, z + w) δ A = L = F L ES u x=l = L ɛ x = σx E = F ES ɛ x x=0al = cte ɛ x = L L Flávia Bastos RESMAT II 3/29
Relações Deslocamentos x Deformações Deformação medida do movimento relativo entre pontos adjacentes S ɛ = lim (alongamento relativo) deformação linear no S 0 S ponto A na direção AB. Flávia Bastos RESMAT II 4/29
Deformações lineares Deslocamento de P Deslocamento de A Deslocamento de B u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) u(x + x, y, z) v(x + x, y, z) w(x + x, y, z) u(x, y + y, z) v(x, y + y, z) w(x, y + y, z) Flávia Bastos RESMAT II 5/29
Deformações lineares Por definição: ɛ xx = P A P A lim P A 0 P A (1) Admitindo pequenas deformações: Ficamos com: P A = P A (2) ɛ xx = P A P A lim P A 0 P A (3) Flávia Bastos RESMAT II 6/29
Deformações lineares mas: P A = x (4) Logo: P A = P A + u A u p = x + u A u p (5) ɛ xx = lim = lim x 0 x + u A u p x x u(x + x, y, z) u(x, y, z) x x 0 ɛ xx = u x (6) (7) Flávia Bastos RESMAT II 7/29
Deformações lineares Analogamente (nas direções y e z) teríamos: ɛ yy = v y (8) e ɛ zz = w z (9) Flávia Bastos RESMAT II 8/29
Deformações angulares Definimos a deformação angular no plano xy como a distorção angular sofrida por um ângulo reto neste plano. Conforme a figura temos que: - Cálculo de α e β: γ xy = α + β (10) tgα = A A P A (11) Admitindo pequenas rotações: tgα = α = A A P A (12) onde α valor médio da distorção α para valores de x e y finitos. Flávia Bastos RESMAT II 9/29
Deformações angulares α = Assumindo u x 1: A A lim P A 0 P A (distorção no ponto) (13) v(x + x, y, z) v(x, y, z) α = lim x 0 P A + P A u = lim x 0 x v(x + x, y, z) v(x, y, z) x + u x x (14) ( x 1 + u ) = x (15) x Flávia Bastos RESMAT II 10/29
Deformações angulares que, por definição: v(x + x, y, z) v(x, y, z) α = lim x 0 x α = v x Racicínio semelhante para β obtemos: β = u y (16) (17) (18) Obtemos então: γ xy = v x + u y (19) Flávia Bastos RESMAT II 11/29
Deformações angulares Procedendo de modo similar nos planos yz e zx, obtemos: γ xz = w x + u z γ yz = w y + v z (20) (21) Flávia Bastos RESMAT II 12/29
Tensor de Deformações Definindo, ɛ xy = 1 2 γ xy; ɛ xz = 1 2 γ xz; ɛ yz = 1 2 γ yz (por conveniência) Temos calculado ou definido o tensor de deformações ɛ (da elasticidade linear): Sendo: ɛ xx = u ɛ = x, ɛ yy = v y, ɛ zz = w ( ) ɛ xy = 1 u 2 y + v x, ɛ xz = 1 2 ɛ xx ɛ xy ɛ xz ɛ xy ɛ yy ɛ yz ɛ xz ɛ yz ɛ zz z ; ( u z + w x ), ɛyz = 1 2 (22) ( ) v z + w y. Observar que ɛ xy = ɛ yx e assim sucessivamente, resultando que ɛ T = tensor simétrico! ɛ Flávia Bastos RESMAT II 13/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Flávia Bastos RESMAT II 14/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Deformação Linear Dados: ũ campo de deslocamentos; ɛ tensor de deformações referido a um sistema x, y, z; Ñ vetor de cossenos diretores da direção em que se deseja determinar a deformação linear ɛ. ɛ xx ɛ xy ɛ xz ɛ = ɛ xy ɛ yy ɛ yz (23) ɛ xz ɛ yz ɛ zz Ñ = [ l m n ] T (24) δ n ɛ nn = lim =? (25) n 0 n Flávia Bastos RESMAT II 15/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Os vetores diretores das direções P Q e P R são: Ñ = [ l n m n n n ] T direção P Q (26) S = [ l s m s n s ] T direção P R (27) Os deslocamentos nessas direções são dados por: u n = ũ Ñ Projeção de ũ sobre Ñ (28) u s = ũ Projeção de ũ sobre S S onde ũ = [ ] T [ ] T u x u y u z = u v w (29) Flávia Bastos RESMAT II 16/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Podemos então escrever que: u n = u x l n + u y m n + u z n n (30) Da definição de deformação: u s = u x l s + u y m s + u z n s (31) u n Q u n P ɛ nn = lim s 0 s = du n ds onde s comprimento do segmento P Q. Mas: du n ds = u n dx x ds + u n dy y ds + u n dz z ds (32) (33) Flávia Bastos RESMAT II 17/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Considerando que dx dy ds = l, ds = m e dz ds = n (Cossenos diretores da direção Ñ figura***), obtemos: ɛ nn = + + [ ] x (u xl + u y m + u z n) l (34) [ ] y (u xl + u y m + u z n) m [ ] z (u xl + u y m + u z n) n Flávia Bastos RESMAT II 18/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Reagrupando estes termos, temos (e observando que a direção está fixa, isto é, l x = 0): ɛ nn = u x x l2 + u y y m2 + u z z n2 (35) ( ux + y + u ) y lm x ( ux + z + u ) z ln x ( uy + z + u ) z mn y Flávia Bastos RESMAT II 19/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Observando que: ( ux y + u ) y lm = 1 ( ux x 2 y + u ) y lm + 1 ( uy x 2 x + u ) x lm y (36) Observando ainda que a expressão acima vale de modo similar para as duas últimas parcelas de (35), e levando em conta a definição das componentes de ɛ ficamos com: (37) ɛ nn = ɛ xx l 2 + ɛ xy lm + ɛ xz ln + ɛ yx ml + ɛ yy m 2 + ɛ yz mn + ɛ zx nl + ɛ zy nm + ɛ zz n 2 Flávia Bastos RESMAT II 20/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer que pode ser escrita como: ou ainda: ɛ xx l + ɛ yx m + ɛ zx n ɛ nn = ɛ xy l + ɛ yy m + ɛ zy n ɛ xz l + ɛ yz m + ɛ zz n ɛ nn = [ l m n ] T ɛ xx ɛ xy ɛ xz ɛ yx ɛ yy ɛ yz ɛ zx ɛ zy ɛ zz l m n l m n (38) (39) Flávia Bastos RESMAT II 21/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer ou: ɛ nn = Ñ T ɛ Ñ (40) Esta expressão nos permite a partir do conhecimento do tensor de deformação ɛ referido a um sistema de coordenadas x, y, z, obter a deformação linear em qualquer direção em torno do ponto considerado. Flávia Bastos RESMAT II 22/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Deformação Angular Sejam duas direções ortogonais arbitrárias passando por um ponto P. A deformação cisalhante no plano definido por P, Q, R é dada por: ɛ ns = 1 ( un 2 s + u ) s (41) n de modo semelhante à deformação de ɛ xy, ɛ xz e ɛ yz. Flávia Bastos RESMAT II 23/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Logo, podemos escrever: ɛ ns = 1 2 Entretanto: [ s (u xl n + u y m n + u z n n ) + ] n (u xl s + u y m s + u z n s ) (42) { ui s = u i dx x ds + u i dy y ds + u i dz z ds u i n = u i dx x dn + u i dy y dn + u i dz z dn que são válidas para i = x,y ou z. Considerando-se que: (43) dx ds = l s dx dn = l n dy ds = m s dy dn = m n dz ds = n s dz dn = n n (44) Flávia Bastos RESMAT II 24/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer Obtemos: ɛ ns = ux x l nl s + uy y m nm s + ( ) uz z n nn s + 1 ux 2 y + uy x l n m s ( ) + 1 uy 2 x + ux y m n l s + 1 ( ux 2 z + ) ( uz x ) ln n s + 1 uy 2 z + uz y m n n s + 1 ( uz 2 x + ) ux z nn l s + 1 2 ( uz y + uy z ) n n m s (45) Flávia Bastos RESMAT II 25/29
Cálculo da deformação numa direção qualquer que pode ser escrito como: ou ainda: e finalmente: (46) ɛ ns = ɛ xx l n l s + ɛ xy l n m s + ɛ xz l n n s + ɛ yx m n l s + ɛ yy m n m s + ɛ yz m n n s + ɛ zx n n l s + ɛ zy n n m s + ɛ zz n n n s ɛ ns = ɛ xx l s + ɛ xy m s + ɛ xz n s ɛ yx l s + ɛ yy m s + ɛ yz n s ɛ zx l s + ɛ zy m s + ɛ zz n s T l n m n n n (47) ɛ ns = S T Ñ (48) ɛ Flávia Bastos RESMAT II 26/29
Rotação do tensor de deformação Questão: dado xyz, determinar ɛ x ɛ y z. Desenvolvimento na apostila (semelhante ao do tensor de tensões). ɛ = ɛ R R T (49) Flávia Bastos RESMAT II 27/29
Direções Principais Definimos direções principais do tensor de deformação como as direções segundo às quais o tensor de deformação ɛ é diagonal. Desenvolvimento na apostila (semelhante ao do tensor de tensões). ɛ p Ĩ) = 0 (50) det(ɛ Flávia Bastos RESMAT II 28/29
Círculo de Mohr para estado de deformações Desenvolvimento na apostila (semelhante ao do tensor de tensões). Flávia Bastos RESMAT II 29/29