PROPAGAÇÃO DE ONDAS ELÁSTICAS UTILIZANDO FUNÇÕES DE GREEN NUMÉRICAS LOCAIS EM MODELOS DISCRETIZADOS POR ELEMENTOS FINITOS.

PROPAGAÇÃO DE ONDAS ELÁSTICAS UTILIZANDO FUNÇÕES DE GREEN NUMÉRICAS LOCAIS EM MODELOS DISCRETIZADOS POR ELEMENTOS FINITOS Cleberson Dors TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Webe João Mansur, Ph.D. Prof. José Anonio Marques Carrer, D.Sc. Prof. Luiz Alkimin de Lacerda, D.Sc. Prof. Eduardo Gomes Dura do Carmo, D.Sc. Prof. Delfim Soares Júnior, D.Sc. Prof. Luiz Fernando Taborda Garcia, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL ABRIL DE 7

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DORS, CLEBERSON Propagação de Ondas Elásicas Uilizando Funções de Green Numéricas Locais em Modelos Discreizados por Elemenos Finios [Rio de Janeiro] 7. XIII, 177 p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia Civil, 7) Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Méodos de marcha no empo. Funções de Green Numéricas 3. Propagação de Ondas 4. Méodo dos Elemenos Finios 5. Acúsica e Dinâmica I. COPPE/UFRJ II. Tíulo ( série ) ii

DEDICATÓRIA À minha querida família, por udo o que represena em minha vida. Não exisem palavras que possam expressar a imporância de meus pais, irmãos, namorada e familiares, pois moram em meu coração. iii

AGRADECIMENTOS Ao meu orienador Webe João Mansur e a odos os professores e amigos do laboraório LAMEC/COPPE, pelos inconáveis ensinamenos que não somene serviram para a realização do presene rabalho, como ambém se mosraram valiosos para a vida oda. À Universidade Federal do Rio de Janeiro, funcionários e professores ligados ao curso de douorado em Engenharia Civil, pela oporunidade de realizar o mesmo, bem como pelos conseqüenes conhecimenos adquiridos e crescimeno pessoal. Aos prezados amigos do LAMEC, em especial a Leonardo Pinheiro, Cid da Silva Moneiro e Wellingon Luís Assis Pereira, por sua amizade e auxílio nas horas difíceis. À minha família, namorada e aos meus amigos, que sempre me apoiaram em odos os momenos dessa jornada. iv

Resumo da Tese apresenada à COPPE/UFRJ como pare dos requisios necessários para a obenção do grau de Douor em Ciências (D.Sc.) PROPAGAÇÃO DE ONDAS ELÁSTICAS v

Absrac of Thesis presened o COPPE/UFRJ as a parial fulfillmen of he requiremens for he degree of Docor of Science (D.Sc.) ELASTIC WAVE PROPAGATION BY THE USE OF NUMERICAL GREEN'S FUNCTIONS LOCALLY EVALUATED FOR FINITE ELEMENT MODELS Cleberson Dors Apr/7 Advisors: Webe João Mansur Francisco Célio de Araújo Deparmen: Civil Engineering The objecive of he presen work is he implemenaion of ime-marching echniques based on he inegral soluion of he elasic wave equaion for spaially discreized finie elemen models, where he inegral soluion is ha one obained by he applicaion of Laplace Transform in he dynamic equilibrium equaion discreized by finie elemens. The boarded sraegy for marching wih his soluion is based on he numerical evaluaion of he Green's funcions, also known as fundamenal soluions, for he model under analysis using jus one ime sep. Since his mehodology leads o Green's funcions wih local characerisics, subdomains (represened by submeshes in Finie Elemens) are used for heir evaluaion aiming he improvemen of he compuaional performance of he involved algorihms. Time-sep marching mehods are used for he deerminaion of hese funcions making use of boh explici and vi

ÍNDICE 1 Inrodução 1 1.1 Considerações preliminares 1. Revisão bibliográfica 6 1.3 Objeivos e coneúdo do rabalho 1 Discreização espacial da equação da onda por Elemenos Finios 1.1 Inrodução 13. Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico 13.3 Discreização espacial por Elemenos Finios 17 3 Marcha no empo baseada em funções de Green numéricas 3.1 Inrodução 1 3. Solução da equação dinâmica de equilíbrio por funções de Green 1 3.3 Meodologia para marcha no empo com funções de Green numéricas 4 3.4 Esraégias para aumenar a precisão dos resulados 6 3.4.1 Conversão para um problema de condições iniciais 7 3.4. Mudança de variável na equação de marcha 9 3.4.3 Uilização de subpassos de empo 3 3.5 Esraégias para diminuir o cuso compuacional 33 3.5.1 Uilização de subdomínios/submalhas 33 3.5. Uilização de marizes de Green siméricas 35 3.6 Consideração de condições de conorno 37 3.6.1 Condições de conorno naurais 4 3.6. Condições de conorno essenciais 41 3.6.3 Condições de conorno não-reflexivas 4 3.6.4 Condições de conorno para os subdomínios/submalhas 43 vii

3.7 Traameno numérico das inegrais de convolução 44 4 Meodologia para obenção numérica das funções de Green 5 4.1 Inrodução 51 4. Algorimos de marcha para obenção das funções de Green 5 4..1 Família de méodos Alfa-Generalizado 53 4.. Família de méodos de Runge-Kua 55 4..3 Família de méodos de Lagrange 57 4.3 Meodologia para a consideração dos subdomínios/submalhas 59 4.3.1 Raio numérico para deecção de submalhas 6 4.3. Compaibilidade dos algorimos de marcha 63 4.3.3 Esraégia para deecção das submalhas 69 4.4 Criério para runcameno numérico das funções de Green 73 5 Análise da convergência e precisão numéricas 75 5.1 Inrodução 76 5. Convergência 77 5..1 Decomposição modal 77 5.. Esabilidade numérica 81 5...1 Esabilidade para méodos baseados em funções de Green 83 5... Resulados comparaivos 85 5..3 Consisência 95 5..3.1 Consisência para méodos baseados em funções de Green 96 5..3. Resulados comparaivos 97 5.3 Precisão 99 5.3.1 Precisão para méodos baseados em funções de Green 11 5.3. Resulados comparaivos 13 6 Exemplos numéricos 119 viii

6.1 Inrodução 1 6. Barra elásica ridimensional sob carregameno axial 1 6..1 Objeivo 1 6.. Dados do modelo numérico 1 6..3 Resulados 1 6.3 Barras elásicas bi e ridimensional composas por dois maeriais 133 6.3.1 Objeivo 133 6.3. Dados dos modelos numéricos 134 6.3.3 Resulados 136 6.4 Barra elásica ridimensional sujeia a condições de conorno de deslocameno e velocidade variáveis no empo 144 6.4.1 Objeivo 144 6.4. Dados do modelo numérico 144 6.4.3 Resulados 145 7 Conclusões 147 Referências 151 Apêndice A: Demonsrações 163 A.1 Simeria das marizes de Green 164 Apêndice B: Fórmulas e soluções analíicas 169 B.1 Solução analíica da equação da onda 17 B. Solução analíica para as marizes de amplificação 171 B.3 Cálculo dos auovalores das marizes de amplificação 17 B.4 Expressões analíicas para o raio especral das marizes de amplificação _ 174 B.5 Solução analíica para barra engasada sob ação de carregameno axial do ipo Heaviside 177 ix

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 3.1 - Decomposição do problema geral em sub-análises. 5 Figura 3. - Raio eórico máximo de propagação para carga impulsiva. 34 Figura 3.3 - Condição fundamenal para adoção de submalhas. 35 Figura 3.5 - Siuações para aplicação de condições de conorno em submalhas. 43 Figura 3.6 Paricionameno do inervalo de inegração. 48 Figura 4.1 - Disribuição de cargas ponuais em elemenos finios.. 61 Figura 4. - Limie numérico para o raio de propagação em elemenos finios. 6 Figura 4.3 - Relação enre a propagação da carga impulsiva e o preenchimeno do veor global. 64 Figura 4.4 - Aumeno da submalha em uma faixa de elemenos. 65 Figura 4.5 Igualdade numérica enre o núcleo das inversas globais e locais. 67 Figura 4.6 Decaimeno dos valores dos coeficienes para a inversa de marizes em banda. 68 Figura 4.7 Grafo associado a uma mariz simérica qualquer. 69 Figura 4.8 Relação do caminho opológico enre dois nós da malha com o cálculo dos coeficienes da mariz inversa. 69 Figura 4.8 - Grid de fundo para deecção de submalhas. 71 Figura 5.1 - Raios especrais para Bossak. 86 Figura 5. - Raios especrais para HHT. 87 Figura 5.3 - Raios especrais para Newmark. 88 Figura 5.4 - Raios especrais para Regra Trapezoidal. 89 Figura 5.5 - Raios especrais para Diferença Cenral. 9 Figura 5.6 - Raios especrais para Runge-Kua-Nysrom. 91 Figura 5.7 - Raios especrais para Lagrange. 9 x

Figura 5.8 - Inervalos de empo críicos para Green com méodos explícios. 95 Figura 5.9 Alongameno de período (AP) e decaimeno de ampliude (DA) para ξ =. 1 Figura 5.1 - Amorecimeno numérico para Bossak. 14 Figura 5.11 - Alongameno de período para Bossak. 15 Figura 5.1 - Amorecimeno numérico para HHT. 16 Figura 5.13 - Alongameno de período para HHT. 17 Figura 5.14 - Amorecimeno numérico para Newmark. 18 Figura 5.15 - Alongameno de período para Newmark. 19 Figura 5.16 - Amorecimeno numérico para Regra Trapezoidal. 11 Figura 5.17 - Alongameno de período para Regra Trapezoidal. 111 Figura 5.18 - Amorecimeno numérico para Diferença Cenral. 11 Figura 5.19 - Alongameno de período para Diferença Cenral. 113 Figura 5. - Amorecimeno numérico para Runge-Kua-Nysrom. 114 Figura 5.1 - Alongameno de período para Runge-Kua-Nysrom. 115 Figura 5. - Amorecimeno numérico para Lagrange. 116 Figura 5.3 - Alongameno de período para Lagrange. 117 Figura 6..1 Descrição do problema analisado. 11 Figura 6.. Malha de elemenos finios. 1 Figura 6..3 Solução uilizando o méodo de Bossak. 13 Figura 6..4 Solução uilizando o méodo HHT. 14 Figura 6..5 Solução uilizando o méodo de Newmark. 15 Figura 6..6 Solução uilizando o méodo da regra rapezoidal. 16 Figura 6..7 Solução uilizando o méodo da Diferença cenral. 17 Figura 6..8 Solução uilizando o méodo de Runge-Kua. 18 Figura 6..9 Solução uilizando o méodo de Lagrange. 19 xi

Figura 6..1 Aumeno do número de subpassos para ExGA-BK. 131 Figura 6..11 Aumeno do número de subpassos para ExGA-HT. 13 Figura 6.3.1 Descrição do problema analisado. 133 Figura 6.3. Malhas de elemenos finios. 135 Figura 6.3.3 Resulados D e 3D para o méodo de Runge-Kua com qualquer um, dois, quaro, oio e dezesseis subpassos de empo. 136 Figura 6.3.4 Resulados D e 3D para o méodo da Regra Trapezoidal com um subpasso de empo. 137 Figura 6.3.5 Resulados D e 3D para o méodo da Regra Trapezoidal com dois subpassos de empo. 138 Figura 6.3.6 Resulados D e 3D para o méodo da Regra Trapezoidal com quaro subpassos de empo. 139 Figura 6.3.7 Resulados D e 3D para o méodo da Regra Trapezoidal com oio subpassos de empo. 14 Figura 6.3.8 Resulados D e 3D para o méodo da Regra Trapezoidal com dezesseis subpassos de empo. 141 Figura 6.3.9 Tempo de processameno para deecção das submalhas D. 14 Figura 6.4.1 Condições de conorno prescrias ao longo do empo na barra. 144 Figura 6.4. Resulado de deslocamenos e velocidades para o pono inerno P. _ 145 Figura B.1 Barra engasada submeida a carregameno axial. 176 Figura B. Solução de deslocamenos para o pono do exremo carregado da barra.177 xii

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.1. Coeficienes α das fórmulas de Newon-Coes usando n + 1 ponos. 45 j Tabela 5.1. Méodos de marcha no empo selecionados para avaliação. 76 xiii

1 Inrodução

1.1. Considerações preliminares A solução de problemas de propagação de ondas em meios conínuos recai, freqüenemene, na uilização de méodos numéricos compuacionais, seja pela complexidade física ou geomérica dos modelos envolvidos, para os quais muias vezes nem mesmo se conhece uma solução analíica, seja pela diversidade de casos a serem analisados. O desenvolvimeno das formulações numéricas para a solução da equação da onda, geralmene, pode ser dividido em duas eapas disinas, que são (BATHE (1996)): a) o raameno do domínio físico do problema aravés da discreização espacial do mesmo e b) a solução, na seqüência, do sisema dinâmico de equilíbrio aravés do raameno da variável emporal, seja pela aproximação de suas derivadas em séries (HUGHES ()), seja pela uilização de uma mudança de variável, por exemplo, aquela obida aplicando-se a ransformada de Fourier (THOMSON (1973), CLOUGH & PENZIEN (1993), PAZ (1997)) na mesma. Denre os méodos numéricos exisenes para a discreização espacial do problema físico, os dois mais uilizados são o Méodo das Diferenças Finias (MDF) (HALL (1987)), devido ao seu elevado desempenho compuacional, e o Méodo dos Elemenos Finios (MEF) (COOK (1), HUGHES (), BATHE (1996), CLOUGH (1993)) devido à sua robusez e precisão mais adequadas. Alernaivamene, exisem ambém os méodos baseados em soluções inegrais de conorno, como o Méodo dos Elemenos de Conorno (MEC) (BANERJEE (1994), BREBIA e al. (1984), MANSUR (1983)), que apesar de serem consideravelmene mais precisos que os aneriores, apresenam resrições quano ao desempenho compuacional e principalmene quano à dificuldade de obenção das soluções fundamenais envolvidas, as quais, na maior pare dos problemas, são conhecidas somene para meios homogêneos. Quano ao raameno da variável emporal, denre as écnicas exisenes aualmene na lieraura para abordar numericamene a propagação de ondas, as duas mais amplamene uilizadas são as aproximações baseadas em inegração direa no empo (SHA e al. (3)) e na superposição modal (BATHE (1996), CLOUGH e

PENZIEN (1993)), sendo que cada uma delas em sua faixa de aplicações mais indicada relacionada, principalmene, à quesão do desempenho compuacional. A análise aravés da superposição modal consise basicamene em se realizar uma mudança de base passando das coordenadas nodais para as coordenadas generalizadas ou modais (BATHE (1996)), de modo a desacoplar o sisema dinâmico de equações. Com iso, pode-se aplicar, por exemplo, a inegral de Duhamel (CLOUGH & PENZIEN (1993), PAZ (1997)) ou inegrações passo a passo (SHA e al. (3)) para resolver separadamene cada uma das equações do sisema resulane. Em problemas inerciais, onde somene alguns poucos modos relaivos às baixas freqüências são necessários para aproximar odo o sisema, esa écnica apresena-se vanajosa principalmene para os casos envolvendo longos períodos de análise, por permiir ano uma redução do cusoé 5 TD.cc.3p 3

Para os méodos de inegração implícios, nos quais a equação de equilíbrio é expressa no mesmo insane + para o qual se deseja ober a solução, o cuso compuacional e espaço para armazenameno maricial podem ser muio maiores do que aqueles para méodos explícios devido à necessidade de solução do sisema de equações envolvido. Por ouro lado, méodos implícios apresenam-se incondicionalmene esáveis na maioria dos casos, o que permie uilizar incremenos de empo bem superiores aos esquemas explícios. Em geral, méodos explícios são mais freqüenemene adoados para problemas de propagação de ondas, enquano méodos implícios são preferidos para problemas inerciais ou de vibrações. Uma caracerísica desejável para algorimos de inegração no empo passo a passo é que os mesmos possuam conrole do amorecimeno numérico, uma vez que a discreização espacial do domínio conduz a uma represenação pobre dos modos de alas freqüências. Desa forma, preservar as resposas de baixas freqüências e amorecer adequadamene as de alas freqüências orna-se desejável para dissipar numericamene os valores espúrios oriundos da faixa superior do especro da resposa. A dissipação de um méodo pode ser medida aravés de seu raio especral, que é definido como sendo a magniude máxima dos auovalores da mariz de amplificação numérica associada ao mesmo. Consruindo-se enão curvas do raio especral versus T (onde é o incremeno de empo e T é o período naural do sisema não amorecido), pode-se avaliar o amorecimeno de alas freqüências verificando-se o que aconece com o raio especral quando T. Por exemplo, se o raio especral ende a zero nesas siuações as resposas de alas freqüências são eliminadas em um único incremeno de empo, sendo os algorimos com esa propriedade chamados de algorimos com aniquilação assinóica. A consrução de algorimos de marcha no empo pode ser realizada por uma série de meodologias disinas, denre as quais cabe desacar os méodos de diferenças finias, méodos de resíduos ponderados, méodos de colocação, princípios hamilonianos, mínimos quadrados, enre ouros (para uma visão geral, recomendam-se os rabalhos de WOOD (199), HUGHES (), ZIENKIEWICZ & TAYLOR (, 5), HAIRER e al. (1987), HAIRER & WANNER (1991)). 4

Denre esas diversas alernaivas exisenes na lieraura para resolver dinamicamene o problema da propagação de ondas, uma linha de especial ineresse no conexo do presene rabalho é aquela apresenada por ZHONG & WILLIAMS (1994), na qual é uilizada uma aproximação numérica por série de Taylor para represenar a solução analíica da equação de equilíbrio dinâmico discreizada por elemenos finios. Tal aproximação resula em uma mariz numérica para realizar a marcha no empo a qual apresena elevada ordem de precisão, implicando, porém, em um cuso compuacional impraicável mesmo para problemas de médio pore. Para buscar melhorar al écnica, FUNG (1997) desenvolveu uma aproximação aravés das resposas impulsiva e degrau uniário do sisema de equilíbrio dinâmico, aproveiando ambém as caracerísicas de simeria e banda das marizes geradas. Conudo, a quesão do cuso compuacional coninuou inviabilizando aplicações práicas em problemas de médio e grande pore. Recenemene, SOARES JR. () e SOARES JR. & MANSUR (5) desenvolveram uma variane muio ineressane denro da área de soluções inegrais da equação da onda, uilizando as chamadas funções de Green do problema dinâmico para realizar a marcha no empo passo a passo. Ese procedimeno relaciona-se direamene com a linha desenvolvida por FUNG (1997), uma vez que exise uma ligação maemáica enre as duas formulações, como será demonsrado no decorrer dese rabalho. Todavia, a meodologia proposa por SOARES JR. () e SOARES JR. & MANSUR (5) para o cálculo da resposa impulsiva ou função de Green do problema é baseada na uilização de méodos de marcha no empo passo a passo, o que confere caracerísicas desejáveis do pono de visa compuacional. Desaca-se, conudo, que no rabalho dos referidos auores as funções de Green numéricas não são expliciamene monadas, mas sim incorporadas ao processo de marcha no empo aravés das equações uilizadas para sua obenção. Denro dese conexo, o presene rabalho propõe desenvolver algorimos de marcha no empo baseados no cálculo numérico das funções de Green, para modelos discreizados por elemenos finios. Uma vez que ais funções apresenam caracerísicas de banda, denro da formulação proposa serão adoados subdomínios/submalhas no referido cálculo visando diminuir o cuso compuacional dos algorimos. Além disso, 5

buscando-se melhorar a qualidade das resposas, subpassos de empo serão explorados para calcular esas funções. Desaca-se que ese rabalho foi realizado concomianemene com LOUREIRO (6), o qual realizou esudos para modelos acúsicos bidimensionais discreizados por elemenos finios. A seguir, apresena-se uma breve revisão do esado da are envolvendo méodos de inegração no empo. 1.. Revisão bibliográfica No decorrer das úlimas seis décadas uma exensa pesquisa em sido conduzida para aprimorar a solução de problemas dinâmicos no domínio do empo. Os primeiros algorimos desenvolvidos para discreizar emporalmene a equação dinâmica de equilíbrio basearam-se no emprego de diferenças finias, obidas por expansões em série de Taylor, para expressar as derivadas emporais envolvidas nesa equação. Denre as aproximações exisenes, a mais conhecida é aquela baseada em diferenças cenrais de segunda ordem, a qual apresena-se condicionalmene esável, com segunda ordem de precisão e sem amorecimeno numérico de alas freqüências. Buscando-se enão consruir um algorimo com segunda ordem de precisão e incondicionalmene esável, HOUBOLT (195) desenvolveu um esquema baseado em aproximações por diferenças finias o qual apresena, porém, um amorecimeno numérico elevado para baixas freqüências possuindo caracerísicas de aniquilação assinóica. Nessa mesma direção, NEWMARK (1959) incorporou dois parâmeros de conrole nas aproximações por diferenças finias para as derivadas emporais da equação de equilíbrio dinâmico, gerando uma família de algorimos implícios e explícios com conrole de esabilidade e precisão numéricas. Sabe-se que, aravés da escolha correa dos valores desses dois parâmeros, pode-se chegar ao méodo da aceleração média (HUGHES, ) e ambém ao méodo da diferença cenral aneriormene ciado. WILSON (1968) desenvolveu uma aproximação considerada como uma exensão do méodo da aceleração média, adoando variação linear para a aceleração denro do 6

inervalo de empo [, θ ] +, onde θ é um parâmero de conrole maior ou igual a um. Desa forma, para valores de θ > 1,37 os algorimos obidos são incondicionalmene esáveis e com segunda ordem de precisão, sendo que para θ = 1 recai-se no méodo da aceleração média. HILBER e al. (1977), WOOD e al. (198) e CHUNG & HULBERT (1993) desenvolveram uma nova classe de esquemas de marcha no empo, nomeadamene méodos HHT-α, WBZ-α e α -Generalizado, respecivamene, com o objeivo de conrolar o amorecimeno numérico para alas freqüências. Tais esquemas baseiam-se em uma modificação nos algorimos da família de Newmark aravés da inserção de parâmeros de conrole para ponderar o equilíbrio enre as forças inerciais e as demais forças inernas e exernas auanes, denro do inervalo de empo [, ] +. Desa forma, algorimos incondicionalmene esáveis de segunda ordem podem ser obidos, com caracerísicas desejáveis para o amorecimeno de alas freqüências. Desaca-se, porém, que não exisem valores para os referidos parâmeros de conrole que permiam, ao mesmo empo, maner a ordem de precisão e fornecer caracerísicas de aniquilação assinóica. ZIENKIEWICZ (1977) mosrou que os méodos aneriormene ciados (Houbol, Newmark e Wilson-θ), além de ouros méodos de marcha no empo, podem ser obidos aravés da aplicação do méodo dos resíduos ponderados à variável emporal. Os diferenes méodos mencionados podem enão ser visos como casos pariculares obidos a parir da combinação de diferenes funções de inerpolação e de ponderação no empo. Teorias baseadas na uilização de resíduos ponderados para discreizar conjunamene as variáveis no espaço e no empo são enconradas na lieraura em rabalhos como os de ARGYRIS & SHARPF (1969), FUNG (1996, 3b-c), FUNG e al. (1996), LI & WIBERG (1998), MANCUSO e al. (1998), SHENG e al. (1998b), CARINI & GENNA (1999), CHIEN & WU (), CHIEN e al. (3), MANCUSO & UBERTINI (3), enre vários ouros, havendo esraégias ano conínuas quano desconínuas para o raameno da variável emporal. 7

De uma maneira geral, vários esudos paralelos propondo meodologias alernaivas baseadas na eoria de processameno de sinais digiais (KANARACHOS e al. (1994)), na uilização do conceio de incremenos de empo complexos (FUNG (1996, 1997b, 1998a-b, 1999, 1a), FUNG & CHOW (1999, )), baseadas em écnicas de predição e correção (LI & WIBERG (1998), CHIEN & WU ()), uilizando ou subpassos de empo (FUNG (1997c), SMOLINSKI & WU (1998)) ou incremenos de empo adapaivos (HULBERT & JANG (1995), CHOI & CHUNG (1998)), alernaivas aravés de aproximações assinóicas das variáveis primárias (CHEKROUN & FAFARD (1)), projeções polinomiais (FUNG (5)), écnicas de colocação no empo (FUNG (a, d, 1b, a-b)), aproximações por méodos de Runge-Kua (HAIRER, e al. (1987), HAIRER & WANNER (1991), VERWER (1999)), formulações hamilonianas (SHENG e al. (1998a-b), FUNG (c)), além de esraégias baseadas em formulações diversas (FUNG (1c-d, a-b), MANCUSO & UBERTINI (), ZHOU e al. (4), CHANG & LIAO (5)), enre ouras, foram amplamene exploradas, gerando diversas famílias de algorimos com as mais variadas propriedades especrais e ordens de precisão. Como um pono de parida para a realização de esudos mais dealhados sobre algorimos de marcha, aconselham-se os rabalhos de HULBERT & HUGHES (199) e SHA e al. (3), por apresenarem uma visão esruurada da maior pare das famílias de méodos enconrados na lieraura. Devido à diversidade de formulações exisenes para se derivarem algorimos de marcha no empo, alguns auores dedicaram esforços enando unificar as eorias para criar um procedimeno único de obenção dos mesmos, principalmene baseados nas aproximações de Padé (POZZI, 1994). Denro desse conexo, merecem desaque os rabalhos de TAMMA e al., (1997, 1), FAN e al. (1997a-b), KANAPADY & TAMMA (1997, ), MANCUSO & UBERTINI (3), SHA e al., (3), ZHOU & TAMMA (4a-b), enre ouros. Uma linha de pesquisa imporane, no conexo do presene rabalho, é aquela apresenada inicialmene por ZHONG & WILLIAMS (1994), a qual é baseada na solução analíica da equação diferencial da onda quando esa é expressa em ermos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Uma vez que a referida solução analíica corresponde a uma função exponencial, a esraégia adoada pelos auores é a 8

de expandir a mesma em série de Taylor, runcando-a no ermo de quara ordem. Um processo ieraivo é enão uilizado para ober uma solução numérica precisa a parir desa série runcada, resulando no que o auor nomeou de méodo preciso para inegração no empo. Cabe desacar que o cuso compuacional envolvido no processo de cálculo da mariz numérica associada a al solução é o maior limiador para a aplicação do referido méodo em problemas de médio e grande pore. 9

Por fim, LOUREIRO (6) inroduz a idéia de calcular e monar expliciamene as funções de Green aravés de méodos numéricos radicionais de marcha passo a passo, uilizando ano as formulações adoadas por SOARES JR. () e SOARES JR. & MANSUR (5) quano as apresenadas por FUNG (1997), aplicando-a para modelos acúsicos bidimensionais discreizados por elemenos finios. 1.3. Objeivos e coneúdo do rabalho Denro do conexo apresenado, o presene rabalho em por objeivo a implemenação de écnicas de marcha no empo baseadas no cálculo numérico das funções de Green do problema analisado aravés do emprego de méodos de marcha no empo passo a passo, para modelos elásicos discreizados espacialmene por Elemenos Finios. Esraégias para aumenar a compeiividade compuacional e a precisão são adoadas, cabendo desacar a uilização de submalhas e subpassos de empo para o cálculo das funções de Green. A esruura do presene rabalho esá organizada da seguine forma: No Capíulo apresenam-se as equações básicas que descrevem o fenômeno de propagação de ondas elásicas e acúsicas, descrevendo-se ambém, sucinamene, o procedimeno para obenção da equação dinâmica de equilíbrio aravés da discreização espacial pelo méodo dos elemenos finios. O Capíulo 3 aborda a formulação das soluções inegrais baseadas em funções de Green, uilizadas no desenvolvimeno desse rabalho, descrevendo o procedimeno maemáico para obê-las, bem como as esraégias para melhoria da precisão e diminuição do cuso compuacional visando ornar as mesmas compeiivas em aplicações práicas. O Capíulo 4 raa especificamene da meodologia para obenção numérica das funções de Green uilizando méodos de marcha no empo passo a passo, abordando as 1

quesões relaivas ao raameno das submalhas de Elemenos Finios adoadas para ober ais funções. O Capíulo 5 apresena um esudo dealhado das caracerísicas de convergência, esabilidade e precisão numéricas dos algorimos gerados, dando enfoque especial à quesão da uilização de subpassos de empo durane a deerminação das funções de Green numéricas. O Capíulo 6 apresena alguns exemplos para validar as formulações implemenadas e, na seqüência, são fornecidas as referências bibliográficas. Por fim, as demonsrações maemáicas e soluções analíicas relevanes são apresenadas nos apêndices A e B. 11

Discreização espacial da equação da onda por Elemenos Finios

.1. Inrodução O presene capíulo apresena, de forma resumida, a formulação de Elemenos finios aplicada na discreização espacial do problema da propagação de ondas em meios linearmene elásicos. Inicialmene, descrevem-se de forma sucina as equações que regem o fenômeno físico da propagação de ondas elásicas, com ênfase nas chamadas equações de Navier. Na seqüência são apresenadas as equações de equilíbrio dinâmico obidas pela discreização espacial por elemenos finios, as quais são o pono de parida para as formulações desenvolvidas nese rabalho... Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico Para um sólido isorópico e linearmene elásico, sujeio à ação de carregamenos dinâmicos, o conjuno de equações que descreve a propagação de ondas no mesmo é composo pelas equações de equilíbrio (ERINGEN & SUHUBI (1975), TIMOSHENKO & GOODIER (198), GRAFF (1991)) σ ρ ρ, (.1) ij, j ui + bi = pelas relações cinemáicas (válidas para pequenas mudanças de configuração do sólido), ( + u ) 1 ε ij = u i, j j, i, (.) e pela lei de Hooke generalizada (lei consiuiva para maeriais elásicos lineares, homogêneos e isorópicos) σ =, (.3) ij λ δ ijε kk + µε ij 13

onde: σ ij e ε ij represenam as componenes dos ensores de ensão e de deformação (em noação indicial para eixos caresianos); u i represena a segunda derivada emporal do campo de deslocamenos ui 14

µ c s =, (.6b) ρ Esclarece-se que a exisência e disinção desas duas ondas com velocidades c d e c s pode ser verificada aravés da decomposição do campo de deslocamenos em dois campos disinos, um escalar e ouro veorial, provando-se que o primeiro descreve a propagação das chamadas ondas de dilaação (ondas P ou de compressão) com velocidade c d, e o segundo a propagação das ondas roacionais (ondas S ou cisalhanes) com velocidade de propagação c s (maiores dealhes desa decomposição podem ser obidos em GRAFF (1991)). Além das equações (.5), para a definição complea do problema dinâmico faz-se ainda necessário considerar as condições de conorno e iniciais auanes, as quais podem ser resumidas conforme segue: (i) Condições de conorno (empo >, ao longo do conorno Γ = Γ1 Γ ): u ( X ) u ( X ), = para X Γ1 e (.7a) i i, ( X, ) ( X, ) n ( X) ( X, ) τ = σ = τ para X Γ ; (.7b) i ij j i (ii) Condições iniciais (empo =, ao longo do conorno Γ e domínio Ω ): u ( X ) u ( X ), = e (.8a) i i ( X, ) u ( X ) u =. (.8b) i i Onde: X represena o veor de coordenadas espaciais; é a variável emporal; u i e u i são o campo de deslocamenos e velocidades, respecivamene; τ i são as forças de superfície ao longo do conorno de normal represenada pelo veor n j ; Barras sobreposas indicam valores prescrios. 15

Por fim, para o caso de meios acúsicos pode ser facilmene demonsrado (GRAFF (1991)) que separando-se a parcela da equação de Navier correspondene à propagação do campo escalar e considerando-se o coeficiene de Poisson ν igual a zero na mesma, obém-se a equação que descreve a propagação de ondas escalares dada pela expressão, (.9) cu, ii u+ b= a qual, reescria de maneira mais adequada no conexo da acúsica, pode ser expressa por c p p ii + s = (.1), onde: p represena o campo de pressões acúsicas; s corresponde às fones acúsicas de domínio; c é a velocidade de propagação da onda definida pela relação c = K ρ, (.11) sendo ρ a massa específica do meio e K o coeficiene de compressibilidade acúsica. As condições de conorno e iniciais associadas à equação (.1) são dadas por: (i) Condições de conorno (empo >, ao longo do conorno Γ = Γ1 Γ ): ( X ) p( X ) p, =, para X Γ1 e (.1a) q ( X, ) p, ( X, ) n ( X ) = q( X ) = j j, para Γ X ; (.1b) (ii) Condições iniciais (empo =, ao longo do conorno Γ e domínio Ω ): ( X ) p ( X ) p, = e (.13a) (,) = ( ) p X p X. (.13b) 16

Para uma abordagem mais ampla da Teoria da Elasicidade, as seguines referências são indicadas: DYM & SHAMES (1985), TIMOSHENKO & GOODIER (198), CHOU & PAGANO (199), MARSDEN & HUGHES (1994). Maiores dealhes relaivos à propagação de ondas em meios elásicos podem ser alcançados por inermédio das obras de ACHENBACH (1973), ERINGEN & SUHUBI (1975), GRAFF (1991) e para meios acúsicos pelas obras de MORSE & FESHBACK (1953), MORSE & INGARD (1968), KINSLER e al. (198), HALL (1987), enre ouras. Para um aprofundameno eórico acerca das relações cinemáicas e leis consiuivas, recomendam-se os rabalhos de MALVERN (1969), MENDELSON (1983), CHEN & HAN (1988) e KHAN & HUANG (1995)..3. Discreização espacial por Elemenos Finios Denro do conexo de elemenos finios, obida uma discreização espacial do domínio Ω, pode-se aplicar enão às equações (.5) o méodo dos resíduos ponderados uilizando a formulação de Galerkin (ZIENKIEWICZ e al. (5), BATHE (1996)) de modo a consruir, levando-se em cona as condições de conorno e iniciais, dadas respecivamene pelas equações (.7) e (.8), o seguine sisema maricial de equilíbrio dinâmico, (.14) M U + CU + KU = F sujeio às condições iniciais U = U e (.15a) =, (.15b) U U onde: é o insane de empo no qual é esabelecido o equilíbrio; U, U e U esão associados, respecivamene, aos veores do campo de deslocamenos, velocidades e acelerações no insane ; F represena o veor de carregamenos exernos aplicado ao sisema em ; 17

M, C e K correspondem às marizes globais de massa, amorecimeno e rigidez, respecivamene. As expressões para as marizes M, C e K e para o veor F são dadas por: T ( ) M = ρ N N dω, (.16a) Ω T ( ) C= φ N N dω, (.16b) Ω T ( ) K = B DB dω e (.16c) Ω T T ( b) d ρ( s) F= ρ N F Ω+ N F dγ+ Ω T T ( ) d ( ) Ω Γ BDε Ω B σ dω+ F Ω Nf k = 1 k (.16d), onde: N são as funções polinomiais para realizar as aproximações no domínio (funções de forma); B é a mariz que relaciona as deformações e os deslocamenos; D é a mariz referene às relações consiuivas do maerial; F b e F s são, respecivamene, os veores das forças de massa e superfície aplicadas no domínio; F k é veor conendo as forças nodais aplicadas em Ω ; Nf é o número de forças nodais exisenes; ε e σ correspondem às deformações e ensões iniciais do problema; ρ e φ represenam a massa específica e o coeficiene de amorecimeno do meio, respecivamene. O desenvolvimeno mais dealhado desa formulação, bem como a descrição das caracerísicas e propriedades de odas as marizes e veores definidos pelo sisema maricial apresenado em (.14), podem ser enconrados em várias referências, denre as quais desacam-se ZIENKIEWICZ e al. (5), ZIENKIEWICZ & TAYLOR (), COOK (1), HUGHES () e BATHE (1996). 18

19

3 Marcha no empo baseada em funções de Green Numéricas

3.1. Inrodução No presene capíulo, será apresenada a formulação baseada em funções de Green para resolver problemas de propagação de ondas elásicas e acúsicas no domínio do empo. Inicialmene, será esabelecida a meodologia para realizar a marcha no empo passo a passo, dando-se ênfase à uilização de funções de Green numéricas deerminadas aravés de algorimos auxiliares de marcha no empo. Como a aplicação direa de al meodologia pode não ser vanajosa em ermos de precisão e cuso compuacional, serão abordadas na seqüência esraégias para ornar mais adequada sua implemenação numérica, denre as quais são de especial ineresse as que raam da uilização de subdomínios e subpassos de empo para o cálculo das funções de Green. Por fim, os aspecos relaivos à aplicação de condições de conorno e ao raameno das inegrais de convolução oriundas da formulação serão abordados. 3.. Solução da equação dinâmica de equilíbrio por funções de Green A solução analíica da equação maricial de equilíbrio dinâmico (.14), em ermos de deslocamenos e velocidades, pode ser obida aravés de uma série de écnicas disinas, sendo considerada aqui a ransformada de Laplace (GEROMEL e PALHARES (4), BUTKOV (1988), STRUM & WARD (1968)), para a qual valem as seguines relações: I [ Y ] = si[ Y ] Y, (3.1a), (3.1b) I Y = s I Y sy Y [ A Y ] = A I[ Y ] s s [ Y Z ] = I[ Y ] I[ Z ] = Y Z I, (3.1c) I, (3.1d) 1

onde: I []. simboliza a ransformada de Laplace; s represena a variável ransformada; Y e Z são funções dependenes do empo ; A é uma função independene do empo ; simboliza a inegral do ipo convolução enre duas funções; o pono sobre a variável Y represena derivada emporal da mesma. Aplicando-se enão as relações (3.1a)-(3.1c) na equação maricial (.14), chega-se à expressão M ( s I[ U ] su U ) + C( si[ U ] U ) + KI[ U ] = I[ F ], (3.) na qual pode-se isolar a ransformada do campo de deslocamenos se ober I U, de modo a I s s [ U ] = G [( Ms + C) U + MU ] + G I[ F ], (3.3) com s G dado pela expressão G s [ Ms ] + Cs + 1 = K. (3.4) Por fim, uilizando-se novamene as relações (3.1) na equação (3.3) pode-se enconrar, aravés da ransformada inversa, a solução para o campo de deslocamenos, a qual é dada pela expressão U = ( G M + G C) U + G MU + G F, (3.5) onde G corresponde à ransformada inversa de U represena a derivada emporal das mesmas. s G e o pono sobre as variáveis G e

Deve-se noar que G represena a função de Green associada à equação (.14) (SOARES & MANSUR (5)) obida, porano, resolvendo-se esa mesma equação n vezes, com a consideração de um carregameno impulsivo aplicado respecivamene em cada um dos n graus de liberdade exisenes no sisema maricial envolvido. Para demonsrar a afirmação supraciada, deve-se parir da definição maemáica para a carga impulsiva, apresenada ambém na lieraura com o nome de função Dela de Dirac ou funcional Dela de Dirac (BUTKOV (1988)), definida por ( τ ) = τ δ e (3.6a) ( τ ) d = 1 δ. (3.6b) Pode-se enão aplicar a seguine mariz de carregamenos à equação (.14) de modo a represenar a solução da mesma para n problemas disinos: F m () δ δ () = = δ () I, (3.7) δ () n n onde I represena a mariz idenidade. Assim, obém-se o seguine sisema maricial de equilíbrio: ( ) MU CU KU I, (3.8) m + m + m =δ onde U m represena uma mariz de soluções na qual cada coluna i desa mariz corresponde à solução para o carregameno impulsivo aplicado ao respecivo grau de liberdade i do sisema. Observando-se que a ransformada de Laplace do funcional Dela de Dirac é dada por (BUTKOV (1988)) 3

δ s sτ ( τ ) e d = e, (3.9) é possível ransformar a equação (3.8) por Laplace, o que resulará em ( ) 1 I m s s s U = M + C + K M Um + U m + CUm + I. (3.1) iniciais Observando a úlima equação, conclui-se que fazendo-se as marizes de condições U m e U m nulas é possível enconrar exaamene a equação (3.4), demonsrando assim a exisência da referida função de Green queria demonsrar. G associada à equação (.14) como se 3.3. Meodologia para marcha no empo com funções de Green Numéricas Para a obenção das equações que realizam a marcha no empo aravés da solução por funções de Green numéricas, considere-se inicialmene = na equação (3.5) e em sua derivada primeira, ou seja, U = ( G M + G C) U + G MU + G τ F τ dτ e (3.11a) ( G M + G C) U + G MU + = G τ F τ dτ. (3.11b) U Imaginando agora que um problema dependene do empo possa ser decomposo em uma série de subproblemas menores, de amanho, de al forma que a solução de um subproblema associado ao empo i sirva como condição inicial para o subproblema do empo seguine i +, conforme ilusrado na Figura 3.1, podem-se reescrever as equações (3.11a) e (3.11b) como sendo iguais a 4

U + = ( G M + G C) U + G MU + + τ G τ F dτ e (3.1a) ( G M + G C) U + G MU + + + τ = G τ F dτ. (3.1b) U Aravés da uilização das equações (3.1), pode-se definir um procedimeno numérico para marchar passo a passo no empo, composo pelas seguines eapas: (a) Deerminação das marizes G, G e G em =, correspondenes às funções de Green numéricas do problema discreizado no espaço, aravés da solução da equação (3.8) uilizando algum méodo numérico adequado; (b) Realização da marcha no empo para a solução do problema dinâmico de ineresse, uilizando os carregamenos reais F, aravés de (3.1). Nese rabalho, serão adoados algorimos de marcha no empo do ipo passo a passo para a deerminação numérica das marizes de Green do iem (a), sendo que o dealhameno de ais algorimos será abordado adequadamene no capíulo 4. U() Problema Geral Subproblemas i i+1 1... i+1... n i Período de análise inicial final Função de ransferência Figura 3.1 - Decomposição do problema geral em sub-análises. Desaca-se conudo que, ao conrário do rabalho de SOARES & MANSUR (5), no qual as marizes de Green da eapa (a) não são expliciamene calculadas, no 5

presene rabalho as mesmas o serão. Assim, para diferir a família de algorimos aqui desenvolvida, adoa-se o nome de ExGA (Explici Green Approach) para a mesma, em referência à nomenclaura definida por SOARES & MANSUR (5) na qual o uso implício das funções de Green é baizado de ImGA (Implici Green Approach). Um aspeco imporane a se observar é que, independenemene do ipo de esquema numérico adoado para se resolver a eapa (a), em-se que uma vez deerminadas as marizes de Green para um dado problema, a solução do mesmo aravés da eapa (b) será sempre explícia no empo, o que é desejável do pono de visa compuacional. Além disso, como será demonsrado no capíulo 5, dependendo do esquema passo a passo escolhido no cálculo de (a), será possível ober algorimos incondicionalmene esáveis de marcha em (b). Algumas esraégias podem ser adicionalmene desenvolvidas para aprimorar o desempenho compuacional do méodo proposo e melhorar a precisão numérica das resposas, conforme será exposo na seqüência. 3.4. Esraégias para aumenar a precisão dos resulados A obenção das marizes de Green pela solução da equação (3.8) em como principal dificuldade a quesão da aplicação numérica do funcional Dela de Dirac no empo. Em geral, o que se faz é uma aproximação do ipo (BUTKOV (1988)) 1, [ τ, τ + ] ; δ ( τ ) =. (3.13), [ τ, τ + ]. Noe que apesar de (3.13) saisfazer a idenidade (3.6b) para qualquer, a qualidade desa aproximação será ano pior quano maior for o inervalo de empo adoado. Para conornar esse problema, pode-se uilizar a relação enre impulso e quanidade de movimeno, como feio em SOARES & MANSUR (5), para 6

ransformar a prescrição de um carregameno impulsivo em um problema equivalene de condições iniciais, como será descrio a seguir. 3.4.1. Conversão para um problema de condições iniciais A parir da mecânica clássica, em-se que a definição de impulso é dada pela expressão + I = Fd, (3.14) p onde F é o veor de forças aplicado no insane de empo. Da equação (3.14) pode-se, por conseguine, calcular o impulso gerado pela aplicação da mariz de forças dada pela equação (3.7), ou seja, + + + δ p m () δ () I = F d = I d = d I = I (3.15) Porém, ambém da eoria clássica da mecânica sabe-se que a segunda lei de Newon pode ser escria como sendo igual a d U F = M, (3.16) d onde M refere-se à mariz de massa oal do sisema e U é o veor campo de deslocamenos. Levando-se (3.16) em (3.14) e observando-se que o campo de deslocamenos U obido pela solução de (3.8) é igual à função de Green do sisema, obém-se, para o impulso gerado por (3.7), a expressão 7

+ + G I = F = M d = M G G = MG p d md d + ( ). (3.17) Desa forma, viso que a expressão (3.15) é equivalene a (3.17), em ermos do movimeno gerado, conclui-se que o cálculo das funções de Green aravés da equação (3.8) pode ser, alernaivamene, realizado pela solução de M G + CG + KG =, (3.18a) sujeio às condições iniciais G = e (3.18b) 1 G = M. (3.18c) Noe que esa alernaiva é numericamene bem mais adequada, por não necessiar de uma aproximação no empo, como é o caso da solução por carregamenos impulsivos. Desa forma, mesmo sendo uilizado o conceio de carga impulsiva para desenvolver o resane da eoria dese rabalho, nos exemplos numéricos será sempre adoada a esraégia baseada em condições iniciais para o cálculo das funções de Green. É imporane observar que a equivalência enre as funções de Green obidas pela solução de (3.8) com aquelas obidas pela solução de (3.18) ambém poderia ser verificada maemaicamene aravés de uma avaliação mais cuidadosa da equação (3.3), para a qual percebe-se que esas duas soluções conduzem à equação (3.4). Conudo, a uilização da relação enre impulso e quanidade de movimeno para a demonsração desa equivalência apresena um conceio físico visível relacionado ao equilíbrio dinâmico do sisema. Uma oura esraégia para aumenar a precisão da marcha no empo consise em se realizar uma mudança de variável nas equações (3.1), de modo a reduzir a ordem das derivadas da função de Green exisenes, o que numericamene conduz a melhores resulados. 8

Ressala-se que essa ransformação acabará por demonsrar a equivalência maemáica exisene enre a formulação apresenada nesa ese, baseada em funções de Green, e as formulações baseadas na solução geral da equação diferencial hiperbólica de segunda ordem com coeficienes consanes, calculada aravés das resposas impulsiva e degrau uniário do sisema, conforme apresenado por FUNG (1997a). 3.4.. Mudança de variável na equação de marcha Para ransformar as equações (3.1) de modo a se eliminar a derivada segunda da função de Green em (3.1b), uiliza-se a mudança de variáveis H = G + G CM 1 e, conseqüenemene, (3.19a) = G + G CM 1, (3.19b) H o que resula em + + τ U = H MU + G MU + G τ F dτ, (3.a) + + τ = H MU + G MU + G τ F dτ. (3.b) U Uilizando as relações (3.19) ambém nas equações (3.18), obém-se o problema de condições iniciais M H + CH + KH = (3.1a) com 1 H = M e (3.1b) H =, (3.1c) 9

o qual pode ser uilizado, alernaivamene às relações (3.19), para a obenção de H, ornando desnecessária a uilização de problema indicado por (3.1). H e G, ao cuso adicional da solução do Adicionalmene, para diminuir a quanidade de operações realizadas nas equações (3.), pode-se realizar uma mudança de variáveis dada por G H = G M e (3.a) = H M, (3.b) obendo-se, por fim, o conjuno de equações + τ 1 + τ U = H U + G U + G M F dτ (3.3a) + τ 1 + τ = H U + G U + G M F dτ (3.3b) U onde G, G, H e H são obidos pela solução dos problemas de condições iniciais M G + CG + KG =, (3.4a) sujeio a e G = e (3.4b) G = I, (3.4c) M H + CH + KH =, (3.5a) sujeio a 3

H = I e (3.5b) H =. (3.5c) A primeira observação imporane a se fazer nese pono é que, sem os ermos de convolução, as equações (3.3) represenam exaamene a solução geral da equação diferencial hiperbólica de segunda ordem com coeficienes consanes apresenada em FUNG (1997a). Ressala-se que na referida solução as equações (3.4) e (3.5) são conhecidas respecivamene como resposa impulsiva e degrau uniário. De fao, sabendo-se que oda e qualquer solução de uma dada equação diferencial linear pode ser sempre escria como a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução paricular, nada mais naural do que se esperar que o mesmo aconeça com a solução por funções de Green. Assim, as relações (3.19) e (3.) podem ser visas como uma mudança de base, que ransforma à solução geral (3.1) na solução geral (3.3). Conudo, uma diferença imporane enre o enfoque aravés de funções de Green e aquele dado pela solução geral (FUNG (1997a)) envolve, jusamene, os ermos de convolução. Iso porque na abordagem aravés da referida solução geral exise, no lugar deses ermos, uma expressão associada à solução paricular da equação diferencial. Como al solução paricular geralmene envolve o cálculo da inversa de uma mariz, a mesma orna-se compuacionalmene dispendiosa na maioria das aplicações práicas. Ao conrário, o cálculo aravés da convolução aqui uilizado apresena melhores caracerísicas quano ao desempenho compuacional, como será viso mais adiane. Ouro aspeco imporane a se desacar é que, mesmo sendo maemaicamene equivalenes, numericamene as equações (3.1) e (3.3) não o são, o que será oporunamene demonsrado no capíulo 5 pelo esudo da esabilidade numérica das mesmas. Também pode-se ressalar que se, por um lado, em ermos de armazenameno maricial, as equações (3.3) são mais vanajosas que (3.1), por ouro aquelas 31

necessiam da solução de dois problemas de condições iniciais, enquano esas, de apenas um. 3.4.3. Uilização de subpassos de empo Levando-se em cona que a esraégia adoada nese rabalho para a deerminação das funções de Green envolve a uilização de méodos auxiliares de marcha no empo do ipo passo a passo, uma idéia que surge nauralmene é a de se subdividir o inervalo de empo processo., durane o cálculo desas funções, para agregar precisão numérica ao Porano, considerando que as funções de Green devem ser obidas para um cero insane de empo uilizar um incremeno de empo, o méodo de marcha no empo uilizado para calculá-las poderá s dado por s =, (3.6) ns onde n s corresponde ao número de subpassos adoado. Esa esraégia permie, como será demonsrado no capíulo 5, ano um aumeno na precisão dos resulados numéricos, pela melhoria das propriedades especrais dos algorimos de marcha, como ambém uma ampliação do limie máximo permiido para os incremenos de empo, quando algorimos de marcha explícios são adoados. Por conseqüência, será possível marchar no empo com incremenos muio maiores do que aqueles geralmene uilizados por méodos radicionais de marcha (ver TAMMA e al. (3) para revisão complea do assuno), sem perda de qualidade nas resposas. 3

3.5. Esraégias para diminuir o cuso compuacional Uma oura quesão imporane a se delinear é aquela relaiva ao cuso compuacional dos procedimenos baseados em funções de Green, uma vez que al cuso pode se ornar o principal limiador para a aplicação dos mesmos na solução de problemas de médio e grande pore. Denro dese conexo, algumas esraégias ineressanes podem ser desenvolvidas para melhorar significaivamene o desempenho desses algorimos, denre as quais merece especial desaque o uso de subdomínios para o cálculo das funções de Green. Iso porque esa esraégia permie que os méodos baseados em funções de Green se ornem realmene uma alernaiva viável e compeiiva em aplicações práicas. 3.5.1. Uilização de Subdomínios/submalhas Uma idéia muio ineressane a ser explorada diz respeio ao aproveiameno das caracerísicas locais apresenadas pelas funções de Green, com o objeivo de se reduzir o cuso de obenção das mesmas. Para ano, deve-se inicialmene relembrar que cada coluna i das marizes de Green corresponde ao campo de propagação, obido durane um pequeno inervalo de empo, pela aplicação no insane = de uma carga concenrada no respecivo grau de liberdade i do modelo discreizado. Desa forma, a propagação do campo de ondas resulane aingirá somene a região do espaço em orno do pono de aplicação da referida carga o que implica, pelo princípio da causalidade, na nulidade eórica da função de Green para os demais ponos do domínio, exernos a esa região. Com iso, conforme ilusrado na Figura 3., é possível definir um raio eórico máximo aingido pelas frenes de onda geradas pelas cargas impulsivas aravés da expressão r max = c max, (3.7) 33

onde r max corresponde à disância máxima aingida pela frene de onda, cenrada no pono de aplicação da carga impulsiva; c max é a velocidade máxima de propagação denro de cada região de ineresse (igual a velocidade máxima das ondas P nesa região para o caso elásico) e é o insane de empo no qual a função de Green é obida. Círculo máximo de propagação Posição da fone impulsiva r max Frene de onda meio complexo Figura 3. - Raio eórico máximo de propagação para carga impulsiva. Por conseqüência, percebe-se que não é necessário envolver odo o domínio do problema para o cálculo das funções de Green, podendo-se enão associar a cada posição de aplicação da carga impulsiva um subdomínio correspondene, o que irá represenar uma economia significaiva no empo de processameno despendido para obê-las. No caso de Elemenos Finios, desaca-se que a condição fundamenal para a associação correa de submalhas aos referidos subdomínios é a garania de que o campo de ondas gerado pelas respecivas cargas impulsivas nunca ainja os conornos ficícios oriundos da adoção desas submalhas, salvo quando ais conornos coincidirem com os do problema real. A Figura 3.3 ilusra esa condição. No capíulo 4 será dada mais ênfase aos criérios numéricos para deerminação adequada das submalhas de Elemenos Finios a serem uilizadas, em função do raio eórico calculado por (3.7). 34