CAPÍTULO VI FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. LIMITES E CONTINUIDADE

1. Itrodução CAPÍTULO VI FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. LIMITES E CONTINUIDADE Ddo um qulquer cojuto A R, se por um certo processo se fz correspoder cd A um e um só y = f() R, diz-se que se defiiu um fução f de A R em R (simbolicmete, f : A R R ) ou, como tmbém se diz, um fução rel de vriável rel com domíio o cojuto A. Ao cojuto f (A) dos vlores y que correspodem pelo meos um A chm-se cotrdomíio d fução: f (A) = { y : A tl que y = f ()}. A letr (ou qulquer outr) que represet o elemeto geérico do domíio A d fução, chm-se vriável idepedete ; por seu ldo, letr y (ou qulquer outr) que represet o elemeto de f (A) que fução fz correspoder um vlor geérico do domíio, é desigd por vriável depedete ( o setido de que o vlor por el ssumido depede do vlor ddo à vriável idepedete ). Qudo se escreve, y = f () com domíio em A, quer-se sigificr brevidmete que estmos em preseç de um fução f : A R R que cd A ssoci y = f (). É mesmo frequete usr epressão id mis brevid fução f (), com domíio em A ou mesmo pes fução f () sempre que referêci o domíio sej dispe-sável por poder o mesmo ser subetedido. Como é sbido, o cálculo dos vlores f () que fução fz correspoder cd A fz-se ormlmete (ms em sempre) utilizdo um epressão lític (ou, meos frequetemete, utilizdo diverss epressões lítics válids cd um dels um prte do domíio). Qudo os vlores f () são clculdos medite utilizção de um epressão lític e ão se eplicit o domíio d fução, subetede-se que o mesmo coicide com o cojuto de vlores de pr os quis s operções evolvids epressão lític têm sigificdo o cmpo rel. Assim, por eemplo, qudo os referimos à fução y = ou f () =, estmos de modo brevido pesr fução f : A = [ 0, + [ R que cd 0 fz correspoder o úmero y =. Em vez d represetção lític de um fução us-se muits vezes, por ser sugestiv, su represetção gráfic; est obtém-se o plo, fido um referecil crtesio e represetdo os potos de coordeds [, f ()] pr todos os A. Dd fução f (), com domíio em A, cosidere-se um subcojuto B A. O cojuto f (B) = { y : B : y = f ()} é imgem ou trsformdo do cojuto B, ddo pel fução ; ssim, o cotrdomíio f (A) ão é mis que o trsformdo ou imgem do domíio d fução. Cso o cojuto f (B) sej mjordo, diz-se que fução 143

f () é mjord o cojuto B ; e λ = Sup f (B) = Sup f () chm-se supremo d fução o cojuto B. Cso o cojuto f (B) sej miordo, diz-se que fução f () é miord o cojuto B; µ = If f (B) = If f ( ) chm-se ífimo d fução o cojuto B B. Qudo f () sej mjord e miord em B, diz-se limitd esse cojuto eistido etão fiitos, λ = Sup f () e µ = If f (). B A fução f (), com domíio em A, diz-se ijectiv se e só se, B B, A, f ( ) f ( ), ou sej, se e só se vlores distitos do domíio correspodem vlores do cotrdomíio tmbém distitos. Neste cso f () dmite fução ivers que é fução f 1 ( y ) que cd y f (A) fz correspoder o A úico tl que y = f (). Pode porém cotecer que, embor f () ão sej ijectiv o seu domíio A, o sej em certo B A. Nesse cso, fução, embor ão ivertível qudo cosiderd defiid em todo o seu domíio, pode iverter-se se pes se cosiderr defiid ess prte B do domíio ode é ijectiv. Assim, por eemplo : ) A fução y =, com domíio em R, ão dmite ivers; o etto, fução pode iverter-se em qulquer dos itervlos [0, + [ ou ] -, 0], obtedo-se como iverss esses itervlos, respectivmete, = + y e = y. b) A fução y = se, com domíio em R, ão tem ivers (por ão ser ijectiv o seu domíio); o etto, fução pode iverter-se por eemplo em B = [ -π /, π /], obtedo-se como ivers = rc se y (com -π / rc se y π / ). Sej y = g () um fução rel de vriável rel com domíio A e z = f (y) um outr fução rel de vriável rel com domíio B. Vmos ver em que codições e como se defie fução compost de f com g, fução compost que como se sbe se represet usulmete por f o g : 1º Cso : Se B = g (A), todo o A correspode y = g () g (A) = B e, por su vez, cd y = g () g (A) = B fução f fz correspoder z = [ f o g]() = f [ g ()]. A fução compost tem ssim como domíio o cojuto A, que é igulmete o domíio d fução g (). º Cso : Cso sej B g (A) e B g (A), cosidere-se o cojuto A 0 A de todos os A que fzem y = g () B. Restrigido defiição de g () A 0 e de f (y) g (A 0 ), com s fuções ssim restrigids estmos o primeiro cso e podemos etão defiir fução compost z = [ f o g] () = f [ g ()], pr todo o A 0. Neste cso fução compost tem domíio ão em todo o A ms pes em A 0 A. 3º Cso : Cso sej B g (A) e B g (A) =, composição é impossível. 144

Vejmos eemplos de composição de fuções pr cd um dos dois csos possíveis referidos teriormete: 1) Sedo y = g () = com domíio em A = ] -, + [ e z = f (y) = y com domíio em B = g (A) = [ 0, + [, fução compost z = [ f o g] () = f [ g()] = = tem domíio em A = ] -, + [. ) Sedo y = g () = 3 com domíio em A = ] -, + [ e z = f (y) = y com domíio em B = g (A) = [ 0, + [, fução compost z = [ f o g] () = f [ g()] = 3 tem domíio em A 0 = [ 0, + [ (pois só pr 0, o vlor y = 3 pertece o domíio d fução f ). Como composição de f com g, qudo ests fuções se ecotrem o segudo cso, se pode reduzir sempre o 1º cso, por restrição dequd ds fuções evolvids domíios coveietes, os resultdos teóricos que evolvem fuções composts são por vezes eucidos o pressuposto de o domíio d fução f coicidir com o cotrdomíio d fução itermédi g, ou sej, B = g (A), sedo depois dptdos o cso em que sej B g (A) e B g (A). Em prticulr, se verificção de determids hipóteses por prte de f e g implicr um cert tese reltivmete f o g, o pressuposto de ser B = g (A), o mesmo resultdo é válido pr fução compost o cso de ser B g (A) e B g (A) desde que s mesms hipóteses sejm verificds pels restrições de g e f, respectivmete, os cojutos A 0 e g (A 0 ) em que A 0 desig o cojuto de todos os A que fzem y = g () B. Pr termir est rápid revisão dos coceitos básicos sobre fuções reis de vriável rel, flt rever defiição de fução crescete e decrescete. Sedo f () um fução rel de vriável rel com domíio A e sedo B A : ) A fução diz-se crescete em setido lto se e só se,, B, < f ( ) f ( ) ; diz-se crescete em setido estrito se e só se,, B, < f ( ) < f ( ) ; b) A fução diz-se decrescete em setido lto se e só se,, B, < f ( ) f ( ) ; diz-se decrescete em setido estrito se e só se,, B, < f ( ) > f ( ). 145

As fuções crescetes ou decrescetes recebem desigção geéric de fuções moótos (em setido lto ou em setido estrito).. Defiição de limite de um fução um poto Cosidere-se fução f () com domíio em A e sej um poto de cumulção de A (poto de cumulção próprio ou impróprio, pertecete ou ão o cojuto). É já cohecid do leitor defiição de Heie de limite de f () qudo tede pr, ou mis simplesmete limite de f () o poto : lim f ( ) = b A, lim = lim f ( ) = b, podedo est defiição b ser rel, + ou - (tl como ). Embor est defiição sej suficiete pr um bordgem elemetr d teori dos limites ds fuções reis de vriável rel, omedmete permitido um demostrção muito simples ds regrs mis usuis do cálculo de limites, em mtéris mis vçds é por vezes coveiete utilizr um outr defiição ltertiv (equivlete à de Heie). Trt-se d defiição de Cuchy : lim f ( ) = b δ > 0, ε = ε (δ ) > 0 : V ε () [ A - {}] f () V δ (b), podedo est defiição b ser rel, + ou - (tl como ). No teorem seguite estbelece-se equivlêci etre mbs s defiições: Teorem 1 : As dus defiições de limite, segudo Heie e segudo Cuchy, são equivletes Demostrção : ) Supodo que lim f ( ) = b segudo Cuchy, cosidere-se um qulquer sucessão, de termos pertecetes o domíio A d fução, tl que e lim =. Fido um qulquer δ > 0, determie-se o correspodete ε > 0 com o qul se verific codição que trduz defiição de Cuchy. Com esse ε, determie-se ordem prtir d qul V ε () ; prtir dess ordem tem-se V ε () [ A - {}] o que implic ser f ( ) V δ (b), ficdo ssim provdo que lim f ( ) = b. Em coclusão: tem-se lim f ( ) = b segudo Heie. b) Supodo gor que lim f ( ) = b segudo Heie, dmitmos por bsurdo que tl ão sucedi segudo defiição de Cuchy. Eistiri etão um prticulr δ > 0 pr o qul, com qulquer ε > 0, sempre se ecotrri um ε V ε () [ A - {}] tl que f ( ε ) V δ (b). Tomdo ε = 1/, pr = 1,,..., eistirim úmeros reis V 1/ () [ A - {}] tis que f ( ) V δ (b). Clro que os pertecerim A, 146

serim distitos de e lim = ; o etto, como f ( ) V δ (b) pr todo o, ão seri lim f ( ) = b, cotrrimete à hipótese de ser lim f ( ) = b segudo Heie. 3 - Codição ecessári e suficiete pr eistêci de limite fiito Pode demostrr-se com fcilidde um codição ecessári e suficiete pr eistêci de limite fiito de um fução um poto. Trt-se de um codição semelhte à codição ecessári e suficiete de covergêci de um sucessão (codição de Cuchy). Teorem : Sedo f () um fução com domíio em A e um poto de cumulção de A, codição ecessári suficiete pr que eist fiito lim f ( ) (com fiito, + ou - ) é que, δ > 0, ε = ε (δ ) > 0 :, V ε () (A - {}) f ( ) f ( ) < δ Demostrção : ) A codição é ecessári. Sedo lim f ( ) = b (fiito) etão, de cordo com defiição de Cuchy, δ > 0, ε = ε (δ ) > 0 : V ε () (A - {}) f () - b < δ /. Tomdo etão quisquer vlores, V ε () (A - {}) tem-se, f ( ) f ( ) f ( ) - b + b f ( ) < δ / + δ / = δ, verificdo-se portto codição do eucido, b) A codição é suficiete. Supoh-se verificd codição do eucido. Cosiderese um qulquer sucessão de termos A, tl que e lim =. Ddo um δ > 0, cosidere-se o correspodete ε = ε (δ ) cuj eistêci é ssegurd pel codição do eucido (supostmete verificd). De cert ordem ε(δ) em dite, tem-se V ε () e, portto, tomdos > m > ε(δ), tem-se, m V ε () (A - {}), o que implic f( ) f ( m ) < δ (pel codição do eucido). Ms tl trduz precismete covergêci d sucessão f ( ). Sej b = lim f ( ) (fiito) e vejmos que pr qulquer outr sucessão, s codições de, tmbém se tem b = lim f ( ) o que, de cordo com defiição de Heie, mostrrá que lim f ( ) = b (fiito) : pr qulquer outr sucessão, s mesms codições que, eistirá b = lim f ( ) ; e como, pertecem V ε () (A - {}), prtir de cert ordem, tem-se f ( ) - f ( ) < δ dode result, pssdo o limite, que b - b δ ; devido à rbitrriedde de δ, temse b = b, o que complet demostrção. 4 Sublimites. Limites lteris 147

Dd fução f () com domíio em A R, sej B A e um poto de cumulção (rel, + ou - ) do domíio A e tmbém do cojuto B. Represetdo por f B () restrição de f () o cojuto B, cso eist lim f (), esse limite chm-se sublimite d fução em reltivo o cojuto B. Tmbém se us o símbolo lim f () pr represetr o sublimite d fução em reltivo o cojuto B B B Csos prticulres de sublimites são os chmdos limites lteris. O limite lterl direito é o sublimite que se obtém (cso eist) com B = D = A [, + [; o limite lterl esquerdo é o sublimite que se obtém (cso eist) com B = E = ] -, ] A. Os limites lteris têm simbologi específic : f ( + 0) = lim f ( ) = lim f () = lim f ( ), + 0 + o cso do limite lterl direito ; e pr o limite lterl esquerdo, f ( 0) = lim f ( ) = lim f () = lim f (). 0 Note-se que um fução pode ão ter limites lteris um poto, ms dmitir sublimites esse poto reltivmete outros subcojutos do domíio, como é o cso d fução, 1, se é rciol f () =, 0, se é irrciol pr qul ão eistem por eemplo os limites lteris, lim 0 + f ( ) e lim f ( ) 0 eistido o etto os sublimites em = 0 reltivos os cojutos Q e R Q (o primeiro igul 1 e o segudo igul 0). Coclui-se sem dificuldde que cso eist lim f ( ), com esse limite coicidem todos os sublimites de f () em =, porque com B A, codição que defie segudo Cuchy o limite, δ > 0, ε = ε (δ ) > 0 : V ε () [ A - {}] f () V δ (b), implic codição que defie segudo Cuchy o sublimite reltivo o cojuto B, δ > 0, ε = ε (δ ) > 0 : V ε () [ B - {}] f () V δ (b). Dqui result que eistido em = sublimites distitos pr fução est ão pode ter limite o referido poto. O teorem seguite tem utilidde prátic determição dos possíveis sublimites de um fução um poto., D E 148

Teorem 3 : Dd fução f () com domíio em A, sedo um poto de cumulção de A (com fiito, + ou - ) e sedo B 1, B,, B k cojutos em úmero fiito, dois dois disjutos, tis que B 1 B B k = A, dmit-se que é poto de cumul-ção de cd um dos B j e que eistem os sublimites λ j d fução em = reltivos cd um dos referidos B j. Nesss codições ehum λ distito de todos os λ j pode ser sublimite d fução em = Demostrção : Sej λ distito de todos os λ j. Nesss codições é possível fir δ > 0 suficietemete pequeo de form que vizihç V δ (λ) ão teh potos em comum com ehum ds vizihçs V δ (λ j ), j = 1,,, k. Como cd λ j é por hipótese sublimite de f () em = reltivmete o respectivo B j, eistem vlores ε j > 0 tis que, V ε j () [ B j - {}] f () V δ (λ j ) ( j = 1,,, k ). Com ε = Mi {ε 1, ε,, ε k } > 0 tem-se etão, por ser B 1 B B k = A, V ε () [ A - {}] f () U k j = 1 V δ (λ j ) f () V δ (λ). Pode gor ver-se com fcilidde que λ ão pode ser sublimite de f () em = reltivo certo cojuto B A de que sej poto de cumulção. Se o fosse, pr o δ > 0 fido cim como pr qulquer outro eistiri um ε* positivo tl que V ε* () [ B - {}] f () V δ (λ), e etão pr os vlores B - {} pertecetes à mis estreit ds vizihçs V ε () e V ε* () e tis vlores eistem por ser poto de cumulção de B ter-se-i simultemete f () V δ (λ) e f () V δ (λ) o que é mifestmete bsurdo O teorem precedete ão é válido se os cojutos B j evolvidos forem em úmero ifiito, flhdo demostrção este cso porque etão d grte que sej Mi {ε 1, ε,, ε k, } > 0 e tl é essecil pr vlidde do rgumeto presetdo. Se, s codições do teorem precedete os λ j forem todos iguis, ou sej, se tivermos λ 1 = λ = = λ k = µ tem-se que pr cd δ > 0 eistem ε j > 0 tis que, V ε j () [ B j - {}] f () V δ (µ ) ( j = 1,,, k ). Com ε = Mi {ε 1, ε,, ε k } > 0 tem-se etão, por ser B 1 B B k = A, V ε () [ A - {}] f () V δ (µ ). Dqui se tir que lim f ( ) = µ. Pode pois eucir-se o seguite 149

Teorem 4 : Dd fução f () com domíio em A, sedo um poto de cumulção de A (com fiito, + ou - ) e sedo B 1, B,, B k cojutos em úmero fiito, dois dois disjutos, tis que B 1 B B k = A, dmit-se que é poto de cumul-ção de cd um dos B j, que eistem os sublimites λ j d fução em = reltivos cd um dos referidos B j e que tis sublimites são todos iguis certo µ. Nesss codições lim f ( ) = µ Refir-se que tl como o cso do teorem 3, o teorem precedete ão é válido se os cojutos B j evolvidos forem em úmero ifiito, flhdo demostrção este cso porque etão d grte que sej Mi {ε 1, ε,, ε k, } > 0 e tl é essecil pr vlidde do rgumeto presetdo. Do teorem 4 e ds cosiderções que precedem o teorem 3 result imeditmete o seguite, Teorem 5 : Dd fução f () com domíio em A, sedo (fiito) um poto de cumulção de A e bem ssim dos cojutos D = A [, + [ e E = ] -, ] A codição ecessári e suficiete pr que eist lim f ( ) é que sejm iguis os limites lteris f ( + 0) e f ( 0), tedo-se etão que lim f ( ) = f ( + 0) = f ( 0) No cso especil ds fuções moótos, tem-se id o seguite teorem de frequete plicção: Teorem 6 : Sej f () com domíio em A e cosidere-se poto de cumulção, próprio ou impróprio, de A. Etão: ) Sedo fiito : 1) Se é poto de cumulção de D = [, + [ A e f é moóto em certo B θ = ], + θ [ A, etão eiste f ( + 0) ; ) Se é poto de cumulção de E = ] -, ] A e f é moóto em certo B θ = ] - θ, [ A, etão eiste f ( 0) ; b) Sedo = +, se f é moóto em certo B θ = ] 1/θ, + [ A, etão eiste f() ; lim + c) Sedo = -, se f é moóto em certo B θ = ] -, -1/θ [ A, etão eiste f() lim Demostrção : Vmos fzer demostrção pes pr o cso 1) hipótese em que f é moóto crescete. Nos resttes csos rgumetção é semelhte, pelo que se deim como eercício 150

Sej µ o ífimo de f() em B θ e vejmos que se tem µ = f ( + 0). Trtemos em seprdo cd um dos dois csos possíveis, µ fiito ou µ = -. Se µ for fiito, ddo um qulquer δ > 0, eiste um δ B θ tl que f ( δ ) < µ + δ, cso cotrário µ + δ seri um miorte de f em B θ mior que o respectivo ífimo; fzedo, ε (δ ) = δ -, tem-se, [ V ε (δ ) () - {}] D ], + ε (δ ) [ D < < + ε (δ ) D < < δ B θ µ f () f ( δ ) < µ + δ f () V δ (µ), devido à mootoi crescete de f em B θ ; ssim se coclui, usdo defiição de Cuchy, que µ = lim f(). +0 Se for µ = -, ddo um qulquer δ > 0, eiste um δ B θ tl que f ( δ ) < -1/δ ; um rgumeto semelhte o usdo teriormete lev que lim f () = -. +0 5 - Regrs de cálculo de limites de fuções A defiição de limite segudo Heie permite com fcilidde trsferir pr o cálculo de limites ds fuções reis de vriável rel tods s regrs reltivs o cálculo de limites de sucessões reis, com s mesms coveções e csos de idetermição. A título de eemplo vmos pes presetr s regrs referetes o limite do quociete de fuções, d epoecil de bse turl e d fução logrítimic de bse turl, o que poderá servir de modelo pr o leitor justificr por si vlidde ds demis regrs de cálculo : ) Limite do quociete - Dds s fuções f () e g (), sej um poto de cumulção dos respectivos domíios e dmit-se que eistem os limites θ = lim f ( ) e µ = lim g( ). Cosidere-se fução h() = f () / g (), cujo domíio é formdo pelos potos comus os domíios de f () e g () que ão ulem o deomidor, e dmit-se que é poto de cumulção do domíio de h (). Etão, dd um qulquer sucessão de termos pertecetes o domíio de h (), tl que e lim =, tem-se, lim f ( ) = θ e lim g ( ) = µ (defiição de limite segudo Heie) ; será portto, pel regr do limite do quociete de sucessões, 151

com s coveções seguites: lim h ( ) = lim f ( ) g ( ) = θ /µ, θ /(± ) = 0, (± )/µ = ± (µ rel positivo), (± )/µ = m (µ rel egtivo), e csos de idetermição : 0/0, (± )/(± ) e (± )/0. Ter-se-á etão, pel defiição de limite segudo Heie, lim h( ) = lim f ( ) g ( ) = θ /µ = lim f ( ) lim g( ), com s coveções e csos de idetermição suprmeciodos. b) Limite d epoecil de bse turl - Dd fução f (), sej um poto de cumulção do respectivo domíio e dmit-se que eiste o limite θ = lim f ( ). Cosidere-se fução h() = e f (), cujo domíio coicide com o de f (). Etão, dd um qulquer sucessão de termos pertecetes o domíio de h (), tl que e lim =, tem-se, lim f ( ) = θ (defiição de limite segudo Heie) ; será portto, lim h( ) = lim e f ( ) = e θ, com s coveções seguites: e + = + e e f () = 0. Tem--se portto (defiição de limite segudo Heie) l im e = e θ, com s coveções referids. c) Limite d fução logrítmic de bse turl - Dd fução f (), sej um poto de cumulção do respectivo domíio e dmit-se que eiste o limite θ = lim f ( ). Cosidere-se fução h() = log f (), cujo domíio é formdo pelo potos do domíio de f () que fzem f () > 0, e dmit-se que é poto de cumulção do domíio de h(). Etão, dd um qulquer sucessão de termos pertecetes o domíio de h(), tl que e lim =, tem-se, lim f ( ) = θ 0 (defiição de limite segudo Heie) ; será portto, lim h( ) = lim log f ( ) = log θ, com s coveções seguites: log (+ ) = + e log 0 = -. Tem--se portto (defiição de limite segudo Heie) l im l og f () = log θ, com s coveções referids. Tmbém s fórmuls de Beroulli estudds o âmbito do cálculo de limites de sucessões se dptm com fcilidde, de modo poderem ser utilizds o levtmeto de idetermições que surjm o cálculo de limites de fuções que evolvm epoeciis e logritmos. Assim, sedo u = u() um fução com domíio em A e sedo um poto de cumulção deste cojuto, dmit-se que lim u( ) = 0. Tem-se, 15

e u() = 1 + u( ) + m 1 [ u( ) ] [ u( ) ] [ u( ) ]! [ u( ) ] + L + + ξ m, ( m 1)! m! m e pode ver-se sem dificuldde que, lim u ( ) = 0 lim ξ m [ u ] ( ) = 1. De fcto, sedo lim u( ) = 0, se cosiderrmos um qulquer sucessão de vlores do domíio de u (), tl que e lim =, tem-se, lim u( ) = 0 (defiição de limite segudo Heie) e, portto, lim ξ m [ u( )] = 1 (m fio); etão, ovmete pel lim ξ u( ) = 1. defiição de limite segudo Heie, coclui-se que m [ ] Argumetos semelhtes permitem dptr s três outrs fórmuls de Beroulli estudds : log [ 1 + u()] = u() - [ u()]. λ[ u()], com lim u com lim u com lim u ( ) = 0 lim λ [ u ] ( ) = 0 lim η [ u ] ( ) = 1/ ; tmbém, log [1 + u()] = u(). η [ u()], ( ) = 1 ; e filmete, [ 1 + u()] α = 1 + u(). α. ζ [ u()], ( ) = 0 lim [ u ] ζ ( ) = 1. A utilizção prátic dests fórmuls o cálculo de limites de fuções fz-se os mesmos termos que o cálculo dos limites de sucessões. Assim, por eemplo, lim + e 1/ 1. log ( 1+ 1/ ) = lim + 1+ ( 1/ ). ξ 1 1.( 1 / ). η ξ = lim +. 1 = 0. η 6 - Limites ds fuções trigoométrics e sus iverss Os limites ds fuções trigoométrics obtêm-se com grde fcilidde prtir dos resultdos propostos pr demostrção os eercícios 17 e 18 do teto sobre successões reis. Assim, ) lim u ( ) = b (fiito) lim se[ u ] ( ) = se b. Com efeito, sedo lim u( )= b (fiito), se cosiderrmos um qulquer sucessão de vlores do domíio de u(), tl que e lim =, tem-se, lim u( ) = b (defiição de limite segudo Heie) e, portto, de cordo com o resultdo d líe c) do suprcitdo eercício 17, 153

será lim se [ u( )] = se b ; etão, ovmete pel defiição de limite segudo Heie, lim se u( ) = se b. pode cocluir-se que [ ] Do mesmo modo, com rgumetção semelhte bsed gor líe d) do mesmo eercício, b) lim u ( ) = b (fiito) lim cos[ u ] ( ) = cos b. E id, tmbém com rgumetção semelhte bsed gor líe e) do mesmo eercício, c) lim u ( ) = b [fiito, diferete de (k+1)π /] limtgu [ ] ( ) = tg b. Reltivmete à tgete, refir-se id que o cso de ser b = (k+1)π / eistêci ou ão de limite pr tg[ u()] depede do modo como u() tede pr b = (k+1)π / qudo tede pr : se tede por vlores meores que b, o limite d tgete é +, se tede por vlores miores que b, o limite d tgete é -, ão eistido limite for destes csos; ests coclusões obtêm-se de imedito eprimido tgete em termos do seo e do coseo e estuddo o comportmeto dests dus fuções qudo u() tede pr b dos diversos modos possíveis. Com bse o resultdo costte do suprcitdo eercício 18, coclui-se id de imedito (mis um vez utilizdo defiição de Heie) que, lim u( ) = 0 lim [ ( )] se u u ( ) = 1, resultdo muito útil pr muits plicções. Vejmos gor os limites ds fuções trigoométrics iverss, começdo por estudr os csos, lim ( rc se ), lim ( rc cos ) e lim ( rc t g ). Relembremos primeiro que : y = rc se é fução que se obtém ivertedo = se y o itervlo [ -π /, π /] ode est fução é ijectiv; y = rc cos é fução que se obtém ivertedo = cos y o itervlo [ 0, π ] ode est fução é ijectiv ; y = rc tg é fução que se obtém ivertedo = tg y o itervlo ] -π /, π / [ ode est fução é ijectiv. E relembremos tmbém que: o domíio de y = rc se é o itervlo [ -1, 1] e o cotrdomíio é o itervlo [ -π /, π /] ; o domíio de y = rc cos é o itervlo [ -1, 1] e o cotrdomíio é o itervlo [ 0, π ] ; o domíio de y = rc tg é o itervlo ] -, + [ e o cotrdomíio é o itervlo ] -π /, π /[. 154

Vejmos etão que lim ( rc se ) = rc se (-1 1). Sej um qulquer sucessão de elemetos de [ -1, 1], tl que lim =. Fzedo y = rc se, ou sej, = se y, tem-se y [ -π /, π /] e dmit-se por bsurdo que est sucessão poderi ão ter como limite rc se ; eistiri etão um subsucessão yα tl que λ = lim y rc se ( -π / λ π /) ; ms etão, α α = se yα λ = lim yα lim α = se λ, e como, por outro ldo, lim = lim α =, ter-se-i ecessrimete = se λ com -π / λ π /, ou sej, λ = rc se ; deveri etão ter-se o mesmo tempo λ rc se e λ = rc se o que é impossível. Em coclusão : qulquer sucessão de elemetos de [ -1, 1], tl que lim = correspode um sucessão y = rc se tl que, lim y = lim rc se = rc se, o que de cordo com defiição de limite segudo Heie permite cocluir que lim ( rc se ) = rc se, como se pretedi provr. Um rgumeto álogo permite cocluir que lim ( rc cos ) = rc cos. Vejmos gor o cso de lim ( rc t g ), cosiderdo seprdmete os csos : fiito ; = + ; = -. 1º Cso : fiito. Neste cso, um rgumeto semelhte o utilizdo o cso d fução y = rc se permitiri cocluir que lim ( rc t g )= rc tg. º Cso : = +. Cosidere-se um qulquer sucessão de elemetos de ] -, + [, tl que lim = +. Fzedo y = rc tg, ou sej, = tg y, tem-se y ] -π /, π /[ e dmit-se por bsurdo que est sucessão poderi ão ter como limite π / ; eistiri etão um subsucessão y tl que λ = lim y π / (-π / λ < π /) ; ms etão, α α α = tg yα λ = lim yα lim α = tgλ, π / < λ < π /, λ = π /, e como, por outro ldo, lim = + lim α = +, ter-se-i o mesmo tempo = + e + o que é impossível. Em coclusão : qulquer sucessão de elemetos de elemetos de ] -, + [, tl que lim = +. correspode um sucessão y = rc tg tl que lim y = lim rc tg = π /, o que de cordo com defiição de limite segudo Heie permite cocluir que lim ( rc t g ) = π /. + 155

3º Cso : = -. Um rgumeto semelhte o utilizdo o cso terior permite cocluir que lim ( rc t g ) = -π /. Os resultdos precedetes geerlizm-se os csos ds fuções : y = rc se u(), com -1 u() 1 ; y = rc cos u(), com -1 u() 1 ; e y = rc tg u(). Vejmos título de eemplo o cso d fução y = rc se u(), vledo pr s resttes um rgumetção semelhte. Vmos etão provr que, lim u( ) = b lim rc se u( ) = rc se b. Cosidere-se um sucessão de vlores do domíio de u = u(), tl que e lim = ; tem-se etão, pel defiição de limite segudo Heie, que sucessão u = u( ) tede pr b, porque por hipótese lim u( ) = b; ms de lim u = lim u( ) = = b result, de ovo pel defiição de limite segudo Heie, lim rc se u = lim rc se u( ) = rc se b, porque como se viu teriormete lim rc se u u b -1 u() 1-1 b 1 ; fic ssim provdo que, = rc se b e, por outro ldo, lim rc se u( ) = rc se b. Pr s outrs dus fuções trigoométrics iverss, tem-se : lim u( ) = b lim rc cos u( ) = rc cos b (-1 b 1) rc tg b, lim u( ) = b lim rc t g u( ) = π /, π /, 7. Cotiuidde potul < b <+ b =+ b = Sej f () um fução rel de vriável rel com domíio A e sej A. Diz-se que f () é cotíu em = se e só se, ou sej, se e só se, δ > 0, ε = ε (δ ) : V ε () A f() V δ [ f()], δ > 0, ε = ε (δ ) : - < ε A f() - f() < δ. 156

Qudo A ão sej poto de cumulção de A ( esse cso diz-se que é poto isoldo do domíio d fução), eiste sempre cert vizihç de em que o úico poto de A que í se ecotr é o próprio ; portto, este cso, codição que defie cotiuidde de f () em = é sempre verificd. Qudo A sej poto de cumu-lção de A, codição que defie cotiuidde de f () em = equivle ser lim f ( ) = f (). Com um rgumeto semelhte o utilizdo qudo se demostrou equivlêci ds defiições de limite de Heie e Cuchy, pode cocluir-se que A (poto isoldo ou ão) é poto de cotiuidde d fução f () se e só se pr qulquer sucessão de elemetos de A que teh por limite o rel correspodete sucessão f ( ) tiver por limite f (). O teorem seguite grte cotiuidde d fução compost z = [ f o g] () prtir d cotiuidde ds fuções y = g() e z = f (y). Teorem 7 : Admit-se que fução y = g() com domíio A é cotíu em certo poto A e que fução z = f (y) com domíio B = g(a) é cotíu o poto correspodete b = g() B. Etão fução compost [ f o g] () é cotíu em = Demostrção: A cotiuidde de f(y) em b = g() e de g() em trduz-se respectivmete por, 1) δ > 0, η = η (δ ) : y V η (b) g(a) f (y) V δ [ f(b)] ) η > 0, ε = ε (η ) : V ε () A g() V η [ g()], Etão, ddo δ > 0, determi-se η = η (δ ) pel codição 1) e prtir deste determise ε = ε (η ) = ε [η (δ )] pel codição ); clro que etão, com o ε e η ssim determidos, V ε () A g() V η [ g()] g() V η [ g()] g(a) f [ g()] V δ [ f(b)] f [ g()] V δ { f [ g()] }, ssim se provdo cotiuidde de [ f o g] () em =. Embor o teorem precedete teh sido eucido pr o cso B = g(a) - domíio de f (y) coicidete com o cotrdomíio de g() -, ele dpt-se com fcilidde o cso d composição de fuções em que B g(a) e B g(a). De fcto, restrigido o domíio de g() o cojuto A 0 de todos os A que fzem g() B, restrigido o domíio de f (y) o cojuto g(a 0 ) e tededo que cotiuidde de g() em se mtém qudo se restrige o domíio d fução, o mesmo cotecedo quto à cotiuidde de f(y) em b, o teorem é plicável à fução compost z = f [ g()] defiid em A 0. 157

8. Descotiuiddes Dd fução f () com domíio em A, cosidere-se um rel Ad A = A A. Como já sbemos, fução é cotíu em =, os seguites csos : 1) A e A ( é poto isoldo do domíio) ; ) A, A e lim f ( ) = f (). A fução diz-se descotíu em =, os seguites csos : 1) A, A e lim f ( ) ou ão eiste ou eistido é distito de f () ; ) A, A e lim f ( ) ou ão eiste ou eistido é ifiito. Há id outro cso possível : A, A e lim f ( ) eiste fiito. Neste cso fução f () diz-se quse cotíu em =, o setido de que é possível, lrgdo o domíio d fução = e defiido f () = lim f ( ), obter um fução cotíu. Sedo poto de descotiuidde de f (), cso eistm os limites lteris f ( + 0) e f ( 0) ou pes um deles se em certo itervlo ] - ε, [ ou ], + ε [ ão houver potos do domíio d fução descotiuidde diz-se de primeir espécie. Nos outros csos, descotiuidde diz-se de segud espécie. O teorem seguite mostr que qulquer fução moóto um itervlo dmite qudo muito um ifiidde umerável de potos e descotiuidde. Teorem 8 : Fução moóto um itervlo dmite qudo muito um ifiidde umerável de potos de descotiuidde Demostrção : Vejmos primeiro o cso em que f () é crescete o itervlo limitdo e fechdo [, b], geerlizdo-se depois o resultdo os outros csos. Note-se que sedo fução crescete tem-se, pr todos os reis [, b], f () f () f (b), dode result que : 1) A fução f () é limitd o itervlo [, b] ; ) Em cd poto c ], b [ ode fução sej descotíu, os limites lteris f (c + 0) e f (c 0), cuj eistêci é ssegurd pelo teorem 6, verificm desiguldde f (c 0) < f (c + 0), ou sej, s (c) = f (c + 0) f (c 0) > 0. Fido δ > 0, vmos mostrr que desiguldde s (c) = f (c + 0) f (c 0) > δ ão pode ser verificd pr um ifiidde de potos c ], b [. Se tl pudesse cotecer, cosiderem-se m desses potos, c 1 < c < < c m. Ter-se-i etão, devido à mootoi crescete d fução, f (c ) f () f (c 1 + 0) f (c 1 0) > δ f (c 3 ) f (c 1 ) f (c + 0) f (c 0) > δ f (c 4 ) f (c ) f (c 3 + 0) f (c 3 0) > δ... f (c m ) f (c m ) f (c m 1 + 0) f (c m 1 0) > δ f (b) f (c m 1 ) f (c m + 0) f (c m 0) > δ 158

dode, somdo ordedmete, f (b) f () + f (c m ) f (c 1 ) m δ, ou id, de ovo pel mootoi crescete d fução, f (b) f () + f (b) f () m δ, dode result f (b) f () (m δ ) /. Or est últim desiguldde é icomptível com possibili-dde de m poder ser tomdo rbitrrimete grde. Logo, pes um úmero fiito de potos c ], b [, pode ter-se s (c) = f (c + 0) f (c 0) > δ. Cosidere-se gor o cojuto D dos potos de descotiuidde de f () que perteçm o itervlo ], b [. Pr cd c D tem-se como vimos f (c + 0) f (c 0) > 0. Decompoh-se o cojuto D os cojutos D 1, D, (em ifiidde umerável) defiidos como segue (lgus ou todos poderão ser vzios) : D 1 = { c : c D f (c + 0) f (c 0) 1 } D j = { c : c D 1/j f (c + 0) f (c 0) < 1/( j 1) } ( j =, 3,... ) Pelo demostrdo teriormete os cojutos D j ( j = 1,, 3,... ) são fiitos, evetulmete vzios. E como D = D 1 D D 3, coclui-se que o cojuto D é qudo muito umerável. Ddo que o cojuto dos potos de descotiuidde de f () em ], b [ é qudo muito umerável, o mesmo cotece quto o cojuto dos potos de descotiuidde de f () em [, b], pois este tem qudo muito mis dois potos que quele. Pr geerlizr o resultdo obtido o cso em que f () é crescete um qulquer itervlo I (limitdo ou ão), bst otr que é sempre possível determir um sucessão de itervlos limitdos e fechdos I = [, b ] de modo ter-se I = U =1 I. Em cd um dos I = [, b ] o úmero de potos de descotiuidde de f () é qudo muito umerável e é fácil cocluir que uião umerável de cojutos fiitos ou umeráveis é qudo muito umerável. Filmete pr geerlizr o resultdo o cso em que f () é decrescete um qulquer itervlo I (limitdo ou ão), bst otr que esse cso - f () é crescete e que tem o mesmos potos de descotiuidde que f (). 9. Cotiuidde um cojuto. Proprieddes especiis ds fuções cotíus Dd fução f () com domíio A, el diz-se cotíu o seu domíio se e só se for cotíu em todos os A. Por outro ldo, f () diz-se cotíu o cojuto B A se e só se restrição de f () B for cotíu em todos os B. Atete-se bem est últim defiição : ão se diz que f () é cotíu em B A se e só se for cotíu em todos os B ; diz-se que f () é cotíu o cojuto B A se e só se restrição de f () B for cotíu em todos os B. O eemplo seguite é elucidtivo: fução, 159