Escola Secundáia/ da Sé-Lamego Ficha de Tabalho de Matemática Ano Lectivo 00/04 Geometia - Revisões º Ano Nome: Nº: Tuma: A egião do espaço definida, num efeencial otonomado, po + + = é: [A] a cicunfeência de cento (0, 0, ) e aio [] o cículo de cento (0, 0, 0) e aio [] a cicunfeência de cento (0, 0, ) e aio [D] o cículo de cento (0, 0, ) e aio Pelos pontos A (, -, ), (, -, ), (-, -, 0) passa (ou passam): [A] um e um só plano [] tês e só tês planos [] uma infinidade de planos [D] nenhum plano Num efeencial otonomado, os planos α e β são definidos pelas equações: α: + + e β: + + + s planos α e β são: [A] coincidentes [] concoentes não pependiculaes [] estitamente paalelos [D] pependiculaes 4 Indique qual dos paes de equações seguintes define, num efeencial otonomado, um pa de planos pependiculaes [A] + = e + [] + = e + + = [] = e [D] + + = 9 e 5 Num efeencial otonomado, a intesecção das supefícies esféicas definidas pelas equações + + = 4 e + + = 9 é: [A] Um ponto [] Uma supefície esféica [] Uma cicunfeência [D] conjunto vaio
6 Dois planos α e β são estitamente paalelos Qual das afimações seguintes é vedadeia? [A] Qualque ecta contida em α é paalela a qualque ecta contida em β [] Há ectas contidas em α que intesectam β [] Há ectas pependiculaes a α que não são pependiculaes a β [D] Dada uma ecta contida em α, eistem em β infinitas ectas que lhe são paalelas 7 Na piâmide de Keops, quadangula egula, a aesta da base tem dam de compimento e o ângulo que cada face foma com a base é de 5º Sejam A,, e D os vétices da base e V o vétice da piâmide onsidee o efeencial otonomado em que a unidade consideada é 0 metos e indique: V a) As coodenadas do vétice V da piâmide (utilie uma apoimação a menos de 0,) b) Uma equação catesiana do plano pependicula a V e que contém o vétice D D 5º c) Uma equação vectoial da ecta paalela a V e que contém o ponto (, -, 0) A d) onsidee a família dos vectoes pependiculaes a A que têm oigem em A e noma igual a Que luga geomético definem os pontos etemidade destes vectoes? aacteie-o po uma condição em, 8 onsidee, num efeencial otonomado (, e, e, e ), o vecto u = (, 5, 0) a) Indique, justificando, dois vectoes que sejam pependiculaes a u mas que não sejam colineaes b) Qual o ângulo de u com e? (Apoimação a menos de 0,0 adianos) c) Esceva uma equação catesiana do plano α pependicula a u e que intesecta o eio no ponto (0,, 0) d) onsidee os planos, β: + + =, γ: = Indique, justificando, qual a posição elativa dos planos α, β e γ 9 No efeencial otonomado está epesentado um cubo de faces paalelas aos planos coodenados peímeto de cada face é, na unidade consideada, igual a 6 G F a) Esceva uma equação catesiana do plano que contém os pontos D, G e F b) Defina analiticamente a supefície esféica tangente a todas as faces do cubo c) Detemine k, caso eista, de modo que o vecto u = ( k + k, k, ) seja colinea com H d) Sendo M e N os pontos médios das aestas [A] e [EF], espectivamente, detemine as coodenadas do ponto P [HE] sabendo que a secção plana deteminada no cubo pelo plano MNP é um quadado H D E A (,, 0) 0 No efeencial otonomado, [A] é um tiângulo ectângulo em contido no plano o Na unidade consideada, = 4 e = 5 a) Defina po equações catesianas a ecta A A b) onsidee que o tiângulo [A] oda uma volta completa em tono do eio b) Defina analiticamente a linha que o ponto A desceve no plano na efeida otação b) alcule o volume do sólido geado pelo tiângulo [A] na otação descita
A embalagem de um ceto gelado é uma supefície esféica Num efeencial otonomado essa supefície tem po equação: + + = a) bodo da tampa da embalagem é uma cicunfeência que se obtém seccionando a supefície esféica po um plano β, de cota positiva e paalelo a Sabendo que, na unidade consideada, o bodo da tampa tem peímeto igual a π, esceva uma equação do plano β b) Veifique que o ponto A (,, 0) petence à supefície esféica e detemine as coodenadas do ponto, de modo que [A] seja diâmeto da supefície esféica c) Seja α o plano mediado (pependicula no ponto médio) do segmento [A] Detemine k IR de modo que α seja pependicula ao plano definido po k = d) Defina analiticamente o segmento de ecta [A] Seja α o plano de equação 5 + = + a) Defina po uma condição vectoial a ecta pependicula a α e que passa pelo ponto de intesecção de α com o eio b) Paa cada númeo eal k a equação k + ( 5k) + epesenta um plano π k b) Moste que qualque que seja k, π k e α são pependiculaes b) Diga, justificando, se eiste k IR tal que π k seja plano mediado do segmento [A], sendo a oigem do efeencial e A (, -, ) onsidee, num efeencial otonomado, a supefície esféica de equação + + = 5 A A supefície esféica está epesentada na figua junta s pontos A, e são pontos dessa supefície ponto A tem coodenadas (0, 4, ) ponto tem coodenadas (0, -4, ) ponto é um ponto de cota negativa do eio a) (onsidee todos os tiângulos cujos vétices são pontos de intesecção desta supefície esféica com os eios do efeencial Escolhido um desses tiângulos ao acaso, detemine a pobabilidade de esta contido no plano definido po Indique o esultado em foma de pecentagem) b) Moste que uma equação do plano tangente à supefície esféica no ponto A é 4 + = 5 (Note que um plano tangente a uma supefície esféica é pependicula ao aio no ponto de tangência) c) Justifique que tem coodenadas (0, 0, -5) e detemine as coodenadas do ponto de intesecção do plano efeido na alínea anteio com a ecta d) alcule tg ( A ˆ )
4 onsidee, num efeencial o n, um cilindo de evolução como o epesentado na figua junta A base infeio do cilindo tem cento na oigem do efeencial e está contida no plano [] é um diâmeto da base infeio, contido no eio ponto tem coodenadas (0, -5, 0) ponto A petence à cicunfeência que limita a base infeio do cilindo e tem coodenadas (4,, 0) A ecta passa no ponto e é paalela ao eio ponto D petence à ecta e à cicunfeência que limita a base supeio do cilindo D a) Justifique que a ecta A é pependicula à ecta A b) Esceva uma equação vectoial da ecta c) Justifique que A é um vecto pependicula ao plano AD Detemine uma equação deste plano d) Designando po α a amplitude, em adianos, do ângulo D, moste que o volume do cilindo é dado po V ( α ) = 5π tg α, com α 0, (Detemine lim V( α) e intepete o esultado obtido) π α A 5 onsidee o pisma heagonal egula epesentado num efeencial o n Sabe-se que: os pontos A, e petencem à base infeio do pisma, a qual está contida no plano o e tem po cento a oigem do efeencial; os pontos D, E, F e G petencem à base supeio do pisma, a qual está contida no plano de equação = ; o ponto tem coodenadas (0, 4, 0) D E F G a) Moste que o ponto tem coodenadas (,, 0) e apoveite este esultado paa justifica que o ponto G tem coodenadas (,, ) b) Moste que a ecta DG pode se definida pela condição + = 4 = c) Detemine a intesecção da ecta DG com o plano que contém a face [AFE] do pisma A 6 Na figua está epesentado um cubo, em efeencial o n vétice coincide com a oigem do efeencial vétice R petence ao semieio positivo vétice P petence ao semieio positivo vétice S petence ao semieio positivo A abcissa de R é V S U T a) Detemine uma equação catesiana do plano PUV b) Moste que o aio da supefície esféica que contém os oito vétices do cubo é e detemine uma equação dessa supefície esféica c) alcule a áea da egião do plano PUV compeendida ente a secção deteminada po esse plano, no cubo, e a secção deteminada pelo mesmo plano, na supefície esféica efeida na alínea anteio R Q P 4
SLUÇÕES D 4 5 D 6 D 7 a) V (0; 0; 4,7) b) + tg 5 º + c) (, = (,,0) + k(,5;,5; 4,7), k IR d) luga geomético é a cicunfeência de aio unidades, centada em A, assente sobe o plano de equação Uma condição é: (,5) + ( +,5) + = 4 a) (, = (0,, 0) + k(5,, ), k IR b) Não eiste qualque k IR que veifique a condição a) (0%) b) c) (0, -, 5) d) 4 a) 4 + b) (, = (0, 5, 0) + k(0, 0, ), k IR c) + 0 d) (+ ) 8 a) v = (0, 0, ) e w = ( 5,, 0) (pe), pois vu = wu b),9 ad c) + 5 5 d) sistema é impossível e, potanto, os tês planos não se intesectam s planos intesectam-se dois a dois segundo ectas paalelas 5 a) b) 6 c) (, -0, ) a) b) ( ) + ( ) + ( ) = c) π 4 9 a) + = b) + + ( ) = 4 c) k = d) P (, -, 4) Pofesso 0 a) + 4 b) + = 9 c) 4 π a) = b) (-, -, 0) c) 4 k = d) = 0 5
Escola Secundáia/ da Sé-Lamego Ficha de Tabalho de Matemática Ano Lectivo 00/04 Geometia - Revisões º Ano Poposta de Resolução: 7 a) Designando po E o ponto de intesecção do eio com a aesta [], temos Logo, V = tg 5º 4, 7 Assim, V (0; 0; 4,7 ) V tg 5 º = E b) Designando po P (, um ponto genéico do plano consideado, os vectoes DP = ( +,5; +,5 ; e V = (,5;,5 ;0) (0; 0;,5 tg 5º ) = (,5;,5;,5 tg 5º ) são pependiculaes Assim, DP V,5 ( +,5) +,5 ( +,5),5 tg 5º + tg 5º + Potanto, + tg 5 º + é uma equação catesiana do plano consideado c) omo V = (,5;,5 ;0) (0; 0;,5 tg 5º ) = (,5;,5;,5 tg 5º ), uma equação vectoial da ecta consideada é: (, = (,, 0) + k(,5;,5;,5 tg 5º ), k IR d) luga geomético consideado é a cicunfeência de aio unidades, centada em A, assente sobe o plano pependicula a A e que passa em A Deteminemos uma equação catesiana do plano consideado Um vecto nomal ao plano é v = (,, 0), pelo que a equação pocuada é do tipo + d Dado que A é um ponto desse plano, então as suas coodenadas têm de veifica a equação anteio Assim, como,5 (,5) + d d =, uma equação do plano consideado é Logo, uma condição que caacteia o luga geomético é: (,5) + ( +,5) + = 4 8 a) Po eemplo, v = (0, 0, ) e w = ( 5,, 0), pois v u + 0 5 + 0 e w u = 0 + 0 + 0 (cada um destes vectoes é pependicula ao vecto dado) e não eiste um k eal tal que v = k w (estes dois vectoes não são colineaes) b) a, ^ (, 5, 0)(, 0, 0) 9 cos ( u e ) = = = + 5 9 9 Logo, 9 u e = cos, 9 9 ^ ad c) Um vecto nomal ao plano é u = (, 5, 0), pelo que a equação pocuada é do tipo + 5 + d Dado que o ponto ( 0,, 0) é um ponto desse plano, então as suas coodenadas têm de veifica a equação anteio Assim, como 5 + d d = 5, uma equação do plano consideado é + 5 5 d) omo o sistema das equações desses tês planos é impossível, os tês planos não se intesectam + 5 = 5 () + + = () = + 5 = 5 + 5 = + + = 0 + 0 = + 5 = + + = Visto que não há planos paalelos (atente em vectoes nomais a esses planos: não há um pa de vectoes colineaes), os planos intesectam-se dois a dois segundo ectas paalelas ecta de intesecção 9 a) omecemos po detemina a família de vectoes pependiculaes ao plano consideado, isto é, pependiculaes a dois vectoes não colineaes desse plano a, DF = ( 4, 4, 4) e FG = ( 0, 4, 0) Assim, 6
n DF ( a, b, c)( 4, 4, 4) 4a + 4b + 4c b n FG ( a, b, c)(0, 4, 0) 4b a = c Potanto, n = ( a, 0, a), com a IR \ {0}, tadu a família de vectoes não nulos pependiculaes a esse plano onsidee-se um desses vectoes - n = (, 0, ), po eemplo - e P (, um ponto genéico do plano consideado Dado que os vectoes a segui indicados são pependiculaes, temos: DP n (, +, (, 0, ) + Potanto, + é uma equação catesiana do plano DFG b) Dado que essa supefície esféica tem aio e cento no ponto de coodenadas (0, 0, ), pode se definida pela condição + + ( ) = 4 c) Paa que os vectoes consideados sejam colineaes, as suas coodenadas não nulas teão de se popocionais Dado que u = ( k + k, k, ) e H = (4, 0, 4), então teá de se: k k + k = 4 4 ± 4 + k = k = k = k = k = k = k = k = d) omo P [HE], então P (, 4) com Paa que a secção plana deteminada no cubo pelo plano MNP seja um quadado, teá de se PN = NM = 4 (poquê?) Logo, ( 0) + ( ) + (4 4) = 6 ( ) = = = + = Potanto, P (,, 4) 0 a) omo A = (0, 0, ), = (0, 4, 0) e = (0, 4, ) (poquê?), então um vecto diecto da ecta é o vecto A = ( 0, 4, ), podendo a ecta A se definida paameticamente po: + 4k = k, k IR Logo, eliminando o paâmeto k, = e, potanto, + 4 4 b) Nessa otação, o ponto A desceve uma cicunfeência no plano, com cento em e aio A, que pode se definida pela condição + = 9 b) Nessa mesma otação, consideemos o ectângulo [A], decomposto nos tiângulos ectângulos [A] e [A] volume pedido é a difeença ente os volumes dos sólidos geados pelo ectângulo [A] e pelo tiângulo ectângulo [A], espectivamente um cilindo e um cone π A Assim, V = π A = π A = π 9 4 = 4π a) omo o peímeto é π, o bodo da tampa tem uma unidade de aio Assim, Q = P PQ = =, pelo que Q (0, 0, ) Logo, = é uma equação do plano β b) a, + + 0 = = omo as coodenadas do ponto A veificam a equação da supefície esféica, então A é um dos seus pontos a, = A + A = (,, 0) + (,, 0) = (,, 0) 7
c) Dois vectoes nomais aos planos consideados são, espectivamente, A = ( 4, 6, 0) e n = (, k, ) Paa que os planos sejam pependiculaes, estes vectoes também teão de se pependiculaes Assim, A n 8 6k k = d) Uma condição vectoial que define o segmento [A] é (, = (,, 0) + k(,, 0), k [ 0, ] 4, donde: = k = k, k k = 0 = [ 0, ] k =, k [ 0, ] Logo, ( = 0 ) = 0 segmento de ecta [A] define analiticamente o a) omecemos po detemina a intesecção do plano α com o eio : 5 + = Logo, Q (0,, 0) = vecto n α = ( 5,, ), nomal ao plano α, é diecto da ecta pedida Assim, uma equação vectoial da ecta pedida é (, = (0,, 0) + k(5,, ), k IR b) s vectoes n α = ( 5,, ) e nπ k = ( k, 5k, ) (não nulos) são nomais, espectivamente aos planos efeidos a, n α n π = 5k + 5k, k IR Logo, sendo pependiculaes estes dois vectoes paa k todo o k eal, os planos são pependiculaes qualque se seja k b) Paa que um desses planos seja o plano mediado do segmento [A], o ponto A tem de petence a esse plano e os vectoes π = ( k, 5k, ) e A = (,, ) têm de se colineaes a, n k k ( 5k) + k 5k = = k = k = 5 k Logo, não eiste qualque k IR que veifique a condição fomulada a) s tês eios coodenados intesectam essa supefície esféica em seis pontos (dois po eio), sendo quaisque tês deles não colineaes Potanto, escolhidos quaisque desses pontos eles definem um tiângulo Se se de ao tabalho, podeá confima que com esses 6 pontos se podem defini 0 tiângulos distintos (basta conta os subconjuntos de {, D, E, F G, H} com tês elementos) Desses 0 tiângulos, apenas 4 deles ([DEF], [DEG], DFG] e [EFG]) estão contidos no plano definido po 4 Logo, a pobabilidade pedida é p = % 0 b) asta mosta que o ponto A petence a esse plano e que o vecto A é nomal ao plano que se veifica: a, 4 4 + = 5 5 = 5, logo A petence ao plano consideado; omo A = ( 0, 4, ) = nα, sendo n α um vecto nomal ao plano α, então também A é nomal ao plano 8 c) As coodenadas do ponto são tais que + + = 5 < 0 = 5, pois petence à supefície esféica e ao semieio negativo Logo, ( 0, 0, 5)
omo a ecta pode se definida po temos: + 5 =, pois : (, = (0, 0, 5) + k(0, 4, 8), k IR, 4 8 () 4 + = 5 () 8 4 = 70 4 + = 5 = 5 = 0 Logo, o ponto pedido tem coodenadas ( 0, 0, 5) d) a, ˆ A (0, 4, 8)(0, 4, 8) 6 + 64 cos ( A ) = = = = A 6 + 64 6 + 64 80 5 omo o ângulo é agudo (poquê), então ˆ 4 sen ( A) = + ( ) = e, potanto, 5 5 4 4 tg ( A ˆ ) = = 5 5 4 a) aco A é um aco de semicicunfeência, logo o ângulo inscito A é ecto Assim, as ectas concoentes A e A são pependiculaes b) Uma equação vectoial da ecta é (, = (0, 5, 0) + k(0, 0, ), k IR c) omo a ecta é pependicula ao plano é pependicula a todas ectas desse plano e, paticulamente, à ecta A Logo o vecto A é pependicula à ecta () Já justificámos na alínea a) que a ectas A e A são pependiculaes Logo o vecto A é pependicula à ecta A () Potanto, po () e (), podemos conclui que o vecto A é pependicula ao plano AD, pois é pependicula a duas ectas concoentes desse plano Um vecto nomal ao plano é A = ( 4, 8, 0), pelo que a equação pocuada é do tipo 4 8 + d Dado que o ponto (0, 5, 0) é um ponto desse plano, então as suas coodenadas têm de veifica a equação anteio Assim, como 0 40 + d d = 40, uma equação do plano consideado é + 0 d) volume do cilindo é dado po V = π D D onsideando o tiângulo ectângulo [D], temos tg α = D = tg α, com α 0, π Assim, vem V ( α ) = π tg α = 5 π tg α, com α 0, π, sendo lim V ( α ) = +, pois π α lim tg α = + Podemos fae a seguinte intepetação: o volume do cilindo pode se tão gande quanto se π α queia, desde que o ângulo D se apoime suficientemente do ângulo ecto 5 a) omo sabemos, um heágono egula pode se cicunscito po uma cicunfeência de aio igual ao lado do heágono Designando po Q o ponto de intesecção da aesta [A] com o eio, podemos considea o tiângulo ectângulo [Q], onde Q = e = 4 Assim, Q = 4 = e, potanto, (,, 0) a, F = + F, donde F = (,, 0) + (0, 0, ) = (,, ) omo G é simético de F em elação ao plano, vem G = (,, ) b) omo D = ( 0, 4, ), então DG = (,, ) (0, 4, ) = (, 6, 0) Assim, uma equação vectoial da ecta DG pode se (, = (0, 4, ) + k(, 6, 0), k IR, donde se obtém: + 4 = = e, potanto, = + = 4, cqm 6 ( ) () 9
c) a, ( = + = 4) = = = 0 = Potanto, a intesecção da ecta DG com o plano que contém a face [AFE] é o ponto de coodenadas (, 0, ) 6 a) plano consideado intesecta o cubo segundo o ectângulo [PUV] a, as ectas UP e T são pependiculaes, pois as diagonais da face de um cubo são pependiculaes Po outo lado, a ecta UV é pependicula ao plano PQU, logo pependicula à ecta QT contida nesse plano Assim, podemos conclui que o vecto QT = (, 0, ) é nomal ao plano PUV, pelo que a equação pocuada é do tipo + + d Dado que o ponto V (, 0, ) é um ponto desse plano, então as suas coodenadas têm de veifica a equação anteio Assim, como 4 + 4 + d d, uma equação do plano consideado é b) cento dessa supefície esféica é o cento do cubo, que designaemos po A (,, ) Logo, o aio é = RA = ( ) + ( 0) + ( 0) equação ( ) + ( ) + ( ) = =, cqm Potanto, essa supefície esféica pode se definida pela c) A áea pedida coesponde à sombeada na figua ao lado, onde [PUV] é um ectângulo inscito num cículo de aio Dado que UV = e V =, a áea pedida é A = π ( ) = π 4 Pofesso 0