Prova Escrita de Matemática B

Transcrição

1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Deceto-Lei n.º 139/01, de 5 de julho Pova Escita de Matemática B 10.º e 11.º Anos de Escolaidade Pova 735/.ª Fase 13 Páginas Duação da Pova: 150 minutos. Toleância: 30 minutos. 013 Pova 735/.ª F. Página 1/ 13

2 Utilize apenas caneta ou esfeogáfica de tinta indelével, azul ou peta, exceto nas espostas que impliquem constuções, desenhos ou outas epesentações, que podem se pimeiamente feitos a lápis e a segui passados a tinta. Utilize a égua, o compasso, o esquado, o tansfeido e a calculadoa gáfica sempe que fo necessáio. Não é pemitido o uso de coeto. Em caso de engano, deve isca de foma inequívoca aquilo que petende que não seja classificado. Esceva de foma legível a numeação dos gupos e dos itens, bem como as espetivas espostas. As espostas ilegíveis ou que não possam se claamente identificadas são classificadas com zeo pontos. Paa cada item, apesente apenas uma esposta. Se esceve mais do que uma esposta a um mesmo item, apenas é classificada a esposta apesentada em pimeio luga. Em todas as espostas, indique todos os cálculos que tive de efetua e todas as justificações necessáias. Sempe que, na esolução de um poblema, ecoe à calculadoa, apesente todos os elementos ecolhidos na sua utilização. Mais pecisamente, sempe que ecoe: às potencialidades gáficas da calculadoa, apesente o(s) gáfico(s) obtido(s), bem como as coodenadas dos pontos elevantes paa a esolução do poblema poposto (po exemplo, coodenadas de pontos de intesecção de gáficos, máximos, mínimos, etc.); a uma tabela obtida na calculadoa, apesente todas as linhas da tabela elevantes paa a esolução do poblema poposto; a estatísticas obtidas na calculadoa (média, desvio padão, coeficiente de coelação, declive e odenada na oigem de uma eta de egessão, etc.), apesente a(s) lista(s) que intoduziu na calculadoa paa as obte. A pova inclui, na página 3, um Fomuláio. As cotações dos itens encontam-se no final do enunciado da pova. Pova 735/.ª F. Página / 13

3 Fomuláio Geometia Compimento de um aco de cicunfeência: a^a-amplitude, em adianos, do ânguloaocento; -aioh ou a ^a -amplitude, em gaus, do ânguloaocento; -aioh 180 Pogessões Soma dos n pimeios temos de uma pogessão _ u n i: Pogessão aitmética: u + u n 1 n # Pogessão geomética: u 1 # n Áeas de figuas planas Losango: Tapézio: Diagonal maio # Diagonal meno Base maio+ Base meno # Altua Polígono egula: Semipeímeto # Apótema Secto cicula: a a 360 ^a -amplitude, em adianos, do ânguloaocento; -aioh ou ^a -amplitude, em gaus, do ânguloaocento; -aioh Áeas de supefícies Áea lateal de um cone: g^ -aioda base; g-geatizh Áea de uma supefície esféica: 4 ] - aiog Pobabilidades e Estatística Se X é uma vaiável aleatóia disceta de valoes x i com pobabilidade p i, então: : Valomédio de X: n = px+ f + px 1 1 : Desviopadão de X: v = p ] x - ng + f + p ^x - nh 1 1 n Se X é uma vaiável aleatóia nomal de valo médio n e desvio padão v, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 P] n- v 1 X 1 n+ vg , P] n- 3v 1 X 1 n+ 3vg , n n n Áea lateal de um cilindo eto: g^ -aioda base; g-geatizh Volumes Piâmide: 1 # Áeadabase # Altua 3 Cone: 1 # Áeadabase # Altua Esfea: ] - aiog 3 Cilindo: Áeadabase# Altua Pova 735/.ª F. Página 3/ 13

4 GRUPO I Uma escola secundáia está a eoganiza a ludoteca. 1. A chave que abe a pota da ludoteca está num pota-chaves, juntamente com outas duas chaves que não abem essa pota. Um pofesso tem esse pota-chaves e que abi a pota da ludoteca, mas não sabe qual das tês chaves deve usa. Na pimeia tentativa paa abi a pota, escolhe, ao acaso, uma das tês chaves; se esta chave não fo a que abe a pota, coloca-a de pate e, numa segunda tentativa, escolhe, ao acaso, uma das outas chaves; se esta chave também não abi a pota, coloca-a de pate e, finalmente, usa a teceia chave paa abi a pota Na pimeia tentativa, o pofesso não escolheu a chave que abia a pota da ludoteca. Qual é a pobabilidade de abi a pota à segunda tentativa? Justifique a sua esposta. 1.. Seja X a vaiável aleatóia «númeo de chaves usadas pelo pofesso até abi a pota». Detemine o desvio padão da vaiável aleatóia X Apesente o esultado aedondado às décimas. Na sua esposta, deve apesenta a tabela de distibuição da vaiável aleatóia X Em cálculos intemédios, não poceda a aedondamentos. Pova 735/.ª F. Página 4/ 13

5 . Na ludoteca, existem divesos jogos, ente eles, o Quato em Linha e o xadez. O tabuleio de xadez tem a foma de um quadado, dividido em 64 quadados iguais, como ilusta a Figua A B C D E F G H Figua 1 As peças do Quato em Linha são planas, têm foma cicula e são todas do mesmo tamanho. Um aluno, o José, pensou em empilha peças do Quato em Linha no tabuleio de xadez da seguinte foma: no quadado A1, petendia coloca uma peça; no quadado B1, petendia coloca duas peças sobepostas; no quadado C1, petendia coloca quato peças sobepostas; e assim sucessivamente, petendendo coloca em cada quadado o dobo do númeo de peças colocadas no quadado anteio, até todos os quadados do tabuleio estaem peenchidos com peças. Um outo aluno, o Rui, depois de sabe o que o José petendia, afimou: «Mesmo que demoasses segundos a coloca cada uma das peças e houvesse um númeo suficiente de peças, não conseguiias seque peenche metade dos quadados do tabuleio, ainda que estivesses duante 100 anos, ininteuptamente, a empilha peças dessa foma.» Moste que a afimação do Rui é coeta. Nota Considee que um ano tem 365 dias. Sugestão Na sua esposta, podeá detemina quantos anos seiam necessáios paa o José peenche metade dos quadados do tabuleio. Pova 735/.ª F. Página 5/ 13

6 GRUPO II Os alunos de uma tuma, oganizados em gupos de tabalho, ealizaam váias atividades de caácte intedisciplina no dia do anivesáio da sua escola. 1. No âmbito de uma das atividades, os alunos de um dos gupos de tabalho fizeam egistos peiódicos da tempeatua de um chá, duante um ceto peíodo de tempo em que o chá aefecia. Admita que a tempeatua do chá, T, em gaus Celsius, t minutos após te sido feito o pimeio egisto, é dada po T t 18 70e 005, t ^ h= + paa t $ Sabe-se que, nesse dia, o pimeio egisto da tempeatua do chá foi feito às 11 hoas, o segundo egisto às 11 hoas e 05 minutos, o teceio egisto às 11 hoas e 10 minutos, e assim sucessivamente, de modo que o intevalo de tempo decoido ente quaisque dois egistos consecutivos foi exatamente 5 minutos. Detemine, de acodo com o modelo apesentado, a vaiação da tempeatua do chá ente o instante em que foi feito o pimeio egisto e o instante em que foi feito o oitavo egisto. Apesente o esultado em gaus Celsius, aedondado às unidades. Se, em cálculos intemédios, pocede a aedondamentos, conseve, pelo menos, uma casa decimal. 1.. Um dos alunos desse gupo concluiu, coetamente, que «o valo da taxa de vaiação instantânea da função T, paa t = 1, é apoximadamente igual a -3,3 ºC/min». Intepete, no contexto da situação descita, o significado da conclusão obtida pelo aluno. Pova 735/.ª F. Página 6/ 13

7 . Outa das atividades ealizadas pelos alunos de um gupo de tabalho consistiu em detemina o valo do ph de algumas soluções aquosas. Esse valo depende da concentação de iões H 3 O + existente na solução e indica a sua acidez ou a sua alcalinidade. À tempeatua de 5 ºC, uma solução aquosa é consideada ácida se o valo do seu ph fo infeio a 7 e é consideada alcalina se o valo do seu ph fo supeio a 7. No caso de o valo do ph se igual a 7, nas mesmas condições de tempeatua, considea-se que a solução é neuta. Seja x a concentação de iões H 3 O +, em mol/dm 3, numa deteminada solução aquosa e y o valo do seu ph. Sabe-se que: y = log ^xh Um dos alunos deteminou coetamente a concentação de iões H 3 O +, em mol/dm 3, existente na água pua, que, à tempeatua de 5 ºC, é consideada uma solução neuta. Qual foi o valo obtido pelo aluno paa essa concentação? Justifique a sua esposta... Outos alunos deteminaam coetamente a concentação de iões H 3 O +, em mol/dm 3, de quato soluções aquosas e egistaam os valoes encontados numa tabela como a que se segue. Solução aquosa Concentação de iões H 3 O + (mol/dm 3 ) Sumo de limão 5, Chá 3, Água do ma Lixívia 3, Com base nesses valoes, um dos alunos apesentou as seguintes conclusões: III) A água do ma é uma solução alcalina. III) O valo do ph da lixívia é exatamente igual a 14 III) O valo do ph do chá é supeio ao tiplo do valo do ph do sumo de limão. Justifique, numa pequena composição, que a afimação I) é vedadeia e que as afimações II) e III) são falsas. Pova 735/.ª F. Página 7/ 13

8 GRUPO III Junto a uma piscina infantil de um complexo tuístico, petende-se constui, numa supefície plana, uma zona de laze, fomada po duas egiões distintas, uma pavimentada e a outa elvada. A Figua mosta um esquema utilizado no estudo que seviu de base à elaboação do pojeto da zona de laze. R P a 8 m Q Figua Desse esquema, constuído a pati de uma semi cicunfeência de diâmeto 6 PQ@, sabe-se que: PQ = 8m o ponto R é um ponto móvel da semicicunfeência de diâmeto 6 PQ@ o tiângulo 6 PQR@ epesenta a egião que se petende pavimenta; os dois semicículos, que estão a sombeado, têm diâmetos epesentam a egião que se petende elva; a é a amplitude, em adianos, do ângulo QPR, com 0 < a < 6 PR@ e 6 RQ@, espetivamente, e 1. Moste que a áea da egião que se petende elva, epesentada a sombeado na Figua, é exatamente igual a 8 m, seja qual fo o valo de a Sugestão Na sua esposta, podeá começa po obte PR e RQ em função de a. A áea, A, em m, da egião tiangula que se petende pavimenta é dada, em função de a, po A^ah= 3 sen^ahcos^ah paa 0 < a <.1. Detemine paa que valoes de a a áea da egião que se petende pavimenta é supeio a 10 m Apesente o esultado na foma de intevalo de númeos ab6,, com os valoes de a e de b, em adianos, aedondados às centésimas. Pova 735/.ª F. Página 8/ 13

9 .. Seja c um númeo eal, difeente de 5 Existe um único valo de c paa o qual a taxa de vaiação média da função A no intevalo é igual a zeo. ;, c 5 E Detemine o valo de c Apesente o esultado em adianos, aedondado às centésimas. Se, em cálculos intemédios, pocede a aedondamentos, conseve, pelo menos, duas casas decimais..3. Na Figua 3, apesenta-se um esboço do gáfico da função F Esta função dá, em m /ad, a taxa de vaiação instantânea da função A, paa cada valo de a F(a) O 4 a Figua 3 Tal como a Figua 3 ilusta, a função F tem um único zeo, 4 Intepete, no contexto do poblema, o facto de a função F muda de sinal, passando de positiva a negativa, em a = 4 Justifique a sua esposta com base na elação existente ente o sinal da função F e a monotonia da função A Pova 735/.ª F. Página 9/ 13

10 GRUPO IV Se uma supefície plana fo totalmente peenchida com figuas geométicas, de modo a não existiem espaços nem sobeposições ente elas, obtém-se uma pavimentação. Os polígonos egulaes são fequentemente usados em pavimentações. 1. No âmbito das comemoações do centenáio da República Potuguesa, a empesa Coeios de Potugal emitiu uma séie filatélica dedicada ao Palácio de Belém. A Figua 4 apesenta uma fotogafia da Sala das Bicas, epoduzida num dos selos que integam essa séie. Figua 4 O chão da sala, em mámoe, foi pavimentado com mosaicos octogonais, de co banca, e com mosaicos quadados, de co peta A Figua 5 mosta um esquema de dois octógonos egulaes como os dos mosaicos que pavimentam a Sala das Bicas, com o lado comum [PQ]. No esquema, está assinalado um ângulo inteno de um dos octógonos. Q P Figua 5 Moste que, quando se petende pavimenta uma supefície plana de modo que num ponto concoam apenas tês polígonos, todos egulaes, dois dos quais são octógonos, então o outo só pode se quadado. Pova 735/.ª F. Página 10/ 13

11 1.. Os mosaicos bancos utilizados paa pavimenta o chão da Sala das Bicas são todos iguais e têm a foma de um octógono egula. Os mosaicos petos utilizados também são todos iguais e têm a foma de um quadado. A Figua 6 mosta um esquema, que não está à escala, no qual se apesenta o modo como os mosaicos foam dispostos no chão da sala. A pavimentação foi feita sem que nenhum dos mosaicos bancos tivesse sido cotado; apenas foam cotados alguns dos mosaicos petos, tal como o esquema ilusta. 10,43m 11,30 m Figua 6 Sabe-se que: cada mosaico banco tem 18 cm de lado; a pavimentação da sala ocupa um etângulo com 11,30 m de compimento e 10,43 m de lagua Moste que, no total, foam utilizados 64 mosaicos bancos na pavimentação do chão da Sala das Bicas. Em cálculos intemédios, conseve tês casas decimais Detemine a áea total ocupada pelos mosaicos petos. Apesente o esultado em metos quadados, aedondado às unidades. Em cálculos intemédios, conseve tês casas decimais. Note que o númeo de mosaicos bancos utilizados na pavimentação do chão da Sala das Bicas é 64 Pova 735/.ª F. Página 11/ 13

12 . Numa pavimentação, foi usado um ceto quadado. Em elação a esse quadado, sabe-se que são tês temos consecutivos de uma pogessão aitmética, pela odem indicada, os valoes coespondentes ao compimento do lado, em centímetos; ao peímeto, em centímetos; à áea, em centímetos quadados. Qual é o compimento, em centímetos, do lado desse quadado? Justifique a sua esposta. FIM Pova 735/.ª F. Página 1/ 13

13 COTAÇÕES 1. GRUPO I pontos pontos pontos 40 pontos 1.. GRUPO II pontos pontos pontos pontos 55 pontos GRUPO III pontos pontos pontos pontos 60 pontos 1. GRUPO IV pontos pontos pontos pontos 45 pontos TOTAL pontos Pova 735/.ª F. Página 13/ 13