Notas de Aula do Curso ET584: Probabilidade 4

Notas de Aula do Curso ET584: Probabilidade 4 Leadro Chaves Rêgo, Ph.D. 2010.1

Prefácio Estas otas de aula foram feitas para compilar o coteúdo de várias referêcias bibliográcas tedo em vista o coteúdo programático da disciplia ET584-Probabilidade 4 do curso de graduação em Estatística da Uiversidade Federal de Perambuco. Em particular, elas ão cotém ehum material origial e ão substituem a cosulta a livros textos. Seu pricipal objetivo é dispesar a ecessidade dos aluos terem que copiar as aulas e, deste modo, poderem se cocetrar em eteder o coteúdo das mesmas. Recife, março de 2010. Leadro Chaves Rêgo, Ph.D. i

Coteúdo Prefácio 1 Revisão de Sequêcias de Números Reais e Séries Numéricas 1 1.1 Sequêcias de Números Reais.......................... 1 1.1.1 Limite de uma sequêcia......................... 2 1.1.2 Propriedades Aritméticas dos Limites.................. 6 1.1.3 Valores de aderêcia, lim if, lim sup.................. 8 1.1.4 Sequêcias de Cauchy.......................... 9 1.2 Séries de Números Reais............................. 10 1.2.1 Critérios de Covergêcia........................ 12 1.2.2 Covergêcia Absoluta.......................... 15 1.2.3 Ordes de Magitude........................... 16 1.3 Série de Taylor.................................. 17 2 Covergêcia Estocástica 21 2.1 Seqüêcia de Evetos............................... 21 2.1.1 Borel-Cateli............................... 23 2.2 Covergêcia de Variáveis Aleatórias....................... 25 2.2.1 Tipos de Covergêcia.......................... 26 2.2.2 Relação Etre os Tipos de Covergêcia................ 31 2.3 Covergêcia de Vetores Aleatórios....................... 35 3 Fuções Características 36 3.1 Motivação..................................... 36 3.2 Deição...................................... 36 3.2.1 Propriedades............................... 37 3.2.2 Exemplos de Fuções Características.................. 41 3.3 Teorema da Cotiuidade de Levy........................ 42 3.4 Soma de um Número Aleatório de Variáveis Aleatórias............ 47 3.5 Fução Característica de um Vetor Aleatório.................. 49 3.6 Fuções Geratrizes de Mometo......................... 51 3.7 Teorema de Slutsky................................ 51 i ii

4 Lei dos Grades Números 54 4.1 Motivação..................................... 54 4.2 Lei Fraca dos Grades Números......................... 55 4.3 Lei Forte dos Grades Números......................... 58 4.4 Um Exemplo de Divergêcia das Médias.................... 65 5 Teorema Cetral do Limite 66 5.1 Motivação..................................... 66 5.2 Teoremas e provas................................ 66 5.3 Teorema Cetral do Limite: Caso Multivariado................ 73 5.4 Método Delta................................... 74 Referêcias Bibliográcas 77 iii

Capítulo 1 Revisão de Sequêcias de Números Reais e Séries Numéricas 1.1 Sequêcias de Números Reais Ituitivamete, uma sequêcia de úmeros reais x 1, x 2, x 3,... é uma sequêcia de potos da reta e o seu limite é um poto do qual os potos x toram-se e permaecem arbitrariamete próximos, desde que se tome o ídice sucietemete grade. Exemplo 1.1.1: Seja x = 1 + 1, para = 1, 2, 3,.... Note que a medida que cresce todos os potos desta sequêcia se toram arbitrariamete próximos de 1, que como veremos adiate é o limite desta sequêcia. Formalmete, Deição 1.1.2: Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução x : IN IR, deida o cojuto IN = {1, 2, 3,...} dos úmeros aturais e tomado valores o cojuto IR dos úmeros reais. O valor x(), para todo IN, será represetado por x e chamado de -ésimo termo da sequêcia. Escreveremos (x 1, x 2,..., x,...), ou (x ) para idicar a sequêcia x. Não se deve cofudir a sequêcia x com o cojuto x(in) dos seus termos. Para este cojuto usaremos a otação x(in) = {x 1, x 2,..., x,...}. A fução x ão é ecessariamete ijetiva: pode-se ter x m = x com m, ou seja, podem haver termos diferetes que assumem o mesmo valor, ou em outras palavras, podem haver termos repetidos em uma sequêcia. Diz-se que a sequêcia (x ) é limitada quado o cojuto dos seus termos é limitado, isto é, quado existem úmeros reais a, b tais que a x b para todo IN. Quado uma sequêcia ão é limitada, diz-se que ela é ilimitada. Uma sequêcia (x ) é limitada superiormete quado existe um úmero real b tal que x b para todo IN. Aalogamete, (x ) é limitada iferiormete quado existe a real tal que a x para todo IN. É fácil ver que uma sequêcia é limitada se, e somete se, ela for limitada iferiormete e superiormete. Por outro lado, existem algumas sequêcias 1

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 2 ilimitadas que são limitadas iferiormete ou superiormete. O próximo exemplo, ilustra melhor a questão. Exemplo 1.1.3: A sequêcia x = 1 + 1 é limitada, pois por exemplo, temos que 0 x 3 para todo IN. Por outro lado, a sequêcia x = 2 é ilimitada, mas limitada iferiormete pois x 0 para todo. Fialmete, a sequêcia x = ( 2) é ilimitada, ão é limitada iferiormete em superiormete. Dada uma sequêcia (x ) de úmeros reais, uma subsequêcia de (x ) é um sequêcia (portato, deve coter iitos termos) cujos termos são termos da sequêcia (x ) e a ordem em que estes termos aparecem a subsequêcia deve ser a mesma em que eles aparecem a sequêcia origial (x ). Exemplo 1.1.4: Seja a sequêcia x = ( 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...), uma subsequêcia de x é y = (4, 16, 64, 256,...). Por outro lado, z = (4, 16) ão é uma subsequêcia de x, pois ão é uma sequêcia já que possui apeas 2 termos. Também temos que w = (4, 2, 16, 8, 64, 32,...) ão é uma subsequêcia de x já que os termos em w ão aparecem a mesma ordem em que aparecem em x, ou seja, por exemplo, em x o termo -2 precede o termo 4, mas o mesmo ão é verdade em w. Formalmete, dada uma sequêcia x, uma subsequêcia de x é a restrição da fução x a um subcojuto iito IN = { 1 < 2 <... < i <...} de IN. Escreve-se x = (x ), IN ou (x 1, x 2,..., x i,...) ou (x i ) i IN para idicar a subsequêcia x. Uma sequêcia chama-se crescete (resp., decrescete) quado x 1 < x 2 < x 3 <... (resp., x 1 > x 2 > x 3 >...). Se vale x x +1 (resp., x x +1 ) para todo, a sequêcia diz-se ão-decrescete (resp., ão-crescete). As sequêcias crescetes, ão-decrescetes, decrescetes e ão-crescetes são chamadas sequêcias moótoas. Exemplo 1.1.5: x = 0, para todo IN. Ela é limitada, ão-crescete e ão-decrescete. Neste caso, temos que x(in) = {0}. Exemplo 1.1.6: x = 1 para todo ímpar; e x = 1 para todo par. Ela é limitada, porém ão é moótoa, e temos x(in) = { 1, 1}. Exemplo 1.1.7: x = 1/ para todo IN. Ela é moótoa decrescete e limitada. 1.1.1 Limite de uma sequêcia Ituitivamete, dizer que o úmero real a é limite da sequêcia (x ) sigica armar que, para valores muito grades de, os termos x toram-se e se matém tão próximos de a quato se deseje. Com um pouco mais de precisão: estipulado-se um erro por meio de um úmero real ɛ > 0, existe um ídice 0 (que depede de ɛ, em geral, que meor o erro ɛ maior terá que ser o 0 ) tal que todos os termos x que têm ídice maior que 0 são valores aproximados de a com erro iferior a ɛ. Formalmete, Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 3 Deição 1.1.8: O úmero real a é limite da sequêcia (x ) de úmeros reais, e escreve-se a = lim x, quado para todo úmero real ɛ > 0, existe um úmero atural 0 tal que x a < ɛ (o que é equivalete a x (a ɛ, a + ɛ)), sempre que > 0. Como a deição implica que para qualquer ɛ > 0 arbitrário, a distâcia etre x e a se tora meor que ɛ para sucietemete grade, podemos escrever de forma equivalete a deição da seguite maeira: o úmero real a é limite da sequêcia (x ) de úmeros reais, quado para alguma costate K real positiva, temos que para todo úmero real ɛ > 0, existe um úmero atural 0 tal que x a < Kɛ, sempre que > 0. A equivalêcia se dá pelo fato que Kɛ também é um úmero positivo e pode se torar tão pequeo quato se deseje apeas fazedo ɛ ser um úmero pequeo também. Observe que se lim x = a, etão qualquer itervalo (a ɛ, a + ɛ), de cetro a e raio ɛ > 0, cotém todos os termos x da sequêcia, com exceção de o máximo um úmero ito de ídices (os termos de x 1 até x 0 ). Reciprocamete, se qualquer itervalo de cetro a cotém todos os x, salvo talvez um úmero ito de ídices, etão lim x = a. Quado lim x = a, diz-se que a sequêcia (x ) coverge para a, ou tede para a e escreve-se x a. Uma sequêcia que possui limite chama-se covergete. Do cotrário, ela se chama divergete. Detre as sequêcias divergetes destacamos duas que possuem limites iitos: Deição 1.1.9: Uma sequêcia (x ) de úmeros reais tem limite (resp., ), e escrevese lim x = (resp., lim x = ), quado para todo úmero real M > 0, existe um úmero atural 0 tal que x > M (resp., x < M), sempre que > 0. Exemplo 1.1.10: A sequêcia x = 1/ para todo coverge para 0. Pois, dado qualquer ɛ > 0 existe 0 > 1/ɛ, etão para todo > 0, temos 1/ < 1/ 0 < ɛ, ou seja, > 0 x 0 < ɛ. Exemplo 1.1.11: Vamos provar que lim 2 +1 3+10 =. Para isto otamos que 2 +1 3+10 > 2 3+10, e que para 10, vale a desigualdade 2 3 + 10 2 3 + = 2 4 = 4. Por sua vez, /4 > M se > 4M. Portato, tomado 0 = max{10, 4M}, teremos > 0 2 + 1 3 + 10 > M. Exemplo 1.1.12: A sequêcia x = 1 + ( 1) é divergete. Note que dado qualquer ɛ > 0, para > 1 e par, temos que x ɛ 1 < ɛ. Por outro lado, para > 1 e ímpar, temos que ɛ x + 1 < ɛ. Logo, a sequêcia ca oscilado etre vizihaças dos úmeros -1 e 1, para grade. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 4 Exemplo 1.1.13: A sequêcia x 2 = 1 e x 2 1 = (+1), = 1, 2, 3,... coverge para 1. Pois, dado qualquer ɛ > 0, existe 0 > 1/ɛ, etão para todo > 0 e ímpar, temos + 1 1 = 1 < ɛ. Por outro lado, para todo > 0 e par, temos x 1 = 0 < ɛ. Portato, x 1. Para facilitar o cálculo do limite de sequêcias, vamos recordar a oção de limite de fuções reais. Ituitivamete, temos que dada uma fução real f(x) dizemos que o limite quado x tede a um úmero a é igual a L, se quado x se aproxima de a o valor de f(x) se aproxima de L. Mais formalmete, temos que lim x a f(x) = L se para todo erro ɛ > 0 existe um δ > 0 (que depede de ɛ) tal que para todo x (a δ, a + δ) que é diferete de a, temos que f(x) (L ɛ, L + ɛ). Por outro lado, quado queremos calcular o limite assitótico de uma dada fução, estamos iteressados em saber se quado x cresce arbitrariamete a fução f(x) tede a algum valor, deste modo dizemos que o limite quado x tede a iito é igual a L, se para x grade o suciete f(x) se tora tão próximo de L quato se queira. Mais formalmete, temos que lim x f(x) = L se para todo erro ɛ > 0 existe um úmero atural 0 > 0 (que depede de ɛ) tal que para todo úmero real x > 0, temos que f(x) (L ɛ, L + ɛ). Supoha que dada uma fução real f(x), uma sequêcia seja deida por x = f() para todo IN. Etão, se lim x f(x) = L, temos que para todo ɛ > 0, existe um úmero atural 0 > 0 tal que para todo úmero real x > 0, temos que f(x) (L ɛ, L + ɛ). Como todo úmero atural é um úmero real, temos que para todo atural > 0, x = f() (L ɛ, L + ɛ). Logo, lim x = L. Assim, toda vez que uma sequêcia (x ) for uma restrição, para x atural, de uma fução f(x) deida para x real, ou x > 0, temos que se lim x f(x) = L, podemos cocluir que x L. Deste modo, podemos utilizar osso cohecimeto sobre limites de fuções reais para calcularmos o limite de sequêcias. Em particular, podemos utilizar a regra de L'Hopital que diz que se lim x a f(x) = 0 e lim x a g(x) = 0, ou, se lim x a f(x) = e lim x a g(x) =, etão f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). Exemplo 1.1.14: Seja x = (1 e a/ ). Vamos calcular o limite da fução real x(1 e a/x ) quado x. Podemos reescrever esta fução da seguite maeira: (1 e a/x ). 1/x Note que tato o umerador quato o deomiador covergem para zero quado x. Utilizado a regra de L'Hopital, temos: (1 e a/x ) lim x 1/x Portato, o limite de x é igual a a. = lim x ( ax 2 e a/x ) x 2 = lim x ae a/x = a. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 5 É importate ressaltar que mesmo que a sequêcia seja deida a partir da restrição de uma fução real, o fato da sequêcia covergir para um certo limite L ão implica que a fução real tederá a L quado x. Por exemplo, cosidere a fução real f(x) tal que f(x) = 0 para x / IN e f(x) = 1 para x IN, temos que x = f() = 1 para todo IN. Logo, x 1, porém lim x f(x) 1. A seguir provaremos algus resultados sobre limites. Teorema 1.1.15: (Uicidade do limite). Se lim x = a e lim x = b, etão a = b. Prova: Seja lim x = a. Dado qualquer úmero real b a, mostraremos que ão se tem lim x = b. Para isso, tomemos ɛ = b a. Com essa escolha de ɛ, temos que os itervalos 2 (a ɛ, a + ɛ) e (b ɛ, b + ɛ) são disjutos. Ora, como lim x = a, existe 0 tal que > 0 implica que x (a ɛ, a + ɛ), e, portato, x / (b ɛ, b + ɛ) para todo > 0. Logo, lim x b. Teorema 1.1.16: a. Se lim x = a, etão toda subsequêcia de (x ) coverge para o limite Prova: Seja (x i ) uma subsequêcia de (x ). Dado ɛ > 0, existe 0 IN tal que > 0 x a < ɛ. Como os ídices da subsequêcia formam um subcojuto iito, existe etre eles um i0 > 0. Etão, i > i0 i > 0, o que por sua vez implica que x i a < ɛ. Logo lim i x i = a. Observação 1.1.17: Há duas aplicações dos Teoremas 1.1.15 e 1.1.16. Uma delas é para mostrar que uma certa sequêcia ão coverge: basta obter duas subsequêcias de (x ) com limites distitos. A outra é para determiar o limite de uma sequêcia (x ) que, a priori, se sabe que coverge: basta determiar o limite de alguma subsequêcia. Ele será o limite procurado. Exemplo 1.1.18: A sequêcia (1, 0, 1, 0, 1,...) ão é covergete pois admite duas subsequêcias costates que covergem para limites diferetes. Teorema 1.1.19: Toda sequêcia covergete é limitada. Prova: Seja a = lim x. Etão, tomado ɛ = 1, vemos que existe 0 IN tal que > 0 x (a 1, a+1). Cosideremos o cojuto ito F = {x 1, x 2,..., x 0, a 1, a+1}. Seja c o meor e d o maior elemeto de F. Etão, para 0, é óbvio que c x d e para > 0, temos que c a 1 < x < a + 1 d. Etão, todos os termos x da sequêcia estão cotidos o itervalo [c, d]; logo a sequêcia é limitada. Dada um cojuto de úmeros reais A, dee-se como uma cota superior (resp. iferior) para A como sedo qualquer úmero real c tal que c x (resp. c x) para todo x A. Por exemplo, se A = ( 1, 1], etão qualquer úmero maior ou igual a 1 é uma cota superior para A e qualquer úmero meor ou igual a -1 é uma cota iferior para A. Dee-se como o supremo (resp. ímo) de um cojuto A a meor (resp. maior) cota superior (resp. iferior) de A. No exemplo aterior, temos que supa = 1 e ifa = 1. Note que o supremo e/ou o ímo de um cojuto, ao cotrário de seu máximo e míimo, ão precisam ser elemetos do cojuto. No exemplo, ote que ifa / A. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 6 Teorema 1.1.20: Toda sequêcia moótoa limitada é covergete. Prova: Para xar as idéias, seja (x 1 x 2... x...) uma sequêcia ão-decrescete limitada. Tomemos a = sup{x : = 1, 2,...}. Armamos que a = lim x. Com efeito, dado qualquer ɛ > 0, como a ɛ < a, o úmero a ɛ ão é cota superior do cojuto dos x. Logo, existe algum 0 IN tal que a ɛ < x 0. Como a sequêcia é ão-decrescete, > 0 x 0 x e, portato, a ɛ < x. Como x a para todo (pela deição de supremo), vemos que > 0 a ɛ < x < a + ɛ, ou seja, lim x = a. 1.1.2 Propriedades Aritméticas dos Limites Estudaremos agora como se comportam os limites de sequêcias relativamete às operações aritméticas e às desigualdades. Teorema 1.1.21: Se lim x = 0 e (y ) é uma sequêcia limitada, etão lim x y = 0 (mesmo que ão exista lim y ). Prova: Existe c > 0 tal que y < c para todo IN. Dado ɛ > 0, como lim x = 0, podemos ecotrar 0 IN tal que > 0 x < ɛ c. Logo, > 0 x y = x y < ɛ c c = ɛ. Isto mostra que x y 0. se(x) Exemplo 1.1.22: Qualquer que seja x IR, temos lim se(x) 1, com se(x) 1 e 1 0. Teorema 1.1.23: Se lim x = a e lim y = b, etão 1. lim (x + y ) = a + b; lim (x y ) = a b; = 0. Com efeito, se(x) = 2. lim (x y ) = a b; 3. lim (x /y ) = a/b se b 0 e y 0,. Prova: Para parte 1, dado ɛ > 0 existem 1 e 2 em IN tais que > 1 x a < ɛ 2 e > 2 y b < ɛ 2. Seja 0 = max{ 1, 2 }. Etão, > 0 > 1 e > 2. Logo > 0 implica: (x + y ) (a + b) = (x a) + (y b) x a + y b < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Isto prova que lim (x + y ) = a + b. O caso da difereça x y se trata do mesmo modo. Para parte 2, temos x y ab = x y x b+x b ab = x (y b)+(x a)b. Ora, (x ) pelo Teorema 1.1.19 é uma sequêcia limitada e pela parte 1, temos que lim (y b) = 0. Logo, pelo Teorema 1.1.21, lim [x (y b)] = 0. Por motivo semelhate, lim [(x a)b] = 0. Assim, pela parte 1, já demostrada, temos lim (x y ab) = lim [x (y b)]+lim [(x a)b] = 0, dode lim x y = ab. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 7 Para parte 3, otemos que, como pela parte 2, y b b 2, existe 0 tal que > 0 y b > b2 (basta tomar ɛ = b2 ). Segue-se que, para todo > 1 2 2 0, y é um úmero positivo b iferior a 2. Logo, a sequêcia ( 1 b 2 y b ) é limitada. Como temos que, x a y b = bx ay y b = (bx ay ) 1 y b. Como pelas partes 1 e 2, lim (bx ay ) = ab ab = 0, segue-se do Teorema 1.1.21 que lim ( x y a) = 0 e, portato, lim b x y = a. b Observação 1.1.24: É claro que resultados aálogos aos ítes 1 e 2, do Teorema 1.1.23 valem para qualquer úmero ito de sequêcias. Por exemplo, se lim x = a, lim y = b, e lim z = c, etão lim (x +y +z ) = a+b+c e lim (x y z ) = abc. Cotudo, deve-se tomar cuidado de ão tetar aplicar o teorema para certas somas (ou produtos) em que o úmero de parcelas é variável e cresce acima de qualquer limite. Por exemplo, seja s = 1 +... + 1 ( parcelas). Etão, s = 1 e, portato, lim s = 1. Por outro lado, cada parcela 1 tem limite zero. Uma aplicação descuidada do Teorema 1.1.23 levaria ao absurdo de cocluir que lim s = lim 1/ +... + lim 1/ = 0 +... + 0 = 0. Teorema 1.1.25: Sejam x y para todo IN, lim x = a, e lim y = b, etão a b. Prova: Supoha por cotradição que a > b. Seja ɛ = a b. Etão, por hipótese existem 2 1 e 2 tais que > 1 x (a ɛ, a + ɛ) e > 2 y (b ɛ, b + ɛ). Podo 0 = max{ 1, 2 }, vemos que > 0 implica y < b + ɛ = a+b = a ɛ < x 2, absurdo. Observação 1.1.26: O resultado aálogo ao do Teorema 1.1.25 para desigualdades estritas ão é válido. Ou seja, ão é verdade que se x < y para todo IN, lim x = a, e lim y = b, etão a < b. Por exemplo, seja x = 0 e y = 1/ para todo IN. Temos que lim x = lim y = 0. Teorema 1.1.27: Sejam x z y para todo IN. Se lim x = lim y = a, etão lim z = a. Prova: Dado ɛ > 0, existem 1 e 2 tais que > 1 x (a ɛ, a + ɛ) e > 2 y (a ɛ, a+ɛ). Podo 0 = max{ 1, 2 }, vemos que > 0 implica a ɛ < x z y < a+ɛ. Portato, lim z = a. Vamos a seguir provar que limites são preservados a aplicações de fuções cotíuas. Recorde que uma fução f : IR IR é cotíua em a IR se para todo ɛ > 0, existe δ > 0, tal que x a < δ f(x) f(a) < ɛ. Teorema 1.1.28: Se lim x lim g(x ) = g(a). = a e g : IR IR é uma fução cotíua em a, etão Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 8 Prova: Escolha ɛ > 0, arbitrário. Como g é cotíua em a, existe δ > 0 tal que x a < δ g(x) g(a) < ɛ. Por outro lado, como x a, temos que existe 0 tal que > 0 x a < δ. Portato, para > 0, temos que g(x ) g(a) < ɛ. Ou seja, lim g(x ) = g(a). 1.1.3 Valores de aderêcia, lim if, lim sup Deição 1.1.29: Um úmero real a chama-se valor de aderêcia de uma sequêcia (x ) quado a é limite de alguma subsequêcia de (x ). Exemplo 1.1.30: Se lim x = a, etão a é o úico valor de aderêcia de (x ). A sequêcia (0, 1, 0, 2, 0, 3,...) tem 0 como seu úico valor de aderêcia, embora ão seja covergete. A sequêcia (0, 1, 0, 1, 0,...) tem como valores de aderêcia 0 e 1. Seja x =, a sequêcia (x ) ão possui valores de aderêcia. O próximo teorema mostra que um úmero real a é valor de aderêcia de uma sequêcia (x ) se, e somete se, toda vizihaça de a cotem iitos termos de (x ). Teorema 1.1.31: a é valor de aderêcia de (x ) se, e somete se, para todo ɛ > 0 e todo 0 IN existir IN tal que > 0 e x (a ɛ, a + ɛ). Prova: Supoha que a é um valor de aderêcia de (x ). Etão, existe uma subsequêcia (x i ) tal que lim i x i = a, ou seja, para todo ɛ > 0, existe i0, tal que i > i 0 x i (a ɛ, a + ɛ). Etão, dado qualquer 0, como (x i ) cotém iitos termos de (x ), existe i > 0 tal que i > i 0 e, cosequetemete, x i (a ɛ, a + ɛ). Reciprocamete, supoha que para todo ɛ > 0 e todo 0 IN exista IN tal que > 0 e x (a ɛ, a + ɛ). Vamos costruir uma subsequêcia (x i ) tal que lim i x i = a, mais especicamete, vamos costruir uma subsequêcia tal que x i (a 1/i, a + 1/i). Por suposição, existe 1 tal que x 1 (a 1, a + 1), vamos deir os demais termos da subsequêcia por idução. Supoha que exista i > i 1 tal que x i (a 1/i, a + 1/i), queremos provar que existe i+1 > i tal que x i+1 (a 1, a + 1 ). Por suposição, para i+1 i+1 ɛ = 1 e i+1 0 = i, existe um > 0 tal que x (a 1, a + 1 ). Chamemos este de i+1 i+1 i+1, e costruímos a desejada subsequêcia. Etão, temos que a é limite desta subsequêcia (x i ) e, portato, valor de aderêcia de (x ). Seja (x ) uma sequêcia limitada de úmeros reais. Mostraremos que o cojuto de valores de aderêcia de (x ) ão é vazio, que etre eles existe um que é o meor de todos e outro que é o maior, e que a sequêcia coverge se, e somete se, possui apeas um valor de aderêcia. Supoha que α x β para todo IN. Escrevamos X = {x, x +1,...}. Temos [α, β] X 2... X... Logo, deido a = if X e b = sup X, temos α a 1 a 2... a... b... b 2 b 1 β Como toda sequêcia mootôica e limitada é covergete, temos que a a e b b. Escreve-se a = lim if x e b = lim sup x e diz-se que a é o limite iferior e que b é o limite superior da sequêcia (x ). Como a b, tem-se lim if x lim sup x. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 9 Exemplo 1.1.32: Sejam x 2 1 = 1 e x 2 = 1 + 1. Verica-se sem diculdade que if X 2 2 = if X 2 1 = 1 e sup X 2 1 = sup X 2 = 1 + 1. Logo, lim if x = 0 e lim sup x = 1 e estes são os dois úicos valores de aderêcia da sequêcia (x ). Teorema 1.1.33: Seja (x ) uma sequêcia limitada. Etão, lim if x é o meor valor de aderêcia e lim sup x é o maior valor de aderêcia de (x ). Prova: Provaremos iicialmete que a = lim if x é valor de aderêcia de (x ). Para isto, usaremos o Teorema 1.1.31, e mostraremos que dados ɛ > 0 e 0 IN arbitrários, existe IN tal que > 0 e x (a ɛ, a + ɛ). Como a = lim a, existe 1 > 0 tal que a ɛ < a 1 < a + ɛ. Como a 1 = if X 1, segue-se da última igualdade que a + ɛ (sedo maior que a 1 ) ão é cota iferior de X 1. Logo, existe 1 tal que a 1 x < a + ɛ. Isto os dá > 0 com a ɛ < x < a + ɛ. Mostremos agora que ehum úmero c < a pode ser valor de aderêcia de (x ). Ora, como a = lim a, segue-se de c < a que existe 0 IN tal que c < a 0 a. Como a 0 = if X 0, cocluímos que 0 c < a 0 x. Tomado ɛ = a 0 c, vemos que c + ɛ = a 0, logo o itervalo (c ɛ, c + ɛ) ão cotém termo x algum com 0. Isto exclui a possibilidade de c ser valor de aderêcia de (x ). A demostração para lim sup se faz de modo semelhate. Corolário 1.1.34: Uma sequêcia limitada de úmeros reais (x ) é covergete se, e somete se, lim if x = lim sup x, isto é, se, e somete se, possui um úico valor de aderêcia. Prova: Se (x ) covergir para a, etão vimos que a é o úico valor de aderêcia. Portato, lim if x = lim sup x = a. Se lim if x = lim sup x = a, etão supoha que x ão covirja para a. Logo, existe ɛ > 0, tal que para todo 0 N existe > 0 tal que x / (a ɛ, a + ɛ). Etão existe uma subsequêcia de (x ) cujos termos ão estão o itervalo (a ɛ, a + ɛ). Pelo Teorema 1.1.33, esta subsequêcia possui valores de aderêcia que são valores de aderêcia de (x ) e estão fora do itervalo (a ɛ, a + ɛ), uma cotradição. 1.1.4 Sequêcias de Cauchy Provamos ateriormete que toda sequêcia moótoa limitada é covergete. Isto os permite cocluir que uma sequêcia possui limite mesmo sem cohecermos o valor deste limite. Veremos agora o critério de Cauchy, que os dá uma codição ecessária e suciete para a covergêcia de úmeros reais. Deição 1.1.35: Uma sequêcia (x ) de úmeros reais é uma sequêcia de Cauchy quado dado qualquer ɛ > 0, existe um 0 IN tal que > 0 e m > 0 implica x m x < ɛ. A m de que (x ) seja uma sequêcia de Cauchy, exige-se que seus termos x m, x, para valores sucietemete grades de ídices e m, se aproximem e permaeçam arbitrariamete próximos us dos outros. Compare com a deição de limite, ode se exige que os termos x se aproximem e permaeçam arbitrariamete próximos de um úmero real a dado a priori. Aqui se impõe uma codição apeas sobre os termos da própria sequêcia. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 10 Teorema 1.1.36: Toda sequêcia covergete é de Cauchy. Prova: Seja lim x = a. Etão, dado ɛ > 0 existe 0 tal que > 0 x a < ɛ/2 e m > 0 x m a < ɛ/2. Logo, m, > 0 x m x x m a + x a < ɛ/2+ɛ/2 = ɛ, ou seja (x ) é uma sequêcia de Cauchy. Ituitivamete: se lim x = a etão, para valores grades de, os termos x se aproximam de a, e portato ecessariamete aproximam-se us dos outros. Teorema 1.1.37: Toda sequêcia de Cauchy de úmeros reais é covergete. Prova: Iremos provar este teorema utilizado dois Lemas. Lema 1.1.38: Toda sequêcia de Cauchy é limitada. Prova: Seja (x ) uma sequêcia de Cauchy. Tomado ɛ = 1, obtemos 0 IN tal que m, > 0 x m x < 1. Em particular para m = 0 + 1, > 0 x 0 +1 x < 1, ou seja, > 0 x (x 0 +1 1, x 0 +1 + 1). Sejam α o meor e β o maior elemeto do cojuto X = {x 1, x 2,..., x 0, x 0 +1 1, x 0 +1 + 1}. Etão, x [α, β] para todo IN, logo (x ) é limitada. Lema 1.1.39: Se uma sequêcia de Cauchy (x ) possui um valor de aderêcia a IR, etão lim x = a. Prova: Dado ɛ > 0, como (x ) é uma sequêcia de Cauchy, existe 0 IN tal que m, > 0 x m x < ɛ 2. Como a é valor de aderêcia de (x ), existe também 1 > 0 tal que x 1 a < ɛ/2. Portato, > 0 x a x x 1 + x 1 a < ɛ. Isto mostra que lim x = a. Etão, seja (x ) uma sequêcia de Cauchy. Pelo Lema 1.1.38, ela é limitada. Logo, pelo Teorema 1.1.33, possui um valor de aderêcia e segue do Lema 1.1.39 que (x ) coverge. 1.2 Séries de Números Reais Nesta seção, estederemos a operação de adição de modo a atribuir sigicado a uma igualdade do tipo 1 + 1 +... + 1 +... = 1, a qual o primeiro termo é uma soma com uma 2 4 2 iidade de parcelas. É claro que ão tem setido somar uma sequêcia iita de úmeros reais. O que o primeiro membro da igualdade acima exprime é o limite lim ( 1 + 1 1 +...+ ). 2 4 2 A armação cotida aquela igualdade sigica que para todo ɛ > 0 existe 0 tal que, para todo > 0, a soma 1 + 1 +... + 1 difere de 1 por meos de ɛ. 2 4 2 Deição 1.2.1: Seja (a ) uma sequêcia de úmeros reais. A partir dela, formamos uma ova sequêcia (s ) cujos elemetos são as somas s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2,..., s = a 1 +... + a, que são chamados de soma parcial ou reduzida da série a. A parcela a é chamada o -ésimo termo ou o termo geral da série. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 11 Se existir o limite s = lim s = lim (a 1 +... + a ), diremos que a série a é covergete e o limite s será chamado a soma da série. Escreveremos etão s = a = a = a 1 + a 2 +... + a +.... =1 Se a sequêcia de somas parciais ão covergir, diremos que a série a é divergete. Observação 1.2.2: Toda sequêcia (x ) de úmeros reais pode ser cosiderada como a sequêcia das reduzidas de uma série. Basta tomar a 1 = x 1 e a +1 = x +1 x para todo IN. Etão, a 1 +... + a = x 1 + (x 2 x 1 ) +... + (x x 1 ) = x. A série a assim obtida coverge se, e somete se, a sequêcia (x ) é covergete. No caso armativo, a soma desta série é igual a lim x. Assim falado, pode-se dar a impressão de que a teoria das séries coicide com a teoria dos limites de sequêcias. Isto ão é verdade, pelo seguite motivo. Ao estudar a série cujas reduzidas são s, estaremos deduzido suas propriedades a partir das difereças a = s s 1. Em vez de tomar como poto de partida o comportameto dos úmeros s, cocetraremos ateção sobre os termos a. A primeira codição ecessária para covergêcia de uma série é que seu termo geral teda para zero. Teorema 1.2.3: Se a é uma série covergete, etão lim a = 0. Prova: Seja s = a 1 +... + a. Etão, existe s = lim s. Evidetemete, tem-se também s = lim s 1. Logo, 0 = s s = lim s lim s 1 = lim (s s 1 ) = lim a. Exemplo 1.2.4: A recíproca do Teorema 1.2.3 é falsa. O cotra-exemplo clássico é dado pela série harmôica 1. Seu termo geral, 1, tede para zero mas a série diverge. Com efeito, temos s 2 = 1 + 1 2 + (1 3 + 1 4 ) +... + ( 1 2 1 + 1 + 1 2 ) > 1 + 1 2 + 2 4 +... + 2 1 = 1 + 1 2 2. Segue-se que lim s 2 = + e, por coseguite, como s é mootoicamete crescete, temos lim s = +. Resulta daí que, para 0 < r < 1, a série 1 diverge, pois 1 > 1 r r para todo > 1. Exemplo 1.2.5: A série geométrica =0 a é divergete quado a 1, pois este caso seu termo geral ão tede a zero. Quado a < 1, a série geométrica coverge, pois s as = (1 + a +... + a ) (a + a 2 +... + a +1 ) = 1 a +1 s (1 a) = 1 a +1 s = 1 a+1 1 a. Etão, =0 a = lim s = 1 1 a. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 12 Exemplo 1.2.6: A série =1 ( 1)+1 = 1 1 + 1 1 +... é divergete pois seu termo geral ão tede a zero. Suas somas parciais de ordem ímpar são iguais a 1 e as de ordem par são iguais a zero. Uma série a pode divergir por dois motivos. Ou porque as reduzidas s = a 1 +...+a ão são limitadas ou porque elas oscilam em toro de algus valores de aderêcia. Quado os termos da série têm todos o mesmo sial, esta última possibilidade ão ocorre, pois, este caso, as reduzidas formam uma sequêcia moótoa. A seguir ós estudaremos algus critérios de covergêcia de séries. Teorema 1.2.7: Seja a > 0 para todo IN. A série a coverge se, e somete se, as somas parciais s = a 1 +... + a formam uma sequêcia limitada. Prova: Sedo a > 0, temos s 1 s 2 s 3...; logo a sequêcia (s ) sedo moótoa coverge se, e somete se, é limitada. Dada uma série de termos ão egativos a 1, a 2,..., supoha que os termos sejam reidexados uma outra ordem qualquer, a 1, a 2,..., de forma que a 1 pode ser a 15, a 2 pode ser a 1, etc. Etão, como os termos são todos ão egativos, a ova soma parcial s = a 1 +... + a é domiada por alguma soma parcial s m com m >. Se a série origial coverge para s, teremos s s m s, logo s é limitada e portato covergete. Seu limite s é seu supremo, de sorte que s s. Mas a série origial pode também ser iterpretada como obtida de a por reidexação de seus termos a, logo temos também s s. Cocluímos que uma série de termos ão egativos que coverge tem a mesma soma, idepedete da ordem de seus termos. É fácil ver também que se a série de termos ão egativos diverge, ela será sempre divergete, ão importa a ordem de seus termos. O próximo teorema estabelece mais uma caracterização de séries covergetes e divergetes. Teorema 1.2.8: Seja =1 a uma série de termos ão-egativos. Etão, (a) se =1 a <, etão lim k =k+1 a = 0; (b) se =1 a =, etão k, =k a =. Prova: Para parte (a), como s k = k =1 a é uma sequêcia moótoa ão-decrescete e limitada, etão ela é covergete. Logo, pelo critério de Cauchy para sequêcias temos que ɛ > 0, m tal que k, p > m s p s k < ɛ. Assumido sem perda de geeralidade que p > k, temos que ɛ > 0, m tal que k, p > m p =k+1 a < ɛ. Fazedo p, temos que ɛ > 0, m tal que k > m =k+1 a ɛ, ou seja, =k+1 a 0. Para parte (b), supoha por cotradição que =1 a = e que exista k tal que =k a k <. Seja L = k 1 =1 a, etão =1 a = L + =k a k <, uma cotradição. 1.2.1 Critérios de Covergêcia Um dos problemas cetrais o estudo das séries cosiste em saber se uma dada série coverge ou ão. Há vários critérios para se testar a covergêcia de uma série, ós vamos destacar dois dos mais importates: o teste da comparação e o teste da razão. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 13 Teste de Comparação Teorema 1.2.9: Sejam a e b duas séries de termos ão egativos. Supohamos aida que a primeira seja domiada pela seguda, a b para todo IN. Etão, (i) b coverge a coverge; (ii) a diverge b diverge. Prova: As somas parciais das séries dadas s = a 1 +... + a e t = b 1 +... + b são sequêcias ão decrescetes, satisfazedo à desigualdade s t, pois 0 a b. No caso (i), t coverge para um certo limite t, etão s t para todo, ou seja, s é uma sequêcia moótoa limitada e, portato, covergete. Para provar (ii), raciociamos por absurdo: se b covergisse, etão, pela parte (i), a também teria de covergir, cotrariado a hipótese. Exemplo 1.2.10: Um modo de provar a covergêcia da série 1! com a série geométrica de razão 1/2. Observemos que 1! = 1 2 3... < 1 2 2... 2 = 1 2 1, cosiste em compará-la dode se vê que a série dada é domiada pela série 1 2 1. Como esta é covergete, cocluímos que a série origial também é covergete. Exemplo 1.2.11: Vamos provar que a série 1 é covergete quado r > 1. Para isso, majoramos as somas parciais da série, dimiuido r os deomiadores de seus termos, de acordo com o seguite esquema: 1 + ( 1 2 r + 1 3 r ) + ( 1 4 r + 1 5 r + 1 6 r + 1 7 r ) +... 1 + ( 1 2 r + 1 2 r ) + ( 1 4 r + 1 4 r + 1 4 r + 1 4 r ) +... = 1 + 2 2 + 4 r 4 +... = 1 + 1 r 2 + 1 r 1 4 r 1 = 1 + ( 1 2 ) + ( 1 r 1 2 r 1 )2 +... Isto os mostra que 1 r é domiada pela série geométrica de razão q = 1 2 r 1 < 1, que é covergete. Exemplo 1.2.12: A série 1 sex < x, temos que para todo k 1: é cover- Como gete. 1 k 2 k se 1 k é covergete, pois como para todo x (0, π/2), 0 1 k se 1 k 1 k 1 k. é covergete, segue do critério da comparação que 1 se 1 k k Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 14 Exemplo 1.2.13: A série k=0 Solução: k k 2 +2k+1 k k 2 + 2k + 1 = 1 k é covergete ou divergete? Justique. 1 1 + 2 k + 1 k 2. Para todo k 1, 1 + 2 k + 1 k 2 4 e, portato, para todo k 1, Como Teste da Razão 1 =, resulta que 4k k=0 k k 2 + 2k + 1 1 4k. k k 2 +2k+1 = e, portato, a série é divergete. Teorema 1.2.14: Seja a uma série de termos positivos tal que a +1 /a coverge para um certo limite r. Etão, a série coverge se r < 1 e diverge se r > 1. Prova: Supodo r < 1, seja ɛ > 0 tal que c = r + ɛ < 1. Como a +1 /a r, existe um ídice N sucietemete grade tal que, para N, r ɛ < a +1 /a < r + ɛ = c. Fazedo sucessivamete igual a N, N + 1, N + 2,..., essa desigualdade os dá a N+1 < a N c, a N+2 < a N+1 c < a N c 2, em geral, a N+ < a N c, de modo que a série =N+1 a é domiada pela série geométrica a N =1 c. Como c < 1, esta série coverge, logo o mesmo ocorre com a série origial, pelo teste de comparação. Ao cotrário, se r > 1, etão, dado ɛ = r 1, a partir de certo ídice = N teremos r ɛ < a +1 /a < r + ɛ. Como r ɛ = 1, a primeira desigualdade acima os dá a +1 > a a partir de = N. Portato, a N < a N+1 < a N+2 <... e a série origial diverge para. Exemplo 1.2.15: A série 2 k k=0 é covergete ou divergete? Justique. k! Solução: Como a k = 2k, temos k! a k+1 a k = 2 k+1 (k+1)! 2 k k! = 2 k + 1. Segue que lim k a k+1 /a k = 0, etão, pelo critério da razão, a série 2 k k=0 é covergete. k! Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 15 1.2.2 Covergêcia Absoluta Deição 1.2.16: Diz-se que uma série a coverge absolutamete, ou é absolutamete covergete, se a série a é covergete. Teorema 1.2.17: Toda série absolutamete covergete é covergete. Além disso, a soma da série idepede da ordem em que se cosideram os termos. Prova: Sejam p a soma dos termos a r positivos e q a soma dos valores absolutos dos termos a r egativos, ode, em ambos os casos, r. Etão, as somas parciais das séries a e a são dadas por e T = a 1 + a 2 +... + a = p + q S = a 1 + a 2 +... + a = p q, respectivamete. As sequêcias (T ), (p ) e (q ) são ão decrescetes, a primeira delas coverge, por hipótese, digamos, para T. Ao mesmo tempo, p T T e q T T, logo p e q também covergem, digamos para p e q, respectivamete. Cocluímos que (S ) também coverge: S = p q p q. Para demostrar a seguda parte do teorema, basta otar que p e q são somas parciais de séries de termos ão egativos, cujas somas idepedem da ordem em que se cosiderem seus termos. Exemplo 1.2.18: A série 1 + 1 1 +... = ( 1) 4 9 =1 absolutamete covergete. 2 é covergete, já que ela é Teste da Razão Para Séries de Termos Quaisquer Teorema 1.2.19: Seja a série k=0 a k, com a k 0 para todo atural k. Supohamos que lim k a k+1 a k = r. Etão, a série coverge se r < 1 e diverge se r > 1. Prova: Se r < 1, a série k=0 a k será covergete pelo teste da razão; logo k=0 a k será, também, covergete. Se r > 1, existirá um atural p tal que k p a k+1 a k > 1. Etão, para todo k > p, a k > a p. Como a p 0, lim k a k ão poderá ser zero e o mesmo acotecerá, etão, com lim k a k. Pelo critério do termo geral, a série k=0 a k será divergete. Exemplo 1.2.20: Determie x para que a série =1 x seja covergete. Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo covergete. Supohamos etão que x 0 e apliquemos o critério da razão. lim ( + 1)x+1 + 1 = x lim x = x. Segue do critério da razão, que a série é covergete para x < 1 e divergete para x > 1. Para x = 1, a série é divergete pelo critério do termo geral. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 16 Exemplo 1.2.21: Determie x para que a série x =1 seja covergete.! Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo covergete. Supohamos etão que x 0 e apliquemos o critério da razão.!x +1 lim ( + 1)!x = x lim 1 + 1 = 0. Segue do critério da razão, que a série é covergete para todo x real. Exemplo 1.2.22: Determie x para que a série!x =1 seja covergete. Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo covergete. Supohamos etão que x 0 e apliquemos o critério da razão. lim ( + 1)! x +1!( + 1) +1 x = x lim ( + 1) ( + 1) = x lim( +1 + 1 ) = x e. Segue do critério da razão, que a série é covergete para todo x < e e divergete para x > e.! Se x = e, utilizado a aproximação de Stirlig, segudo a qual lim = 1, ( e ) 2π temos que!e lim a = lim!e ( e = lim ) 2π ( ) 2π e! = lim ( ) 2π lim e ( ) 2π e e = 1 lim 2π =. Portato, o termo geral da série diverge, logo a série diverge. 1.2.3 Ordes de Magitude Quado duas fuções f e g são tais que o quociete f(x) tede a zero com x tededo a um g(x) certo x 0, dizemos que f é de ordem pequea em relação a g, para x x 0 e escrevemos f(x) = o(g(x)), x x 0. Por exemplo, se 2 x = o(x) e cos( 1) = o( 1) para x 0, pois ambos quocietes, se2 x e x x x cos(1/x) tedem a zero com x 0. 1/x Quado apeas sabemos que o quociete permaece limitado uma vizihaça de x 0, isto é, quado existem úmeros positivos δ e M tal que se x x 0 < δ, etão f(x) M, g(x) dizemos que f é de ordem grade em relação a g, para x x 0 e escrevemos f(x) = O(g(x)), x x 0. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 17 Por exemplo, e x 1 x = O(x 2 ) e sex x = O(x 3 ) para x 0, pois usado L'Hopital, temos que os quocietes ex 1 x e sex x tedem a 1/2 e 1/6, respectivamete, quado x x 2 x tede a zero. 3 Note que f(x) = o(g(x)) f(x) = O(g(x)), x x 0, mas a recíproca ão é verdadeira. No caso de sequêcias de úmeros reais, também podemos aalisar o comportameto comparativo de duas sequêcias {a } 1 e {b } 1, quado tede ao iito. Dizemos que a = o(b ) se lim a b = 0 e dizemos que a = O(b ) se existir um úmero iteiro positivo 0 tal que a subsequêcia de a b que cotém todos os termos a partir de 0 seja limitada. Em particular, temos que se (b ) for uma sequêcia costate b = c, para todo, etão a = o(c) se a 0 e a = O(c) se (a ) for uma sequêcia limitada. Exemplo 1.2.23: 1. k = o(e ), para todo k. 2. log = o( k ), para todo k > 0. 3. 10 2 + = O( 2 ). 1.3 Série de Taylor As fuções poliomiais são as mais simples quado se quer calcular seus valores, derivá-las ou itegrá-las. A possibilidade de aproximar fuções por poliômios é de suma importâcia, pois permite obter propriedades das fuções em termos de propriedades aálogas dos poliômios que as aproximam. Vamos cosiderar o problema de aproximar a fução f, uma vizihaça de x = 0, por um poliômio de grau : p (x) = a 0 + a 1 x +... + a r x r +... + a x. Supoha que f seja derivável em x = 0 até ordem. Observamos que: Em geral, p (x) = a 1 + 2a 2 x +... + ra r x r 1 +... + a x 1 p (x) = 2a 2 + 6a 3 x +... + r(r 1)a r x r 2 +... + ( 1)a x 2 p (r) (x) = r!a r +... + ( 1)... ( r + 1)a x r. Portato, fazedo x = 0 essa expressão, obtemos p (r) (0) = r!a r, r = 0, 1, 2,...,. Como queremos aproximar f por p em x = 0, queremos que todas as derivadas até ordem dessas fuções em x = 0 coicidam, ou seja, que elas se toquem (f(0) = p (0)) o poto x = 0, teham a mesma icliação (f (0) = p (0)) este poto, e assim por diate. Etão, segue-se que a r = p(r) (0) r! = f (r) (0). r! Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 18 Etão, temos que p (x) = r=0 f (r) (0) x r, r! ode f (0) (x) = f(x). Este é chamado de poliômio de Taylor de ordem da fução f em toro de x = 0. Sua importâcia reside o teorema que euciamos e provamos a seguir. Teorema 1.3.1: Seja f uma fução derivável até a ordem + 1, uma vizihaça V de x = 0. Etão, o poliômio p aproxima f em V com erro ou resto dado por R (x) = f(x) p (x) = f (+1) (c )x +1, ( + 1)! ode c é um úmero compreedido etre 0 e x. Prova: Começaremos euciado e provado o seguite Lema, cohecido como Teorema do Valor Médio Geeralizado. Lema 1.3.2: Se F e G são fuções deriváveis um itervalo (a, b), cotíuas em [a, b], com G(a) G(b) e G (x) 0 para x (a, b), etão existe c (a, b) tal que Prova: Cosidere a fução F (b) F (a) G(b) G(a) = F (c) G (c) H(x) = (F (b) F (a))(g(x) G(a)) (G(b) G(a))(F (x) F (a)). Etão, H é cotíua em [a, b], derivável em (a, b), e H(a) = H(b) = 0. Logo pelo Teorema do Valor Médio existe c (a, b) tal que H(b) H(a) = 0 = H (c)(b a), ou seja, H (c) = 0. Portato, existe c tal que Como G(b) G(a), o resultado está provado. (F (b) F (a)g (c) (G(b) G(a))F (c) = 0. Usaremos repetidamete o Teorema do Valor Médio Geeralizado para provar o teorema. Seja F (x) = f(x) p (x), G(x) = x +1, a = 0, e b = x. Etão aplicado o Lema otado que f(0) = p (0), obtemos R (x) x +1 = f(x) p (x) x +1 = f (c) p (c) ( + 1)c, ode c está etre 0 e x. Aplicado ovamete o Lema com F (x) = f (x) p (x), G(x) = ( + 1)x, b = c e a = 0, temos (ote que f (0) p (0) = 0) R (x) x +1 = f (c) p (c) = f (c 1 ) p (c 1 ) ( + 1)c ( + 1)c 1, 1 Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 19 ode c 1 está etre 0 e c. Cotiuado desta maeira, levado sempre em cota que f (r) (0) = (0), para 0 r e o fato que p (+1) (y) = 0 para todo y real, obtemos p (r) ode c está etre 0 e x. A fórmula f(x) = R (x) x +1 = f (+1) (c ) ( + 1)!, r=0 f (r) (0) x r + R (x) r! é chamada de série, expasão ou desevolvimeto de Taylor de ordem da fução f em toro de x = 0. Podemos geeralizar este resultado e obter a série de Taylor de uma fução em toro de um outro poto qualquer x = a, ode a ão é ecessariamete igual a zero. Este problema se reduz facilmete ao problema tratado ateriormete, itroduzido-se a variável h = x a e a fução g(h) = f(a + h) = f(x). Dessa maeira a variável x se aproxima de a se, e somete se, h se aproxima de 0. Supoha que f seja derivável até ordem + 1 uma vizihaça de x = a, digamos x a < δ. Etão, g terá + 1 derivadas em h < δ. Além disso, g (r) (h) = f (r) (a + h) = f (r) (x), 0 r + 1. Portato, a série de Taylor de g de ordem em toro de h = 0 é: g (r) (0) g(h) = h r + g(+1) (c) r! ( + 1)! h+1, e pode ser reescrita como r=0 f(x) = r=0 f (r) (a) (x a) r + f (+1) (c ) r! ( + 1)! (x a)+1, ode c = a + c é um úmero etre a e x, do mesmo modo que c é um úmero etre 0 e h. Esta fórmula é chamada de série, expasão, ou desevolvimeto de Taylor de ordem da fução f em toro do poto x = a, e f (r) (a) r=0 (x a) r é chamado de poliômio de Taylor r! de ordem de f em toro de x = a. Se a fução f (+1) for limitada por uma costate K uma vizihaça de x = a, isto é, f +1 (x) K, para x a δ, etão R (x) = O((x a) +1 ) ou R (x) = o((x a) ) com x a. Desse modo se uma fução f possui derivada de ordem uma vizihaça de x = a para todo atural, temos que sua série de Taylor é dada por: r=0 f (r) (a) (x a) r. r! Exemplo 1.3.3: Vamos obter a série de Taylor de ordem da fução f(x) = l(1 + x), x > 1, em toro de x = 0. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 1. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS E SÉRIES NUMÉRICAS 20 Solução: Note que f(0) = l(1) = 0, f (x) = 1 1+x = (1 + x) 1, f (x) = 1(1 + x) 2, e que em geral temos: f (r) (x) = ( 1) r 1 (r 1)!(1 + x) r. Portato, f (r) (0) = ( 1) r 1 (r 1)!, e a série de Taylor de ordem de f em toro de x = 0 é: f(x) = ode c está etre 0 e x. ( 1) r 1 (x) r + ( 1) (1 + c) (+1) (x) +1, r ( + 1) r=1 Exemplo 1.3.4: Vamos obter a série de Taylor de ordem da fução f(x) = 1, x > 0, em x toro do poto a = 2. Solução: Note que f(2) = 1/2, f (x) = x 2, f (x) = 2x 3, e que em geral temos: f (r) (x) = ( 1) r r!x r 1. Portato, f (r) (2) = ( 1)r, e a série de Taylor de ordem de f em r! 2 r+1 toro de x = 2 é: f(x) = r=0 ode c é um úmero etre 2 e x. ( 1) r 2 r+1 (x 2)r + ( 1)+1 c +2 (x 2) +1, Exemplo 1.3.5: Fórmula de Euler. Neste exemplo usaremos séries de Taylor para demostrar a fórmula de Euler: e ix = cos(x)+i se(x), ode i = 1. Note que para qualquer iteiro r, temos d r e ix = i r e ix ; dx r { d r r+1 cos(x) ( 1) 2 se(x) se r for ímpar, = dx r ( 1) r 2 cos(x) se r for par; { d r r 1 se(x) ( 1) 2 cos(x) se r for ímpar, = dx r ( 1) r 2 se(x) se r for par. Etão, temos as seguites expasões de Taylor em toro de x = 0: e ix i r = r! xr = r=0 cos(x) = se(x) = r=0 r=0 r=0 ( 1) r x 2r ; 2r! ( 1) r x 2r + i 2r! ( 1) r (2r + 1)! x2r+1. Logo, podemos cocluir que e ix = cos(x) + i se(x). r=0 ( 1) r (2r + 1)! x2r+1 ; Autor: Leadro Chaves Rêgo

Capítulo 2 Covergêcia Estocástica 2.1 Seqüêcia de Evetos A deição de coceitos de covergêcia de variáveis aleatórias depede de maipulações de seqüêcias de evetos. Seja A Ω, dee-se: if A k = k=a k, sup A k = k=a k k lim if A = =1 k= A k lim sup A = =1 k= A k. O limite de uma seqüêcia de evetos é deido da seguite maeira: se para alguma seqüêcia (B ) de evetos lim if B = lim sup B = B, etão B é chamado de limite de (B ) e ós escrevemos lim B = B ou B B. k Exemplo 2.1.1: lim if[0, ) = lim sup[0, ) = [0, 1) +1 +1 Teorema 2.1.2: Seja (A ) uma seqüêcia de evetos de Ω. (a) ω lim sup A se, e somete se, ω A k para um úmero iito de ídices k. (b) ω lim if A se, e somete se, ω / A k para um úmero ito de ídices k. Prova: Para parte (a), ote que ω lim sup A, se, e somete se, para todo, ω k= A k, ou seja, se, e somete se, para todo existe tal que ω A. Como isto é válido para todo, temos que isto é equivalete a existêcia de um úmero iito de ídices k tais que ω A k. A prova da parte (b) é similar. A seguir descreveremos algumas propriedades do lim if e lim sup de uma seqüêcia de evetos. 1. lim if A lim sup A Este fato é uma simples coseqüêcia do Teorema 2.1.2, pois se ω lim if A, ω ão pertece apeas a um úmero ito de evetos A k 's, e coseqüetemete pertece a um úmero iito deles. Logo, ω lim sup A. 21

CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA ESTOCÁSTICA 22 2. (lim if A ) c = lim sup A c Este fato decorre aplicado a Lei de De Morga duas vezes: Seqüêcias Mootôicas ( =1 k= A k ) c = =1( k=a k ) c = =1( k=a c k). Uma seqüêcia de evetos (A ) é mootôica ão-decrescete (resp., ão-crescete) se A 1 A 2... (resp, A 1 A 2...). Deotaremos por A (resp., A ) uma seqüêcia ão-decrescete (resp. ão-crescete) de evetos. Teorema 2.1.3: Supoha que (A ) é uma seqüêcia mootôica de evetos. Etão, 1. Se A, etão lim A = =1A. 2. Se A, etão lim A = =1A. Coseqüetemete, como para qualquer seqüêcia B, temos if k B k e sup k B k, segue que: lim if B = lim(if B k), lim sup B = lim(sup B k ) k Prova: Para provar (1), precisamos mostrar que lim if A = lim sup A = =1A. Como A j A j+1, temos k A k = A, e portato, Por outro lado, temos, lim if A = =1( k A k ) = =1A. k lim sup A = =1( k A k ) A k = lim if A lim sup A. Logo, temos igualdade acima, ou seja, lim sup A = A k. A prova de (2) é similar. Exemplo 2.1.4: 1. lim [0, 1 1 ] = =1[0, 1 1 ] = [0, 1). 2. lim [0, 1 + 1 ) = =1[0, 1 + 1 ) = [0, 1]. 3. lim ( +1, 1 ) = =1( +1, 1 ) = {1}. Exemplo 2.1.5: Sejam A, A, B, B evetos em Ω. Mostre que: 1. se lim A = A, etão lim A c = A c. Solução: lim if A c = (lim sup A ) c = A c e lim sup A c = (lim if A ) c = A c. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA ESTOCÁSTICA 23 2. lim sup(a B ) = lim sup A lim sup B. Solução: Se ω lim sup(a B ), etão ω (A k B k ) para iitos ídices k. Logo, temos que ω A k para iitos ídices k, ou ω B k para iitos ídices k. Portato, temos ω lim sup A ou ω lim sup B, ou seja, ω lim sup A lim sup B. Reciprocamete, se ω lim sup A lim sup B, etão ω lim sup A ou ω lim sup B. Logo, temos que ω A k para iitos ídices k, ou ω B k para iitos ídices k, ou seja, ω (A k B k ) para iitos ídices k. Portato, ω lim sup(a B ). 3. Não é verdade que lim if(a B ) = lim if A lim if B. Solução: Vamos costruir um cotra-exemplo: Supoha que A B =, A = A e B = B para par; e A = B e B = A para ímpar. Como A B = A B para todo, é fácil ver que lim if(a B ) = A B. Também é fácil ver que lim if A = lim if B = A B =, pois somete os ω s em A B ão ocorrem para um úmero ito de ídices tato a seqüêcia A quato a seqüêcia B. Etão, A B = lim if(a B ) = lim if A lim if B. 4. se A A e B B, etão A B A B e A B A B. Solução: Pela parte (2), temos que lim sup A B = lim sup A lim sup B = A B, e pela propriedade (1) de lim if e lim sup, temos lim if A B lim sup A B = A B. Resta-os provar que A B lim if A B. Supoha que ω A B, etão ω lim if A ou ω lim if B, ou seja, ω ão pertece a um úmero ito de A k 's, ou ω ão pertece a um úmero ito de B k 's. Logo, ω ão pertece a um úmero ito de A k B k 's. Portato, ω lim if A B. Etão, A B A B. Utilizado os ítes ateriores e a Lei de De Morga, temos: 2.1.1 Borel-Cateli A B = (A c B c ) c = (lim A c lim B c ) c = = (lim A c B c ) c = lim(a c B c ) c = lim A B. A seguir vamos euciar e provar um importate Lema, cohecido como Lema de Borel- Catelli, que trata da probabilidade da ocorrêcia de um úmero iito de evetos. Lema 2.1.6: Sejam A 1, A 2,... evetos aleatórios em (Ω, A, P ), ou seja, A A,. (a) Se =1 P (A ) <, etão P (A iitas vezes ) = 0. (b) Se =1 P (A ) = e os evetos A 's são idepedetes, etão P (A iitas vezes ) = 1. Autor: Leadro Chaves Rêgo

CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA ESTOCÁSTICA 24 Obervação: O ítem (b) ão vale ecessariamete sem idepedêcia. Por exemplo, seja A = A,, ode 0 < P (A) < 1. Etão, P (A ) = mas o eveto [A iitas vezes] = A e P (A iitas vezes) = P (A) < 1. Prova: Para parte (a), se P (A ) <, etão k=j P (A k) 0 quado j. Mas [A iitas vezes] k=ja k, j, logo Portato, P (A iitas vezes) = 0. Para parte (b), basta provar que P (A iitas vezes) P ( k=ja k ) P (A k ) 0. k=j P ( k=a k ) = 1, (pois sedo [A iitas vezes] = =1 k= A k a itersecção de um úmero eumerável de evetos de probabilidade 1, é também de probabilidade 1). Para tato, seja B = k= A k. Etão B cotém +m k= A k para todo m, e Logo para todo m, B c ( +m k= A k) c = +m k= Ac k. +m 1 P (B ) = P (B) c P ( +m k= Ac k) = P (A c k) = Como 1 p e p para 0 p 1, temos 1 P (B ) +m k= k= +m e P (Ak) = exp( k= +m (1 P (A k )). k= P (A k )) 0 quado m, pois +m k= P (A k) quado m. Logo P (B ) = 1,. Exemplo 2.1.7: Se sabemos que para uma dada coleção de evetos {A k }, as suas probabilidades idividuais satisfazem P (A k ) 1, etão podemos cocluir que itos desses vezes k ocorrem com probabilidade zero ou, que apeas 2 um úmero ito deles ocorrem com probabilidade 1. Podemos reesecrever isso da seguite forma: existe um istate aleatório N tal que, com probabilidade 1, ehum dos A k ocorrem para k > N. É importate ressaltar que ós podemos chegar a essa coclusão sem saber ada sobre as iterações etre esses evetos como as que são expressas por probabilidades de papres de evetos P (A i A j ). Cotudo, se apeas sabemos que P (A k ) > 1/k, etão ão podemos cocluir ada baseados o Lema de Borel-Catelli. Se soubermos que os evetos são mutuamete idepedetes, etão sabedo que P (A k ) > 1/k, podemos cocluir que iitos A k ocorrem com probabilidade 1. Autor: Leadro Chaves Rêgo