FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Camus de Lhaguee, Av. de Moçambique, km 1, Tel: +258 21401078, Fax: +258 21401082, Mauto Cursos de Liceciatura em Esio de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade AULA I: Aálise Combiatória: Diagrama de Árvore, Pricíio fudametal de cotagem, oção de factorial de um úmero, Arrajos simles e comletos de elemetos a, ermutações simles, ermutações circulares. RESUMO TEÓRICO Diagrama de Árvore O DIAGRAMA DE ÁRVORE é um modo simles de fazer a cotagem do úmero de resultados ossíveis de uma exeriêcia. É um método de cotagem com eumeração, e or isso, trabalhoso caso a exeriêcia seja comlexa. Cosidere-se uma exeriêcia que ode ser vista como sedo uma sucessão de exeriêcias mais simles. Etão, elabora-se um diagrama de árvore do seguite modo: a rimeira colua registam-se os resultados ossíveis da rimeira exeriêcia, deois, ara cada um destes resultados ossíveis, registam-se uma seguda colua, os ossíveis resultados da seguda exeriêcia e, assim, sucessivamete, até terem sido cosiderados todas exeriêcias que, o seu cojuto formam a exeriêcia origial. O úmero de ramos termiais existetes a árvore é o úmero de resultados ossíveis da exeriêcia; ercorredo a árvore, sabe-se quais são esses resultados ossíveis. Pricíio Fudametal de cotagem Cosidere uma exeriêcia comlexa, da qual se retede determiar o úmero de resultados ossíveis. Suoha que essa exeriêcia ossa ser vista como uma sucessão ordeada de k exeriêcias mais simles, E1, E2,..., E k. Seja i o úmero de resultados ossíveis da exeriêcia E i, i 1,2,..., k. Etão, o úmero total de resultados ossíveis da exeriêcia origial é 1 2... k i. i 1 k
Factorial de um úmero (!) Dado um úmero atural, defie-se o seu factorial (!) como o roduto dos rimeiros úmeros aturais.! ( 1) ( 2)... 2 1 Por coveção, tem-se 0!=1. Arrajos simles de elemetos a ( A ) Cosidere-se um cojuto com elemetos e suoha-se que se retede formar-se uma sequêcia com elemetos (uma sequêcia é um subcojuto que difere de um outro quer ela atureza dos elemetos que o formam, quer ela ordem em que os elemetos são colocados). Suõe-se, aida, que ão é ermitida a reetição de elemetos a sequêcia. Nestas codições, o úmero de formas distitas de criar tais sequêcias é dado elos arrajos simles de elemetos a, usualmete reresetados or A ( 1) ( 2)... ( ( 1)). (Produto de elemetos a artir de )! A ;, N, ( )! Arrajos Comletos de elemetos a (arrajos com reosição ou reetição ( A.) Suoha que de um cojuto com elemetos retede-se formar uma sequêcia com desses elemetos, sedo ossível a reetição de elemetos a sequêcia. Nestas codições, o úmero de formas ossíveis de criar tal sequêcia é dado elos arrajos comletos de elemetos a. ( A ). Permutações simles de elemetos ( P ) As ermutações simles de elemetos são arrajos simles de elemetos, a. P A! Permutações comletas de elemetos ( ) As ermutações comletas de elemetos, ão são mais que os arrajos comletos de elemetos a. A Permutações circulares de elemetos ( C ) As ermutações circulares de elemetos cotam o úmero de formas de ordear elemetos em círculo. Neste caso, o úmero de maeiras diferetes de fazer a ordeação é dado elas ermutações circulares de elemetos C ( 1)! A.
CONTACTO 1. Cosidere a exeriêcia de laçar uma moeda três vezes. a) Costrua um diagrama de árvore ara esta exeriêcia. b) Liste todos os ossíveis resultados. 2. Para itar a badeira abaixo, há 4 cores disoíveis. De quatos modos ela ode ser itada de modo que faixas adjacetes teham cores distitas? (sol:36) 3. Um suermercado utiliza códigos ara todos os seus rodutos. Os códigos são costruídos do seguite modo: uma letra do alfabeto, seguida de três algarismos, sedo o rimeiro diferete de zero, seguidos or duas letras distitas e diferetes da rimeira; o fim do código é aida utilizado um dos algarismos 1, 2 ou 3, cosoate o escalão do imosto a que o roduto está sujeito. Quatos códigos diferetes ode o suermercado criar ara os seus rodutos. (42120000) 4. Quatas alavras com ou sem sigificado odem formar-se com todas as letras da alavra VIDA? (24) 5. Cico estradas coduzem ao cimo de uma motaha. De quatas maeiras diferetes ode um turista subir e descer a motaha? Qual a resosta se o turista ão quiser assar duas vezes elo mesmo camiho? (24,20) 6. Quatos são os úmeros de três algarismos distitos? (sol:648) 7. Num casameto, de quatas formas ode o fotógrafo colocar seis essoas uma liha, sabedo que estão quareta essoas o casameto, icluido os oivos, se: a) Escolhem-se seis essoas ao acaso; (2763633600) b) a oiva deve ficar a fotografia; (414545040) c) os oivos devem ficar a fotografia; (53146800) d) aeas um dos oivos deve ficar a fotografia. (722796480) 8. De quatas formas diferetes 4 criaças odem ocuar os 4 lugares ao redor de uma mesa circular? (6)
ESTUDO 1. Um gruo de 4 aluos (Alice, Berardo, Carolia e Daiel) tem que escolher um líder e um vice-líder ara um debate. a) Faça uma lista de todas as ossíveis escolhas (use a iicial de cada ome, ara facilitar). Orgaize a sua lista do seguite modo: rimeiro, escreva todas as ossibilidades em que Alice é a residete, deois aquelas em que Berardo é residete, e assim or diate. b) Cote o úmero de ossíveis escolhas e verifique que o Pricíio Multilicativo forece a mesma resosta. 2. Um restaurate ossui um cardáio que areseta escolhas de saladas (salada verde, salada russa ou salicão), soas (caldo verde, caja ou de legumes) e ratos riciais (bife com fritas, eixe com uré, frago com legumes ou lasaha). a) De quatos modos se ode escolher um rato deste cardáio? (sol:10) b) De quatos modos se ode escolher uma refeição comleta, formada or uma salada, uma soa e um rato ricial? (sol:36) 3. Cada dígito de uma calculadora é mostrado o visor acededo filametos disostos como mostra a figura a seguir. Quatos símbolos diferetes odem ser reresetados? (Não iclua o caso em que ehum filameto é aceso.) (127) 4. Quatas são as resostas ossíveis de um teste de 10 questões de múltila-escolha, com 5 alterativas or questão? Em quatas destas a letra A aarece exactamete uma vez? Em quatos a letra A ão aarece? (sol:9765625, 2621440,1048576) 5. Liste todos os subcojutos de {1, 2,3}. Quatos são eles? De modo geral, quatos são os subcojutos de um cojuto que tem elemetos? 6. Quatos são os iteiros ositivos de 4 algarismos os quais o algarismo 5 figura? (sol: 3168)
7. Tedo 4 cores disoíveis, de quatos modos se ode itar uma badeira com 3 listras, tedo listras adjacetes de cores distitas? Um aluo deu a seguite solução: Primeiro, eu vou itar as listras extremas; ara cada uma, eu teho 4 ossibilidades de escolha. Deois, eu ito a listra cetral; como ela tem que ter cor diferete das duas vizihas, eu osso escolher sua cor de aeas 2 modos. Logo, o úmero total de modos de itar a badeira e 4 4 2 = 32. A solução está certa ou errada? Se estiver errada, ode está o erro? 8. Com 5 homes e 5 mulheres, de quatos modos se ode formar um casal? Este roblema foi resolvido or um aluo do modo a seguir: A rimeira essoa do casal ode ser escolhida de 10 modos, ois ela ode ser homem ou mulher. Escolhida a rimeira essoa, a seguda essoa só oderá ser escolhida de 5 modos, ois deve ser de sexo diferete do da rimeira essoa. Há ortato 10 5 = 50 modos de formar um casal. A solução está certa ou errada? Se estiver errada, ode está o erro? 9. O cadeado de um cofre usa um mostrador umérico com 20 Números. Este mostrador deve ser girado ara esquerda até um certo úmero, deois ara a direita e deois ara a esquerda ovamete. A chave umérica deste cadeado é formada, ortato, or 3 úmeros. Quatas combiações existem o total? (8000, ermitido reetições do mesmo úmero; 6840 caso ão se ermita reetições) 10. A fial de um cameoato de futebol termia ematada e deve ir ara disuta de ealidades. Um técico deve seleccioar 5 jogadores, detro do cojuto de 10 jogadores em camo, ara marcar as ealidades. O técico deve também decidir a ordem em que as ealidades serão cobradas. De quatas maeiras ele ode fazer a escolha? (30240) 11. De quatas formas diferetes se odem setar 12 essoas uma mesa redoda? (39916800) DESAFIO 1. Uma exeriêcia de laboratório cosiste em colocar um rato o quadrado A do equeo labirito da figura a seguir e ver os camihos que ele escolhe ara chegar ao quadrado B, ode há comida. Os quadrados têm equeas ortas que ermitem ao rato adar ara cima ou ara a direita somete. Quatos camihos ossíveis existem? (20)
2. Delegados de 10 aíses devem setar em 10 cadeiras disostas uma fila. De quatos modos isso ode ser feito se delegados do Brasil e de Portugal devem setar lado a lado e delegados de Estados Uidos e Iraque ão se odem setar lado a lado? (564480) 3. No jogo de totobola, uma cartela é costituída or 13 jogos de futebol. Em cada cartela, o aostador deve escolher o resultado de cada um dos 13 jogos (3 resultados ossíveis ara cada jogo), odedo marcar 2 resultados em um úico jogo. Em um jogo deste, de quatas maeiras odemos reecher uma cartela? (Sugestão: a rimeira tarefa é escolher, detre os 13 jogos, aquele em que serão marcados 2 resultados). (20726199) 4. Suoha que carros estão em fila ara etrar um arque de estacioameto que ossui lugares, lado a lado. Se o 1º carro ode escolher qualquer lugar e cada um dos outros carros ao estacioar deve justaor-se a um carro já estacioado. De quatas maeiras diferetes os carros odem ocuar os 1 lugares? ( 2 ) FIM