O NÚMERO DE OURO E SUAS

N. 0, Setembro 010 Ano 01 Edson de OLIVEIRA Thigo Emnuel FERREIRA n. 0 O NÚMERO DE OURO E SUAS MANIFESTAÇÕES NA NATUREZA E NA ARTE p. 64-81 Instituto de Engenhri Arquitetur e Design INSEAD Centro Universitário Noss Senhor do Ptrocínio CEUNSP Slto-SP Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 1 1

N. 0, Setembro 010 O NÚMERO DE OURO E SUAS MANIFESTAÇÕES NA NATUREZA E NA ARTE Edson de OLIVEIRA Professor Doutor do Curso de Licencitur em Mtemátic do Centro Universitário Centrl Pulist - UNICEP, São Crlos, São Pulo, Brsil; Emil: edson @unicep.com.br. Thigo Emnuel FERREIRA Bchrel em Mtemátic Aplicd e Computcionl pelo Centro Universitário Centrl Pulist UNICEP, São Crlos, São Pulo, Brsil; Emil: thigo_emnuel@terr.com.br RESUMO: NESTE TRABALHO, APRESENTA-SE O NÚMERO DE OURO, DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO, CHAMADA RAZÃO ÁUREA, E SUAS MANIFESTAÇÕES NA NATUREZA E NA ARTE. ESTUDADO DESDE OS ANTIGOS GREGOS ATÉ OS DIAS DE HOJE, ENCONTRA-SE PRESENTE EM APLICAÇÕES NOS MAIS VARIADOS CAMPOS DA CIÊNCIA E DA ARTE. SUAS NOTÁVEIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E GEOMÉTRICAS FORAM UTILIZADAS NAS ESTRUTURAS DOS TEMPLOS ANTIGOS, O MESMO OCORRENDO COM MUITOS ARQUITETOS RENASCENTISTAS. EM TEMPOS MODERNOS, LE CORBUSIER BASEOU SEU MODULOR NA RAZÃO ÁUREA. A UTILIZAÇÃO DO NÚMERO DE OURO EM OBRAS ARQUITETÔNICAS AINDA É FREQÜENTE NOS DIAS ATUAIS. PALAVRAS-CHAVE: NÚMERO DE OURO; RAZÃO ÁUREA; NATUREZA; ARTE. INTRODUÇÃO A questão d busc do belo crcteriz-se como um dos tems de interesse humno mis vlorizdos desde os primórdios. Um dos spectos constntes dess belez permnente seri proporção. A lingugem mtemátic d proporção surgiu com Pitágors prtir do conceito de que tudo é número e su bordgem de que determinds relções numérics mnifestm estrutur hrmônic do universo. Como citdo em Proporção (007, p.): Pitágors, ind, nutri cert dmirção místic e sgrd pelo pentágono regulr e pelo pentgrm, o polígono regulr estreldo de cinco ponts inscrito neste pentágono regulr. Sobre ests bses buscou explicr tmbém, proporção geométric idel dos spectos físicos ds coiss nturis, principlmente quel de um corpo humno idel, e de plicá-l n rquitetur e n rte. Definiu, então, um relção prticulr que se encontr no pentágono regulr e no pentgrm, d divisão de um segmento em médi e extrem rzão. Euclides iri definir est relção d seguinte mneir: um segmento se divide em médi e extrem rzão qundo todo o segmento está pr prte mior como est últim está pr menor. A rzão entre o segmento menor e o segmento mior chm-se rzão áure. Esse nome foi usdo uns dois mil nos depois... mis ou menos pel époc em que Kepler escrevi liricmente: geometri tem dois tesouros: um é o o teorem de Pitágors; o outro, divisão de um segmento em médi e extrem rzão. O primeiro pode ser comprdo um medid de ouro; o segundo podemos chmr de jói precios. (LUCHETTA). Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 64 64

N. 0, Setembro 010 No início do século XX, o mtemático mericno Mrk Brr deu à rzão o nome de Fi (φ ), primeir letr greg do nome de Fídis, o grnde escultor grego que viveu entre 490 e 430.C. Segundo Livio (008, p.16), Brr decidiu homenger o escultor pois lguns historidores d rte sustentvm que Fídis fzi uso freqüente e meticuloso d Rzão Áure ns sus esculturs. Dentre els, citm-se o Pternon de Atens e o Zeus no templo de Olímpi. D definição de Euclides, deriv o que veio se conhecer como retângulo de ouro: um retângulo cuj rzão entre os ldos mior e menor é igul o número de ouro φ, cujo vlor numérico é 1,6180339887.... Presente em quse tudo quilo que encontrmos de mis hrmonioso n Terr, o número de ouro instigou curiosidde de muitos de nossos pensdores. Ele serviu de inspirção pr mtemáticos relevntes desde Pitágors e Euclides n Gréci ntig, pssndo pelo mtemático itlino Leonrdo de Pis que, no seu livro De Divin Proportione, presentdo em Venez em 1509 e ilustrdo por Leonrdo D Vinci, denominou-o de Proporção Divin. Conforme Livio (008, p.16): A fscinção pel Rzão Áure não se restringe os mtemáticos. Biólogos, rtists, músicos, historidores, rquitetos, psicólogos e té místicos têm exmindo e debtido bses de su ubiqüidde e seu pelo. De fto, provvelmente, é correto dizer que Rzão Áure tem inspirdo pensdores de tods s disciplins mis do qulquer outro número n históri d mtemátic. Leonrdo D Vinci disse que rte deveri mnifestr por el própri um movimento contínuo, hrmonioso e belez e, ssim, utilizou o retângulo de ouro em sus obrs. No qudro Mon Lis, utilizou o número Fi n relção entre o tronco e cbeç e entre os elementos que compõem o seu rosto, própri moldur já um retângulo de ouro. Ao crir o Homem Vitruvino, ele ilustrou, de mneir clr e didátic, grnde prte ds ocorrêncis do número de ouro no corpo humno. Esse desenho é considerdo um símbolo d simetri básic do corpo humno, extensivo pr o universo como um todo. Em rquitetur proporção é um conceito fundmentl e importntes utores vêm há muito fzendo uso deste termo té qundo buscm definições pr própri rquitetur. A rquitetur não é senão ordem, disposição, bel prênci, proporção ds prtes fce o todo, proporção e distribuição. Michelngelo Buonroti A rquitetur serve-se do número, d form, d grndez e dos mteriis, por vi d especulção, e serve-se ind ds proporções e ds correspondêncis nos mesmos modos por que o fz mtemático. Vincenzo Scmozzi N rquitetur o belo consiste essencilmente ns proporções: somente com proporção e sem qulquer ornmentos um edifício pode ser belo. G. Winckelmnn A rquitetur é um ciênci intelectul e prátic que vis estbelecer, com rciocínio, o bom uso e s proporções do que constrói. Crlo Lodoli A rquitetur, que de tods s rtes é mis submetid às condições mteriis, econômics e sociis, é tmbém quel que grçs às proporções e s form geométrics exprime s especulções mis bstrts do pensmento humno. Louis Hutecoeur (PROPORÇÃO, 007) Le Corbusier, fmoso rquiteto do século pssdo, usou o número de ouro n construção de seu módulo, um sistem de proporções bseds no corpo humno e plicds o projeto de rquitetur. Conforme Ching (005, p.30), ele desenvolveu esse sistem... pr orgnizr s dimensões dquilo que contém e dquilo que é contido. Ele vi s ferrments de medição dos gregos, egípcios e outrs grndes civilizções como Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 65 65

N. 0, Setembro 010 sendo infinitmente rics e sutis, pois formvm prte d mtemátic do corpo humno, grcioso, elegnte e firme, fonte dquel hrmoni que nos move, belez. Bseou, portnto, su ferrment de medição, o Modulor, tnto n mtemátic (s dimensões estétics d Secção Áure e Série de Fiboncci) como ns proporções do corpo humno (dimensões funcionis). Mis recentemente, Mondrin usou o número Fi em seus trblhos, bem como, váris construções tem rquitetur concebids sob mesm bse. Aind mis, rzão em que ument o diâmetro ds espiris ds sementes de um girssol é φ. No reino niml, conhece-se belez ds estruturs espiris ds conchs de muitos moluscos, como o Náutilo (Nutilus Pompilus). Esss conchs têm inspirdo muits construções rquitetônics, como no museu de Guggenheim de Nov York, que possui em seu interior rmps espiris. O crescimento ds conchs espiris obedece um pdrão que é orientdo pel Rzão Áure. Os egípcios já usrm o número Fi n construção ds pirâmides. Apresent-se, tmbém, como riz positiv d equção qudrátic x x 1 = 0 ; é o único número cujo qudrdo é igul ele mesmo diciondo de um unidde. Neste trblho, presentm-se lgums situções n nturez, dentre s muits existentes, em que o número de ouro se mnifest. Els serão presentds por meio de ilustrções e construções geométrics. Definição do número de ouro Diz-se, que num segmento AB, existe um divisão áure qundo o segmento é dividido por um ponto P em dus prtes de tl form que mior prte sej médi proporcionl entre o menor e o segmento todo. Figur 1: Divisão áure do segmento AB Designndo-se por o comprimento do segmento AB e x o comprimento do segmento AP tem-se: isto é: x x x = x = ( x) ou x + x = 0 As rízes dest equção do segundo gru são: ( 5 1) 1 = ( 5 + 1) x > 0 e x = < 0 Dest mneir: x = 5 1 = 5 1 = 5 + 1 5 + 1 = 1,6180339887 49895 5 1 5 + 1 Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 66 66

N. 0, Setembro 010 Esse vlor, representdo pel letr greg φ (fi), chm-se número de ouro. Assim: φ = 5 +1 1,618033988749895 Obtenção do número de ouro geometricmente Apresentm-se, seguir, os pssos pr se obter geometricmente o ponto P, que estbelece divisão áure de um segmento AB. Considere o ponto médio M do segmento AB. Figur Ponto médio do segmento AB Pelo ponto B trç-se o segmento BC d perpendiculr AB, de comprimento BC = AM e consider-se o triângulo retângulo ABC. Figur 3 Construção do triângulo ABC, retângulo em B Com centro em C, trce o rco de circunferênci de rio BC té encontrr hipotenus AC no ponto D. Figur 4 O ponto D é tl que BC = DC Com centro em A, trce o rco de circunferênci de rio AD pr obter o ponto P sobre AB. Figur 5 O ponto P é tl que AP = AD Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 67 67

N. 0, Setembro 010 menor. O ponto P obtido é o que divide o segmento AB em dus prtes, em que o mior é φ vezes o Justifictiv mtemátic do procedimento geométrico Suponh AB =. Então, BC = e, pelo Teorem de Pitágors: AC = 5 + = ou AC = 4 4 5 rzão: Desde que CD = BC = AD = AC CD =, então: 5 5 1 ou AD = 5 1 Obteve-se o ponto P, de tl modo que AP = AD =. Tem-se, portnto, AB = AP 5 1 = 1+ 5. O número de ouro n rquitetur, n nturez e ns obrs de rte O homem sempre tentou lcnçr perfeição, sej ns pinturs, nos projetos rquitetônicos ou té ns músics. A prtir dí, os gregos crirm o retângulo dourdo. Então, eles construírm o Prtenon e vários outros edifícios. D mesm form, os egípcios edificrm s pirâmides. Cd bloco d pirâmide er 1,618 vezes mior que o bloco do nível cim. O Homem Vitruvino, de Leonrdo D Vinci, ilustr clrmente ocorrênci do número de ouro no corpo humno; ssim, o umbigo divide ltur do corpo em médi e extrem rzão. Atulmente, rzão áure ind é muito utilizd. Ao pdronizr interncionlmente lgums medids, os projetists procurm respeitr proporção divin. Por exemplo, o quociente entre o comprimento e lrgur de um crtão de crédito é o número de ouro. No que segue, lém ds citds cim, presentm-se diverss outrs situções de ocorrêncis do número de ouro. A pirâmide de Quéops em Gisé No Egito, pirâmide de Quéops, em Gisé, ilustrd n foto d Figur 6, foi construíd tendo em cont rzão áure: rzão entre ltur de um fce e metde do ldo d bse d grnde pirâmide é igul o número de ouro. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 68 68

N. 0, Setembro 010 Figur 6 - A pirâmide de Quéops, em Gisé Fonte: (NEWHOUSE, 199) De fto, pr pirâmide de Quéops, tem-se: Altur d Pirâmide Dimensões d bse 146,59 m 30,33 30,33 m Figur 7 Pirâmide de bse qudrngulr Visto que bse d pirâmide é um qudrdo de ldo = 30,33 m e, sendo ltur d pirâmide h = 146,59 m, então: ou sej, H H Dí: = h + 4 = 146,59 = 34751,605 H H H = = 1, 618 φ o que verific firmção inicil. 30,33 + 4 = 186,417 A Espirl de Fiboncci Um retângulo cuj rzão entre medid do comprimento e medid d lrgur é de proximdmente φ chm-se retângulo de ouro ou retângulo áureo. Um crcterístic desse retângulo é que ele pode ser sempre dividido num qudrdo e em outro retângulo de ouro. Esse processo pode ser repetido indefinidmente mntendo-se rzão constnte. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 69 69

N. 0, Setembro 010 Figur 8 Um qudrdo construído sobre o ldo menor de um retângulo áureo origin um novo retângulo áureo Unindo-se os qurtos de circunferênci de todos os qudrdos obtém-se um espirl que se chm Espirl de Fiboncci. Figur 9 - Espirl de Fiboncci N nturez, existem muits espiris como ess, como, por exemplo, nos moluscos náuticos, conforme ilustr Figur 10. O Homem Vitruvino Figur 10 - Moluscos náuticos vistos em seção Fonte: (BERGAMINI, 1964) O Homem Vitruvino é um conceito presentdo n obr Os Dez Livros d Arquitetur, de utori do rquiteto e engenheiro romno Mrcus Vitruvius Pollio, mis conhecido como Vitrúvio, que viveu no século I.C.. Consiste de um trtdo teórico e técnico detlhdo que sobrevive à mis ntig e mis influente de tods s obrs sobre rquitetur. É um cânone ds proporções do corpo humno, segundo um rciocínio mtemático que se bsei, em prte, n divin proporção. O homem descrito por Vitrúvio, no terceiro livro de su obr, present-se como um modelo idel pr o ser humno, cujs proporções existentes entre o ntebrço, o pé, plm, o dedo e outrs prtes menores são perfeits segundo o idel clássico de belez. Compr esss prtes às prtes de um edifício, continundo ntig trdição do edifício sgrdo, visto em termos do corpo de um homem e, ssim, em termos do microcosmo. (PENNICK, 1980, p. 69). Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 70 70

N. 0, Setembro 010 Desenhr o homem perfeito, segundo Vitrúvio, tornou-se um grnde desfio. A mior dificuldde não erm s proporções do homem, ms dptá-lo forms geométrics colocndo o corpo humno estendido, inscrito em dus forms geométrics, tmbém considerds perfeits: o círculo e o qudrdo. Houve váris tenttivs, ms tods incorrerm no mesmo erro de colocr o círculo e o qudrdo centrlizdos no mesmo ponto, o que produzi resultdos imperfeitos. Em 149, Leonrdo d Vinci resolveu encrr o problem e o resultdo foi brilhnte. Ele poiou s dus forms sobre mesm bse. Depois, desenhou um homem segundo s proporções estbelecids, de tl modo que: A ltur do corpo, que, segundo Vitrúvio, é igul à lrgur dos brços, encix-se perfeitmente em um qudrdo; Os brços levntdos à ltur d cbeç tocm o círculo; o mesmo contece com s perns berts. O desenho que D Vinci criou pr esboçr idéi de Vitrúvio é conhecido como o Homem Vitruvino. Figur 11 - O Homem Vitruvino de D Vinci Fonte: (DOCUMENTOS) Esse trblho é considerdo o desenho ntomicmente mis correto de su époc e tornouse um ícone d cultur modern, precendo em crtzes, mousepds e cmisets em todo o mundo. Segundo o modelo perfeito, impresso n obr de d Vinci, s dimensões obedecem à divin proporção. Por exemplo, segundo construção geométric presentd nteriormente, vê-se n Figur 1 que ltur u do chão té o umbigo é seção áure d ltur h do homem, ou sej: h = φ. u D mesm form, constt-se pel Figur 13 que o cotovelo divide o brço em dois segmentos que obedecem, à rzão áure. Assim, se b é medid do brço e c distânci do cotovelo té pont dos dedos, então: b = φ. c Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 71 71

N. 0, Setembro 010 Figur 1 - O umbigo divide ltur do homem n rzão áure Fonte: (RENASCIMENTO) Ilustrção: Thigo E. Ferreir Figur 13 - O cotovelo divide o comprimento do brço n rzão áure Fonte: (RENASCIMENTO) Ilustrção: Thigo E. Ferreir D mesm mneir, são constntes e iguis φ os seguintes quocientes: Do comprimento d pern pelo tmnho do joelho té o chão; D cintur té cbeç pelo comprimento do tórx; D ltur do crânio pelo tmnho d mndíbul té o lto d cbeç. Aind mis, prticulrmente, olhndo pr s mãos, rzão do comprimento de cd dedo x pelo tmnho d segund dobr y é φ, ou sej, x = φ. y Tmbém, o quociente entre o tmnho d segund dobr y e o tmnho d primeir dobr z é φ, isto é: Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 7 7

N. 0, Setembro 010 y z = φ. Figur 14 - A rzão do comprimento de cd dedo pelo tmnho d segund dobr é φ Fonte: (FERREIRA, 007) Figur 15 - quociente entre o tmnho d segund dobr e o tmnho d primeir dobr é φ Fonte: (FERREIRA, 007) O Modulor de Le Corbusier Ao procurr definir rquitetur, o rquiteto frnco-suíço e mis importnte trtdist deste século, Le Corbusier (1887-1965), rgumentou: O rquiteto não é um escrvo de um sistems de proporções fixo. Ele pode modificálo chndo plicções vrids ds leis d geometri. Com efeito, s proporções são filhs d geometri. Em rquitetur els se estbelecerm primeirmente sobre s leis d estbilidde e ests derivm d geometri (PROPORÇÃO). A primeir bordgem rquitetônic mis independente d trdição forml d ntiguidde foi chmd de Art Noveu, que começou fzer uso de forms purs d geometri. A prtir desse movimento, diversos rquitetos pssrm propor forms prticulres de interpretr questão d proporção. Um dos primeiros foi Le Corbusier, que propôs em 1950 um sistem de medição proporciond que ele denominou de Modulor. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 73 73

N. 0, Setembro 010 Bseou su ferrment de medição tnto n Mtemátic (s dimensões estétics d seção áure e série de Fiboncci), como ns proporções do corpo humno (dimensões funcionis). (CHING, 005, p.30) Pr ele : Este er um instrumento universl, fácil de empregr, e que podi ser usdo no mundo inteiro pr obter belez e rcionlidde ns proporções de tudo o que é produzido pelo homem (PROPORÇÃO). Le Corbusier dotou, inicilmente, como esttur médi do homem, o vlor de 175 cm. Porém, sob legção de considerr médi de ltur dos policiis ingleses e, em vist d crescente evolução d esttur do ser humno, o menos n Europ, decidiu dotr como 183 cm o ponto de prtid do seu Modulor. O modulor com ltur do homem de 175 cm De cordo com o exposto nteriormente, segue que, se AB é um segmento de comprimento e AP é o mior dos segmentos no qul P divide AB n rzão áure, então: ( 5 1) AP = = φ A prtir d distânci do chão às ponts dos dedos com o brço levntdo, 16cm, e d metde dess distânci, 108 cm, que corresponde à ltur do chão té o umbigo, Le Corbusier criou dus séries de vlores em relção à divisão áure desses comprimentos, que constituem um gm de medids humns. N série que ele chmou de vermelh, estbelecid prtir d ltur do chão té o umbigo, o termo que lhe sucede imeditmente coincide com ltur do homem de 175 cm. Nest série, os termos principis são 108, 67 e 41. Os vlores obtidos pel divisão áure form rredonddos, obtendo-se, ssim,os chmdos vlores de plicção. O termo principl d série que Le Corbusier chmou de zul é ltur do homem com o brço levntdo. El é igul à som dos três termos principis d série vermelh. 16 = 108 + 67 + 41 A figur 16, dptd pr o homem com ltur de 175cm, present o Modulor com s dus séries, vermelh e zul, simultnemente. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 74 74

N. 0, Setembro 010 Figur 16 - No esquem do modulor, o homem tem ltur 175 cm E, com o brço levntdo, 16 cm. Adptção pr ltur de 175 cm: Thigo E. Ferreir Retângulos áureos ns obrs de Le Corbusier Os retângulos de ouro presentm-se com muit freqüênci ns obrs de Le Corbusier. Observe o desenho bixo. Nele, o retângulo de ouro prece no Desenho Gerl. Figur 17: Desenho Gerl ilustrndo o uso dos retângulos de ouro Fonte: (BERGAMINI, 1964) Vej, gor, foto d cs representd n Figur 18. Est residênci, edificd nos subúrbios de Pris, ilustr o uso consciente (ou intencionl) do retângulo áureo. Figur 18: Obr de Le Corbusier nos subúrbios de Pris Fonte: (BERGAMINI, 1964) Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 75 75

N. 0, Setembro 010 Prtenon O Prtenon, em Atens, Gréci, é um templo construído pelo gregos por volt de 447 443.C. pr mordi dos deuses olímpicos e templo de culto. Os gregos vim em seus deuses representção mis perfeit e dmirável d belez humn. Assim, s únics mords digns desss divinddes erm s que, por sus proporções, formvm um conjunto hrmonioso completo. O Prtenon pode ser considerdo um dos exemplos mis emblemáticos de utilizção n rte d proporção áure. Ele se encix perfeitmente no retângulo áureo. Figur 19 - A fchd do Prtenon se encix num retângulo áureo Fonte: (ATALAY, 007); Ilustrção: Thigo E. Ferreir Phides, escultor e rquiteto grego, foi o encrregdo d construção desse templo. Embor sej dotdo de váris proporções geometricmente equilibrds, provvelmente seus construtores não tinhm senão conhecimento intuitivo d proporção áure. Seção áure no Prtenon Considerndo o ponto F que divide BC n extrem rzão e G o ponto que divide AB n mesm rzão, tem-se, conforme Figur 30, que ABCD, ABFE e AGHE são retângulos áureos. Observe tmbém que P divide AG n rzão áure. Figur 0 - Retângulo áureo n fchd de Prtenon. Fonte: (ATALAY, 007); Ilustrção: Thigo E. Ferreir Desenhndo-se os correspondentes retângulos do ldo esquerdo, o efeito ns dimensões e distribuição d seção áure n fchd do Prtenon é ilustrd n Figur 1, em que φ representm retângulos áureos e Q são qudrdos. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 76 76

N. 0, Setembro 010 Figur 1 - Ilustrção gráfic do uso d seção áure n fechd de Prtenon. Fonte: (ATALAY, 007); Ilustrção: Thigo E. Ferreir Um outr visão dos retângulos áureos no Prtenon Considerndo-se o ponto I, que divide GB n rzão áure, e J, o ponto que divide CF n mesm rzão, Figur exibe um outr ilustrção d presenç de retângulos áureos n fchd do templo. Pode-se demonstrr, conforme Ferreir (007, p.14), que, se um ponto P divide um segmento AB num rzão áure, o mesmo contecendo com Q em relção AP, então AQ = PB. Dess form, n Figur 1, tem-se AG = IB e pel letr φ, são todos congruentes. CJ = FB e, portnto, os retângulos de ouro, representdos Figur - Outr form de visulizr retângulos de ouro n fchd do templo. Fonte: (ATALAY, 007); Ilustrção: Thigo E. Ferreir A Mon Lis Um dos qudros mis célebres do renscentist Leonrdo d Vinci é fmos Mon Lis, um pintur encomendd por Frncesco Del Giocondo, um rico comercinte de Florenç. A obr não foi concluíd ntes de 1507 e Leonrdo nunc entregou Frncesco del Giocondo. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 77 77

N. 0, Setembro 010 Figur 3 Mon Lis de Leonrdo d Vinci. Fonte: (NOTAS AO CAFÉ) Durnte os vários séculos de su históri, pintur pssou por diverss provções. Em um dels, s coluns que enqudrvm retrtd form cortds, o que fez com que rzão entre lrgur e o comprimento fosse lterd pr 1:1,45. Não se pode provr que, ntes disso, tel estivesse enqudrd n rzão de 1:1,618, ms existem outros trçdos geométricos muito interessntes nest fmos obr de rte de Leonrdo d Vinci. i) Desenhndo-se um retângulo em volt d fce, o retângulo resultnte é um retângulo de ouro, ou sej, = φ. b ii) Subdividindo-se esse retângulo n linh dos olhos, o novo retângulo ind é de ouro, b = φ. c iii) Trçndo um retângulo áureo que delimite áre desde o lto d cbeç té o lto do corpo do vestido e delinendo um qudrdo n prte superior deste retângulo, o queixo d retrtd pous no ldo inferior dess nov figur, com o olho esquerdo ocupndo o centro do qudrdo. Os dois retângulos são áureos. Figur 4 Trçdo geométrico em torno d fce Fonte: (NOTAS AO CAFÉ); Ilustrção: Thigo E. Ferreir Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 78 78

N. 0, Setembro 010 Figur 35 Retângulo áureo que delimit o lto d cbeç té o lto do corpo do vestido Fonte: (NOTAS AO CAFÉ); Ilustrção: Thigo E. Ferreir Presenç d rzão áure em outrs situções Além ds situções presentds cim, o número de ouro prece em inúmers outrs; especilmente n crcterizção de diverss proprieddes d nturez. Assim, por exemplo, o número de ouro φ represent: 1. A rzão de belhs fêmes em comprção com belhs mcho em um colméi;. A rzão em que ument o diâmetro ds espiris ds sementes de um girssol é φ ; Figur 6 O girssol e sus espiris de Fiboncci Fonte: (NÚMEROS E NATUREZA) 3. A rzão em que se diminui s folhs de um árvore à medid que se sobe de ltur. Tmbém: 4. Ns gláxis, s estrels distribuem-se em torno de um stro principl num espirl que obedece rzão φ ; 5. Cd osso do corpo humno é regido pel rzão áure; 6. Ao pdronizr interncionlmente lgums medids usds no di--di, os projetists procurrm respeitr proporção divin. Por exemplo, rzão entre o comprimento e lrgur de um crtão de crédito é um número próximo de 1,618; Aind mis, o número de ouro φ prece: 7. Ns fmoss sinfonis, como 9ª. de Beethoven e em váris outrs; 8. No estudo do comportmento d luz e dos átomos; 9. N scensão e qued d Bols de Vlores; 10. Em problems reltivos onds do oceno, furcões e outros. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 79 79

N. 0, Setembro 010 Considerções Finis O Prtenon, n Gréci, é um dos exemplos emblemáticos de utilizção do número de ouro ou número áureo. Pr os gregos, o número de ouro representv hrmoni, equilíbrio e belez. Por isso, muits construções gregs tinhm como bse esse número. No Renscimento, revlorizção dos conceitos estéticos gregos levou grndes pintores, como Leonrdo D Vinci, utilizá-lo em sus pinturs. Mnifest-se em todos os segmentos que trblhm com hrmoni ds forms. Segundo Coelho, Se hrmoni não se mede, o mesmo não contece com proporção, que é mensurável. A prtir dest, pode definir-se um pdrão, um módulo que, desde Antiguidde, serve de medi os escultores, os desenhdores, os rquitetos. Esse pdrão tem vntgem de ser universl e de se encontrr, no próprio corpo humno, que possui cert simetri, ocup espço, tem peso e seus membros movem-se de cordo com certs regrs. Ao propor o Modulor, sistem de medição proporciond do corpo humno, Le Corbusier creditv que seu sistem de medids stisfri tnto s exigêncis d belez porque ser derivdo d seção áure qunto às funcionis porque dequdo às dimensões humns. Pr ele, este er um instrumento universl, fácil de empregr, que podi ser usdo no mundo inteiro pr obter belez e rcionlidde ns proporções de tudo o que é produzido pelo homem. (PROPORÇÃO, 007). Esss situções, bem como quels citds neste trblho, são pens lguns exemplos dentre os inúmeros em que se present o número áureo. Ele surge em seu mis lto gru de perfeição ns forms nturis, revelndo um belez que, muits vezes, pss despercebid. Somente lguns homens dotdos de um poder de observção mis lto que os demis são cpzes de perceber tod ess grndiosidde proporciond pel nturez. Poucos entre esses, não contentes pens com observções, tentm representá-l trvés d rte, colocndo em prátic todo o seu senso de observção. Esse rtist inconscientemente deix vestígios do número de ouro em su obr. No entnto, nem sempre s proporções encontrds nesss inúmers obrs são extmente representds pel rzão áure, ms se proximm dest de tl form que conseguem expressr todo o senso de proporção do rtist, que cpt d nturez tod su perfeição. O número áureo é um número irrcionl misterioso e trente. Como diz Lívio (008, p.18), trtividde do número de ouro origin-se, ntes de mis nd, do fto de que ele tem um jeito quse sobrenturl de surgir onde menos se esper. ABSTRACT: In this work it is presented the golden number which is the division of segment in middle nd extreme reson, so clled golden reson, nd its demonstrtions in nture nd rt. Studied from the Greek ncients up to tody, it is found in science nd rt most vried fields. Its notble lgebric nd geometricl properties were used in the structures of the ncient temples, the sme thing tking plce with mny renscentists rchitects. In modern times, Le Corbusier bsed his modulor on the golden reson. Currently, the use of the golden number in rchitecturl works is still frequent. KEYWORDS: Golden number, golden reson, nture, rt. Referêncis Bibliográfics BERGAMINI, Dvid; Redtores d LIFE. As Mtemátics. Rio de Jneiro: José Olympio, 1969. ATALAY, Bulent. A Mtemátic e Mon Lis. São Pulo: Mercuryo, 007.. CHING, Frncis D. K. Arquitetur: form, espço e ordem. São Pulo: Mrtins Fontes, 005. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 80 80

N. 0, Setembro 010 DOCUMENTOS: O Homem Vitruvino, Leonrdo D Vinci, 1490. Disponível em <http://quemousvence.blogspot.com/007/10/documentos-o-homem-vitruvino-leonrdo.html>. Acesso em 14 out. 007. FERREIRA, Thigo. A seqüênci de Fiboncci, o número de ouro e sus mnifestções n nturez e n rte. São Crlos: EDUNICEP, 007. Trblho de Conclusão de Curso. LÍVIO, Mrio. Rzão Áure: históri de Fi, um número surpreendente. Rio de Jneiro: Record, 008. LUCHETTA, Vleri O. J. Secção Áure. Disponível em <http://www.ime..br >. Acesso em: 3 out. 007. NOTAS AO CAFÉ: Mon Lis Disponível em http://notsocfe.wordpress.com/006/1/18/monlis/. Acesso em: 3 out. 007. PENNICK, Nigel. Geometri Sgrd: simbolismo e intenção ns estruturs religioss. São Pulo: Editor Pensmento, 1980. PROPORÇÃO: Seção áure e trçdo reguldor. 1p. Disponível em <http://.fu.ufrj.br/postils/form/cap5.pdf>. Acesso em: 07 jul. 007. RENASCIMENTO: Europ retom vlores clássicos. Disponível em. Disponível em <http://educco.uol.com.br/rtes/ult1684u16.jhtm. Acesso em: 18 jun. 007. Agrdecimento À professor Dr. Débor Ferri que muito contribuiu com correções e sugestões pr melhori d versão originl do mnuscrito. Ano. 1, N., P. 64-81, Setembro de 010. Disponível Em: P. 81 81