NÚMERO DE OURO. Vanessa Alves dos Santos Universidade do Estado da Bahia

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1 NÚMERO DE OURO Vanessa Alves dos Santos Universidade do Estado da Bahia Naiara Alves Andrade Universidade do Estado da Bahia Tiago Santos de Oliveira Universidade do Estado da Bahia Resumo: Esse projeto traz uma proposta de ensino envolvendo o estudo da geometria no intuito de tornar as aulas de matemática mais atrativas e estimulantes. O objetivo principal é promover a reflexão da importância do número de ouro através de exposição e oficina, mostrando sua aplicação em diversas áreas do conhecimento, como na Arquitetura, na Arte, na Natureza, etc. Este projeto possui referencial teórico baseado em autores como Biembengut (000), D Ambrósio (1996), Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), Boyer (1996) e em sites que também abordam o assunto. A metodologia proposta será de natureza teórica e prática, propondo trabalhos manuais, onde o concreto auxilia o ensino da geometria abstrata, na construção do retângulo de ouro, da espiral de ouro e do pentagrama, símbolo da escola pitagórica, utilizando técnicas de desenho geométrico. A Escola Grega Pitagórica estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, na beleza, no corpo humano e, possivelmente a mais importante é a razão áurea, também chamada de razão divina ou divina proporção. Palavras-chave: Número de ouro; Aulas de matemática; Geometria. 1 INTRODUÇÃO A educação matemática traz discussões relacionadas às formas de qualificar as aulas de matemática. Pensando nessa necessidade, surgiu então a proposta de aprimorar o trabalho do professor, como meio de incentivar os alunos a gostarem da matemática, já que é a disciplina alvo de tantas discussões, e assim tornar a aula mais dinâmica no ensino da geometria. A exploração dos conceitos e procedimentos através da prática possibilita ao aluno o conhecimento significativo e assim ele vai perceber o quanto a matemática está presente nas situações do dia-a-dia e na relação com outras ciências para então valorizar a sua importância. Quando o professor dá oportunidade ao aluno de manusear o objeto do conhecimento, este fica mais próximo da sua realidade. 1

2 De acordo com os PCN s: [...], se esse trabalho for feito através da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. (PCN, 1998, p. 56) O estudo do número de ouro vem demonstrar que a matemática está presente em muitas coisas do nosso cotidiano, seu valor numérico, aproximadamente 1,618, também conhecido como Phi (Fi), por ser a inicial do nome de Fídias, escultor e arquiteto grego que utilizou a proporção de ouro em vários de seus trabalhos, é para muitos, símbolo de harmonia, de beleza, e, por isso, também é conhecido como divina proporção. Todas essas aplicações da razão áurea podem ser, dentro da história da matemática, um elemento de grande importância. Segundo D Ambrósio: Uma percepção da história da matemática é essencial em qualquer discussão sobre a matemática e o seu ensino. Ter uma ideia, embora imprecisa e incompleta, sobre por que e quando se resolveu levar o ensino da matemática à importância que tem hoje são elementos fundamentais para se fazer qualquer proposta de inovação em educação matemática e educação em geral. (D AMBRÓSIO, 1996, p. 9) Como afirma Biembengut (000, p. 88), o número de ouro pode valer também como ponto de partida para introduzir os números irracionais e a equação do segundo grau, sendo assim, indicado para o 9º ano do Ensino Fundamental, o que permite ao aluno perceber de onde e como a matemática é aplicada. Pode ser indicado também em outras séries, como o 5º ou 6º ano do Ensino Fundamental, onde o professor pode sugerir que os alunos explorem as proporções áureas no corpo humano, num trabalho mais simplificado, para inserir o conceito de números decimais. CONHECENDO O NÚMERO DE OURO O número de ouro Ф (letra grega maiúscula) é considerado especial por ter propriedades interessantes como: P 1 : Ф + 1 = Ф² (1, ) = (1,618...)² =,618...

3 P : Ф 1 =1/ Ф (1, ) = (1/ Ф) = 0, O RETÂNGULO ÁUREO Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente o número Phi, ou seja, 1,618. A diagonal de cada retângulo vai intercetar o centro da espiral.. Fig. 1 - Retângulo de ouro Junto a esse retângulo pode-se notar a presença de uma espiral. Essa espiral é encontrada no formato de conchas marinhas (náutilo), na organização das sementes de girassol, entre outros elementos da natureza. 4 O NÚMERO DE OURO NA NATUREZA Fig. - Náutilus Fig. 3 - Sementes de girassol Não se sabe ao certo como surgiu esse fantástico número. Séculos antes de Cristo, os pitagóricos estudaram as relações entre os segmentos de um pentagrama e descobriram um número que tem muita importância na geometria. A razão da diagonal de um pentágono pela medida do lado, encontra-se o valor aproximadamente 1,618, razão áurea. Fig. 4 - Pentágono 3

4 Os Egípcios consideravam o número de ouro sagrado, tendo uma importância extrema na sua religião, e chamavam-no não de número de ouro, mas sim de "número sagrado". Utilizavam-no para a construção de templos e sepulcros (as pirâmides) para os mortos. Fig. 5 - Pirâmides egípcias 5 O NÚMERO DE OURO NO CORPO HUMANO O corpo humano está relacionado de diversas formas com o número áureo. A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão; A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta; A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão; A medida do pênis humano e a medida da palma de sua mão. Fig. 6 - Homem Vitruviano (Leonardo Da Vinci) 4

5 6 O NÚMERO DE OURO NAS OBRAS DE ARTE Na Arte, em obras como O nascimento de Vênus (Botticelli), A Mona Lisa de Leonardo Da Vinci, a razão áurea foi bastante utilizada. Inclusive Leonardo Da Vinci a chamou de Divina Proporção. Fig. 7 - Mona Lisa (Leonardo da Vinci) Fig. 8 - O Nascimento de Vênus (Botticelli) 7 O NÚMERO DE OURO NAS ANTIGAS OBRAS ARQUITETÔNICAS O retângulo áureo foi muito utilizado nas construções gregas. O Partenon, construído pelo arquiteto e escultor grego Fídias, possui suas medidas na razão áurea. Fig. 9 - Partenon (Phideas) 8 O NÚMERO DE OURO NA ARQUITETURA MODERNA Quanto à arquitetura moderna, exemplos de edifícios que contêm elementos arquitetônicos na forma de retângulos de ouro como a igreja de Notre Dame em Paris, a torre de Toronto, no Canadá, a sede da ONU em Nova York, também têm medidas na razão áurea. 5

6 Fig Igreja de Notre Dame (Paris) Fig Torre de Toronto (Canadá) Fig. 1 - Sede da ONU Até hoje essa beleza é discutida, mas a verdade é que existem inúmeros exemplos onde o retângulo de ouro aparece. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso cotidiano, encontramos aproximações do retângulo de ouro, por exemplo, o caso dos cartões de crédito, bilhetes de identidade, o novo modelo da carta de condução, assim como a forma retangular da maior parte dos nossos livros. 9 A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI Leonardo de Pisa, também chamado de Leonardo Fibonacci apresenta um quebra cabeça matemático que deu origem à série de Fibonacci. Esta série segue a regra, segundo a qual, cada termo é a soma dos dois termos imediatamente anteriores: Ex.: 1 : 1 : : 3 : 5 : 8... Fig Medidas dos lados de cada quadrado 10 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA DO NÚMERO ÁUREO Traçando um segmento AB e com um ponto C podemos dividir este segmento em duas partes, numa posição de ouro, em dois segmentos proporcionais, tal que o quociente 6

7 entre as medidas da parte maior com a parte menor é igual ao quociente da parte total pela parte maior: segmento total parte maior parte maior parte menor No exemplo dado, a posição ouro do ponto C é obtida da seguinte forma: Sendo a medida (AB) = x, med(ac) = a e med(cb) = (x a), então: x a x(x a) = a² x² xa a² = 0 a x a x a a² 4a a a x 5 1 5) x a( x ( 1 a 5) Desconsiderando a parte negativa, pois se trata de uma medida, temos: x a 1 5 1, OFICINA 11.1 CONSTRUINDO O RETÂNGULO ÁUREO... 1º passo º passo 3º passo 4º passo 5º passo 7

8 Fig CONSTRUINDO A ESPIRAL ÁUREA A PARTIR DO RETÂNGULO... Fig CONSTRUINDO O PENTAGRAMA... 1º passo º passo 3º passo Fig CONSIDERAÇÕES FINAIS A aprendizagem matemática está ligada à compreensão e a apreensão do significado. Para tornar as aulas mais significativas, o professor pode mostrar os pontos altos da matemática de ontem, comparando com a sua aplicação hoje e assim o aluno vai perceber como o mundo que o cerca está repleto desta ciência. Espera-se que, com esse trabalho, o professor possa ir além das aulas expositivas, levar o aluno a entender a importância da matemática, abrir discussões durante as aulas e tornar os conteúdos mais significativos, saindo da rotina cansativa e aparentemente desinteressante e assim levar o aluno a apreciar essa ciência com entusiasmo. Utilizando esse tema, o professor pode explorar diversos conteúdos, como: razão e proporção, números decimais, geometria desenho geométrico, equação do segundo 8

9 grau, medidas de comprimento, pode também mostrar o envolvimento desta ciência com outras áreas do conhecimento (Arquitetura, Artes, História...). O surgimento do número Phi perde-se na antiguidade, porém, influencia a arte através do retângulo áureo que é considerado perfeito, pois é o retângulo mais agradável a visão. Desde as obras do escultor grego Fídias, os trabalhos de Fibonacci e as pinturas renascentistas até as arquiteturas modernas, fica evidente a relevância dos estudos nesta área, juntamente com o estudo da geometria, para o desenvolvimento de uma abordagem matemática mais significativa. 13 REFERÊNCIAS ALEGRIA MATEMÁTICA: sequência de Fibonacci: aplicações. Disponível em: < Acesso em: dezembro de 009. BELUSSI, Giuliano Miyaishi. Número de ouro. Disponível em: < Acesso em: 1 de fevereiro de 010. BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 000. BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental - ª ed.- Rio de janeiro: DP&A, 000. D AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas, SP: Papirus, FREITAS, Fidêncio Maciel de. A proporção áurea e curiosidades históricas ligadas ao desenvolvimento da ciência. Disponível em: < Acesso em: dezembro de