PARTE 11 VETOR GRADIENTE:

PARTE 11 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 11.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em X 0 Domf), definimos o vetor gradiente de f em X 0, denotado por fx 0 ), como ) f f f fx 0 ) = X 0 ), X 0 ),... X 0 ). 1 n Vamos agora nos restringir ao caso em que f é uma função diferenciável e apresentar a interpretação geométrica do gradiente de uma função de duas e de três variáveis. 11. Vetor Gradiente de uma Função de Duas Variáveis: Interpretação Geométrica Considere as funções f : Domf) R n R e γ : Domγ) R R n tal que Imγ) Domf). Suponha que f é diferenciável no aberto A Domf) R n e que a função γ é diferenciável no intervalo aberto I Domγ), onde γt) A, para todo t I Domγ). Vimos que, pela regra da cadeia, a função h definida por ht) = fγt)) é diferenciável em I e h t) = fγt)) γ t), Vamos agora nos restringir ao caso em que n =, acrescentar algumas condições, e então interpretar o gradiente geometricamente. 175

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 17 Para isto, considere a função f : Domf) R R X =, ) fx) = f, ) Suponha que f é de classe C 1 no aberto A Domf) R e seja 0, 0 ) A um ponto pertencente à curva de nível k de f. Suponha ainda que f 0, 0 ) 0, 0). Considere agora uma curva arbitrária C, que contém o ponto 0, 0 ), e está inteiramente contida na curva de nível k de f. Não se preocupe agora com a eistência desta curva. Mais tarde, veremos que as condições anteriormente impostas garantem isto). Além disso, suponha que C é parametriada pela função γ : Domγ) R R t γt) = t), t)) e que γ é diferenciável no intervalo aberto I Domγ). Vamos supor ainda que o ponto t 0 I Domγ) tal que γt 0 ) = 0, 0 ) possui a propriedade de que γ t 0 ) 0, 0). Observe que dier que C está inteiramente contida na curva de nível k de f se tradu em afirmar que fγt)) = k, t Domγ). 1) Derivando os dois lados da equação 1), obtemos que que, pela regra da cadeia, fornece que d dt fγt))) = d k), t I, dt fγt)) γ t) = 0, t I Domγ). Desta forma, em particular, temos que fγt 0 )) γ t 0 ) = 0. Como supusemos que f 0, 0 ) 0, 0) e γ t 0 ) 0, 0), a equação acima afirma que f 0, 0 ) é perpendicular à curva C, no ponto 0, 0 ). Como C é uma curva arbitrária contida na curva de nível k de f, concluimos que O vetor gradiente de f no ponto 0, 0 ) é perpendicular à curva de nível de f que contém o ponto 0, 0 ). Diemos assim que f 0, 0 ) é um vetor normal à curva de nível k de f, no ponto 0, 0 ). A equação da reta que contém o ponto 0, 0 ) e é paralela ao vetor f 0, 0 ) é chamada de reta normal à curva de nível k de f no ponto 0, 0 ). A equação desta reta é dada por, ) = 0, 0 ) + λ f 0, 0 ), λ R.

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 177 Além disso, a reta que contém o ponto 0, 0 ) e é perpendicular a f 0, 0 ) é chamada de reta tangente à curva de nível k de f no ponto 0, 0 ). A equação desta reta é dada por f 0, 0 ) [ 0 ), 0 )] = 0. Lembre-se que já vimos Parte ) que se C é uma curva parametriada pela função γ, então a equação da reta tangente a esta curva no ponto γt 0 ) = 0, 0 ) é dada por, ) = 0, 0 ) + λγ t 0 ), λ R. O que acabamos de ver, portanto, foi uma nova forma de encontrar a reta tangente de uma curva, no caso especial em que esta curva está contida na curva de nível de uma função. Eemplo 11..1: A curva C, parametriada pela função γ : Domγ) R R, é uma curva que contém o ponto 1, ) e é tal que fγt)) =, t Domγ), onde f, ) = +. Seja t 0 I aberto ) Domγ), tal que γt 0 ) = 1, ) e γ t 0 ) 0, 0). Determine as equações da reta perpendicular e da reta tangente a C no ponto 1, ). Solução: Como a curva C é tal que fγt)) =, t Domγ), temos que C está contida na curva de nível de f. Sendo assim, como sabemos que o gradiente de uma função é perpendicular as suas curvas de nível, vamos determinar o gradiente de f no ponto 1, ), pois, desta forma, estaremos determinado um vetor perpendicular a C no ponto 1, ). Neste caso, temos que f, ) = + +, ) + f1, ) = 10, ). Sendo assim, a equação da reta perpendicular a C no ponto 1, ) é dada por, ) = 1, ) + λ f1, ), λ R, ) = 1, 10 ) + λ, ), λ R, e a equação da reta tangente a C no ponto 1, ) é dada por f1, [ ), ) 1, )] = 0 10, ) 1, ) = 0.

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 178 Nas figuras abaio, temos um esboço do gráfico de f, do plano =, da curva C e da reta tangente e da reta normal a C no ponto 1, ). Veja que, como fγt)) =, t Domγ), a interseção do gráfico de f com o cilindro cuja diretri e a curva C e cuja geratri é paralela ao eio, está contida no plano =. 11. Vetor Gradiente de uma Função de Três Variáveis: Interpretação Geométrica Vamos agora repetir o mesmo raciocínio para o caso em que n =. Para isto, considere a função f : Domf) R R X =,, ) fx) = f,, ) Suponha que f é de classe C 1 no aberto A Domf) R e seja 0, 0, 0 ) A um ponto pertencente à superfície de nível k de f. Suponha ainda que f 0, 0, 0 ) 0, 0, 0). Considere agora uma curva arbitrária C, que contém o ponto 0, 0, 0 ), e está inteiramente contida na superfície de nível k de f. Além disso, suponha que C é parametriada pela função γ : Domγ) R R t γt) = t), t), t)) e que γ é diferenciável no intervalo aberto I Domγ). Vamos supor ainda que o ponto t 0 I Domγ) tal que γt 0 ) = 0, 0, 0 ) possui a propriedade de que γ t 0 ) 0, 0, 0). Observe que dier que C está inteiramente contida na superfície de nível k de f se tradu em afirmar que fγt)) = k, t Domγ). ) Derivando os dois lados da equação ), obtemos que d dt fγt))) = d dt k), t I

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 179 que, pela regra da cadeia, fornece que fγt)) γ t) = 0, t I Domγ). Desta forma, em particular, temos que fγt 0 )) γ t 0 ) = 0. Como supusemos que f 0, 0, 0 ) 0, 0, 0) e γ t 0 ) 0, 0, 0), a equação acima afirma que f 0, 0, 0 ) é perpendicular à curva C, no ponto 0, 0, 0 ). Como C é uma curva arbitrária contida na superfície de nível k de f, concluimos que O vetor gradiente de f no ponto 0, 0, 0 ) é perpendicular à qualquer curva qua contém este ponto e está inteiramente contida na superfície de nível de f que contém o ponto 0, 0, 0 ). Portanto, o gradiente de f no ponto 0, 0, 0 ) é perpendicular à superfície de nível de f que contém este ponto. Diemos assim que f 0, 0, 0 ) é um vetor normal à superfície de nível k de f, no ponto 0, 0, 0 ). A equação da reta que contém o ponto 0, 0, 0 ) e é paralela ao vetor f 0, 0, 0 ) é chamada de reta normal à superfície de nível k de f no ponto 0, 0, 0 ). A equação desta reta é dada por,, ) = 0, 0, 0 ) + λ f 0, 0, 0 ), λ R. Além disso, o plano que contém o ponto 0, 0, 0 ) e é perpendicular a f 0, 0, 0 ) é chamado de plano tangente à superfície de nível k de f no ponto 0, 0, 0 ). A equação deste plano é dada por f 0, 0, 0 ) [ 0 ), 0 ), 0 )] = 0. Eemplo 11..1: Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície S dada por + + + =, no ponto 1, 1, ). Solução: Considere a função f dada por f,, ) = + + + ;,, ) R. Neste caso, temos que a superfície S é a superfície de nível 0 de f. Desta forma, como o gradiente é perpendicular às superfícies de nível da função, o gradiente de f no ponto 1, 1, ) é perpendicular à superfície S. Sendo assim, vamos calcular o gradiente de f. f,, ) = +, +, + ) f1, 1, ) = 1, 5, 8).

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 180 Portanto, o plano tangente à superfície S no ponto 1, 1, ) é dado por f1, 1, ) [,, ) 1, 1, )] = 0 1, 5, 8) 1, + 1, ) = 0 1 + 5 + 1) + 8 ) = 0. Nas figuras abaio temos um esboço da superfície S e do plano tangente à superfície S no ponto 1, 1, ). Observação 11..1: Seja g : Domg) R R uma função de classe C 1 no aberto A Domg). Considere o ponto 0, 0 ) A e seja 0 = g 0, 0 ). Vimos na aula de derivada Parte 7) que, como g é derivável em 0, 0 ) pois é de classe C 1 no aberto A que contém 0, 0 )), então o gráfico de g possui plano tangente no ponto 0, 0, 0 ) = 0, 0, g 0, 0 )), o qual é dado por = g 0, 0 ) + g 0, 0 ) 0 ) + g 0, 0 ) 0 ). Considere agora a função f definida por f,, ) = g, ),,, ) Domg) R. Observe que o gráfico da função g dado, de forma eplicita, pela equação = g, ), está agora dado de forma implícita pela equação f,, ) = 0; ou seja, o gráfico de g é a superfície de nível 0 de f. Portanto, toda curva C inteiramente contida no gráfico de g, também está inteiramente contida na superfície de nível 0 de f. Desta forma, temos que f 0, 0, 0 ) também é normal ao gráfico de g no ponto 0, 0, 0 ). Sendo assim, utiliando a equação do plano tangente à superfície de nível de f que contém o ponto 0, 0, 0 ), também deveríamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto 0, 0, 0 ). De fato, é isto que acontece. Realmente, uma ve que g f 0, 0, 0 ) = 0, 0 ), g ) 0, 0 ), 1, segue que a equação do plano tangente à superfície de nível de f que contém o ponto 0, 0, 0 ) é dada por

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 181 f 0, 0, 0 ) [ 0 ), 0 ), 0 )] = 0 g 0, 0 ), g ) 0, 0 ), 1 [ 0 ), 0 ), g 0, 0 ))] = 0 g 0, 0 ) 0 ) + g 0, 0 ) 0 ) g 0, 0 )) = 0 = g 0, 0 ) + g 0, 0 ) 0 ) + g 0, 0 ) 0 ), conforme se esperava. Eemplo 11..: Considere a função g dada por g, ) = 5 9 9 4. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g, no ponto )), 1, g, 1, pela duas formas mencionadas acima. Solução: 1 a forma: Neste caso, vamos trabalhar com a função g dada e utiliar a fórmula de plano tangente ao gráfico de uma função. Sendo assim, temos que o plano tangente ao, 1, g = ) g, 1 + g ) gráfico da função g no ponto Desta forma, como g, 1 g g = 5 e, ) = 15, ) = 10, 1, 1 )) é dado por ) ) + g ), 1 1). 9 9 4 g ), 1 = 5 9 9 4 g ), 1 = 10 Portanto, o plano tangente ao gráfico da função g no ponto por = 5 5 ) 10 1). )), 1, g, 1 é dado a forma: Neste caso, vamos começar elevando a equação = 5 9 9 4 ao quadrado, ficamos com = 5 5 100. Fiemos isto para evitar a rai. Considere então a função f dada por f,, ) = 5 + 100 + 5.

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 18 Observe que o gráfico da função g está contido na superfície de nível 0 da função f. Utiliando então o fato de que o gradiente de uma função é perpendicular a suas superfícies de nível, temos que o gradiente de f no ponto, 1, 5 ) é perpendicular à superfície de nível 0 de f neste ponto. Desta forma, a equação do plano tangente à superfície de nível 0 de f no ponto, 1, 5 ) é dada por f, 1, 5 ) [,, ), 1, 5 )] = 0. Porém, como o gráfico da função g está contido na superfície de nível 0 da função f, equação acima também é a equação do plano tangente ao gráfico da função g no ponto, 1, 5 ). Vamos então calcular o gradiente de f. f,, ) = 450, 00, 7). f, 1, 5 ) = 00, 00, 0). Portanto, a equação do plano tangente pedida é dada por [ 00, 00, 0),, ), 1, 5 )] = 0 15, 10, ), 1, 5 ) = 0 15 ) + 10 1) + 5 ) = 0. Nas figuras abaio temos um esboço da superfície S e do plano tangente à superfície S no ponto, 1, 5 ).

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 18 Observação 11..: Considere duas superfícies S 1 e S dadas, respectivamente, pelas equações f 1,, ) = 0 e f,, ) = 0, onde f 1 e f são supostas de classe C 1 no aberto A R, e f 1 0, 0, 0 ) f 0, 0, 0 ) 0, 0, 0). Considere agora uma curva C, parametriada pela função γ : Domγ) R R, contida na interseção das superfícies S 1 e S. Seja t 0 I aberto ) Domγ) e suponha que γt 0 ) = 0, 0, 0 ) e γ t 0 ) 0, 0, 0). Desta forma, o vetor γ t 0 ), tangente à curva C no ponto γt 0 ) = 0, 0, 0 ), é perpendicular a ambos os vetores f 1 0, 0, 0 ) e f 0, 0, 0 ), uma ve que f i 0, 0, 0 ) é perpendicular a qualquer curva contida em S i, pois S i é uma superfície de nível de f i i = 1, ). Portanto, o vetor γ t 0 ) é paralelo ao vetor f 1 0, 0, 0 ) f 0, 0, 0 ). Desta forma, a equação da reta tangente à C no ponto γt 0 ) = 0, 0, 0 ) é dada por,, ) = 0, 0, 0 ) + λ f 1 0, 0, 0 ) f 0, 0, 0 )), λ R. Eemplo 11..: A curva C, imagem da função γ : Domγ) R R, está contida na interseção das superfícies S 1, dada pela equação + + = 4, e S, dada pela equação ++ =. Sabe-se que t 0 I aberto ) Domγ) é tal que γt 0 ) = 1, 1, 1) e γ t 0 ) 0, 0, 0). a) Determine a reta tangente à curva C no ponto γt 0 ). b) Determine uma curva C nas condições acima. Solução: Considere as funções f e g dadas por e f,, ) = + + 4;,, ) R g,, ) = + + ;,, ) R Neste caso, temos que a superfície S 1 é a superfície de nível 0 de f e a superfície S é a superfície de nível 0 de g. Desta forma, como o gradiente é perpendicular às superfícies de nível da função, f1, 1, 1) é perpendicular à superfície S 1 no ponto 1, 1, 1) e g1, 1, 1) é perpendicular à superfície S no ponto 1, 1, 1). Como a curva C está contida na interseção das superfícies S 1 e S, f1, 1, 1) e g1, 1, 1) são ambos perpendiculares à curva C no ponto γt 0 ) = 1, 1, 1), i.e. f1, 1, 1) e g1, 1, 1) são ambos perpendiculares γ t 0 ). Portanto, conforme já observado, γ t 0 ) é paralelo ao produto vetorial f1, 1, 1) e g1, 1, 1), de modo que a equação da reta tangente à C no ponto γt 0 ) = 1, 1, 1) é dada por,, ) = 1, 1, 1) + λ f1, 1, 1) g1, 1, 1)), λ R. Sendo assim, vamos calcular os gradientes de f e de g no ponto 1, 1, 1). f,, ) =, 4, 1) e g,, ) =, 1, 1) f1, 1, 1) =, 4, 1) e g1, 1, 1) =, 1, 1).

Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise 011. 184 Desta forma, temos que f1, 1, 1) g1, 1, 1) = i j k 4 1 1 1 =, 0, ).,, ) = 1, 1, 1) + λ, 0, ), λ R.