MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Sbemos, de uls nteriores, que podemos resolver problems usndo equções. A resolução de problems pelo médtodo lgébrico consiste em lgums etps que vmso recordr. - Representr o vlor desconhecido do problem, incógnit, por um letr que, em gerl, é letr x. - Escrever sentenç mtemátic que "trduz" o problem. É o que chmmos de equcionr o probelm. - Resolver equção do problem. - Verificr solução encontrd escolhendo solução corret, de cordo com o que foi solicitdo no problem. Vmos estudr gor s equções do 2º Gru, usds n resolução de problems de diferentes ssuntos que representm necessidde desse tipo de equção. Vejmos o seguinte problem: n figur seguir, temos um retângulo de comprimento 6 cm e cuj lrgur é desconhecid, ou sej, não sbemos su medid. Ao ldo desse retângulo temos um qudrdo cujo ldo é igul à lrgur do retângulo. Vmos determinr o ldo do qudrdo, sbendo que áre totl d figur é de 16 cm² x 6 cm x Chmmos o ldo do qudrdo, que é incógnit do problem, de x. Clculndo s áress do retângulo e do qudrdo, temos: Áre do retângulo: 6. x 6x Áre do qudrdo: x. x x² Áre totl d figur é: 6x + x² 16 Equção do problem Vmos, gor, "rrumr" equção do problem, colocndo todos os termos no primeiro membro e ordenndo-os de cordo com s potêncis de x, d mior pr menor, ou sej, de modo descrescente. x² + 6x - 16 0 Termo Termo Termo em x² em x sem x Ess equção é d form x² + bx + c 0 e é chmd de equção do 2º gru. Os coeficientes, b e c são números reis. Vej os exemplos: - N equção 2x² - 4x + 5 0, os coeficientes são: 2, b -4 e c5 - N equção x² + 5x 0, os coeficientes são: 1, b 5 e c 0 (não existe o termo independente de x) Págin 1
- N equção 2x² - 9 0, os coeficientes são: 2, b 0 e c -9 (não existe o termo do 1º Gru em x) - N equção 4x² 0, os coeficientes são: 4, b 0 e c 0 (fltm dosi termos) A equção que encontrmso no problem inicil é um equção complet, pois não tem coeficiêntes nulos. Qundo um equção do 2º Gru possui um ou dois coefientes nulos el é chmd de inconplet. N equção do 2º Gru, escrevemos que é diferente de zero O que conteceri se fosse igul zero? Vmos substituir por zero d equção x² + bx + c 0. A equção ficrá ssim: 0. X + bx + c 0 bx + c 0 Equção do 1º gru. Portnto, o coeficiente do termo de 2º gru não pode ser zero pois, nulndo esse termo, equção deix de ser do 2º gru. Resolução de um equção Já vimos, qundo estudmos equções do 1º gru, que resolver um equção é encontrr um vlor d vriável x que torn equção verddeir qundo substituímso x por esse vlor. No cso d equção do 2º gru, podemos encontrr té dus soluções diferentes pr um equção. EXEMPLO 1 ) Verifique, n equção do problem inicil, se o número 2 é solução d equção A equção é: x² + 6x - 16 0 Substituindo x por 2, temos: 2² + 6. 2-16 0 4 + 12-16 0 16-16 0 Sentenç verddeir Logo, x 2 é um solução d equção x² + 6x - 16 0. b) Verifique, n mesm equção, se 1 é solução. Substituindo x por 1, temos: 1² + 6.1-16 0 1 + 6-16 0 7-16 0 sentenç fls Logo, x 1 não é solução d equção x² + 6x - 16 0 Resolução ds equções incomplets Equções do 2º gru em que b 0 (equções do tipo x² + c 0) Nesse cso, equção só tem um termo em x, então resolvermos como se el fosse um equção do 1º gru. x² + c 0 x² -c Isolndo o termo em x no 1º membro x² - c Clculndo o termo em x Págin 2
extrindo riz qudrd As soluções d equção são e Esse tipo de equção pode ter dus soluções reis, cso o rdicndo - c sej um número positivo. Se o rdicndo for negtivo equção não terá solução, pois rísz de índice pr de um número negtivo não é um número rel. No cso do rdicndo ser nulo, equção terá um únic solução, tmbém nul. EXEMPLO 2 Resolver equção 3x² - 27 0 3x² 27 x² 27 3 As soluções d equção são +3 e - 3 x² 9 x x Equções do 2º gru em que c 0 (equções do tipo x² + bx 0) Observe que ess equção possui dois termos em x. Nesse cso, podemos ftorr x² + bx, colocndo x em evidênci: x (x + b) 0 Obtivemso um produto de dois ftores que deve ser igul zero. Logo um dos ftores deve ser nulo: x 0 Se x (x + b) 0, então ou x + b 0 x - b x - b As soluções d equção são x1 0 e x2 -b Neste tipo de equção, encontrremos sempre dus soluções diferentes, sendo um dels iguis zero. Exemplo 3 Resolver equções 3x² - 15x 0 x (3x - 15) 0 ou 3x - 15 0 x 0 3x 15 x 15 x 5 3 As soluções são x1 0 e x2 5 Págin 3
A formul de Bhsckr Existe um método que nos permite resolver qulquer equção do 2º gru. Aplicndo essse método, obtemos um fórmul resolutiv conhecid como fórmul de Bhskr. Bhskr foi um mtemático hindu nscido por volt do no 1100. Embor fórmul que vmos conhecer leve seu nome, ele não descobriu. Trezentos nos ntes, o método de resolução já er plicdo elo mtemático árbe Al-Khowrizmi, tido como inicidor d álgebr. Entretnto, Bhskr levou fm... A idéi principl do método pr resolver um equção do tipo x² + bx + c 0, com ( diferente) 0, é est: Se x² + bx + c for um trinômio qudrdo perfeito, resolução é simples. Vimos isso no item nterior. Se x² + bx + c não for um trinômio qudrdo perfeito, iremos trnsformá-lo num trinômio qudrdo perfeito. Como? Somndo um número conveniente os dois membros d equção. EXEMPLO 1 Vmos resolver equção x² - 8x - 20 0. Inicilmente, observe que x² - 8x - 20 não é um trinômio qudrdo perfeito. Isolmos então x² - 8x no primeiro membro, e seguir, procurmos o número que deve ser colocdo no lugr de #, de modo que x² - 8x + # sej um trinômio qudrdo perfeito. Como esse número é 16, somremos 16 os dois membros d equção. Vej então sequênci tod: x² - 8x - 20 0 lev x² - 8x 20 que lev x² - 8x + 16 20 + 16 que lev x² - 8x + 16 36. Portnto, (x - 4)² 36. x - 4 6 Portnto, s rízes d equção são x 10 e x -2, ou sej, S {10, -2} x 10 Vmos conferir: x - 4 +- 6 ou x 10 100-80 - 20 0 20-20 0 x² - 8x - 20 0 x - 4-6 x -2 4 + 16-20 0 20-20 0 x -2 Exemplo 2 Vmos resolver equção x² + 5x + 6 0. Inicilmente vemos que x² + 5x + 6 não é um trinomio qudrdo perfeito. Isolmos x² + 5x no primeiro membro. Como 5 é um número Ímpr, pr que x² + 5x + # sej um trinômio qudrdo perfeito, no lugr de # deve ser colocdo um número frcionário. Pr evitr isso, multiplicmos os dois membros por 4, que, lém de ser pr, é um qudrdo perfeito: x² + 5x + 6 0 x² + 5x -6 4x² + 20x -24 Págin 4
Agor procurmos o número que deve ser colocdo no lugr de #, pr que 4x² + 20x + # sej um trinômio qudrdo perfeito. Como esse número é 25, sommos 25 os dois membros d equção: 4x²+ 20x - 24 implic 4x² + 20x + 25-24 + 25 4x² + 20x + 25 1 trinômio qudrdo 2x + 5 1 perfeito x -2 Portnto, s rízes dess equção são (2x + 5)² 1 implic 2x + 5 +- 1 ou x - 2 e x -3. Confir! Dedução d Formul de Bhskr 2x + 5-1 x -3 Vmos usr o método n resolução de um equção do 2º gru genéric, isto é, um equção que represent qulquer um ds possíveis equções do 2º gru: x² + bx + c 0, com ( diferente) 0 Começmos isolndo x² + bx no primeiro membro. A seguir, multiplicmos os dois membros d equção por 4: x² + bx + c 0 x² + bx -c 4²x² + 4bx - 4c Agor, procurmso o termo que deve ser colocdo no lugr de #, pr que 4²x² + 4bx + # sej um trinômio qudrdo perfeito. Como esse termo é b², sommos b² os dois membros d equção: 4²x² + 4bx -4c 4²x² + 4bx + b² - 4c + b² 4²x² + 4bx + b² b² - 4c trinômio qudrdo perfeito (2x + b)² b² - 4c Vmos indicr b² - 4c por Assim, temos (2x + b)², que é letr greg delt. Observe que: - Qundo < 0, equção não tem rízes reis; - Qundo > 0, temos: (2x + b)² 2x + b Agor, resolvemos esss dus equções do 1º gru, isolndo x: Págin 5
2x + b 2x + b ou 2x + b - Fórmul de Bhskr N equção do 2º gru x² + bx + c 0, indicmos b² - 4c por. Qundo < 0, equção não tem soluções reis. Qundo 0, s soluções são obtids pel formul: EXEMPLO 3 Já resolvemos equção x² - 8x - 20 0, trnsformndo o 1º membro num qudrdo perfeito. Agor, vmos resolvê-l pel fórmul de Bhskr. 1, b - 8 e c - 20 b² - 4c (-8)² - 4. 1. (-20) 64 + 80 144 Como > 0, equção tem s seguintes soluções: 8 + 12 2 10 Portnto, s rízes dess equção são x 10 e x -2. 8-12 2-2 Exemplo 4 Vmos usr fórmul de Bhskr pr resolver equção - 9x² + 12x - 4 0. Como -9 é número negtivo, convém multiplicr mbos os membros por -1 pr evitr erros de sinis. Ficmos com 9x² - 12x + 4 0. 9, b -12 e c 4 b² - 4c (-12)² - 4. 9. 4 144-144 0 A equção tem s seguintes soluções 12 + 0 18 12 2 18 3 12-0 12 2 18 18 3 Portnto, o conjunto ds soluções dess equção tem pens um elemento: 2 3 Exemplo 5 Vmos resolver equção 3x² + 4x + 2 0, usndo fórmul de Bhskr. Págin 6
3, b 4 e c 2 b² - 4c 4² - 4. 3. 2 16-24 - 8 Como < 0, equção não tem soluções reis. Págin 7