apítulo Matemátca Facera. Apresetação do capítulo A matemátca facera trata da comparação de valores moetáros ao logo do tempo. Através de seu estudo, podemos aalsar e comparar alteratvas de vestmeto e facameto, como: qual o valor de R$., daqu a um ao? como comparar valores o tempo (R$5., hoje cotra R$5.4, daqu a um mês ou com R$597.6, daqu a um ao)? quas as alteratvas para tomar dhero emprestado, cosderado os custos embutdos que você deverá arcar para saldar as suas dívdas futuras? O objetvo deste capítulo é apresetar os cocetos báscos ecessáros para o bom etedmeto das prcpas fórmulas da matemátca facera, seus elemetos e seus respectvos cálculos. Ao fal, você terá vsto: a defção de juro e de taxas de juro; os regmes de captalzação; a dfereça das taxas de juro omas, efetvas e reas; uma vsão geral da aálse dos dferetes fluxos de caxa, do valor presete líqudo (VPL) e da taxa tera de retoro (TIR). Na pága segute, você ecotrará o quadro de oretações de estudo para a prova de certfcação do PQO BM&FBOVESPA deste capítulo. Idetfque a prova que rá fazer e estude os tópcos sugerdos. Bos estudos!!!
Quadro de oretações de estudo para a prova de certfcação do PQO BM&FBOVESPA Tpos de provas Item. Pág. Item. Pág. 4 Item.4 Pág. 6 Item.5 Pág. 8 Item.6 Pág. 7 Item.7 Pág. 9 Operações BM&FBOVESPA Operações segmeto Bovespa Operações segmeto BM&F omercal omplace Rsco Back Offce BM&FBOVESPA Back Offce segmeto Bovespa Back Offce segmeto BM&F
MATEMÁTIA FINANEIRA. Juro e taxas de juro O juro represeta o custo do dhero tomado emprestado ou, aalogamete, a remueração pelo sacrfíco de adar uma decsão de gasto/cosumo e aplcar o captal ( ) por certo úmero de períodos (). Defções aptal: valor aplcado por meo de alguma operação facera. Também cohecdo como prcpal, valor atual, valor presete ou valor aplcado. Em geral, o captal costuma ser deotado por. Número de períodos: tempo, prazo ou período em determada udade de tempo (das, meses, aos etc.) em que o captal é aplcado. Em geral, o úmero de períodos costuma ser smbolzado por. Supoha que você resolva veder o seu apartameto pelo valor de R$., e receba uma proposta de compra por R$98., a vsta quado da emssão do boleto de compraveda ou R$8., esse ato e mas R$., a escrturação, que será realzada das depos. Qual será o melhor egóco para você: receber R$98., hoje ou as duas parcelas sugerdas pelo comprador? Para resolver a questão precsamos eteder o que são juros. Qual a dfereça etre juro e taxa de juro? Juro (J): valor expresso em dhero (em reas, por exemplo) referete a determado captal e para determado período. Pode também ser defdo como a remueração do captal, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores em troca do uso do dhero. Ao fazer uma aplcação facera, o motate fal () resgatado após períodos deve ser gual ao captal cal ( ) aplcado mas os juros (J) gahos a operação. Logo, podemos escrever: Motate fal = aptal cal + J ou: = + J Portato: J = - Taxa de juro (): é a porcetagem aplcada ao captal cal que resulta o motate de juros (J). ocetualmete, a taxa de juro é o custo de oportudade do captal, sto é, a taxa paga/recebda para que um captal seja aplcado e resgatado o futuro e ão gasto o presete. A taxa de juro pode ser calculada da segute forma: A taxa de juro é sempre expressa em porcetagem; para tal, basta multplcar o resultado por %. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA A partr do cálculo da taxa de juro, é possível calcular dretamete o motate de juros. Observe: sedo a fórmula da taxa de juro dada por: esta fórmula pode ser escrta como: sedo o motate de juro calculado como: J J substtudo J a fórmula da taxa de juros: J Portato, pode-se obter o motate de juros por: Assmlado este coceto, você optara por receber R$98., a vsta ou R$8., hoje e mas R$., em um mês? Logcamete, a resposta depederá da taxa de juro pratcada o mercado. oforme a taxa vgete, poderá ser mas vatajoso receber R$98., a vsta e aplcá-los em uma sttução facera durate um mês ou receber R$8., hoje, aplcá-los por um mês e, o fal desse período, receber mas R$., do comprador. Observe que, para tomar essa decsão, é precso comparar um valor atual com um valor em uma data futura. Exemplos de cálculos de juros, taxas de juro e do captal a) ompre um título por R$98.9, que va pagar R$., em um mês. Qual a taxa mesal da aplcação e o motate de juros recebdo? Solução: pelos dados do problema: = R$98.9, = R$., = mês =? J =? opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA., 98.9,,99 ao mês Para obter a taxa em porcetagem, basta multplcá-la por :,99 x % =,99% ao mês. J =., 98.9, =.96,78 Ou, pela fórmula dreta: J,99 98.9,.96,78 Repare que, ao calcular a taxa de juro, o resultado está especfcada a perodcdade da taxa, o que é muto mportate. No caso, como a aplcação fo de um mês, a taxa calculada é a taxa mesal, ou ao mês. b) A taxa de juro é gual a % ao ao. Qual o valor, hoje ( ), de um título cujo valor de resgate é R$5., e que vece daqu a um ao? Solução O eucado do problema os dz que: =? = R$5., = ao = % ao ao 5.,, 4.666,67 Ou seja, se uma aplcação for feta hoje o valor de R$4.666,67 à taxa de % ao, após um ao será resgatado R$5.,. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Utlzado a fórmula para calcular a taxa de juro,, o valor futuro pode ser faclmete ecotrado: Pelos dados do exemplo ateror, tem-se: 4.666,67 x, 5., O motate fal ( ) obtdo a aplcação facera também é cohecdo como VALOR FUTURO (VF). Exemplo: se eu aplcar R$5., por um ao à taxa de juro de % ao ao, qual o valor futuro do resgate? 5.,, 56.5, Neste caso, o motate de juros é J, 5., 6.5,, que é a dfereça etre o captal aplcado e o valor futuro esperado.. Regmes de captalzação As taxas de juro foram calculadas apeas para um úco período, etretato, para resolver problemas de cálculo de taxas de juro em dos ou mas períodos é ecessáro trabalhar com a oção de regme de captalzação. Defções Regme de captalzação: é a forma como a taxa de juro cde sobre o captal cal em város períodos de tempo. É possível destacar os segutes regmes de captalzação: Regme de aptalzação Smples: os juros de cada período são sempre calculados em relação ao captal cal ( ); Regme de aptalzação omposta: os juros de cada período são calculados com base o captal cal ( ), acrescdo dos juros relatvos aos períodos aterores. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 5 A taxa de juro do Regme de aptalzação Smples é cohecda como taxa de juro smples. Já o Regme de aptalzação omposta, é defda como taxa de juros compostos. Algumas característcas são guas os dos regmes de captalzação: os juros são pagos ou recebdos ao fal de cada período de captalzação; o captal, aplcado ou emprestado, é captalzado a cada período de tempo; os períodos de tempo são dscretos, sto é, são potuas; por exemplo: das, meses e aos. A segur, serão detalhados os regmes de captalzação. REGIME DE APITALIZAÇÃO SIMPLES OU JUROS SIMPLES No regme de captalzação smples, como dto aterormete, as taxas de juro () deomadas de juro smples recaem sempre sobre o captal cal ( ). Dessa forma, ao resgatar a aplcação corrgda por juros smples, o motate fal ( ) ou valor futuro (VF) será o captal cal depostado acrescdo do motate de juros gahos os períodos em que o captal fcou aplcado. Para eteder o fucoameto do regme de captalzação smples, supoha que você aplcou R$.,, à taxa de juro smples de % ao mês (a.m.), por quatro meses, corrgdo o captal sempre o fm de cada mês. Qual o motate fal da aplcação? Vamos acompahar esta operação passo a passo: Período aptalzação Fórmula Data (da da operação) = R$. = % a.m. =, a.m. = 4 meses Não há correção do captal cal, que ocorrerá somete a partr do prmero mês da aplcação. Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 6.,...,,. Mês Mês Mês 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês.,.,..,,.,.,4.,4. 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês.,,..,,.,.,6.,6. 6 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês 4 4 4 4 4 4.,,. 4.,, 4. 4, 4 4.,8.,8. 8 Note que, a cada mês, as taxas de juro recaem sempre sobre o captal cal ( x ) em parcelas que são somadas ao valor futuro do mês ateror, até chegar ao valor fal de resgate ( 4 ). Assm, a cada mês, o valor do motate de juros ovos é sempre o mesmo (este exemplo, gual a R$,). opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 7 Assm podemos defr a expressão matemátca de aptalzação Smples para um úmero de períodos como: ode: = valor presete (captal cal) = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro Importate O prazo da operação (úmero de períodos ) e a taxa de juro () devem ser expressos a mesma udade de tempo. aso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ao, o úmero de períodos deve se referr à quatdade de aos. Exemplo de regme de captalzação smples Ao aplcar um motate de R$.,, à taxa de juro de % a.m., por sete meses, qual é o valor de resgate desta operação? Solução: substtudo os valores dados o problema, a fórmula de captalzação smples, temos: 7 7 7...,7,,. Dessa forma, após sete meses, à taxa de juro smples de % ao mês, o valor de resgate será de R$.,. O motate de juros somado a cada mês ao captal cal é de: J = x =, x. = por mês No total dos sete meses: J = x x = 7 x, x. = que é justamete o motate adcoado ao captal cal para chegar ao valor de resgate. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 8 VARIÁVEIS DA FÓRMULA DE JUROS SIMPLES A partr da fórmula de captalzação smples, é possível extrar outras três fórmulas muto útes para os cálculos faceros. Observe a segur: ) Valor presete Para ecotrar a fórmula do valor presete (ou captal cal) a partr da fórmula do valor futuro a captalzação smples, basta solar o termo a equação: ) Taxa de juro ohecedo o valor cal, o valor fal e o prazo da aplcação, é possível ecotrar a taxa de juro pela segute fórmula: ) Prazo da operação Dada uma determada taxa de juro, o valor cal do vestmeto e o valor fal que se deseja alcaçar, qual o prazo que o captal deve permaecer a aplcação? Esta perguta pode ser dretamete respodda pela fórmula a segur: Exemplos ) Você fez um empréstmo de R$., à taxa de juro smples de,5% ao mês a ser pago em meses. Qual o motate fal do empréstmo?...,5,8,8.8 Logo, ao fal do empréstmo você rá pagar ao credor R$.8,. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 9 ) Qual é o valor presete de um empréstmo que deve ser pago em ses meses, cujo valor futuro é de R$.4,, admtdo uma taxa de juro smples de % ao mês?.4,6.4,.4.964,8, Assm, para resgatar R$.4, em ses meses à taxa de % ao mês, deve-se aplcar, hoje, R$.964,8. ) Se você aplcar R$5., à taxa de juro smples de % ao ao, quatos aos va esperar para trplcar este valor, atgdo, portato, R$5.,? 5. 5., 6,67aos, Isto é, para atgr R$5.,, aplcado R$5., à taxa de juros smples de % ao ao, o captal deve permaecer aplcado 6,67 aos. 4) Uma aplcação de R$., fo resgatada meses depos, resultado em um valor fal de R$.,. Qual a taxa de juro da operação, cosderado que fo feta captalzação smples?..,,77 ao mês,77% ao mês Assm, o captal cal de R$., deve ser corrgdo à taxa de juro smples de,77% ao mês para que se resgate R$., após meses. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA Importate Note que a udade de tempo dos períodos das aplcações e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quado os prazos estverem em meses, a taxa de juro resultate deve ser expressa ao mês. Se o prazo estver expresso em aos, a taxa de juro deve ser expressa ao ao. Taxa proporcoal No regme de captalzação smples, duas taxas são dtas proporcoas quado aplcadas a um mesmo captal, e por um mesmo prazo, geram o mesmo motate. Pelo método de cálculo de juros smples, duas taxas de juro, e, serão cosderadas proporcoas se, ao aplcar dos motates cas guas ( ), por dos períodos dsttos de captalzação, e, os motates fas resgatados forem guas após determado período de tempo, ou seja: e em que: = valor presete = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro omo os motates fas ( ) são guas, é possível escrever: Logo, as taxas e são dtas proporcoas quado: O que pode ser reescrto da segute forma: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA Esta últma fórmula mostra que é possível calcular a taxa de juro proporcoal à taxa de juro cohecedo-se apeas o prazo de captalzação e os dados da outra aplcação ( e ). Exemplo ) Qual é a taxa aual proporcoal à taxa de juro de,5% ao mês? = taxa proporcoal aual a ser ecotrada = ao =,5% ao mês = meses Logo: ) Qual é a taxa ao da proporcoal à taxa de juro de % ao ao, cosderado-se 6 das corrdos? = taxa proporcoal ao da a ser ecotrada = 6 das corrdos = % ao ao = ao logo: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA Regme de aptalzação omposta ou Juros ompostos No regme de aptalzação omposta, os juros de cada período cdem sobre o captal cal ( ) acrescdo do motate de juros dos períodos aterores, e ão somete sobre o em cada período, como a captalzação smples. Dessa forma, o crescmeto do valor futuro passa a ser expoecal e ão mas lear, como o regme de captalzação smples. Vamos aalsar uma aplcação feta sob a captalzação composta para compreeder a formação do valor futuro (VF) este tpo de operação. Supoha que você aplcou R$.,, à taxa de juro composta de % ao mês, por quatro meses. Qual será o motate fal da aplcação? Vamos acompahar esta operação passo a passo: Período aptalzação Fórmula Data (da da operação) = R$. = % a.m. =, a.m. = 4 meses Não há correção do captal cal, que ocorrerá somete a partr do prmero mês da aplcação. = valor futuro (VF) ao fal do mês Mês.,...,,. Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês.,,.,.,.,44.44 Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA.,,.,.,.,68.6,8 Mês 4 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês 4 4 4 4 4.,, 4 4., 4 4., 4 4.,84.84, Veja, a tabela acma, que a taxa de juro () é captalzada sempre sobre o valor cal, somado aos juros do período ateror. Isso caracterza o regme de captalzação composta. Assm, podemos defr a expressão matemátca da captalzação composta para um úmero de períodos como: ode: = valor presete (captal cal) = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro em porcetagem Esta expressão mostra como um captal cal ( ), aplcado por períodos, à de juro () composta, trasforma-se o valor futuro ( ). Importate Assm como o regme de captalzação smples, o prazo da operação (úmero de períodos) e a taxa de juro devem ser expressos a mesma udade de tempo. aso, por exemplo, a taxa de juro seja expressa ao ao (% ao ao, por exemplo), o úmero de períodos deve se referr à quatdade de aos. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
Últma atualzação: // opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. 4 MATEMÁTIA FINANEIRA Varáves da fórmula de juros compostos São quatro (4) as varáves a composção da fórmula de juros compostos. Observe: ohecedo três elemetos da expressão, é possível calcular o restate, bastado, para sso, realzar algumas trasformações a fórmula básca. ) Valor presete Para calcular o valor do captal cal (valor presete) que deve ser aplcado, a uma dada taxa de juro, para resgatar um determado motate, basta solar em um dos lados da equação do valor futuro da captalzação composta, resultado em: Podemos ada obter o valor presete a partr dos juros do período. Observe abaxo: ) Motate de juros osderado que o motate de juros (J) é defdo pela expressão: J = -, o valor de J é ecotrado dretamete quado substtuímos o valor futuro ( ) pela sua fórmula de cálculo. Assm: J ou: J J J J J J
MATEMÁTIA FINANEIRA 5 ) Taxa de juro O motate de juros também pode ser ecotrado dretamete pela taxa de juro. A fórmula dreta da taxa de juro dervada a partr do valor futuro é: 4) Prazo da operação Por fm, o prazo da operação pode ser dretamete calculado por : l l Exemplos ) Você aplcou R$., à taxa composta de,% ao mês por sete meses. Qual é o motate,, acumulado ao fal desse período? alcule o motate de juros acumulado o período. Solução Valor futuro (motate acumulado):.,.,.,5659.565,9 7 7 Motate de juros: J. J. J. 7,,569,5659.565, 9 ) alcule o captal cal de uma aplcação que, vestda por dos meses à taxa de juro de 4% ao mês, acumulou o motate fal de R$6.,. No Aexo você ecotra os procedmetos para cálculo do logartmo. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 6 Solução 6.,4 6.,4 6. 4.79,89,86 ) Determe o captal que, aplcado durate ses meses à taxa de juro composta de % ao mês, obteve redmeto de R$., de juro. Solução. 6,., 6.,66.,66 58.58,85 Logo, ao aplcar R$58.58,85 durate ses meses, à taxa de juro de % ao mês, o retoro obtdo total será de R$.,. 4) Você aplcou R$5., à taxa de juro composto de % ao ao. Quatos aos serão ecessáros para trplcar o valor? Solução Ao trplcar o valor aplcado de R$5., o valor de resgate será de x R$5. = R$5.. om este dado, é possível chegar à solução usado a fórmula dreta do prazo da operação: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 7 5. l 5. l, l l,,986, 9,69 aos Este resultado mostra que são ecessáros 9,69 aos para trplcar o captal cal de R$5. aplcados à taxa de juro de % ao. 5) Se forem aplcados R$., pelo regme de captalzação composta, obtedo um resgate de R$., após meses, qual a taxa de juro da aplcação? Solução..,,769,65,65 ao mês Em porcetagem:,65 x % =,65% ao mês Portato, a taxa de juro da aplcação é de,65 % ao mês. Importate Assm como a captalzação smples, a udade de tempo dos períodos das aplcações e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quado os prazos estão em meses, a taxa de juro resultate deve ser expressa ao mês. Se o prazo está expresso em aos, a taxa de juro deve ser expressa ao ao. No etato, pode haver a ecessdade de alterar a perodcdade da taxa de juro e/ou do prazo. Para que sso seja possível, será precso aalsar o coceto de taxas equvaletes o regme de captalzação composta. Taxas equvaletes Duas taxas de juro são equvaletes se, ao aplcar um motate cal, por prazos dêtcos, mas com perodcdades dferetes, o motate fal, captalzado por cada uma das taxas, for o mesmo. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 8 No regme de juros compostos, duas taxas de juro e são cosderadas equvaletes se, ao captalzar um motate cal pelo mesmo prazo, mas com perodcdades dsttas e, resultar em um mesmo motate fal. Dessa forma, é possível escrever que: e em que: = valor presete = valor futuro após períodos = úmero de períodos = taxa de juro em porcetagem omo os motates fas são guas, etão: Elevado os dos lados da gualdade por chega-se a: e fazedo algumas mapulações algébrcas Assm, é possível ecotrar a taxa, equvalete à taxa de juro, cohecedo os períodos de captalzação para cada uma das taxas, e. Exemplos de taxa equvalete ) Qual a taxa dára equvalete a 6% ao mês, pelo regme de captalzação composta? = taxa equvalete dára a ser ecotrada opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 9 = das = 6% ao mês = mês Logo:,6,94 ao da Em porcetagem:,94 x % =,94% ao da ) Qual a taxa aual equvalete a,5% ao mês, pelo regme de captalzação composta? = taxa equvalete aual a ser ecotrada = ao =,5% ao mês = meses Logo:,5,956 ao ao Em porcetagem:,956 x % = 9,56% ao ao. Taxas acumuladas A taxa acumulada de juros em um período é obtda medate a aplcação da Fórmula de Fsher. Esta taxa é amplamete utlzada o mercado facero para cálculo do redmeto de vestmetos que mudam sua remueração a cada período (exemplo: fudos de vestmeto atrelados aos Depóstos Iterfaceros de da). Fórmula de Fsher:... acumulada acumulada... opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA = taxa de juro referete ao período = taxa de juro referete ao período = taxa de juro referete ao período... = taxa de juro referete ao período Lembrete A fórmula da taxa de juro real advém da Fórmula de Fsher com a qual se obtém uma taxa acumulada em um período de tempo a partr das taxas que ocorreram em seus subperíodos. Assm: acumulada... ( ) pode-se defr: ( ) efetva ( efetva ) de ode: real ( ) f lação real f lação Exemplos aso Um vestdor aplcou dhero em um fudo que apresetou as retabldades ctadas abaxo. ohecedo os dados, calcule a retabldade acumulada o trmestre. Outubro:,65% Novembro:,% Dezembro:,86%, 65, 86 ( acumulada ),,65,,86, e acumulada 56aotrmestr Em porcetagem: acumulada =,56 x % = 5,6% ao trmestre Este coceto será melhor dscutdo o tem.4 Taxas omal, efetva e real opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA aso Um agete de mercado aplcou certa quata em títulos prefxados durate 96 das, cuja retabldade era de 8% a.a. Após o resgate, aplcou ovamete em títulos por das, que garatram retabldade de 8,5%a.a. alcule a retabldade acumulada o período. Note que, este caso, é precso calcular a taxa equvalete para as duas aplcações. acumulada,8,85 acumulada,454,58,596 acumulada acumulada 96 6,58,596 Em porcetagem: acumulada =,596 x % =,596% ao período 6 aso Em certo ao, um dexador regstrou as taxas de flação dcadas abaxo. alcule a flação acumulada o período. Jaero:,% Feverero:,% Março:,4% Abrl:,5% Mao:,% Juho:,% acumulada,,,4,5,, acumulada,,,4,5,,,656 acumulada acumulada,656,656 Em porcetagem:,656 x = 6,56% ao período opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA Taxas cotíuas Nos regmes de captalzação smples e composta, os juros são pagos ou recebdos ao fal de cada período. O valor, aplcado ou emprestado, é captalzado e tem aumeto a cada tervalo de tempo cosderado, sedo este dscreto. À dfereça dos regmes de captalzação ctados, o regme de captalzação cotíua, exste pagameto de juros a cada período ftesmal de tempo. om sso, o captal cresce cotuamete o tempo à taxa de juro statâea. Veja, a segur, os cocetos relatvos a este tpo de captalzação, etededo os procedmetos de cálculos. No regme de captalzação composta, ao vestr um determado captal ( ), à taxa de juro (), pelo período de aos, obteremos um valor gual a: Se a captalzação ocorrer k vezes ao ao, o valor de resgate será dado por: k k aso o úmero de captalzações teda ao fto (k ), temos o regme de captalzação cotíua. Neste caso, o valor de resgate é dado por: e r ode: r = taxa de juro statâea Para calcular a taxa de juro statâea (r) equvalete a uma dada taxa de juro composta (), tem-se: e l e r ( ) r l( ) r l e l( ) r l e l( ) r l( ) opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA Exemplos de taxas cotíuas ) osderado uma taxa de juro de 6% ao ao, o regme de captalzação composta, calcule a taxa statâea de juro para das. Solução A taxa de juro statâea ao ao é gual a: r = l ( +,6) =,484 ao ao Em porcetagem: r =,484 x = 4,84% ao ao. Para um período de das, a taxa é de: r,484 6,4 ao mês Em porcetagem: r =,4 x =,4% ao mês ) A partr de uma taxa de juro composta de % ao mês, qual é a taxa statâea de juro ao semestre? Solução osderado o período de um mês, temos a segute taxa de juro statâea: r = l ( +,) =,98 ao mês Em porcetagem: r =,98 x =,98% ao mês A taxa ao semestre é: r =,98 6 =,88 ao semestre Em porcetagem: r =,88 x =,88% ao semestre ) Quas são as taxas de juro mesal e aual o regme de captalzação cotíua, sabedo que a taxa statâea de juro semestral é de 5%. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Solução r = l ( +,5) =,4879 ao semestre Em porcetagem: r =,4879 x = 4,879% ao semestre A taxa mesal é de: r,4879,8 ao mês 6 Em porcetagem: r =,8 x % =,8% ao mês alculado a taxa aual, tem-se: r aual =,4879 =,9758 ao ao Em porcetagem:,9758 x = 9,758% ao ao TAXAS EQUIVALENTES NA APITALIZAÇÃO ONTÍNUA A razão etre o valor de resgate () e valor cal () os regmes de captalzação cotíua e de captalzação composta é dada pelas respectvas fórmulas: / = e I = Regme de captalzação cotíua / = ( + r) = Regme de captalzação composta Sedo r a taxa de juro a captalzação composta. É possível, etão, coclur que: e I = ( + r) e I = ( + r) e, portato: = l( + r) opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 5 Exemplos de taxas equvaletes a captalzação cotíua a) Dadas as taxas de juro compostas, calcule a taxa de juro cotíua equvalete. r % a.m. = l ( +,) = 9,5% a.m. % a.a. = l ( +,) = 9,6% a.a.,5% a.t. = l ( +,5) =,44% a.t. b) Dadas as taxas de juro statâeas, calcule a taxa de juro composta equvalete. r 5% a.m. r = e,5 = 5,% a.m. 7% a.a. r = e,7 = 8,5% a.a. % a.t. r = e, =,% a.t. Note que os exemplos apresetados cosderaram os mesmos períodos de tempo as duas taxas de juro. Podem exstr casos, o etato, em que uma taxa de juro (r) o regme de captalzação composta é forecda para um período e solcta-se a taxa statâea de juro () equvalete para um período dferete do ateror. O prmero passo para este tpo de questão cosste em achar a taxa statâea de juro, cosderado o mesmo prazo da taxa de juro composta. Feto sso, obtém-se a taxa de juro equvalete àquela obtda. Para tato, é fudametal saber que, o regme de captalzação cotíua, as taxas de juro equvaletes são learmete proporcoas. Ou seja, uma taxa de juro statâea de 6% ao semestre equvale a uma taxa aual de %. Veja os exemplos a segur. Exemplos de taxas cotíuas a) osderado uma taxa de juro de 6% a.a. o regme de captalzação composta, calcule a taxa statâea de juro para das. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 6 A taxa de juro statâea para um ao é gual a: = l ( +,6) = 4,84 % a.a. Para um período de trta das, a taxa é de: =,484 / 6 =,4% a.m. b) A partr de uma taxa de juro composta de % a.m., qual é a taxa statâea de juro ao semestre? osderado o período de um mês, temos a segute taxa de juro statâea: = l ( +,) =,98% a.m. A taxa ao semestre é de: =,98 6 =,88% a.s. c) Quas são as taxas de juro mesal e aual o regme de captalzação cotíua, sabedo que a taxa statâea de juro semestral é de 5%. mesal =,5 /6 =,8% a.m. aual =,5 = % a.a..4 Taxas omal, efetva e real Uma taxa de juro é defda como omal quado é calculada em relação ao valor omal da aplcação ou empréstmo, coforme o valor acordado o cotrato ou título. Dessa forma, é possível otar que se trata de um valor aparete. Em stuações em que a taxa de juro é calculada sobre o valor efetvamete emprestado ou aplcado, defe-se a taxa como efetva. Adcoalmete, quado este valor é corrgdo pela flação do período da operação, a taxa de juro calculada é defda como real. Esta últma é obtda pela segute fórmula: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 7 ( Taxa Efetva) Taxa real ( Taxa de Iflação) Exemplos de taxas omal, efetva e real osdere que a empresa TNK obteha um empréstmo do baco com a qual trabalha o valor de R$7., sedo que terá que pagar R$85., após quatro meses da cotratação. O baco solcta que o clete mateha % do valor do empréstmo como saldo médo durate o período da operação. Além dsso, fo cobrada uma taxa de abertura de crédto de R$8,; a qual fo paga o ato da cotratação. Nesses quatro meses, a taxa de flação acumulada fo gual a 7%. alcule as taxas de juro omal, efetva e real da operação. a) Taxa omal o m al Juros pagos (85. 7.) aptal cal 7.,4%a.p ou 4,97%a.m. b) Taxa efetva efetva Juros pagos aptal calefetvo 85., 7. 7. 8, 7. 7. 8, 7. efetva,97%a.p ou 5,5%a.m. omo o baco cobrou uma taxa para o empréstmo e estpulou que a empresa dexasse % do valor do empréstmo como saldo médo em cota correte, observe que o valor efetvo do empréstmo é de R$6.9, (= R$7.,, R$7., R$8,) e que o valor de resgate é gual a R$ 78. (o pagameto do empréstmo é completado pelos R$7., matdos como saldo médo). opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 8 c) Taxa real real ( ( efetva f lação ) ) real (,97) (,7) real 5,86%a.p. Lembrete Na lteratura sobre este assuto, exste outra abordagem relatva ao coceto de taxa omal e efetva. A taxa omal de juros cosste a taxa em que a udade de tempo para a qual ela fo defda ão cocde com a udade de tempo para a qual fo captalzada. Já para a taxa efetva, exste tal cocdêca. Observe: Supoha que temos uma taxa de juro de 4% a.a. captalzada mesalmete: a) Taxa de juro omal = / º de captalzações =,4 / =, = % a.m. b) Taxa de juro efetva=,, 68 = 6,8% a.a..5 Aálse dos dferetes fluxos de caxa Supoha que você decda comprar uma televsão de polegadas para o seu flho. Para tato, ca uma pesqusa de preços em váras lojas da cdade. Ao observar o ível dos preços para esse eletroeletrôco, chega à coclusão que ão será possível realzar a compra a vsta. Assm, dos orçametos, cosderado vedas a prazo, parecem ser os mas atraetes: A loja EletroSom está vededo televsores de polegadas da marca X a R$55, a vsta ou em parcelas guas e mesas de R$59,64, sedo o prmero pagameto feto das depos da compra; A loja MultSom auca o mesmo televsor a R$55, a vsta ou em parcelas guas e mesas de R$49,94, sedo o prmero pagameto feto o ato da compra. Qual das alteratvas é a mas vatajosa? Aalsado cocetualmete este exemplo, podemos perceber que algus potos dferem da aálse ateror, quado trabalhamos com a dea da exstêca de um vestmeto ou empréstmo de um motate de captal (ou valor presete VP) por um período de tempo () a uma taxa de juros () que resultara em um valor futuro (VF). Neste capítulo: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 9 os pagametos e os recebmetos serão fetos em determados prazos; as etradas ou saídas terão vecmetos peródcos; a prmera prestação ou aplcação pode cdr o começo do período, ou seja, o ato da compra (termos atecpados) ou o fal (termos postecpados). Esta stuação ocorre em város tpos de facametos e empréstmos credáros, leasg, rédto Dreto ao osumdor (D) etc. Acompahe os cocetos apresetados a segur e ao fal você aprederá como avalar qual é a melhor opção para a compra do televsor. FLUXOS DE AIXA HOMOGÊNEOS Pagametos postecpados Fluxos de caxa homogêeos Em stuações em que a prmera prestação (ou aplcação) é paga (ou recebda) em um período após a cotratação, temos um fluxo de caxa com termos postecpados. Quado as prestações são guas ao logo do período temos um fluxo de caxa homogêeo. Veja os esquemas a segur: Prestações Iguas Pagameto Postecpado VP PMT = valor das prestações opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA Aplcações Iguas Ivestmeto Postecpado PMT = valor das aplcações VF Observe que, o prmero caso, o captal cal (valor presete VP) será gual à somatóra dos valores presetes das prestações (PMT), cosderado a taxa de juros () pratcada. Ou seja: PMT PMT VP ( ) ( ) PMT ( ) PMT ( ) A partr desta expressão, é possível coclur que: VP PMT ( ) PMT VP ( ) No segudo caso, o Valor Futuro (VF) será gual à somatóra das aplcações corrgdas pela taxa de juros vgete. Ou seja: VF PMT ( ) PMT ( ) PMT ( ) PMT ( ) Realzado algumas trasformações algébrcas, chegamos a: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA VF PMT PMT VF ( ) Em cada fórmula, verfque que temos quatro varáves: o captal cal (valor presete VP) ou o captal fal (valor futuro VF), a taxa de juros (), o período () e a prestação (PMT). om sso, uma sére de stuações pode ocorrer, tedo como cógta uma destas varáves. Acompahe os exemplos a segur. Exemplos de pagametos postecpados (fluxos de caxa homogêeos) ) A loja Promocoal está aucado a veda de televsores de polegadas a R$6, a vsta ou em parcelas guas e mesas, sedo o prmero pagameto feto das depos da compra. A taxa de juros pratcada pela loja é de,5% ao mês om base estas formações, calcule o valor das prestações. Solução: ote que temos o valor presete (VP = R$6,), a taxa de juros ( =,5% ao mês), período ( = meses) e sabemos que o pagameto é postecpado. O objetvo é calcular o valor das prestações (PMT), cuja fórmula é: PMT VP ( ),5 PMT 6,5 $65,6 R (,5) ) O Sr. Edvdado obteve um facameto, a modaldade rédto Dreto ao osumdor (D). Restam parcelas mesas para serem amortzadas, clusve a que vece o fal deste mês, o valor de R$.759,. A taxa de juro pratcada pela sttução facera é de,5% ao mês. om tas dados, calcule o valor presete do facameto. Solução: foram dados pelo problema: o valor das parcelas (PMT = R$.759,), período ( = meses), a taxa de juros ( =,5% ao mês) e a formação de que o pagameto é postecpado. Devemos achar o valor presete da segute forma: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA VP PMT ( ),5 VP.759, (,5) R$5.,4,5 ) A cocessoára Bom Passeo está vededo um carro X a R$., a vsta ou em 6 parcelas mesas de R$.75,, sedo o prmero pagameto feto em das. alcule a taxa de juros mesal pratcada pela empresa. Solução: este caso, temos o Valor Presete (VP = R$.,), o valor das parcelas (PMT = R$.75,), período ( = 6 meses) e sabemos que o pagameto é postecpado. Para calcular a taxa de juro, é ecessáro utlzar uma calculadora facera, pos o resultado deve ser alcaçado por processo teratvos (pos ão possuímos uma fórmula como o caso de PV, ou FV): PMT VP ( ).75,. ( ) 6 6,99% a. m. 4) erto clete ecessta fazer um facameto o valor de R$7., para a compra de um veículo, porém pode apeas dspor de R$555, mesas para pagameto. Sabedo que a taxa de juros da sttução facera que realzará o facameto é de,5% ao mês e que o pagameto é postecpado, calcule o período de tempo da amortzação da dívda. Solução: foram dados pelo problema: valor presete (VP = R$7.,), valor das parcelas (PMT = R$555,), a taxa de juro ( =,5% ao mês) e a formação de que o pagameto é postecpado. Assm, como o caso do cálculo da taxa de juros, é ecessáro cotar com uma calculadora facera para ecotrar o resultado. Neste caso, o resultado é: VP PMT ( ),5 7. 555 (,5),5 5 meses opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 5) Sabedo que a cadereta de poupaça tem redmeto médo de,9% ao mês, um vestdor gostara de saber quato deve aplcar mesalmete para obter, após meses, a quata de R$.,. osdere que a prmera aplcação será feta daqu a das. Solução: o problema, este caso, é achar o valor das prestações, PMT. Sabemos o valor futuro (VF = R$.,), a taxa de juros ( =,9%ao mês) e o período de tempo ( = meses). Além dsso, temos que o pagameto é postecpado. Veja os cálculos abaxo:,9 PMT VF PMT. PMT ( ) (,9) R $ 79,88 6) O Sr. Ecoômco aplca todo mês uma quata de R$., em um fudo que vem rededo,5% ao mês osderado que esta aplcação seja efetuada durate 8 meses, calcule o valor futuro (ou valor de resgate) deste vestmeto. Utlze o coceto de termos postecpados. Solução: agora, a questão cosste em achar o Valor Futuro, sabedo a taxa de juros ( =,5% ao mês), a prestação (PMT = R$.,) e o período de tempo ( = 8 meses). Observe os cálculos, cosderado que os termos são postecpados. VF PMT,5 VF.,5 8 VF R$4.978,75 Importate Observe que esses problemas seguem sempre a mesma lógca. A partr dos prcípos apresetados, é possível também calcular a taxa de juro e o úmero de prestações em stuações em que se realzam aplcações. Pagametos Atecpados Fluxos de caxa homogêeos Os termos atecpados são caracterzados quado a prmera prestação (ou aplcação) é paga (ou recebda) o ato da cotratação. Observe, a segur, os respectvos fluxos os casos em que realza-se o pagameto de prestações para abater o saldo devedor. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Prestações Iguas Pagameto Atecpado PMT = valor das prestações VP Aplcações Iguas Ivestmeto Atecpado PMT = valor das prestações + VF No caso apresetado aterormete, cosderado termos atecpados, temos: VP PMT ( ) ( ) PMT VP ( ) ( ) No caso de aplcações de certos valores (homogêeos) para resgate futuro, temos: Em stuações em que se deseja obter o valor futuro de aplcações guas e cosecutvas, utlzase: VF PMT ( ) PMT VF ( ) ( ) opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 5 Da mesma forma que o caso dos pagametos com termo postecpado, em cada fórmula temos quatro varáves: captal cal (valor presete VP) ou captal fal (valor futuro VF), a taxa de juro (), o período () e a prestação (PMT). Neste setdo, os problemas forecerão três varáves e determaremos a quarta. Para efetuar os cálculos é recomedável o uso de calculadoras faceras que teham váras das fuções dscutdas até aqu, clusve a de dferecar o cálculo quado o fluxo é postecpado ou atecpado. Exemplos de pagametos atecpados (fluxos de caxa homogêeos) ) Uma pessoa físca obteve um facameto a modaldade D (rédto Dreto ao osumdor) o valor de R$5.,, para ser amortzado em parcelas mesas guas e cosecutvas. Sabedo que a taxa de juros pratcada é de 6% ao ao e que os pagametos são atecpados, calcule o valor das aplcações. Solução: este problema, temos: o valor presete (VP = R$5.,), o período de tempo ( = ) e a taxa de juros ( = 6% ao ao). Observe que será precso dexar a taxa de juro e o período com a mesma udade de tempo. omo é ecessáro calcular o valor das prestações em termos mesas, passaremos a taxa de juros de aual para mesal. = [(+,6) / 6 -] x =,445% ao mês Sabedo que os termos são atecpados, aplcamos a fórmula: PMT VP ( ) ( ) PMT,445,445 5. (,445) (,445) PMT R$794,77 ) alcule o valor presete do facameto feto por um cosumdor para a compra de uma geladera, sabedo que o pagameto deve ser efetuado da segute forma: etrada de R$85, mas prestações de R$85,, com taxa de juro de,85% ao mês. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 6 Solução: para obter o valor presete deste facameto, basta aplcar a fórmula: VP PMT ( ) ( ),85 VP 85 (,85) R$9,4 (,85),85 ) alcule a taxa de juro mesal de um facameto o valor de R$5., para a compra de um veículo, sedo que a amortzação ocorrerá em 4 parcelas, mesas e cosecutvas de R$.66,6, com a prmera delas vecedo o ato da cotratação. Solução: sabemos o valor presete, o período do facameto e o valor das parcelas. Para calcular a taxa de juros, aplcamos a expressão abaxo; porém, em fução da complexdade dos procedmetos de cálculo, utlza-se a calculadora facera para chegar a taxa de juro. VP PMT ( ) =,%ao mês ( ) 5..66,6 ( ) 4 4 ( ) 4) Um lojsta toma um facameto o valor de R$., para realzar algus reparos em seu estabelecmeto. Tedo coscêca de que apeas pode horar parcelas de, o máxmo, R$4, mesas e sabedo que a taxa de juro do baco com o qual trabalha é de,99% ao mês, calcule o período de tempo ecessáro para qutar a dívda. osdere que o pagameto seja com termos atecpados. Solução: este exercíco, temos o valor presete, o valor das prestações e a taxa de juro do baco. Assm, para achar o úmero de parcelas do facameto, é precso calcular com ajuda da calculadora facera, o que produz o resultado dcado abaxo. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 7 VP PMT ( ) = 4 meses,99 ( ). 4 (,99) (,99),99 5) alcule a quata que devo aplcar hoje (valor da aplcação) em títulos prvados com taxa de juros compostos de,6% ao mês para obter um valor futuro (ou de resgate), daqu a 4 meses, de R$.,. osdere que os termos sejam atecpados. Solução PMT VF ( ) ( ) PMT,6. (,6) 4 (,6) PMT = R$.8,87 6) erto clete do Baco XLS deseja saber o valor futuro a ser resgatado daqu a meses, caso aplque mesalmete % de seu saláro de R$.95, em um fudo de reda fxa com taxa de juro de,% ao mês. Solução VF PMT VF = R$5.6,6, ( ) VF 95, (,).6 Valor presete líqudo (VPL) O método do valor presete líqudo (VPL) é amplamete utlzado para aálse e avalação de projetos de vestmeto. Seu objetvo cosste em determar o valor do projeto o state cal do fluxo de caxa, dados a taxa de juro (), o período de tempo (cotíuo ou ão), as despesas e as recetas futuras. Vale ressaltar que a taxa de juro cosderada é uma taxa míma de retoro esperada. Ao se deparar com a possbldade de um vestmeto, o agete de mercado possu outras opções que lhe garatem uma taxa de retoro (aplcações o mercado facero, por exemplo). opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 8 Dessa forma, o vestmeto será vável se a taxa de retoro obtda o projeto for gual ou maor à taxa de retoro dessas aplcações. Ou seja, o retoro esperado pelo vestmeto deverá ser maor que o seu custo de oportudade (este caso, sera o retoro obtdo as outras aplcações lvres de rsco), o que, assm, vablzara o projeto. Para obter o VPL, deduzmos o valor do fluxo cal, sedo, em geral, um vestmeto (com sso, represeta uma saída) dos fluxos futuros de caxa cosderados a valor presete. Ou seja: VPL VP VF VF VF... VF sedo: VPL = valor presete líqudo VP = valor presete do fluxo de caxa VF t = valor futuro do fluxo de caxa - pode ser tato egatvo (saída) como postvo (etrada) = taxa de juro cosderada míma para o vestmeto aso: VPL, coclu-se que a taxa de retoro do vestmeto é meor que a míma desejada (). Ou seja, a realzação do projeto ão é recomedável. VPL, coclu-se que a taxa de retoro do vestmeto é maor que a míma desejada (). Ou seja, a realzação do projeto é recomedável. VPL =, coclu-se que a taxa de retoro do vestmeto é gual à míma desejada (). Ou seja, exste uma dfereça etre realzar ou ão o vestmeto. Neste setdo, é possível coclur que quato maor o VPL, maor será o retoro de um vestmeto. om sso, pode-se avalar a vabldade de um projeto em comparação com as alteratvas exstetes. Exemplo de valor presete líqudo (fluxos de caxa homogêeos) ) O Sr. Buld está aalsado a possbldade de realzar um vestmeto que provavelmete lhe proporcoará recetas auas de R$5., durate três aos. O fluxo abaxo mostra que, ao realzar um vestmeto cal de R$45.,, projetam-se retoros futuros auas ão varáves. Qual o valor presete líqudo do fluxo de caxa apresetado abaxo, cosderado uma taxa de juros aual de 4%? O vestmeto deverá ou ão ser realzado? opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 9 R$5., R$5., R$5., R$45., Solução 5. 5. 5. VPL 45. R,4,4,4 $.4,8 Sedo VPL>, coclu-se que o valor do vestmeto é meor que o valor presete dos retoros futuros. Ou seja, a taxa de retoro obtda o vestmeto é maor que a taxa míma aceta. Assm, o Sr. Buld deve realzar o vestmeto..7 Taxa tera de retoro (TIR) Outro método para aálse de projetos de vestmeto e aplcações faceras cosste o cálculo da taxa tera de retoro (TIR). É a taxa que equalza o valor presete de um ou mas pagametos com o valor presete de um ou mas recebmetos. Ou seja, é a taxa que zera o valor presete líqudo. Veja a fórmula e o gráfco a segur: VP VF VF VF... VF sedo: VP = valor presete do fluxo de caxa VF t = valor futuro do fluxo de caxa = taxa tera de retoro (TIR) opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 VPL TIR > TIR = TIR < É mportate ressaltar que VF represeta as saídas e as etradas os fluxos, tedo, portato, valores egatvos e postvos, respectvamete. Observe que para defr a TIR, é precso obter a raz que tora a equação polomal acma gual a zero. Lembrete Por se tratar de uma equação polomal, é possível ecotrar duas ou mas raízes (exstêca de taxas teras de retoro múltplas). aso sso ocorra, recomeda-se a utlzação do método do valor presete líqudo para avalação do projeto de vestmeto. Tal stuação pode surgr quado temos mas de uma versão de sal o fluxo de caxa. om sso, pode-se coclur que a TIR só é aplcável em projetos de vestmeto com apeas uma versão de sal, ou seja, quado temos, por exemplo, uma despesa a data cal e um fluxo de recetas líqudas as datas futuras (como cosderada a fórmula apresetada aterormete) ou um valor cal postvo e um fluxo de despesas as datas posterores. Nestes casos, é possível provar matematcamete a exstêca de apeas uma raz real postva. Ao obter a TIR, compara-se com a taxa de juro míma acetável ao vestmeto. aso a TIR seja maor que a taxa míma, o projeto pode ser cosderado vável. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Exemplo de taxa tera de retoro (fluxos de caxa homogêeos) ) O Sr. José solctou um empréstmo de R$9., que será pago em três prestações mesas cosecutvas de R$45.,. Determe a taxa tera de retoro dessa operação sob a ótca do credor. Solução: o credor possu o segute fluxo de caxa: R$9., R$45., R$45., R$45., om o auxílo da calculadora, temos que a TIR correspode a,7%. Portato, sedo a taxa míma desejada para executar este projeto meor que,7%, coclu-se que o Sr. José deve realzar o vestmeto. Se a taxa míma desejada for maor, o Sr. José ão deve realzar o vestmeto. FLUXOS DE AIXA HETEROGÊNEOS Pagametos postecpados Fluxos de caxa heterogêeos Os pagametos postecpados são caracterzados pela prestação (ou aplcação) paga (ou recebda) em um período após a cotratação. Quado as prestações possuem valores dferetes ao logo do período temos um fluxo de caxa heterogêeo. Veja os esquemas a segur: opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 Prestações Dferetes Pagameto Postecpado VP PMT = valor das prestações Pagametos atecpados Fluxos de caxa heterogêeos Os pagametos atecpados são caracterzados pela prmera prestação (ou aplcação) paga (ou recebda) o ato da cotratação. Observe, a segur, o dagrama dos pagametos atecpados em fluxos de caxas heterogêeos. Prestações Dferetes Pagameto Atecpado PMT = valor das prestações VP Exemplos de valor presete líqudo (fluxos de caxa heterogêeos) ) O Sr. alculsta está aalsado um determado projeto de vestmeto o qual deseja uma retabldade míma de,5% ao mês. O quadro a segur mostra que ao realzar um vestmeto cal de R$8.,, projetam-se retoros futuros mesas varáves. alcule o valor presete líqudo do fluxo de caxa apresetado abaxo e avale se o vestmeto deve ou ão ser feto. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 4 4 5 6-8. 5.. 7.. 5. 7. Solução VPL 8. VPL - R$.499,6 5.. 7.. 5. 7.,5,5,5,5 4,5 5, 5 6 Sedo VPL<, coclu-se que o valor do vestmeto é maor que o valor presete dos retoros futuros. Ou seja, a taxa de retoro obtda o vestmeto é meor que a taxa míma aceta. Assm, o Sr. alculsta ão deve realzar o vestmeto. ) Uma empresa deseja realzar algumas reformas em seu prédo. Para tato, quer saber quato deve depostar em cota para fazer as retradas apresetadas o quadro abaxo, sabedo que a remueração dos depóstos é de,5% ao mês. 4 5???? 4. 4. 4. 6. 6. Solução: o problema cosste em determar o valor presete líqudo dos fluxos futuros, sedo a taxa de juro gual a,5%ao mês. Temos, portato: VPL 4. 4,5,5,5,5,5 VPL R$.87,47 4. 4. 6. 6. 5 ) O Sr. Ivestdor deseja saber o PU (preço utáro) de uma debêture, cujo valor omal é de R$.,, sedo que a taxa de juros compostos que remuera a aplcação é de % ao ao, o pagameto dos juros é semestral e o resgate ocorrerá em semestres. Este agete cosdera uma taxa de juro míma de 5% ao ao para o seu vestmeto. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 44 Solução: o prmero passo para calcular este exercíco é saber o valor dos juros pagos semestralmete ao Sr. Ivestdor. Temos uma taxa de juro de % ao ao. Portato, é precso obter tal taxa ao semestre: eq., 4,889%a.s. Assm, semestralmete, o vestdor recebe uma remueração de R$48,8. Para obter o PU da debêture, ada temos que calcular a taxa de juro ao semestre que o vestdor cosdera míma. eq.,5 7,8%a.s. Feto sso, vamos calcular o PU com auxílo de uma calculadora facera, tedo como resultado o valor de R$86,5. Taxa tera de retoro Fluxos de caxa heterogêeos Exemplo de taxa tera de retoro (fluxos de caxa heterogêeos) ) O Sr. No Vermelho solctou um empréstmo de R$8., que será pago em três prestações mesas cosecutvas de R$4.,, R$5., e R$5.,. Determe a taxa tera de retoro desta operação sob a ótca do baco. om auxílo de uma calculadora facera, chega-se a 7,6% ao mês..8 ometáros fas Ao termar este capítulo, espera-se que você teha compreeddo os cocetos de captalzação smples, composta dscreta e composta cotíua que são costatemete utlzadas o mercado facero seja para o apreçameto de atvos seja para o cálculo de opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 45 redmetos, prazos ou taxas de juro mplíctas as operações. O materal apresetado aqu, reúe de maera ordeada todos os assutos que capactam o letor para atuar o mercado facero. Além da dscussão e exemplfcação dos cálculos os dferetes regmes de captalzação, fo dada especal ateção à aálse dos fluxos de caxa de séres de pagameto homogêeo e heterogêeo e das característcas das taxas de juro. No aexo, o fal deste trabalho, você ecotra uma revsão sobre logartmos para fortalecer seus estudos. Importate Revse os prcpas potos e BOA PROVA!!! opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 46 BIBLIOGRAFIA ASSAF NETO, Alexadre. Matemátca facera e suas aplcações. ª ed. São Paulo: Atlas. 9. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemátca facera. 7ª ed. São Paulo: Atlas. 9. 49 p. INSTITUTO EDUAIONAL BM&FBOVESPA. Materal dos cursos o-le e presecas. opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 47 ANEXO Revsão - Logartmos Obvamete as equações de soma e subtração são mas fáces que as equações de multplcação ou dvsão. Os logartmos são, portato, uma ferrameta para facltar cálculos complcados. Podemos defr logartmos como: Sejam a e b úmeros reas e postvos, com a, chama-se logartmo de b a base a, o expoete ao qual se deve elevar a base a de modo que a potêca obtda seja gual a b. log a b x a x b ode: a,b R com a e b a é a base do logartmo b é o logartma do x é o logartmo de b a base a Propredades mas mportates: ) log a a ) log a a a a log a b ) a b opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //
MATEMÁTIA FINANEIRA 48 Exemplos de logartmos x x 5 a) log x x 5 x x b) log x x 4 4 x x c) log x x x 7 d) log 7 x 7 7 x x x x e) log x 9 ( ) x x log 9 9 Importate O logartmo atural ou logartmo eperao, represetado por LN, é o logartmo de base e, sedo que o e é chamado de úmero de Euler, muto utlzado em estudos de faças e possu um valor aproxmado de,788.... opyrght Assocação BM&F Dretos de edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal. Últma atualzação: //